灌南高级中学高三数学复习导学案：直线与圆锥曲线

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《直线与圆锥曲线》导学案

高二数学选修2-1 编号:SX--02--012.4《直线与圆锥曲线》导学案撰稿：黄文海审核: 陈天华时间：2011-02-21班级: 姓名: 组别: 组名:【学习目标】1、熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及数与形的对应关系；2、能够解决直线与圆锥曲线的弦长、中点弦等相关问题；3、通过对直线与圆锥曲线的研究培养学生运用数形结合、方程和转化等数学思想方法解决直线与圆锥曲线综合问题的能力。

【重点难点】▲重点：直线与圆锥曲线相交的有关问题；▲难点：1、综合分析已知条件通过转化进而得到有关量之间的关系；2、数学思想方法的灵活运用，简化有关的计算【知识盘点】一．直线与圆锥曲线的位置关系1．代数法：判断直线l 与圆锥曲线r 的位置关系时，通常将直线l 的方程0(,Ax By C A B ++=不同时为0)代入圆锥曲线r 的方程(,)0F x y =，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程，即0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得02=++c bx ax ，(1)当0a ≠时，则有0∆>，直线l 与曲线r ；0∆=，直线l 与曲线r ；0∆<，直线l 与曲线r 。

(2)当0a =时，即得到一个一次方程，则l 与r 相交，且只有一个交点，此时，若r 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是；若r 是抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是。

2．几何法：直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类：(1)直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线；(2) 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔对椭圆而言，直线与椭圆；对双曲线而言，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线，对于抛物线而言，表示直线与其或与其对称轴平行；(3) 直线与圆锥曲线有个相异的公共点⇔直线与圆锥曲线，此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦。

二．中点弦问题已知弦AB 的中点，研究AB 的斜率与方程.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一条弦，中点M 坐标为00(,)x y ，则直线的斜率为。

江苏省灌南高级中学高三数学直线与方程复习导学案

江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：直线与方程高考要求：C 级导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．自主梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按__________方向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________．(2)倾斜角的范围为________________．(3)倾斜角与斜率的关系：α≠90°时，k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率________．(4)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝_____________________.2．直线方程的五种基本形式名称方程适用范围点斜式不含直线x ＝x 0斜截式不含垂直于x 轴的直线两点式不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用自主检测1．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为________． 2．直线l 与两条直线x －y －7＝0，y ＝1分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1，－1)，则直线l 的斜率为_______________________________________________________．3．下列四个命题中，假命题是________(填序号)．①经过定点P (x 0，y 0)的直线不一定都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；②经过两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示；③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程x a ＋y b＝1表示；④经过点Q (0，b )的直线都可以表示为y ＝kx ＋b .4．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．5．已知直线l 的方向向量与向量a ＝(1,2)垂直，且直线l 过点A (1,1)，则直线l 的方程为______________．典型例题：例1 已知两点A (－1，－5)、B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率．变式迁移1 直线x sin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是______________．探究点二直线的方程例2过点M(0,1)作直线，使它被两直线l 1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．变式迁移3 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？。

高三数学教学案直线与圆锥曲线

高三数学教学案—直线与圆锥曲线教学目标：能综合应用直线与圆锥曲线的有关知识解题一、基础题：1、设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（） A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 2、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F()0,7,直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D. 15222=-y x 3、已知F 1、F 2是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，在B AF 1∆中，若两边之和是11,则第三边的长度是（）A.5B.44、已知A 、B 是抛物线)0(22>=p px y 上两点，若OB OA =，且AOB ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB 的方程为（）A.p x =B. p x 3=C. 23p x =D. 25p x = 22a x －22by ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（） A ．30º B ．45º C ．60º D ．90º6、点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )( A ) 33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 21 7、对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：⎩⎨⎧+=+=θθsin 41cos 23y x)20(πθ<≤恒有公共点，则b 取值范围是_________8.正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为9.在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是二、解答题10. 已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线 l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2； Ⅱ）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程；（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.11.给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

高中数学教案：直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线课程目标知识提要直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线相结合的问题是平面几何中的重点问题，也是难点问题．包括直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，及直线与圆锥曲线位置关系的应用问题．直线与圆锥曲线有相交、相切、相离三种位置关系．把直线和圆锥曲线的方程进行联立后，得到关于或的一元二次方程，通过分析这个方程，就可以得到直线与圆锥曲线的三种位置关系．弦长与面积若直线与圆锥曲线相交时有两个交点，则以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．直线与圆锥曲线相交于点，点，则直线被圆锥曲线所截得的弦长公式为；其中和可由两根差公式，得到．面积问题首先需要选择恰当的面积公式，常见的有：1、直线方程为，与椭圆相交于点、，垂直于弦于点，则，因此，的面积．2、直线方程为，与椭圆相交于点、，且过椭圆右焦点，则的面积为．3、过椭圆上一动点，引直线、交椭圆于另外两点、，且，则．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切与相离三种，可以通过联立直线与圆锥曲线的方程，消元后利用判别式的符号得到位置关系．需要注意的是，直线与椭圆的位置关系与它们的交点个数有对应关系，即相交时有两个交点，相切时有一个交点，相离时没有交点；直线与双曲线的位置关系没有这样的对应关系，直线与双曲线的相交时也可能只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；直线与抛物线相交时也可能只有一个交点，此时直线与抛物线的轴平行．动态圆锥曲线问题的参数求解在圆锥曲线问题中有某些量不确定，需要设定某些参数，去求解这些参数的值或取值范围．动态圆锥曲线问题的性质证明通过代数的方法去探索与证明圆锥曲线的一些几何性质，比如满足某种条件的直线过定点，某些线段的长度比值确定，证明某些点在同一条直线上等等．精选例题直线与圆锥曲线1. 已知实数，满足，则的最大值为．【答案】2. 已知点，是椭圆上两点，且，则．【答案】3. 已知直线交抛物线于，两点，若该抛物线上存在点使得为直角，则的取值范围为．【答案】【分析】设，，，则，，由，得，由，解得，即．4. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，为过点且斜率为的弦，则的值为．【答案】5. 已知直线经过抛物线的焦点，与交于，两点．若，则的值为．【答案】6. 在双曲线上求一点．使它到直线的距离最短．并求这个最短距离．【解】设与直线平行的双曲线的切线方程为．由得由直线与双曲线相切，得，解得．由本题题意，得．此时方程化为，解得，从而．则切点坐标为，这就是所求的点．由于直线与切线的距离为，所以双曲线上的点到直线的最短距离为．7. 如图，，是焦点为的抛物线上的两动点，线段的中点在直线上．(1)当时，求的值；【解】的焦点坐标是，准线方程是设，，则，所以因为线段的中点在定直线上所以，所以；因为，所以．(2)记得最大值为，求．【解】设，由得，所以，故可设直线的方程为，即．联立消去得，，，所以，因为，所以，所以8. 已知圆，动圆与圆内切并且经过定点，圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；【解】由已知得圆的圆心为，半径为；设圆的圆心为，半径为．因为圆经过定点，所以，又圆与圆内切，所以，所以．由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点的椭圆，，，椭圆方程为．(2)设过点的直线与曲线相交于，两点，当的面积最大时，求的方程．【解】当轴时，不符合题意，则可设．由得．由，得．设，，解方程得．因为直线与轴交于点，所以．设，则，．由均值不等式，得．当且仅当，即时等号成立．此时满足，且的最大值为．所以当的面积最大时，的方程为或．9. 如图所示，以原点为圆心的两个同心圆的半径分别为和，过原点的射线交大圆于点，交小圆于点在轴上的射影为．动点满足且．(1)求点的轨迹方程；【解】由且可知三点共线且．过点作，垂足为，设，因为，，由相似可知．因为在圆上，，即．所以点的轨迹方程为．(2)过点作斜率分别为，的直线，与点的轨迹分别交于，两点，．求证：直线过定点．【解】证明：设，，依题意，由，解得或．所以，，所以．因为，所以．用替代中的，同理可得．显然，关于原点对称，所以直线必过原点．10. 已知椭圆：的焦距为，且经过点．(1)求椭圆的方程；【解】依题意，，椭圆的焦点为，，，所以，椭圆的方程为(2)、的椭圆上两点，线段的垂直平分线经过，求面积的最大值（为坐标原点）．【解】根据椭圆的对称性，直线与轴不垂直，设直线：，由得，．设，，则，，，到直线的距离，的面积，依题意，，，，，代入整理得，，若，则，等号当且仅当时成立，若，则，，等号当且仅当，时成立．综上所述，面积的最大值为弦长与面积1. 椭圆的一个焦点为，过原点的直线交椭圆，两点，则的面积的最大值为．【答案】2. 已知，是椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，则直线的斜率为．【答案】3. 直线被椭圆截得的线段的中点横坐标为，则中点的纵坐标为．【答案】【分析】设直线与椭圆交于，两点．将直线方程代入椭圆方程消去得，所以．因为线段中点横坐标为，所以，得．所以线段中点纵坐标为．4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，，则．【答案】【分析】设，，由焦半径公式，得即设直线的方程为与抛物线方程联立，得则解得，所以方程变为解得于是5. 正方形的边在直线上，两点在抛物线上，则正方形的面积为．【答案】或【分析】设、所在直线方程为，代入，利用弦长公式可求出的长，利用的长等于两平行直线与间的距离，求出的值，再代入可求出的长，则面积可求．6. 已知大西北某荒漠上，两点相距千米，现准备在荒漠上围垦出一片以为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园．按照规划，围墙总长为千米：(1)试建立适当的平面直角坐标系，求四边形另两个顶点的轨迹方程；【解】设四边形另两个顶点为，，则．即．则顶点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（长轴顶点除外）．以的中点为原点，以所在直线为轴，建立坐标系．设椭圆方程为，则，，从而．所以椭圆方程为．(2)该荒漠上有一条直线形小溪刚好通过点，且与成角．现要对整条小溪进行改造，但考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今后将重新设计改造，因此对该部分暂不改造．问暂不改造的部分有多长？【解】即求：被椭圆截得的线段长．设与椭圆交于，两点．由得，则，所以．7. 已知椭圆，以点为中点的弦为，求弦的长度．【解】设，．由中点的坐标为，得由得，则，所以直线的方程为，即，代入椭圆方程整理，得，则从而8. 已知双曲线，它的弦的长是实轴长的倍，如果弦所在的直线过点，求直线的方程．【解】设的方程为，有消去并整理，得．设，，则，．因为，所以．即，．解得．当时，中，符合题意，所以；当不存在时，，符合题意．故的方程为或．9. 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．(1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；【答案】【分析】本小问考察双曲线的对称性．【解】根据题意，通径与焦距的比为，即，从而解得，进而双曲线的渐近线方程为．(2)设，若的斜率存在，且，求的斜率．【答案】【分析】本小问是一个典型的焦点弦长问题，用“焦半径公式”即可轻松解决．【解】当时，双曲线的方程为，其焦距．设为双曲线右支上一点，则，在中应用余弦定理有代入数据整理得类似地，当为双曲线左支上一点时，有（推导中用到：[a]）因此设直线的倾斜角为，则整理得，因此直线的斜率为．10. 设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆与轴的一个交点坐标为．(1)求椭圆的方程；【解】由双曲线的离心率为，又由椭圆与轴的一个交点坐标为，得．由解得所以椭圆的方程为．(2)若直线交椭圆与，两点，椭圆上一点，求面积的最大值．【解】由得．由，得．设，，则，．又到的距离为，则当且仅当，即时等号成立．因此．直线与圆锥曲线的位置关系1. 直线与双曲线有且仅有一个公共点，则．【答案】或【分析】由得．当，即时，方程有唯一解，满足题意．当时，，即，此时方程有唯一解，满足题意．2. 过点引抛物线的一条弦，且被点平分，则此弦所在的直线方程为．【答案】3. 直线截椭圆所得弦的中点与椭圆中心连线所在的直线方程为．【答案】4. 直线与抛物线仅有一个公共点，则．【答案】5. 如果是椭圆的任意一条与轴不垂直的弦，为椭圆的中心，为椭圆的离心率，为的中点，那么的值为．【答案】6. 在直角坐标系中，曲线上的点到两定点，的距离之和等于，直线与交于两点，若，求的值．【解】由椭圆定义可知，曲线是以，为焦点，长半轴为的椭圆，它的短半轴，故曲线的方程为．设，其坐标满足消去并整理得，由题意符合，故．若，即，而于是，化简得，所以．7. 设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点，为抛物线的焦点，求的值．【解】直线的方程为，显然．由得．因为直线与抛物线相切，所以，所以．所以直线的方程为．令，得，所以．设切点坐标为，则，解得．由题意得，则8. 已知两点，，曲线上的动点满足．(1)求曲线的方程；【解】依题意，，且，所以曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆．设椭圆的方程为，其半焦距长为．因为，，，所以曲线的方程为．(2)设曲线的方程为，当和有四个不同的交点时，求实数的取值范围．【解】因为曲线的方程为，所以当，时，曲线的方程可化为；所以当，时，曲线的方程可化为；所以当，时，曲线的方程可化为；所以当，时，曲线的方程可化为．所以曲线是以，，，四个点为顶点的正方形．因为曲线和有四个不同的交点，且曲线，均是关于轴，轴对称的曲线，所以曲线与有且仅有一个交点．所以方程组有且仅有一组解．即关于的方程在区间内有且仅有一个实数根．设．情形①解得．情形②解得．所以实数的取值范围是或．9. 在平面直角坐标系中，曲线上的点到两定点，的距离之和等于，直线与交于，两点，若，求的值．【解】由椭圆定义可知，曲线是以，为焦点，长半轴长为的椭圆，它的短半轴，故曲线的方程为．设，，其坐标满足：消去并整理得，由题意符合，故，．若，即．而，于是，化简得，所以．10. 已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点．(1)求椭圆的方程；【解】依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有解得又，所以故椭圆的方程为．(2)是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解】假设存在符合题意的直线，其方程为，由得因为直线与椭圆有公共点，所以有解得另一方面，由直线与的距离可得解得由于所以符合题意的直线不存在．动态圆锥曲线问题的参数求解1. 已知抛物线与过点的直线交于，两点．若，则实数的值为．【答案】2. 椭圆的内接正方形的周长为．【答案】3. 直线交抛物线于，两点，为抛物线的顶点，若，则．【答案】4. 已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点，关于直线对称，则实数的取值范围是．【答案】【分析】设椭圆上两点、关于直线对称，的中点为，则，．两式相减得：即．所以所以，代入直线得因为在椭圆内部，所以，解得：．5. 已知点在抛物线的准线上，点在抛物线上，且位于轴的两侧，是坐标原点，若，则点到动直线的最大距离为．【答案】【分析】由已知可求得，设，由（\overrightarrow {OM} \cdot\overrightarrow {ON} = 3\)可得又因为，代入式解得，设动直线方程为把方程与抛物线方程联立解得，故过定点，从而到动直线的最大距离为到定点的距离．6. 如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，且圆的面积为．椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别是点，．(1)求椭圆的方程；【解】由题意得：，则，所以椭圆方程为：．(2)求面积最大时直线的方程．【解】由题意得：直线，的斜率存在且不为，，不妨设直线的斜率为，则．由：得：或所以：．同理得：，．由得：，所以：．所以：．设，则．当且仅当时取等号，所以．则直线，所以所求直线方程为：．7. 已知，是椭圆的两个焦点，为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与椭圆交于不同的两点，．(1)求和的关系式【解】由与直线相切，得，即．(2)当，且时，求直线的倾斜角的取值范围．【解】由得．由，得．设，，则，．所以由，得，解得，即，故直线倾斜角的取值范围为．8. 一条斜率为的直线与离心率为的椭圆交于，两点，直线与轴交于点，且，，求直线和椭圆的方程．【解】由，得，即，则椭圆方程变为．设的方程为．由消去并整理，得．由与椭圆交于两点，得，即．设，，则．．由，得．而，所以．将代入上式，得，化简，得．由及，得，从而．由，得．联立，解得，，适合（）．因此，直线方程为或；椭圆的方程为．9. 已知中心在原点的椭圆：的一个焦点为，为椭圆上一点，的面积为．(1)求椭圆的方程；【解】因为椭圆的焦点为，所以，则椭圆的方程为．因为椭圆上一点，的面积为．所以，所以，所以．代入椭圆的方程，可得．所以，所以，所以椭圆的方程为．(2)是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解】假设存在符合题意的直线存在，设直线方程为，代入椭圆方程，消去，可得．设，，则，，因为以线段为直径的圆恰好经过原点，所以所以．所以．所以．所以此时所以直线方程为．10. 设，是抛物线上相异两点，并且，交轴于点：(1)若点，到轴距离之积为，求的值；【解】设，，由得．又，，代入上式得，即，所以．(2)若为常数，在轴上是否存在异于点的点，交抛物线另一个交点为，交轴于，使？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【解】假设存在点满足条件，设，，，，直线方程为，与联立得，因此．记，同上面做法可得．故．记，由有，可得．所以．由（1）知得，所以，．从而存在点满足条件．动态圆锥曲线问题的性质证明1. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于，与的一个交点为，若，则．【答案】【分析】直线，代入，得，又，所以，解得，即，（舍去）．2. 已知直线过点，且与抛物线交于、两点，则．【答案】【解】由题可设直线的方程为，与抛物线联立，得，得，．3. 已知抛物线，过定点作一弦，则．【答案】【分析】直线的斜率不存在时，的方程为，代入，解得、从而直线的斜率存在时，设的方程为，代入中，消去得设，，则则有从而综上，．4. 设，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，过原点的直线与椭圆相交于两点，且直线的斜率都存在，并记为，试证明为定值．【解】因为直线与椭圆的两个交点，关于坐标原点对称，所以设，，，于是有，两式相减得，即．又，，所以．故的值为一定值．5. 如图，，，是长轴长为的椭圆上的三点，是长轴一个端点，过椭圆中心，且，．(1)求这个椭圆方程；【解】以中点为原点，直线为轴建立直角坐标系，则，又因为，，从而为等腰直角三角形，点坐标为．设椭圆方程为，代入得，所以椭圆方程为．(2)若，是椭圆上两点，的平分线垂直，求证：存在，使得．【解】因为，由，，设，所以直线方程为．与椭圆联立，消，有，从而，．同理直线方程为，且有．又因为，，所以．因此，故，使．6. 如图，过椭圆外的一点作直线交椭圆于，两点，设关于轴的对称点为，且交轴于点：(1)若，求证：；【解】设，，则，．由有，所以又因为，，因此由上式即可得到．(2)若，，求点坐标．【解】由（1）知，且．所以，即．因此．因为，，，消去，得．因此得，由可得．从而点坐标为．7. 如图所示，曲线是以原点为中心、，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的一个交点，且为钝角．若，．(1)求曲线和的所在的椭圆和抛物线的方程；【解】设椭圆的方程为，由椭圆的定义得．设，，，则相减得．由抛物线的定义得，从而可得，或，（舍），则所求椭圆方程为，抛物线方程为．(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线和依次交于，，，（从上到下）四点，若为的中点、为的中点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【解】设，，，，直线，代入椭圆，得，所以，．同理可代入抛物线，得，所以，．所以为定值．8. 如图，设为抛物线上的动点．过点做圆的两条切线，交直线于，两点．(1)求的圆心到抛物线准线的距离．【解】由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心到抛物线准线的距离为(2)是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解】设点的坐标为，抛物线在点处的切线交直线于点．再设，，的横坐标分别为，，．过点的抛物线的切线方程为：当时，过点与圆的切线为：可得因为，所以设切线，的斜率为，，则将分别代入①，②，③，得从而又，即同理所以是方程的两个不相等的根，从而因为，所以即．从而进而得，．综上所述，存在点满足题意，点的坐标为课后练习1. 过椭圆的一个焦点，倾斜角为的弦的长为．2. 抛物线的弦长为，则中点的横坐标的最小值为．3. 斜率为的直线与椭圆交于，两点，若弦长｜｜＝，则｜｜．4. 椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作直线的垂线分别交椭圆，轴于，两点．若，则实数的值为．5. 在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接，若，则椭圆的离心率．6. 倾斜角为的直线过抛物线的焦点，并且交抛物线于两点，则弦的长为．7. 若直线被曲线截得的线段长为，则实数的值是．8. 与椭圆截得的弦长为．9. 以为中点的抛物线的弦所在直线方程为．10. 椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是．11. 如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点，，，，则的值是．12. 过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条．13. 已知椭圆，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，若为线段的中点，则．14. 设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，则的值为．15. 直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为，，，，则的值为．（提示：由抛物线的定义，知，即）16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则．17. 已知曲线且与直线相交于，两点，且（为原点），则的值为．18. 抛物线上两点关于直线对称，且，则等于．19. 已知斜率为的直线与抛物线交于位于轴上方的不同两点，，记直线，的斜率分别为，，则的取值范围是．20. 已知过点的动直线与抛物线交于两点，为原点，点满足，则线段长度的最小值为．21. 已知斜率为的直线与抛物线相交于，两点，如果线段的长等于，求直线的方程．22. 已知双曲线的离心率，过，的直线到原点的距离是．(1)求双曲线的方程；(2)已知直线交双曲线于不同的点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值．23. 如图，已知抛物线：经过点，过作倾斜角互补的两条不同直线，．(1)求抛物线的方程及准线方程；(2)设直线，分别交抛物线于，两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程．24. 求直线与曲线的交点．25. 双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，以为直径的圆为，直线与相切，并与双曲线交于，两点．(1)求出与的关系；(2)向量在方向上的投影为，当时，求直线的方程．26. 已知直线交抛物线于，两点，且的中点的横坐标为，求弦的长．27. 如图，设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，，的面积为，求该椭圆的标准方程．28. 已知、两点在以为右焦点的椭圆上，斜率为的直线与椭圆交于点（在直线的两侧）．(1)求椭圆的方程；(2)求四边形面积的最大值．29. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，，且的中点的纵坐标为，求的值．30. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．(1)求椭圆的方程；(2)求的面积．31. 过点的直线交双曲线于，两点，若为弦的中点，求直线的方程．32. 过点的直线与双曲线相交于，两点，如果，其中为坐标原点，求直线的方程．33. 已知抛物线的准线方程是，直线与抛物线相交于，两点．(1)求抛物线的方程；(2)设为坐标原点，证明：．34. 在直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连接并延长交于点．(1)求；(2)除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．35. 过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．(1)当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；(2)当点异于点时，求证：为定值．36. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以椭圆上的点为圆心，为半径作圆，当圆与直线有公共点时，求面积的最大值．37. 直线与双曲线相交于，两点，当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点？38. 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆相切的直线：交椭圆于，两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．39. 如图，动点与两定点构成，且直线的斜率之积为．设动点的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)设直线与轴相交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．40. 已知直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过椭圆的左焦点，求实数的值．41. 如图，曲线是以原点为中心，，为焦点的椭圆的一部分．曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线的一部分，，是曲线和的交点且为钝角，若，．(1)求曲线和的方程；(2)设点，是曲线所在抛物线上的两点（如图）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求该定点的坐标．42. 已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于，两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标，若不过点，请说明理由．43. 已知椭圆：，，分别为左，右焦点，离心率为，点在椭圆上且满足：，，过右焦点与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点．(1)求椭圆的方程；(2)在线段上是否存在点使得以线段，为邻边的四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．44. 已知点为双曲线（为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂足为，连接并延长交轴于．。

江苏省灌南高级中学高三数学直线与直线的位置关系复习导学案

江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：直线与直线的位置关系高考要求：B导学目标： 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自主梳理1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔_________________________________________________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2⇔__________________________________________________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程的________；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝______________________.(3)两平行线间的距离已知l 1、l 2是平行线，求l 1、l 2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________. 自我检测1．(2010·济宁模拟)若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数a 的值为________．2．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过的定点的坐标为________．3．已知直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则am bn＝－1是直线l 1⊥l 2的______________条件．4．(2009·上海)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．5．已知2x ＋y ＋5＝0，则x 2＋y 2的最小值是________.探究点一两直线的平行与垂直例1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值．变式迁移2 △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．探究点三距离问题例3已知点P(2，－1)．求：(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．。

高三数学一轮复习导学案65 直线与圆锥曲线(二)

学案直线与圆锥曲线(二)
一、课前准备：
【自主梳理】
．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦端点的坐标为(，)，
(，),直线的斜率为，则：｜｜或利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算．
．中点弦问题：点差法
设(，)，(，)是椭圆上不同的两点，
则：
对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．
【自我检测】
1．过点（，）作直线与抛物线＝只有一个公共点，这样的直线有条.
．已知双曲线：－，过点（，）作直线，使与有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有条.
．已知对∈，直线－－与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是.
．若双曲线－＝的右支上一点（，）到直线的距离为，则的值为.
．已知双曲线－＝，过（，）点作一直线交双曲线于、两点，并使为的中点，则直线的斜率为.
．双曲线－＝的左焦点为，点为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线的斜率的变化范围是.
二、课堂活动：
【例】填空题：已知椭圆，
（）则过点且被平分的弦所在直线的方程是；
（）则斜率为的平行弦的中点轨迹方程是；
（）过引椭圆的割线，则截得的弦的中点的轨迹方程是；
（）椭圆上有两点为原点，且有直线、斜率满足，则线段
中点的轨迹方程是．
【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆交于和，且⊥，，求椭圆方程。

江苏省灌南高级中学高三数学空间几何体复习导学案

【考点导读】1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

【基础练习】1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有条棱，个面；②如果它是棱柱，那么它有条棱个面。

2.（1）如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是。

（2）如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是图的（要求：把可能的图的序号都．填上）.【范例导析】例1．下列命题中，假命题是。

（选出所有可能的答案）（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体例2．C B A '''∆是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若C B A '''∆的面积为① ② ③ ④A BCD•••EF G3，那么△ABC的面积为_______________。

【反馈演练】。

1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是_______ 2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=_____。

3．在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图所示），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是_______。

江苏省灌南高级中学高三数学函数与方程复习导学案

江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：函数与方程考情分析预测回顾2008～2011年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，难度基础题、中档题、难题都有涉及．在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008和2009年考查了函数的基本性质，在2010和2011年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查．值得注意的是在2008～2011年的高考题中没有单独考查的内容有：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念．这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾．预计在2012年的高考题中， (1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用相关的考查，难度不一． (2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想的是考查的重点．备考策略(1)基本初等函数和函数的应用：掌握以基本初等函数或其组合为模型的函数基本性质(如单调性和奇偶性)研究的基本方法；掌握在对复杂函数的性质进行研究时，借助于函数图象研究和对函数解析式的简化处理(如还原法)的运用；掌握含有量词的命题的常规化归方法．(2)导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究，这是高考命制压轴题的一个考查点．专题一．函数的性质主要包括：单调性、奇偶性、周期性、值域． 2．单调性的研究(1)定义：单调递增函数满足：f x 1－f x 2x 1－x 2>0或f ′(x )>0，单调递减函数满足：f x 1－f x 2x 1－x 2<0或f ′(x )<0；(2)判断方法：定义法、图象法、导数法．复合函数y ＝f (g (x ))可用“同增异减”的法则判断．3.奇偶性的研究 (1)定义：①定义域关于原点对称；②奇函数f (x )＋f (－x )＝0；偶函数f (x )＝f (－x )；(2)判断方法：定义法、图象法、复合函数y ＝f (g (x ))可用“有偶则偶，无偶则奇”的判断法则．4．周期性定义及判断方法定义：f (x ＋T )＝f (x )恒成立，则T 为f (x )的一个周期． 5．值域求解常见思路定义域研究→函数解析式结构的研究→单调性研究→极值判定→比较大小→确定最值要点热点探究探究点一动态函数单调性的研究动态函数一般是指函数解析式中含有参数的函数，如y ＝x 2＋ax (x ∈[1,2])，参数取值会影响函数的性质和图象，需要分类进行研究．例1 已知函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝[f (x )－x 3]·e x，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．【解答】 (1)因为f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，从而f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3 ⎛⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1. (2)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x. 因为函数g (x )在区间[－3,2]上单调递增，等价于h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在[－3,2]上恒成立，只要h (2)≥0即可，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．【点评】 (1)含有参数的动态函数中若参数出现在函数的常数项，则不影响函数的单调性；(2)函数g (x )在[a ，b ]上单调递增，等价为g ′(x )≥0在[a ，b ]上恒成立．(3)在解决本题的第二问中，不难发现形如g (x )＝f (x )·e x或g (x )＝f xex再求导后，所得导函数方程与e x无关．探究点二函数单调性与奇偶性的综合运用函数性质中的奇偶性反映的是函数整体的性质，单调性反映的是函数局部的性质，故函数奇偶性与单调性结合在一起主要是考查对局部和整体的不同认识．例2 设a (0<a <1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (log a t )>0，则t 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ∪(0，a ) 【解析】因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图．当t >1时，因为0<a <1，所以log a t <0.由图象可得－12<log a t <0，解得1<t <1a；当0<t <1时，因为0<a <1，所以log a t >0.可得12<log a t ，解得0<t <a ，综上，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ∪(0，a )．【点评】 (1)函数的奇偶性对单调性的影响为：偶函数关于y 轴对称，故单调性相反；奇函数关于原点对称，故单调性不变． (2)对于抽象函数问题的研究，在得到函数的性质之后，可先画出抽象函数的“草图”，再根据图象来解决相关问题，比较直观，利于问题解决．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是________．c >a >b 【解析】令g (x )＝xf (x )，则由于f (x )是R 上的奇函数，所以g (x )为R 上的偶函数，又当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，即g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0成立，故当x ∈(－∞，0)时，g (x )单调递减，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又由于1<30.3<2，log π3∈(0,1)，log 319＝－2，所以g (－2)＝g (2)>g (30.3)>g (log π3)，即c >a >b .探究点三动态函数的值域求解动态函数值域的研究的基础是其单调性的研究，值域是作为单调性研究的一个应用而存在的．在这类问题处理时，也需要分类讨论思想．例3 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x (a 为实常数)．(1)若a ＝－2，求证：函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (2)求函数f (x )在[1，e]上的最小值及相应的x 值．【解答】 (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x .当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝x 2－x>0，故函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)f ′(x )＝2x 2＋ax，当x ∈[1，e]时，2x 2＋a ∈[a ＋2，a ＋2e 2]．若a ≥－2，f ′(x )在[1，e]上非负(仅当a ＝－2，x ＝1时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是增函数，此时[f (x )]min ＝f (1)＝1.若－2e 2<a <－2，当x ＝－a 2时，f ′(x )＝0；当1≤x <－a 2时，f ′(x )<0，此时f (x )是减函数；当－a2<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数．故[f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a 2. 若a ≤－2e 2，f ′(x )在[1，e]上非正(仅当a ＝－2e 2，x ＝e 时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是减函数，此时[f (x )]min ＝f (e)＝a ＋e 2.综上可知，当a ≥－2时，f (x )的最小值为1，相应的x 值为1；当－2e 2<a <－2时，f (x )的最小值为a 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a 2，相应的x 值为－a 2；当a ≤－2e 2时，f (x )的最小值为a ＋e 2，相应的x 值为e.【点评】一般地，在求动态函数的最值问题时，需要进行分类讨论．第一级讨论为讨论导函数方程根的个数问题；第二级讨论为讨论f ′(x )＝0根的个数与所给区间的关系；第三级讨论为极值与区间端点函数值大小比较．本题只涉前两级讨论．规律技巧提炼1．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点．单调性研究主要有：一是单调区间的求解；二是根据所给区间内函数的单调性求参数范围；三是应用单调性解不等式；四是用分类讨论的思想研究动态函数的单调性．2．函数的奇偶性和周期性在函数性质研究中是“配角”，它们所起到的共同作用是由部分而知整体．3．动态函数的性质的研究，首先应该观察参数的位置，然后再研究参数对函数性质的影响．在用分类讨论的思想时要注意做到不重不漏，多积累分类讨论的标准的制定依据．例 [2011·江苏卷] 已知a ，b 是实数，函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝x 2＋bx, f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数，若f ′(x )g ′(x )≥0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性一致．(1)设a >0，若f (x )和g (x )在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b 的取值范围； (2)设a <0且a ≠b ，若f (x )和g (x )在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b |的最大值．【分析】第一小问给出新定义，研究动态函数的单调性问题以及导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，属于中档题；第二小问中由于参数a ，b 大小关系不清楚，所以需要进行分类讨论，对于二元问题的处理可以用线性规划思想解决，属于难题．【解答】 f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2x ＋b .(1)由题意知f ′(x )g ′(x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立．因为a >0，故3x 2＋a >0，进而2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≥2.因此b 的取值范围是[2，＋∞)．(2)令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a3. 若b >0，由a <0得0∈(a ，b )．又因为f ′(0)g ′(0)＝ab <0，所以函数f (x )和g (x )在(a ，b )上不是单调性一致的．因此b ≤0.现设b ≤0.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－－a 3时，f ′(x )>0.因此当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－－a 3时，f ′(x )g ′(x )<0.故由题设得a ≥－－a3且b ≥－－a 3，从而－13≤a <0，于是－13≤b ≤0，因此|a －b |≤13，且当a ＝－13，b ＝0时等号成立．又当a ＝－13，b ＝0时，f ′(x )g ′(x )＝6x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－19，从而当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0时f ′(x )g ′(x )>0，故函数f (x )和g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0上单调性一致．因此|a －b |的最大值为13.已知定义域为D 的函数f (x )，如果对任意x ∈D ，存在正数K ，都有f (x )≤K |x |成立，那么称函数f (x )是D 上的“倍约束函数”．已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；③f (x )＝x －1；④f (x )＝xx 2－x ＋1.其中是“倍约束函数”的是________(写出所有满足要求的函数的序号)．①③④ 【解析】 ①当K ＝2时，2x ≤2|x |恒成立，故①是“倍约束函数”； ②当x ＝0时，f (0)＝2>K ×0，故不存在相应K ，使②为“倍约束函数”；③因为f x |x |＝x －1x 2＝－1x 2＋1x ≤14＝12，故存在K ≥12，满足题意； ④因为f x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 2－x ＋1x ，－1x 2－x ＋1x，所以f x |x |≤43，故存在K ≥43，满足题意．故符合条件的序号为①③④.专题二分段函数主干知识整合1．分段函数(1)分段函数定义：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数．(2)定义域：各段函数定义域的并集． (3)值域：各段函数值域的并集． 2．分段函数的常见问题(1)分段函数的图象．(2)分段函数的函数值．(3)分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可．(4)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇(偶)函数，再由x ＞0，－x ＜0，分别代入各段函数式计算f (x )与f (－x )的值，若有f (x )＝－f (－x )，当x ＝0有定义时f (0)＝0，则f (x )是奇函数；若有f (x )＝f (－x )，则f (x )是偶函数．要点热点探究探究点一分段函数的单调性分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分开说明单调性．例1 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋x 是R 上的单调递增．．函数，则实数a 的取值范围为________． [4,8) 【解析】因为f (x )是定义在R 上的增函数，故y ＝a x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2均为增函数，所以a >1且4－a2>0，即1<a <8. 又画出该分段函数图象，由图象可得，该函数还必须满足：a 1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×1＋2，即a ≥4.综上，a 的取值范围为4≤a <8.【点评】在处理分段函数的单调性时，易错在当每一段函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，还需要看分界点处的函数值的关系，如本题所给图象．探究点二分段函数的值域由于分段函数的值域为每一段函数值域的并集，所以分段函数的值域一般需要进行比较各段最值之间的大小关系后，才能明确．例2 已知函数f (x )＝x 2＋a |ln x －1|(a >0)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值； (2)当x ∈[1，＋∞)时，求f (x )的最小值．【解答】 (1)当a ＝1，x ∈[1，e]时，f (x )＝x 2－ln x ＋1，f ′(x )＝2x －1x≥f ′(1)＝1，所以f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )max ＝f (e)＝e 2. (2)①当x ≥e 时，f (x )＝x 2＋a ln x －a ，f ′(x )＝2x ＋a x，∵a >0，∴f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在[e ，＋∞]上为增函数，故当x ＝e 时，y min ＝f (e)＝e 2.②当1≤x <e 时，f (x )＝x 2－a ln x ＋a ，f ′(x )＝2x －a x ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2.(i)当a2≤1，即0<a ≤2时，f ′(x )在(1，e)上为正数，所以f (x )在区间[1，e)上为增函数，故当x ＝1时，y min ＝1＋a ，且此时f (1)<f (e)＝e 2； (ii)当1<a2<e ，即2<a <2e 2时，f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 2上小于0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，e 上大于0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，e 上为增函数，故当x ＝a 2时，y min ＝3a 2－a 2ln a 2，且此时f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2<f (e)＝e 2； (iii)当a2≥e，即a ≥2e 2时，f ′(x )在(1，e)上为负数，所以f (x )在(1，e)上为减函数，故当x ＝e 时，y min ＝f (e)＝e 2.综上所述，函数y ＝f (x )的最小值y min＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ，0<a ≤2，3a 2－a 2ln a2，2<a <2e 2，e 2，a ≥2e 2.【点评】一般地，含有绝对值符号的函数也是一种分段函数，如本题所给函数f (x )＝x 2＋a |ln x －1|，所以在研究其值域时，首先要通过分类讨论去掉其绝对值，再讨论每一段函数的单调性，最后再比较各段函数的最小值，从而求得函数的最小值．探究点三实际问题中的分段函数模型在函数的实际应用问题中经常出现分段函数的模型，在将题干中的文字语言转化为函数模型时，要注意不同情况下，所对应的不同函数模型．某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x4＋x ，6x －2x，当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的值．【解答】 (1)因为m ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ，24x －2x当0<x ≤4时，x ＋8≥4，显然符合题意；当x >4时，24x －2≥4⇒4<x ≤8.综上，0<x ≤8.所以自来水达到有效净化一共可持续8天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 4＋2mx ，6mx －2x知在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ，在区间(4,7]上单调递减，即6m 5≤y <3m ，所以6m5≤y ≤3m .为使4≤y ≤10恒成立，只要6m 5≥4且3m ≤10即可，即m ＝103.所以为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，投放的药剂质量m 应该为103.【点评】本题的实际应用题所给函数模型为分段函数模型，模型无需建立(变式题需要建立模型)，本题的难点所在是对“有效净化”和“最佳净化”这两个词语的转化．[2011·湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【解答】 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x <20，13－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x <20，13x －x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝100003. 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．规律技巧提炼1．分段函数在概念上的理解易出问题，会以为它是几个函数，要明确的是分段函数不论分几段，都是一个函数，只不过是每一个部分有着不同的解析式和图象．2．分段函数的函数值和相关不等式是高考的常考点，难度不大，如2010和2011年所考查的题．分段函数的单调性和值域以及实际问题中分段函数的模型是高考考查分段函数的重点，尤其是含参数的分段函数性质，此时用好分类讨论和数形结合这两个思想，会起到事半功倍的效果．3．分段函数的奇偶性很少考查，如有涉及，可画出分段函数的图象，转化为图象的对称性进行研究．例 [2011·江苏卷] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【答案】－34【解析】当a >0时，f (1－a )＝2－2a ＋a ＝－1－3a ＝f (1＋a )，a ＝－32<0，不成立；当a <0时，f (1－a )＝－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ＝f (1＋a )，a ＝－34.[ 2011·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A 【解析】由已知，得f (1)＝2；又当x >0时，f (x )＝2x>1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x >0.若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．(－2,1) 【解析】画出函数的图象，如下图所示，由图象可得，该函数是定义在R 上的增函数，故2－x >x ，解得－2<x <1. 专题三函数的切线主干知识整合1．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))的切线斜率． 2．函数的切线方程对于函数f (x )(可导函数)，其在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，其中切线斜率k ＝f ′(x 0)．3．公切线(1)定义：同时切于两条或两条以上曲线的直线，叫做曲线的公切线． (2)两个函数的公切线：y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)与y －g (x 2)＝g ′(x 2)(x －x 2)为同一直线．其中若切点为同一点P (x 0，f (x 0))，则⎩⎪⎨⎪⎧fx 0＝g x 0，f x 0＝g x 0要点热点探究探究点一公切线问题公切线问题是函数切线求解一个更深层次的问题，主要是求解两个函数图象与一条直线相切于同一个点的问题．例1 [2011·湖北卷] 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3. 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，得m <0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2. 对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0，又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0.于是当－14<m <0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 【点评】两个函数在同一点的公切线的方程求解，主要是解⎩⎪⎨⎪⎧f x 0＝g x 0，f x 0＝g x 0，但要注意如果切点不在同一点时，不可以用该方程组，而是需要求两次切线方程，并证明切线方程重合．设a >0，f (x )＝xx －a，g (x )＝e xf (x )(其中e 是自然对数的底数)，若曲线y ＝f (x )与y＝g (x )在x ＝0处有相同的切线，求公切线方程．【解答】 (1)f ′(x )＝－ax －a 2，g ′(x )＝e x[f (x )＋f ′(x )]＝x 2－ax －a x x －a 2.f ′(0)＝－1a ，g ′(0)＝－1a.又f (0)＝0，g (0)＝f (0)＝0.所以，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处有相同的切线y ＝－x a.探究点二切线条数的问题过一点作函数切线的条数问题，应该先求出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，然后再论证关于切点的方程的根的个数问题．例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，且在x ＝0处的切线的斜率为－ 3.(1)求f (x )的解析式；(2)若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．【解答】 (1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .依题意⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝3a ＋2b ＋c ＝0，f －＝3a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，3a ＋c ＝0.又f ′(0)＝－3，∴c ＝－3，∴a ＝1，∴f (x )＝x 3－3x .(2)设切点为(x 0，x 30－3x 0)，∵f ′(x )＝3x 2－3，∴f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，又切线过点A (2，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(2－x 0)，∴m ＝－2x 30＋6x 20－6.令g (x )＝－2x 3＋6x 2－6，则g ′(x )＝－6x 2＋12x ＝－6x (x －2)，由g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，g (x )极小值＝g (0)＝－6，g (x )极大值＝g (2)＝2，画出草图知，当－6<m <2时，m ＝－2x 3＋6x 2－6有三解，所以m 的取值范围是(－6,2)．【点评】本题中方程m ＝－2x 3＋6x 20－6的三个根判定的问题，需要借助于图形来进行研究，先求导研究函数g (x )＝－2x 3＋6x 2－6的性质，再求出极值，即可求出m 的范围探究点三与切线有关的多边形问题函数的切线与其他线，如坐标轴所围成图形的面积或者线段长度的最值问题是难点问题．例3 如图3－1，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．【解答】解法一：以O 建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC 的方程为 y ＝ax 2(0≤x ≤2)，∵点C 的坐标为(2,1)，∴22a ＝1，a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2(0≤x ≤2)，要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2(0<t <2)，∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝t2(x －t )，即y ＝12tx －14t 2.由此可求得E ⎝⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2. ∴|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14t 2－－＝1－14t 2， |BE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －14t 2－－＝－14t 2＋t ＋1. 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝－12(t －1)2＋52≤52，∴当t ＝1时，S (t )＝52，故S (t )的最大值为2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75. 答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y ＝ax 2＋1(0≤x ≤2)．∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a ＋1＝2，a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2＋1(0≤x ≤2)．要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2＋1(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2－1＝12t (x －t )，即y ＝12tx －14t 2＋1，由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2＋1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2＋1. ∴|AF |＝1－14t 2，|BE |＝－14t 2＋t ＋1，设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AB |·(|AF |＋|BE |)＝1－14t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋t ＋1＝－12t 2＋t ＋2 ＝－12(t －1)2＋52≤52.∴当t ＝1时，S (t )＝52，故S (t )的最大值为2.5.此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75. 答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5m 2.【点评】与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y ＝－x 3＋1上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为________．3324【解析】解法1：依题意设切点为(x 0，－x 30＋1)，易知x 0∈(0,1)，从而切线的斜率为k ＝－3x 20，切线方程为y －(－x 30＋1)＝－3x 20(x －x 0)⇒y ＝－3x 20x ＋2x 30＋1，从而可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 30＋13x 20，0，B (0,2x 30＋1)，所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12·(2x 30＋1)·2x 30＋13x 20＝4x 60＋4x 30＋16x 20＝23x 40＋23x 0＋16x 20，x 0∈(0,1)．记f (x )＝23x 4＋23x ＋16x2，x ∈(0,1)，则f ′(x )＝83x 3＋23－26x 3⇒f ′(x )＝8x 6＋2x 3－13x 3＝x 3＋x 3－3x 3. 又x ∈(0,1)，令f ′(x )＝0⇒4x 3－1＝0⇒x ＝314，易知f (x )在x ＝314时取得极小值且为最小值，所以当x 30＝14时有S △AOB 的最小值为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×14＋16×⎝⎛⎭⎪⎫3142＝3324.解法2：得到三角形的面积后可利用基本不等式S △AOB ＝12OA ·OB ＝12·(2x 30＋1)·2x 30＋13x 20＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 30＋1x 02＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 20＋12x 0＋12x 02≥16·⎝ ⎛⎭⎪⎫33122＝3324，当且仅当2x 20＝12x 0即x 30＝14时等号成立．规律技巧提炼1．函数切线的求解主要包括以下问题 (1)求函数在某一点的切线方程；(2)求两个函数在某一点处的公切线方程； (3)求过一点作函数的切线或切线条数的求解．这三个问题，主要还是先求出在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再进行相关论证．2．与切线有关的问题与切线有关的多边形的面积或长度的最值问题，切线方程求解不难，主要是建立函数后对所建立函数的研究，难度会因为所建函数不同而不同．例 [2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．【分析】高考在考查函数切线问题时，主要是以切线为背景函数的其他知识，如2011年与切线有关的两点纵坐标差的最值问题研究，属于难题．【答案】 4【解析】设直线为y ＝kx (k >0)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x⇒x 2＝2k，y 2＝k 2x 2＝2k ，所以PQ ＝2OP＝x 2＋y 2＝22k＋2k ≥224＝4.设曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝(1－x )e －x在点B (x 0，y 2)处的切线为l 2，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 【解析】依题意由y ＝(ax －1)e x ，得y ′＝a e x ＋(ax －1)e x ＝(ax ＋a －1)e x ，所以kl 1＝(ax 0＋a －1)e x 0.由y ＝(1－x )e －x＝1－x e x ，得y ′＝－e x －－x xx 2＝x －2e x ，所以kl 2＝x 0－2e x 0.因为l 1⊥l 2，所以kl 1·kl 2＝－1，即(ax 0＋a －1)e x 0·x 0－2e x 0＝－1，即(ax 0＋a －1)·(x 0－2)＝－1，从而a ＝x 0－3x 20－x 0－2，其中x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 令f (x )＝x －3x 2－x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32，则f ′(x )＝－x －x －x 2－x －2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又因为f (0)＝32，f (1)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝65，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32. 专题四函数的零点主干知识整合1．函数的零点：使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． (1)函数的零点⇔方程的根；(2)零点存在理论：在区间[a ，b ]上连续；f (a )·f (b )<0. 2．常见求解方法(1)直接解方程，如一元二次方程； (2)用二分法求方程的近似解； (3)一元二次方程实根分布规律；(4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点．画出y ＝f (x )图象可用到以下方法： ①用图象变换法则画复杂函数图象；②用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如y ＝ln xx；③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程e xln x ＝1，转化为y ＝ln x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； ④如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为m ＝g (x )，再画y ＝g (x )与y ＝m (常数函数)的图象．要点热点探究探究点一用零点存在定理判断函数零点零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法．只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值．例 1 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20112011，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a <b ，a ，b ∈Z)内，则b －a 的最小值为________．【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3. 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.9 【解析】由F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)可知，函数F (x )的零点即为f (x ＋3)的零点或g (x －3)的零点．f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010，当x >－1时，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010＝1＋x 20111＋x>0成立，f ′(－1)＝2011>0；当x <－1时，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010＝1＋x 20111＋x>0也成立，即f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010>0恒成立，所以f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011在R 上单调递增．f (0)＝1，f (－1)＝(1－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12010－12011<0， f (x )的惟一零点在[－1,0]内，即f (x ＋3)的惟一零点在[－4，－3]内．同理，g (x －3)的惟一零点在[4,5]内，因此b ＝5，a ＝－4，b －a ＝9.可知a<0(2)设t＝f(x)，则原方程即化为t2＋at＋b＝0，由t＝f(x)图象如下：可得：当t＝1时，有三解，当>0且≠1时，有两解．又t1＋t2＝－a，所以当t1＝1，t2∈(0,1)∪(1，＋∞)时，原方程有5个解，即a∈(－∞，－2)∪(－2，－1)．【点评】 (1)和(2)中的方程根都不能够解出，所以用图象进行研究比较简单．第(1)题中直接画题干所给的三个函数的图象不容易，故转化为两个较为简单函数，再画图象可以判断零点大小；第(2)题中是一个符合的方程，需要进行换元，分两步进行研究，一是t＝f(x)；二是t2＋at＋b＝0.探究点三不定方程的根的判断所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组．常见问题有：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的个数．例3 设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．{0,3,14,30} 【解析】原命题等价为f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10＝0有整根，即方程m ＝2x ＋1010－x ＋1有整数解．因为m ∈N ，所以2x ＋10≥0，且10－x ≥0，所以x ∈[－5,10]，且x ∈Z ，又10－x ∈Z ，当x ＝－5时，m ＝0；当x ＝1时，m ＝3；当x ＝6时，m ＝223(舍去)；当x ＝9时，m ＝14；当x ＝10时，m ＝30.【点评】含有参数的方程整数解的问题，可以考虑将参数和未知数x 分离，再利用整除(有理、奇偶、约数)来得到参数和未知数的特征，通过逐一代入得到结果．探究点四含参数的方程根的问题含有参数的方程根的问题，随着参数取值不同，方程根的个数不同，所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解决．例4 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)讨论方程f (x )＝0的解的个数，并说明理由．【解答】 (1)因为f ′(x )＝x －a x(x >0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln2＝2＋b ，2－a2＝1，解得：a ＝2，b ＝－2ln2.(2)当a ＝0时，f (x )在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解；当a <0时，f ′(x )＝x －ax>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数．∵f (1)＝12>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1a ＝12e 2a－1<0，所以方程有惟一解；当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －ax，因为当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a )内为减函数；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)内为增函数．所以当x ＝a 时，f (x )有极小值即为最小值f (a )＝12a －a ln a ＝12a (1－ln a )，当a ∈(0，e)时，f (a )＝12a (1－ln a )>0，此方程无解；当a ＝e 时，f (a )＝12a (1－ln a )＝0.此方程有惟一解x ＝a ，当a ∈(e ，＋∞)时，f (a )＝12a (1－ln a )<0，。

直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案

①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。

③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。

①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。

①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。

直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。

该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。

该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。

点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。

直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。

求参数的取值范围。

根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。

指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。

<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。

②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。

联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。

(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。

江苏省灌南高级中学高三数学曲线与方程复习导学案

高考要求：A导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应法则．自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标；(2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}；(3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0；(4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．基础检测变式训练1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式训练2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．例3过定点A (a ，b )任作互相垂直的两直线l 1与l 2，且l 1与x 轴交于点M ，l 2与y 轴交于点N ，如图所示，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．变式训练3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．。

灌南高级中学高三数学复习导学案：直线的方程1

1 学习目标：理解直线的倾斜角、斜率的意义及相互关系，掌握直线的斜率公式及运用
自主梳理：
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转过的正角称为这条直线的倾斜角．
②直线的倾斜角α的范围为 .
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. （3）直线的倾斜角α与斜率k 的关系式
例2.已知点2(1,)A a 、3(,)4
B a ，(1)求过点A 、B 的直线斜率，（ 2）求直线AB 的倾斜角的范围，。

江苏省灌南高级中学高三数学直线方程复习导学案

江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：直线方程
高考要求：C 级学习目标：⑴了解两个独立条件确定一条直线，掌握直线方程的截距式，斜截式，掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式，并会求直线方程的一般式。

⑵能灵活运用直线方程的五种形式求直线的方程
自主梳理
基础检测
见导航134页典型例题
例1 见导航135页例1
变式训练1 已知直线m 过点A(-2,1)，分别求m 的方程：
（1）倾斜角的正弦值为5
4；（2）B （-1，-2），C （-3,6）到m 的距离相等；
（3）在x 轴上的截距为y 轴上的两倍；（4）B （-1，-2）到m 的距离为1.
例2 见导航135页例2
例3 见导航135页例3
变式训练2 过点P （2，1）作直线m 交x 轴、y 轴正半轴分别于A ，B ，分别求m 的方程（1）ABO s ∆最小；（2）B A 00+最小；（3）6=PB PA。

高中高三数学《直线和圆锥曲线的参数方程》教案、教学设计

（二）教学设想
1.针对重点内容，采用以下教学策略：
（1）通过直观的动态演示，帮助学生理解参数方程的几何意义，增强直观感知；
（2）设计具有层次性的例题和练习，逐步引导学生掌握参数方程的应用；
（3）结合实际情境，激发学生探究参数方程的兴趣，提高学习积极性。
2.针对难点内容，采用以下教学策略：
（1）以小组合作的形式，让学生在讨论和交流中，共同探讨参数方程的推导过程，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力；
高中高三数学《直线和圆锥曲线的参数方程》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本章节主要围绕“直线和圆锥曲线的参数方程”展开，使学生掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握直线、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程；
2.学会运用参数方程解决直线和圆锥曲线的相关问题；
3.能够运用坐标系和参数方程描述直线和圆锥曲线的运动变化；
（8）教学评价：通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生的学习情况，及时调整教学策略。
4.关注学生个体差异，实施差异化教学：
（1）针对基础薄弱的学生，加强基础知识的学习，提高其学习信心；
（2）针对学有余力的学生，适当拓展课外知识，培养其创新能力和数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以生活中的实例导入，如一颗行星在椭圆轨道上绕太阳运动，引导学生思考如何描述行星的运动轨迹。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
（1）直线和圆锥曲线参数方程的推导过程；
（2）参数方程与普通方程互化的方法；
（3）如何运用参数方程解决实际问题。
2.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，引导学生深入探讨参数方程的内涵和实际应用。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《直线与圆锥曲线》含答案

第九节圆锥曲线的综合问题知识点一直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有3条．解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．已知直线y ＝x ＋m 被椭圆4x 2＋y 2＝1截得的弦长为225，则m 的值为±1.解析：把直线y ＝x ＋m 代入椭圆方程得4x 2＋(x ＋m )2＝1，即5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，设该直线与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0的两根，Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝－16m 2＋20>0，即m 2<54.由韦达定理可得x 1＋x 2＝－2m5，x 1·x 2＝m 2－15，所以|AB |＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·4m 225－4m 2－45＝225，所以m ＝±1.3．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是2x＋4y －3＝0.解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1. ∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. (x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12，即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广，归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值； 2．利用三角函数有界性求最值； 3．数形结合利用几何性质求最值．4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( C )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.知识点三圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．5．设a>0为常数，动点M(x，y)(y≠0)分别与两定点F1(－a，0)，F2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为(A)A．2 B．－2C．3 D. 3解析：轨迹方程为yx＋a·yx－a＝λ，整理，得x2a2－y2λa2＝1(λ>0)，c2＝a2(1＋λ)，1＋λ＝c2a2＝3.λ＝2，故选A.1．中点弦问题的常用方法(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．2．弦长问题有两种形式①|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； ②|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].其中第二种形式应用比较巧妙．直线方程可设为x ＝my ＋n 的形式，这样可以有效避免直线斜率不存在的讨论，但也要注意斜率为0的特殊情况．第1课时最值、范围、证明问题考向一最值问题方向1 利用几何性质求最值【例1】已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522＋2 B.522＋1 C.522－2D.522－1【解析】如图，过点P 作P A ⊥l 于点A ，作PB ⊥y 轴于点B ，PB 的延长线交准线x ＝－1于点C ，连接PF ，根据抛物线的定义得|P A |＋|PC |＝|P A |＋|PF |.∵P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2， ∴d 1＋d 2＝|P A |＋|PB |＝(|P A |＋|PC |)－1 ＝(|P A |＋|PF |)－1.根据平面几何知识，可得当P ，A ，F 三点共线时，P A ＋PF 有最小值． ∵F (1,0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为|1－0＋4|2＝522，∴|P A |＋|PF |的最小值是522，由此可得d 1＋d 2的最小值为522－1. 【答案】 D方向2 利用函数、不等式求最值【例2】 (2019·福建模拟)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)设P (2,0)，过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于A ，B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式P A →·PB →≤λ(λ∈R )恒成立，求λ的最小值．【解】(1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆Γ的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴P A →·PB →＝(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2)＝(x 1－2)·(x 2－2)＋y 1y 2，当直线l 垂直于x 轴时，x 1＝x 2＝－1，y 1＝－y 2且y 21＝12，此时P A→＝(－3，y 1)，PB →＝(－3，y 2)＝(－3，－y 1)，∴P A →·PB →＝(－3)2－y 21＝172.当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l ：y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，∴P A →·PB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－2)(x 1＋x 2)＋4＋k 2＝(1＋k 2)·2k 2－21＋2k 2－(k 2－2)·4k 21＋2k 2＋4＋k 2＝17k 2＋22k 2＋1＝172－132(2k 2＋1)<172，要使不等式P A →·PB →≤λ(λ∈R )恒成立，只需λ≥(P A →·PB →)max ＝172，即λ的最小值为172.最值问题的两种常见解法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．1．(方向1)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为2 2.解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.2．(方向2)(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A 14y 21，y 1，B 14y 22，y 2.因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0).因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]．因此，△PAB 面积的取值范围是62，15104.考向二范围问题【例3】 (2019·福建龙岩质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为M .已知点N (1,0)，且T 为圆M 上的动点，线段TN 的垂直平分线交TM 于点P .(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为曲线C 1，抛物线C 2：y 2＝2px 的焦点为N .l 1，l 2是过点N 互相垂直的两条直线，直线l 1与曲线C 1交于A ，C 两点，直线l 2与曲线C 2交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．【解】 (1)∵P 为线段TN 垂直平分线上一点， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PT |＝|TM |＝4， ∵M (－1,0)，N (1,0)，∵4>|MN |＝2，∴P 的轨迹是以M (－1,0)，N (1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，它的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵y 2＝2px 的焦点为(1,0)， C 2的方程为y 2＝4x ，当直线l 1斜率不存在时，l 2与C 2只有一个交点，不合题意．当直线l 1斜率为0时，可求得|AC |＝4，|BD |＝4， ∴S 四边形ABCD ＝12·|AC |·|BD |＝8. 当直线l 1斜率存在且不为0时，方程可设为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(1＋k 2)3＋4k 2.直线l 2的方程为y ＝－1k (x －1)与y 2＝4x 联立可得x 2－(2＋4k 2)x ＋1＝0，设B (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|BD |＝x 3＋x 4＋2＝4＋4k 2， ∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC ||BD |＝12(4＋4k 2)·12(1＋k 2)3＋4k 2＝24(1＋k 2)23＋4k 2.令3＋4k 2＝t ，则k 2＝t －34(t >3)，S (t )＝24⎝⎛⎭⎪⎫1＋t －342t＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2， ∴S (t )在(3，＋∞)是增函数，S (t )>S (3)＝8，综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[8，＋∞)．解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ， ∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)得M (1，32)，∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)， ∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋23x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k 2－1)>0， ∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，∴λ＝45(1＋13＋4k 2)， ∵k 2>14，∴45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[45，1)．考向三证明问题【例4】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，O 为坐标原点，直线AB (不垂直于x 轴)过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为－p .(1)求抛物线C 的方程；(2)若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：|OD ||OM |>2.【解】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB (不垂直于x 轴)的方程可设为y ＝kx －p2(k ≠0)．∵直线AB 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，∴y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. ∵直线OA 与OB 的斜率之积为－p ，∴y 1y 2x 1x 2＝－p ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 2x 1x 22＝p 2，得x 1x 2＝4.由⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p24＝0，其中Δ＝(k 2p ＋2p )2－k 2p 2k 2>0， ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24， ∴p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x . (2)证明：设M (x 0，y 0)，D (x 3，y 3)， ∵M 为线段AB 的中点，∴x 0＝12(x 1＋x 2)＝k 2p ＋2p 2k 2＝2(k 2＋2)k 2，y 0＝k (x 0－2)＝4k ，∴直线OD 的斜率k OD ＝y 0x 0＝2kk 2＋2，∴直线OD 的方程为y ＝2kk 2＋2x ，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 3＝2(k 2＋2)2k 2，∴x 3x 0＝k 2＋2，∵k 2>0，∴|OD ||OM |＝x 3x 0＝k 2＋2>2.圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点B 是椭圆C 的上顶点，点Q 在椭圆C 上(异于B 点)．(1)若椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫－3，22，求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆C 交于B ，P 两点，以线段PQ 为直径的圆过点B ，证明：存在k ∈R ，使得|BP ||BQ |＝12.解：(1)依题意得c a ＝22，3a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：由椭圆的对称性，不妨假设存在k >0，使得|BP ||BQ |＝12. 由题意得a 2＝2b 2，则椭圆C ：x 22b 2＋y 2b 2＝1，联立直线l 与椭圆C 的方程可得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＝0，解得x P ＝－4kb1＋2k 2，所以|BP |＝1＋k 2×4kb1＋2k 2，因为BP ⊥BQ ，所以|BQ |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2×4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k b1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＝1＋k 2×4bk 2＋2，因为|BP ||BQ |＝12，所以21＋k 2×4kb 1＋2k 2＝1＋k 2×4bk 2＋2，即2k 3－2k 2＋4k －1＝0. 记f (x )＝2x 3－2x 2＋4x －1，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，所以函数f (x )存在零点，所以存在k ∈R ，使得|BP ||BQ |＝12.第2课时定点、定值、探究性问题考向一定点问题【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．【解】 (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆必过P 3，P 4两点，又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．将点P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎪⎫－1，32的坐标代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：①当直线l 斜率不存在时，设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，kP 2A ＋kP 2B ＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2m ＝－1，得m ＝2.此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋b (b ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2－4＝0，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1·x 2＝4b 2－41＋4k 2，则kP 2A ＋kP 2B ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2(kx 1＋b )－x 2＋x 1(kx 2＋b )－x 1x 1x2＝2kx 1x 2＋b (x 1＋x 2)－(x 1＋x 2)x 1x2＝8kb 2－8k －8kb 2＋8kb1＋4k 24b 2－41＋4k 2＝8k (b －1)4(b ＋1)(b －1)＝－1.又∵b ≠1，∴b ＝－2k －1，此时Δ＝－64k ，存在k 使得Δ>0成立． ∴直线l 的方程为y ＝kx －2k －1，即y ＝k (x －2)－1.当x ＝2时，y ＝－1，所以l 过定点(2，－1)．解决圆锥曲线中定点问题的基本思路(1)把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式(这里把常量k 当作未知数)．(2)既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于0，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，即⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.(3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0的点(x 0，y 0)为直线或曲线所过的定点．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝12，过F 2作与x 轴垂直的直线交椭圆C 于A ，B 两点，△F 1AB 的面积为3，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)以椭圆C 的右焦点F 2为焦点．(1)求抛物线E 的方程；(2)如图，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，t (t ≠0)为抛物线E 的准线上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点M ，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．解：(1)设F 2(c,0)(c >0)，令x ＝c 代入椭圆C 的方程有：|y A |＝b 2a ， ∵e ＝12，∴a ＝2c .∴S △F 1AB ＝12×2c ×2|y A |＝3.∴b 2＝3，由a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1.∴p ＝2. 故抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：由(1)知：P (－1，t )(t ≠0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t .直线PO 的方程为y ＝－tx ，代入抛物线E 的方程有N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2，－4t . 当t 2≠4时，k MN ＝t ＋4tt 24－4t2＝4tt 2－4，∴直线MN 的方程为y －t ＝4t t 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 24，即y ＝4tt 2－4(x －1)．∴此时直线MN 过定点(1,0)．当t 2＝4时，直线MN 的方程为x ＝1，此时仍过点(1,0)，即证直线MN 过定点．考向二定值问题【例2】 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)．过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．【解】 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1. 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2. 直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2 ＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2 ＝1k －1·2k2＋2k －4k 21k 2＝2. 所以1λ＋1μ为定值．圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：其解题流程为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程．(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．解：(1)因为e＝32＝ca，所以a ＝23c ，b ＝13c . 代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1. 由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．考向三探究性问题【例3】如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1，又∵AF →·FB →＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1.∴a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)，∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， x 1＋x 2＝－43m ，x 1x 2＝2m 2－23. ∵MP →·FQ →＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0. 即2·2m 2－23－4m3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，当m ＝1时，M ，P ，Q 三点不能构成三角形，不符合条件，故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，直线l 的方程为y ＝x －43.解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)＝144－3t 2≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4，可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．。

高三数学直线与圆锥曲线(二)复习学案文苏教版

2013届高三数学（文）复习学案：直线与圆锥曲线(二)一、课前准备：【自主梳理】1．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB 端点的坐标为A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2),直线AB 的斜率为k ，则：｜AB ｜=____________或____________利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 2．中点弦问题：点差法设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，则：________________________________________________________________________________________________对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．【自我检测】1．过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有____________条.2．已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有_____________条.3．已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是_____________.4．若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为_______.5．已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.6．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是___________________.二、课堂活动：【例1】填空题：已知椭圆2212x y +=，（1）则过点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭且被P 平分的弦所在直线的方程是______________；（2）则斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是______________；（3）过(2,1)A 引椭圆的割线，则截得的弦的中点的轨迹方程是______________；（4）椭圆上有两点,,P Q O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足12OP OQ k k =-，则线段PQ 中点 M 的轨迹方程是______________．【例2】已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程【例3】已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点. （1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值课堂小结三、课后作业1．AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________2．过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程是_______________.3．设双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的半焦距为 c ，直线 l 过(,0),(0,)A a B b 两点，已知原点到直线的l ，则双曲线的离心率为________________. 4．已知双曲线x 2－22y =1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则直线AB 的方程是________________.5．椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |=________________.6．若点（x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2-x y的最小值为________________. 7．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +32y =1的公共点有____________个8．中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x +y －1=0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，则椭圆方程是______________．9．已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围10．在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.【自我检测】1. .2条2. 4条3. ［1，5）∪（5，+∞）4.215. 66. （－∞，0）∪（1，+∞）【例1】解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，故即为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为．（椭圆内部分）（4）由①＋②得，⑦将③④平方并整理得， ⑧， ⑨将⑧⑨代入⑦得， ⑩再将代入⑩式得，即．【例2】解设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0, ∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1【例3】剖析：证明OA ⊥OB 可有两种思路（如下图）：（1）证k OA ·k OB =－1；（2）取AB 中点M ，证|OM |=21|AB |. 求k 的值，关键是利用面积建立关于k 的方程，求△AOB 的面积也有两种思路：（1）利用S △OAB =21|AB |·h （h 为O 到AB 的距离）；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线和x 轴交点为N ，利用S △OAB =21|AB |·|y 1－y 2|.请同学们各选一种思路给出解法.解方程组时，是消去x 还是消去y ，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x 是最简捷的.（1）证明：如下图，由方程组y 2=－x ，y =k （x +1）ky 2+y －k =0. 设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由韦达定理y 1·y 2=－1.∵A 、B 在抛物线y 2=－x 上，∴y 12=－x 1，y 22=－x 2，y 12·y 22=x 1x 2．∵k OA ·k OB =11x y ·22x y =2121x x y y =211y y =－1， ∴OA ⊥OB .（2）解：设直线与x 轴交于N ，又显然k ≠0， ∴令y =0，则x =－1，即N （－1，0）. ∵S △OAB =S △OAN +S △OBN=21|ON ||y 1|+21|ON ||y 2| =21|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB =21·1·212214)(y y y y -+=214)1(2+k. ∵S △OAB =10，消去x 后，整理得∴10=21412+k .解得k =±61课后作业1.21p -; α2sin 2p 2. x 2＋2（y －1）2＝2，｜x ｜＜26＝，0＜y ＜21 3.24. x －y +1=05. 276. 0<m 2+n 2<3 ； 2 8. 52x 2＋58y 2＝19. 解：将l 方程与椭圆方程联立，消去y ，得（1+9tan 2α）x 2+362tan 2α·x +72tan 2α－9=0，∴|AB |=α2tan 1+|x 2－x 1| =α2tan 1+·)tan 91(2α+Δ=αα22tan 916tan 6++. 由|AB |≥2，得tan 2α≤31， ∴－33≤tan α≤33. ∴α的取值范围是［0，6π）∪［6π5，π）10. 解：设B 、C 关于直线y =kx +3对称，直线BC 方程为x =－ky +m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m =0，设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则y 0＝221y y +＝－2k ，x 0＝2k 2+m .∵点M （x 0，y 0）在直线l 上，∴－2k =k （2k 2＋m ）+3.∴m =－kk k 3223++.又∵BC 与抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2＋16m ＞0.把m 代入化简得kk k 323++＜0，即kk k k )3)(1(2+-+＜0，解得－1＜k ＜0。

江苏省灌南高级中学高三数学直线与圆锥曲线复习导学

江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：直线与圆锥曲线导学目标： 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．直线与椭圆的位置关系的判定方法(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y (或x )，得到一个一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0.①若a ≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．②若a ＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．(3)直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去y (或x )，得到一个一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0.①当a ≠0，用Δ判定，方法同上．②当a ＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．2．已知弦AB 的中点，研究AB 的斜率和方程(1)A B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的一条弦，M (x 0，y 0)是AB 的中点，则k AB ＝______，k AB ·k OM ＝________.点差法求弦的斜率的步骤是：①将端点坐标代入方程：x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ②两等式对应相减：x 21a 2－x 22a 2＋y 21b 2－y 22b2＝0. ③分解因式整理：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－b 2x 0a 2y 0. (2)运用类比的手法可以推出：已知AB 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的弦，中点M (x 0，y 0)，则k AB ＝________________.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的弦AB 的中点M (x 0，y 0)，则k AB ＝________.3．弦长公式直线l ：y ＝kx ＋b 与圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2或AB ＝ 1＋1k2|y 1－y 2| ＝2122124)(11y y y y k-++. 自我检测1．抛物线y2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是________．2．如果直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1没有公共点，则k 的取值范围是________________．3．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________． 4．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为________． 5．经过抛物线y 2＝4x 焦点的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且AB ＝8，则直线l 的倾斜角的大小为________.例题精讲例1 k 为何值时，直线y-1＝k （x -2）和曲线x 2-4y 2＝4有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？例3．见苏大例1例4. 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．。

高三数学专题复习 1.6.3直线与圆锥曲线的综合问题教案(第1课时)-人教版高三全册数学教案

〖课题〗之小船创作直线与圆锥曲线的综合问题课时共 3课时本节第1课时选用教材专题六知识模块解析几何课型复习教学目标熟练掌握直线与圆锥曲线的综合问题的相关知识重点熟练掌握直线与圆锥曲线的综合问题的相关知识难点熟练掌握直线与圆锥曲线的综合问题的相关知识关键熟练掌握直线与圆锥曲线的综合问题的相关知识教学方法及课前准备多媒体辅助教学学生自主探究讲练结合教学流程多媒体辅助教学内容[思考1] 如何判定直线与椭圆的位置关系？提示：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．[思考2] 如何判定曲线过某定点？提示：将曲线方程中的参变量集中在一起，令其系数为0，得定点或借助直线(曲线)系方程过定点判定．[思考3] 求圆锥曲线中的几何最值有哪些常用方法？提示：(1)借助几何性质，数形结合．(2)利用基本不等式．(3)借助条件换元或消元转化为函复习知识点，用多媒体展示，带领学生对相关知识进行回忆与记忆数，利用函数的性质求最值等．考向一直线与圆锥曲线的位置关系在高考中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点．常围绕弦长、面积、焦点弦、弦中点问题来展开，关键是采用“设而不求”的思想，利用韦达定理来解题．【例1】 (2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．[思路点拨](1)由离心率和椭圆基本量之间的关系建立方程，求得椭圆方程；(2)联立直线与椭圆方程，由韦达定理，结合向量的坐标运算求解．解 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程－c2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±63b ，于是263b ＝433，∴b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而可得a ＝3，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 23＋y22＝1消去y ，得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由于Δ＝48k 2＋48>0恒成立，则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)∴Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理，得km ＝1，联立①、②，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，∴l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 考向二考查定点与定值问题常考查直线过定点、直线与圆锥曲线中定值的计算，题型以解答题为主，常先用变量表示要求的量或点的坐标，再通过推理计算导出这些量或点的坐标和变量无关．【例2】 (2013·陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．[思路点拨] (1)设出圆心坐标，利用圆在y 轴上截得的弦长构建方程，求得圆心的轨迹方程．(2)设出直线l 的方程，与曲线C 联立，得关于x 的方程，依据根与系数的关系和x 轴平分∠PBQ ，得P 、Q 两点的坐标关系，进而可证直线l 过定点．解 (1)如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点．∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝x －42＋y 2，∴x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0) 也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)依题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，设两交点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2， x 1x 2＝b 2k2，因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0.∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，整理得2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．[探究提升] 1.(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．2．解直线与圆锥曲线的综合问题，要把握好以下几个“不”：①不能缺少“Δ”；②不能忽视直线的斜率；③不能小视“基本”变形；④不能弱化几何证明；⑤不能忘记解题结论．【变式训练2】 (2013·江西高考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．课堂同步练习：1．(2013·新课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) 解析 y 2＝4x ，知焦点F (1,0)，设B (x 0，y 0)，由|AF |＝3|BF |，知AF →＝3FB →，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x A ＝3x 0－1，－y A ＝3y 0.从而得A (4－3x 0，－3y 0)，又点A 、B 在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝4x 0，－3y 02＝44－3x 0，解之得x 0＝13且y 0＝±23 3.∴直线l 的方程为y ＝±3(x －1)．答案 C 2．(2013·新课标全国Ⅱ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．。

江苏省灌南高级中学高三数学双曲线(2)复习导学案

教学目的: 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3. 理解数形结合的思想.基础训练1．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 2．(2012·徐州模拟)设F 1、F 2是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则△PF 1F 2的面积为________，|PF 1→＋PF 2→|的值为________．3．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．4．2013·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 分别是双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin A －sin B sin C 的值是________．例题精讲例1 如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．例2 过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积；(3)求证：|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.例3 已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．[变式探究] [2013·鞍山模考]已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l 与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________.课后练习1．已知定点A 、B ，且AB ＝4，动点P 满足PA －PB ＝3，则PA 的最小值是________．2．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足PF 2－PF 1＝2，当点P 的纵坐标是12时,点P 到坐标原点的距离是________．3．已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝________.3．(2010·连云港模拟)F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为________．4.如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于________．5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，若点P 为双曲线右支上的一点，且直线PA 1，PA 2的斜率分别为12，2，则双曲线的渐近线方程为________．6．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．7．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________．8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a的最小值是________． 9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝________.10．若F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足1F O PM =.(1)求此双曲线的离心率的范围；(2)若11OF OPOP OMOP OM OF OP ⋅⋅=，求此双曲线的离心率；(3)在(2)的条件下，此双曲线又过点N (2，3)，求双曲线方程．11．已知双曲线C ：x 22－y 2＝1，设过点A (－32，0)的直线l 的方向向量e ＝(1，k )． (1)当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离；(2)证明：当k ＞22时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为 6.。

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