2.2.3向量数乘运算教案
《2.2.3向量的数乘运算》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《向量的数乘运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应能够：1. 理解向量的数乘运算的概念和意义；2. 掌握向量的数乘运算的几何意义和物理意义；3. 能够进行简单的向量数乘运算。
二、作业内容1. 理论题：（1）简述向量的数乘运算的概念和意义，并举例说明其应用；（2）解释向量的模、方向与数乘运算的关系；（3）证明数乘向量运算的几何意义。
2. 实践题：（1）画一个简单的向量图，标明向量A和向量B的方向；（2）求向量A与向量B的数乘结果，并解释其几何意义；（3）根据数乘向量运算的几何意义，解释以下物理现象：一物体在力F的作用下，沿力F的方向移动了一段距离，力F的数值不变，但物体的位移增加，请用向量语言解释这一现象。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，严禁抄袭；2. 理论题需用完整的句子回答，阐述清楚自己的观点；3. 实践题需画图并标注必要的文字说明；4. 作业应在规定时间内提交，我们将在课后进行批改和反馈。
四、作业评价1. 批改方式：教师根据学生提交的作业进行批改，给出分数和评语；2. 评价标准：作业的完整性和准确性是评价的主要依据；3. 分数比例：理论题和实践题各占50%的分数比例。
五、作业反馈1. 教师将在课后将作业反馈发给每一位学生，包括对作业的批改意见和解答；2. 学生应根据教师的反馈进行修正和改进，以便更好地理解和掌握向量的数乘运算。
具体作业内容如下：一、理论题：请用完整的句子回答以下问题：1. 向量的数乘运算是什么？它有哪些应用？2. 向量的模、方向与数乘运算的关系是什么？请举例说明。
3. 如何证明数乘向量运算的几何意义？请用图形说明。
二、实践题：请根据以下步骤完成作业：1. 画一个简单的向量图，标明向量A和向量B的方向（请使用铅笔和纸张完成）；2. 求向量A与向量B的数乘结果，并解释其几何意义（请使用彩色笔标注在图中）；3. 假设一个物体在力F的作用下，沿力F的方向移动了一段距离。
向量数乘运算及其几何意义教案
1 2.2.3向量数乘运算及其几何意义一.教学目标1.知识与技能: 通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
熟练 运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线 平行等问题。
2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是 否共线。
3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能 力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶 学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
二.教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
三.教学过程（一）复习回顾问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？（二）新课讲解1.向量数量积的定义【探究1】 已知非零向量a ，作出a a a ++和()()()a a a -+-+-，你能说出他们的几何意义 吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？练一练：P 90 第1题，第2题.22.向量数乘的运算律【探究2】 问题一：求作向量)2(3a 和a 6(a 为非零向量)，并进行比较。
问题二：已知向量a 、b ，求作向量)(2b a +和b a 22+，并进行比较。
类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：对于任意向量a 、b 及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±. 例5：计算(口答) (1) a 4)3(⨯-(2) a b a b a ---+)(2)(3(3) )23()32(c b a c b a +---+练一练：P 90 第5题.3、向量共线定理 【探究3】问题1：如果 a b λ=(0≠a ), 那么，向量a 与b 是否共线？问题2: b 与非零向量a 共线， 那么，a b λ= ？思考：1. a 为什么要是非零向量？ 2. b 可以是零向量吗？例6.已知任意两非零向量a 、b ，试作b a OA +=, b a OB 2+=，b a OC 3+=。
高中数学 必修四 2.2.3向量数乘运算教案
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量 作出 + + 和( )+( )+( )
B
A
O
C
P
Q
M
N
= = + + =3
= =( )+( )+( )=3
讨论：13 与 方向相同且|3 |=3| |
23 与 方向相反且|3 |=3| |
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
，
2
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
4．向量共线定理：
定理：如果有一个实数 ，使 （ ），那么向量 与 是共线向量；反之，如果向量 与 （ ）是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使得 ．
三、课堂练习：
课本例6，例7
教材P90面1、2、3题
教
学
小
结Hale Waihona Puke 1．掌握向量数乘运算的定义；
2．掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；
1
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一般地，实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1） ；
（2）当 时， 的方向与 的方向相同；
当 时， 的方向与 的方向相反；
当 时， ．
2．实数与向量的积的运算律：
（1） （结合律）；
（2） （第一分配律）；
（3） （第二分配律）．
《2.2.3向量的数乘运算》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《向量的数乘运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业的主要目标是巩固学生对向量数乘运算的理解，能够准确进行向量的数乘计算，并能够运用数乘运算解决简单的实际问题。
通过作业练习，提高学生的数学运算能力和逻辑思维能力。
二、作业内容1. 基础练习：（1）要求学生掌握向量数乘的定义及性质，完成一定量的填空题和选择题，用以检验学生对基础知识的掌握情况。
（2）布置数乘运算的简单计算题，包括向量的数乘结果计算、与标量相乘的向量运算等。
2. 理解运用：（1）设计几道应用题，让学生在具体问题中运用向量数乘运算的知识进行计算。
如力学的物理问题中涉及向量数乘的情况。
（2）结合实际问题，如物理中力的合成与分解，要求学生运用所学知识分析并解决相关问题。
3. 综合训练：（1）布置一些综合性的数乘运算题目，要求学生能够综合运用所学知识进行计算和推理。
（2）鼓励学生通过小组合作，共同探讨和解决一些较复杂的数乘运算问题。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性和计算的规范性。
2. 学生在解题过程中应注重理解题意，明确每个步骤的目的和意义，避免盲目计算。
3. 学生在完成作业后应自行检查答案的准确性，并尝试用不同的方法进行验证。
4. 鼓励学生在解题过程中记录自己的思考过程和解题方法，以便于复习和总结。
四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况，对每位学生的作业进行批改和评价。
2. 评价标准包括答案的准确性、计算的规范性、解题思路的清晰度以及是否有创新性等。
3. 对于优秀作业，教师将在课堂上进行展示和表扬，并给予相应的奖励。
五、作业反馈1. 教师将根据作业批改情况，对学生在数乘运算中存在的问题进行总结和分析，并在课堂上进行讲解和指导。
2. 对于共性问题，教师将重点强调和讲解，帮助学生掌握正确的解题方法和思路。
3. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题经验和技巧，共同提高数学学习能力。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是巩固学生对向量数乘运算的理解，掌握向量数乘的几何意义和代数运算法则，能够熟练运用向量数乘运算解决实际问题，提高学生的数学应用能力和逻辑思维能力。
向量的数乘运算教案
向量的数乘运算教案概述：本教案旨在拓展学生对向量的数乘运算的理解。
数乘运算是向量的最基本运算之一，能够将向量拉伸或缩小。
同理，也可以将向量反向或者使其朝向反方向。
教学目标：- 让学生了解向量的数乘运算是什么，以及它对向量的影响。
- 通过实践演练，让学生掌握如何进行向量的数乘运算。
- 让学生懂得如何应用向量的数乘运算解决实际问题。
课程内容：1. 什么是向量的数乘运算向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。
例如，将向量 a 与标量 k 相乘，可以得到一个新向量 b = ka ，该向量的大小是原向量大小的 k 倍，而且朝向与原来的向量一致（如果 k 不是负数的话）。
2. 向量的数乘运算的影响向量的数乘运算对向量的影响主要取决于乘数的正负。
- 如果乘数 k 为正数，那么新向量的大小会成为原向量大小的 k 倍，朝向保持不变。
- 如果乘数 k 为负数，那么新向量的大小会成为原向量大小的 k 倍，但方向会与原向量相反。
- 如果乘数 k 为零，得到的新向量大小为零向量，方向无意义。
3. 如何进行向量的数乘运算在计算时，只需要将向量中每个分量乘以标量即可。
例如，若将向量 a 与标量 k 相乘，得到的新向量分量分别为 kb1，kb2，kb3，其中b1、b2、b3 是原向量 a 的对应分量。
4. 实际应用向量的数乘运算在实际中有许多应用，例如：- 将向量的大小缩放，使其适应计算的要求。
- 控制物体的移动速度和旋转角度。
- 调节图像的亮度和对比度等。
5. 注意事项在进行向量的数乘运算时，需要注意以下几点：- 数乘运算只能用于向量之间，不能用于标量之间。
- 向量的朝向保持不变，乘数的正负影响朝向。
- 数乘运算的结果是一个向量，大小和方向都可能改变。
教学结论：通过本教案的学习，相信学生已经全面掌握了向量的数乘运算的原理和操作方法。
在实际应用中，希望学生能灵活运用向量的数乘运算解决问题，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
《2.2.3向量的数乘运算》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《向量的数乘运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过数乘运算的练习，使学生能够熟练掌握向量的数乘运算规则，理解向量数乘的几何意义，并能够运用数乘运算解决实际问题。
通过作业的完成，提高学生的数学应用能力和逻辑思维能力。
二、作业内容1. 基础练习：（1）根据向量数乘的定义，完成一系列向量数乘的运算题目，包括已知向量和实数求数乘结果等。
（2）理解并掌握向量数乘的几何意义，通过数乘运算绘制出相应的几何图形，并解释数乘对图形的影响。
2. 综合应用：（1）运用向量数乘的知识，解决与速度、加速度、力等相关的实际问题，加深对向量数乘实际意义的理解。
（2）结合其他数学知识（如向量加法、减法等），完成一些综合性的向量运算题目。
3. 拓展提高：（1）设计一些具有一定难度的题目，如参数方程与向量数乘的结合等，供学有余力的学生挑战。
（2）引导学生进行小组合作，共同探讨向量数乘运算在实际生活中的应用，并形成小组报告。
三、作业要求1. 学生在完成作业时，应注重理解题意，明确题目要求，按照数学规则进行计算和推导。
2. 学生在进行数乘运算时，应注意实数与向量的乘法顺序，以及数乘运算的几何意义。
3. 综合应用题目的解答过程中，学生应结合实际生活情境，运用所学知识解决问题。
4. 拓展提高部分的题目和小组报告，应鼓励学生进行独立思考和合作探究，培养学生的创新能力和团队协作精神。
5. 作业完成后，学生应自行检查答案，确保计算的准确性和逻辑的严密性。
四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况，对每个学生的作业进行批改和评价。
2. 评价标准包括作业的正确性、计算的准确性、解题思路的清晰性以及创新点的多少等。
3. 对于优秀作业，教师将在课堂上进行展示和表扬，并给予一定的奖励。
4. 对于存在问题的作业，教师将指出错误之处，并给出改进建议和指导。
五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业情况，对本次作业进行总结和反馈。
2. 反馈内容包括学生对知识点的掌握情况、解题思路的优缺点以及需要改进的地方等。
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
b // a( a 0 ) 存在唯一实数，使b a
思考 (1)为什么规定 a 0 ? (2) 若 a 0 ,则情况会怎样?
当a 0, b 0时，显然a // b，但符合条件有无数多个
当a 0, b 0时，显然a // b，但符合条件不存在 综上所述， a必须是非零向量
a
3a 3a
6a
2 (3a) (2 3)a
一般地
2013-1-10
( a) ( )a
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 8
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
4.已知非零向量 a , b ,试作出 2(a b) 和 2a 2b , 并进行比较. a a
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
16
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.90 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组9.10 练习1.2.3.4.5.6
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
共起点
A
a
首
尾
尾首
B
a b
A
a+b
b a
C
b
a+b
B
O
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
3、向量减法的三角形法则
口决：共起点，指被减 4、向量减法的平行四边形法则 共起点 b A A
a a a+b a
数学(2.2.3向量数乘运算及其几何意义)
运算规则
总结词
向量数乘运算的规则包括与标量乘法类似，但需要注意向量的方向性。
详细描述
向量数乘运算的规则与标量乘法类似，实数与向量的每个分量相乘，得到的结果仍为一个向量。但需要注意的是， 向量的方向性在数乘运算中会发生变化。当实数为正时，向量的方向保持不变；当实数为负时，向量的方向会反 向；当实数为零时，向量的长度为零，方向任意。
性质
总结词
向量数乘运算具有分配律和结合律。
详细描述
向量数乘运算具有分配律，即对于任意实数$k$和$l$， 以及任意向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$(k + l)overset{longrightarrow}{a} = koverset{longrightarrow}{a} + loverset{longrightarrow}{a}$。同时，向量数乘运算也 具有结合律，即对于任意实数$k$、$l$和向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$、 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(kl)overset{longrightarrow}{a} = k(loverset{longrightarrow}{a})$。
向量的长度和方向的变化
长度变化
标量数乘会导致向量的长度发生变化。设$k > 0$，则$koverset{longrightarrow}{a}$ 的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的$|k|$倍；设$k < 0$，则
$koverset{longrightarrow}{a}$的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的 $frac{1}{|k|}$倍。
必修4课件2.2.3向量数乘运算及其几何意义
b
A
三 【应用】
a
B
练习：
三 【应用】
1.若λa=0，则_______.
2：如图，若P为AB的中点，则 uuu uuu r uuu r r OP 与 OA 、OB 的关系如何？
O
r uuu 1 uuu uuu r r OP = (OA + OB ) 2
A P B
三 【应用】
3.已知非零向量a, 求与a共线的单位向量。
M B D C
二 【新课】
2.共线向量定理
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数λ，使得 b=λa
思考:1) a为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
3.数乘运算律 思考:(1) 3 (2a) 6a (3 2)a ? 3 (2a) (3 2)a ? 6a ? ? (2 3)a 2a 3a (2) (2 3)a 5a 2a 3a 5a 2(a+b) = 2a+2b (3) 2(a+b)=? 2a+2b=?
4.O是平面上一点，求证：若存在实数 使得 OP OA (1 )OB, 则点A、B、P三点共线。 反之
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
思考： 如图，设点M为△ABC的重心， D为BC的中点，那么向量 BD与 BC， AD与DM 分别有什么关系？
数学苏教版必修4学案：第2章 2.2 2.2.3 向量的数乘
2．2.3向量的数乘预习课本P68～71，思考并完成下列问题1．向量数乘的定义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．什么是向量共线定理？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a －b )＝λa －λb .[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算． (2)λa 的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0. 2．向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .[小试身手]1．化简：2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝_________. ★答案★：14a －9b2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则DC ＝________.★答案★：b －a3．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ＝________. ★答案★：－Rr4．在△ABC 中，已知点D 在AB 边上，且AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.★答案★：23向量数乘的基本运算[典例] (1)(－5)×4a ；(2)5(a ＋b )－4(a －b )－3a ； (3)(3a －5b ＋2c )－4(2a －b ＋3c )． [解] (1)原式＝(－5×4)a ＝－20a .(2)原式＝5a ＋5b －4a ＋4b －3a ＝－2a ＋9b .(3)原式＝3a －5b ＋2c －8a ＋4b －12c ＝－5a －b －10c .向量基本运算的方法向量的基本运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用] 化简下列各式： (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .用已知向量表示未知向量[典例] 在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AD ，AG .[解] AD ＝12(AB ＋AC )＝12a ＋12b ； AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13(BA ＋BC )＝23AB ＋13(AC －AB )＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b .用已知向量表示未知向量的方法(1)利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．(2)当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示BC 和MN .解：连结CN ，因为N 是AB 的中点，AB ＝2CD ，所以AN∥DC且AN＝DC，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN＝－AD＝－b，又CN＋NB＋BC＝0，所以BC＝－NB－CN＝－12a＋b；MN ＝MC＋CN＝14a－b.向量共线的判定及应用1.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD.求证：M，N，C三点共线. 证明：设BA＝a，BC＝b，则由向量减法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝12BA－BC＝12a－b.又因为N在BD上且BN＝13BD，所以BN＝13BD＝13(BC＋CD)＝13(a＋b)，所以CN＝BN－BC＝13(a＋b)－b＝13a－23b＝23⎝⎛⎭⎫12a－b，所以CN＝23CM，又因为CN与CM的公共点为C，所以M，N，C三点共线．题点二：利用向量的共线求参数2．设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.解析：因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以AB，BD共线．设AB＝λBD，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，所以λ＝1，p＝－1.★答案★：－1题点三：利用向量共线判定几何图形形状3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形． 证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．向量共线定理应用的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．层级一 学业水平达标1．化简：16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b )＝_______.解析：原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .★答案★：－2a ＋4b2．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________. 解析：2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，所以72y ＝23a ＋12c －12b ，所以y ＝421a －17b ＋17c . ★答案★：421a －17b ＋17c3．若AP ＝13BP ，AB ＝t BP ，则t 的值是________．解析：由题意AP ＝13BP ，所以AB ＝－23BP ，所以t ＝－23.★答案★：－234．已知a ，b 是非零向量，AB ＝a ＋2b ，DC ＝2a ＋4b ，则四边形ABCD 的形状一定是________．解析：因为 DC ＝2AB ，所以DC ∥AB ，且DC ＝2AB ，所以四边形ABCD 一定是梯形．★答案★：梯形5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝AN －AM ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . ★答案★：－14a ＋14b6．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：因为AB ＋AC ＝(AM ＋MB )＋(AM ＋MC )＝MB ＋MC ＋2AM .由MA ＋MB ＋MC ＝0得，MB ＋MC ＝AM ，所以AB ＋AC ＝3AM ，故m ＝3.★答案★：37.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝________.解析：AF ＝AD ＋DF ，又AB ＋AD ＝a ，AD －AB ＝b ， ∴AB ＝12a －12b ，AD ＝12a ＋12b ，DC ＝AB ＝12a －12b ，∴AF ＝AD ＋13DC ＝23a ＋13b .★答案★：23a ＋13b8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝________. 解析：设AB ＝a ，AC ＝b ，则EB ＝－12b ＋a ，FC ＝－12a ＋b ，从而EB ＋FC ＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD .★答案★：AD 9．计算：(1)14⎣⎡⎦⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )； (2)(λ＋μ)(a ＋b )－(λ－μ)(a －b )．解：(1)原式＝14(a ＋2b )＋34a －112(6a －12b )＝14a ＋12b ＋34a －12a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14＋34－12a ＋⎝⎛⎭⎫12＋1b ＝12a ＋32b . (2)原式＝(λ＋μ)a ＋(λ＋μ)b －(λ－μ)a ＋(λ－μ)b ＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a ＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b ＝2μa ＋2λb .10．如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是把OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a 和b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求实数λ的值．解：(1)依题意，A 是BC 中点，∴2OA ＝OB ＋OC ， 即OC ＝2OA －OB ＝2a －b ，DC ＝OC －OD ＝OC －23OB＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE ＝λOA ，则CE ＝OE －OC ＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE 与DC 共线．∴存在实数k ，使CE ＝k DC . ∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，解得λ＝45.层级二 应试能力达标1．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.★答案★：－1或32．若AB ＝5e ，CD ＝－7e ，且|AD |＝|BC |，则四边形ABCD 的形状是________． 解析：因为AB ＝5e ，CD ＝－7e ，所以CD ＝－75AB .所以AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |>|AB |.又因为|AD |＝|BC |，所以四边形ABCD 是等腰梯形．★答案★：等腰梯形3．点C 在线段AB 上，且AC ＝35AB ，若AC ＝λCB ，则λ＝________.解析：∵AC ＝35AB ，∴AC ＝32CB ，AC 与CB 方向相同，故λ＝32.★答案★：324．已知OP 1＝a ，OP 2＝b ，P P 12＝λPP 2 (λ≠0)，则OP ＝_________.解析：因为P P 12＝λPP 2，所以OP 2－OP 1＝λ(OP 2－OP )，所以OP ＝1λOP 1＋λ－1λOP 2.★答案★：1λ a ＋λ－1λb5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．解析：设AB 的中点为D ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD .如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.★答案★：356.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ＝m OA ，OQ ＝n OB ，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，由题意知OG ＝23×12(OA ＋OB )＝13(a ＋b )，PQ ＝OQ －OP ＝nb －ma ，PG ＝OG －OP ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ ＝λPG ， 即nb －ma ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.★答案★：37．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ＝m OA ＋(1－m )OB ＝OB ＋m (OA －OB )， 所以OP －OB ＝m (OA －OB )， 即BP ＝m BA ，所以BP 与BA 共线．又因为BP 与BA 有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线， (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ＝λBA ， 所以OP －OB ＝λ(OA －OB )．又OP ＝m OA ＋n OB . 故有m OA ＋(n －1)OB ＝λOA －λOB ， 即(m －λ)OA ＋(n ＋λ－1)OB ＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA ，OB 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1.8.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AG .解：AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋λBE＝AB ＋λ2(BA ＋BC )＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB ＋λ2(AC －AB ) ＝(1－λ)AB ＋λ2AC ＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG ＝AC ＋CG ＝AC ＋m CF ＝AC ＋m2(CA ＋CB )＝(1－m )AC ＋m 2AB ＝m2a ＋(1－m )b ， 所以⎩⎨⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，所以AG ＝13a ＋13b .。
2.2.3向量的数乘运算及其几何意义
2.2.3向量的数乘运算及其几何意义编写：马桂新审阅：高一数学组 2010-5-11目标引领:(1)掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；(2)让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；(3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。
重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。
难点：正确运用法则解决几何问题。
复习回顾：前两节我们介绍了解了向量的加法和减法，其中“加法”我们要牢固掌握两种法则___________________________________向量的减法我们可以看成一个向量加上另一个向量的等模、反向、或记住口诀“连结终点，指向被减”直接由代数形式求得结果。
相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？自学探究合作解疑探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）？思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？思考4：设a为非零向量，那么a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？23-思考5： 一般地，我们规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa ，该向量的长度与方向与向量a 有什么关系？用向量表示探究二:向量的数乘运算性质思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa )，(λ＋μ) a ，λ(a ＋b )分别等于什么？思考3：对于向量a （a ≠0）和b ，若存在实数λ，使b =λa ，则向量a 与b 的方向有什么关系？思考4：若向量a （a ≠0）与b 共线，则一定存在实数λ，使b =λa 成立吗？思考5：综上可得向量共线定理：向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa . 若a ＝0，上述定理成立吗？思考6：若存在实数λ，使 ，则A 、B 、C 三点的位置关系如何？思考1：你认为－2×（5a ），2a ＋2b ，a 可分别转化为什么运算？ (3+AB BC l =uuu r uuu r思考7：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、x、y，λ(x a±y b）可转化为什么运算？精讲点拨例1 计算（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）例2 如图，已知任意两个非零向量a，b，试作OA =a＋b，OB =a＋2b，OC =a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？训练巩固1.计算下列各式: (1)(2)1-⨯2a ; (2)2()3()+--ab a b ;(3)()()()()λμλμ+---+a b a b .拓展运用1.设x 是未知向量,解方程:5()3().++-=0x a x b2.已知'''3 , 3,OA OA A B AB −→−→−→−→==说明向量OB −→与'OB −→的关系.小结：1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.2.若λa =0，则可能有λ=0，也可能有a =0.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.作业： A 组题目和B 组1,2小题。
高中数学_向量的数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.理解实数相乘与向量数乘的区别.二、教学重难点重点：向量的数乘运算的几何意义，熟练进行向量的线性运算。
难点：掌握并能运用向量共线的定理三、学案设计《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿一、学习目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的线性运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.二、情景导入:已知非零向量a,作出a+a+a和（—a）+（—a）+（—a）。
你能说明它们的几何意义吗？三、学习过程：一）向量的数乘运算1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个＿＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记作＿＿＿＿.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相同；当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝＿＿＿＿.典例1(1)若两个非零向量a 与a x 1)－(2方向相同，则x 的取值范围为________.(2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. 则AB →=______BC →，AC →=______CB →。
再练一题点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC →=______AB →，BC →=______AB →。
3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝_________a ；(2)(λ＋μ) a＝__________________；(3)λ(a ±b)＝__________________.（4） (－λ) a＝__________________＝__________________4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b )＝____________________________.典例2 计算（1）a 43-⨯）（ （2）ab a a --2-b 3）（）（+（3））（）（c b a a ++2-3-c -b 32（4）已知向量x a ，，b ，且)(---b a x x b a x +=-）（）（，则x＝________.再练一题化简：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)-()(2131b a b a2482二)共线向量 共线向量定理：向量a (a ≠0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__________.探究1 已知m ，n是不共线向量，n m a 43+=,n m b 86-=，判断a 与b 是否共线？探究2 已知是1e ,2e 共线向量，a =31e +42e ，b =61e -82e 则a 与b是否共线？探究3 设两非零向量1e 和2e 不共线，是否存在实数k ，使k 1e ＋2e 和1e ＋k 2e共线？典例3已知非零向量1e ，2e不共线.如果A B →＝1e ＋2e ，B C →＝2 1e ＋82e ，C D →＝3(1e －2e )，求证：A ，B ，D 三点共线.[再练一题]3.设两个非零向量1e ，2e 不共线，已知AB →＝21e ＋k 2e ，CB →＝1e ＋32e ，CD →＝21e －2e.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.四、课堂总结一）向量的数乘运算1、向量数乘的定义2、向量数乘的几何意义3、运算律4、向量的线性运算 二）共线向量定理 1、定理 2、应用 五、达标练习1、设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa |≥|a |； ③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.2、化简⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b 432c b 21 --3a a3、在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC.四、教学过程情景导入：已知非零向量,作出++和（—）+（—）+（—）。
《空间向量的数乘运算》教案
《空间向量的数乘运算》教案第一章：引言1.1 课程背景在高中数学中，向量是描述物理运动、几何图形等方面的重要工具。
数乘运算作为向量运算的基础，对于学生理解和掌握向量的性质和运算规律具有重要意义。
1.2 教学目标通过本章学习，使学生了解数乘运算的概念，掌握数乘运算的性质和运算规律，能够运用数乘运算解决实际问题。
第二章：数乘运算的定义及性质2.1 数乘运算的定义定义：对于向量a和实数λ，数乘运算定义为λa，记作λa。
2.2 数乘运算的性质性质1：交换律对于任意实数λ和μ，有λa = μa。
性质2：结合律对于任意实数λ、μ和向量a，有(λμ)a = λ(μa)。
性质3：分配律对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ+ μ)a = λa + μa，以及λ(a + b) = λa + λb。
第三章：数乘运算的运算规律3.1 数乘运算与向量长度的关系数乘运算不改变向量的长度，即|λa| = |a|。
数乘运算不改变向量的方向，即λa与a同向或反向。
第四章：数乘运算的应用4.1 数乘运算在几何中的应用数乘运算可以用来放大或缩小向量，例如，在几何作图中，可以通过数乘运算来构造特定长度的向量。
4.2 数乘运算在物理中的应用在物理学中，数乘运算可以用来表示向量的速度、加速度等物理量的倍数。
第五章：小结与练习5.1 数乘运算的概念和性质本章学习了数乘运算的定义及性质，包括交换律、结合律和分配律。
5.2 数乘运算的运算规律本章学习了数乘运算与向量长度和方向的关系。
5.3 数乘运算的应用本章学习了数乘运算在几何和物理中的应用。
1. 判断下列命题的正确性：(1) 对于任意向量a和实数λ，λa = μa。
(2) 对于任意实数λ、μ和向量a，有(λμ)a = λ(μa)。
(3) 对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ+ μ)a = λa + μa，以及λ(a + b) = λa + λb。
2. 判断下列命题的正确性：(1) 数乘运算会改变向量的长度。
2.2.3《向量的数乘运算及其几何意义》学案1
2．2．3向量的数乘运算及其几何意义学案学习目标：1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律；3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。
探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和)()()(a a a-+-+-，你能说明它的几何意义吗？ 问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？向量数乘运算的定义：____________________________________长度和方向规定如下：（1） (2) 问题2：你能说明它的几何意义吗？小露一手：教材P90 练习2、3题问题3：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？（1）=)(a μλ（2）=+a)(μλ（3）=+)(b a λ 问题4：你能解释上述运算律的几何意义吗？例1．计算：（1）a 4)3(⨯- ；（2）a b a b a ---+)(2)(3 ；（3）)23()32(c b a c b a +---+ ；小露一手：教材P90 练习5题向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量b a ,，以及任意实数21,,μμλ，恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±.问题5：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？共线向量定理：向量)0( ≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=.思考: 1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？小露一手：教材P90练习题4题33.A C EA D AB D E BC == 变式一：如图，已知，试判断、、三点的位置关系。
DE BC C E AB AD //.A 3A 3求证：，已知，变式二：如图==总结归纳：例 3.如图，已知任意两个向量,,b a 试作出.3,2,b a OC b a OB b a OA +=+=+=你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？例4.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==,，你能用b a ,表示ND MC MB MA ,,,吗？课堂练习：教材P90练习题6题 课后作业（1）教材P91 A 组习题9—13题（必做）；B 组习题3、4、5题（选做）A B C O OC OA OB 1λμλμ=++= 思考题：已知三点、、共线，是平日面内任意一点，若有，试求证 学习反思：2例..33是否共线与试判断，已知，如图AE AC BC DE AB AD ==D b a A B C DE。
向量的数乘运算教案
向量的数乘运算教案教案标题：向量的数乘运算教案教学目标：1. 理解向量的数乘运算的概念和性质；2. 掌握向量的数乘运算的计算方法；3. 能够应用向量的数乘运算解决实际问题。
教学重点：1. 向量的数乘运算的定义和性质；2. 向量的数乘运算的计算方法。
教学难点：1. 理解向量的数乘运算的几何意义；2. 运用向量的数乘运算解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算工具、教学PPT；2. 学生准备：课本、笔记本、计算工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师引入向量的数乘运算的概念，通过实际例子说明向量的数乘运算的意义和应用；2. 提问学生：你们对向量的数乘运算有什么了解？有什么应用场景？二、概念讲解（10分钟）1. 教师介绍向量的数乘运算的定义和性质，包括数乘的定义、数乘的性质（分配律、结合律等）；2. 教师通过几何图形解释向量的数乘运算的几何意义。
三、计算方法（15分钟）1. 教师详细讲解向量的数乘运算的计算方法，包括向量与实数的相乘、向量的分量与实数的乘积等；2. 教师通过示例演示向量的数乘运算的具体计算步骤。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生进行课堂练习，计算给定向量的数乘运算；2. 学生互相讨论解题方法和答案，并与教师进行交流。
五、拓展应用（10分钟）1. 教师引导学生思考向量的数乘运算在实际问题中的应用，如力的合成、速度的变化等；2. 学生尝试应用向量的数乘运算解决实际问题，并与教师分享解题思路和结果。
六、归纳总结（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结和归纳，强调向量的数乘运算的重要性和应用；2. 学生进行笔记整理，梳理向量的数乘运算的关键点和方法。
七、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关练习题作为课后作业，巩固向量的数乘运算的知识；2. 教师提醒学生预习下节课的内容，做好课前准备。
教学反思：本节课通过引入实际例子、概念讲解、计算方法、练习与讨论、拓展应用等环节，全面介绍了向量的数乘运算的概念、性质和计算方法，培养了学生的计算能力和应用能力。
高中数学向量数乘教案
高中数学向量数乘教案教学目标：1. 理解向量数乘的定义和性质；2. 掌握向量数乘的计算方法；3. 能够应用向量数乘解决相关问题。
教学重点：1. 向量数乘的定义和性质；2. 向量数乘的计算方法。
教学难点：1. 理解向量与实数的乘积的几何意义。
教学准备：1. 教师备课内容包括向量数乘的定义、性质和计算方法；2. 准备投影仪、计算器等教学辅助工具；3. 整理相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引入向量数乘的概念，让学生了解向量数乘的定义和必要性。
二、讲解（15分钟）1. 向量数乘的定义及性质：介绍向量与实数的乘积的定义，讲解向量数乘的性质和意义。
2. 向量数乘的计算方法：详细讲解向量数乘的计算方法和步骤。
三、示范与练习（15分钟）1. 通过几个简单例题示范向量数乘的计算方法；2. 让学生进行练习，巩固向量数乘的计算技能。
四、拓展（10分钟）1. 引导学生思考向量数乘的几何意义；2. 提出拓展问题，让学生应用向量数乘解决实际问题。
五、总结（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调向量数乘的重要性和应用价值；2. 鼓励学生多做练习，巩固向量数乘的知识。
六、作业布置（5分钟）布置相关练习题，让学生巩固向量数乘的知识，并要求学生思考如何应用向量数乘解决实际问题。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握向量数乘的相关知识和技能，理解向量与实数的乘积的几何意义，并能够灵活运用向量数乘解决相关问题。
在以后的教学中，可以通过举一反三，引导学生深入理解向量数乘的概念和应用。
2.2.3向量的数乘运算
3.如图所示,向量、.不共线.画出有向线段,使 = + .
解：
A
作 = , =
则 = + = +
+
B
O
4.如图所示,⏥的两条对角线交于点, = , = .试用向量、
分别表示向量、和.
= − − + +
= − +
(3)原式= + − − + −
= − + + − −
= − + −
例6 如图,为⏥两条对角线的交点, = , = ,
1.计算.
（）( − )
解：原式= −
（） ( + ) − ( − )
解：原式= + − +
− + +
= − +
=
（） − ( − − ) + ( + − )
解：原式= − + + + + −
向量数乘运算的几何意义
当 > 时,向量可以看作由向量伸长或缩短到倍得到;
当 < 时,向量可以看作由向量−伸长或缩短到||倍得到;
向量数乘运算的运算律
对于任意向量、,及任意实数、,向量数乘运算满足如下运算律.
①() = () = ()
②( + ) = +
记 =
1.定义：一般地,实数与向量的乘积仍是一个向量,记作.
的长度和方向规定如下：
向量的数乘教案
向量的数乘教案教案：向量的数乘教学目标：1. 了解向量的数乘的概念和性质。
2. 掌握向量的数乘的计算方法。
3. 能够应用向量的数乘解决简单的几何问题。
教学重点：1. 向量的数乘的概念和性质。
2. 向量的数乘的计算方法。
教学难点：1. 向量的数乘的性质的理解与运用。
2. 向量的数乘与几何问题的联系。
教学准备：白板、黑板笔、教学课件、练习题。
教学过程：Step 1：引入新知识（5分钟）1. 向学生展示一个重量物品的图像，并询问学生这个图像代表的是什么，并引导学生思考一个问题：如果这个重量物品增加2倍重量，该如何表示？2. 引导学生思考数乘概念，引出向量的数乘的概念。
Step 2：向量的数乘的概念与性质（10分钟）1. 讲解向量的数乘的概念：向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个实数。
2. 引导学生思考数乘的性质：数乘的结果仍然是一个向量，数乘后的向量与原向量的方向相同或相反，数乘后的向量的大小是原向量的大小的乘积。
Step 3：向量的数乘的计算方法（15分钟）1. 讲解向量的数乘的计算方法：将实数分别乘以向量的每个分量。
2. 在黑板上进行示范演示，引导学生逐步理解向量的数乘的计算方法。
Step 4：向量的数乘的应用（15分钟）1. 引导学生思考数乘在几何问题中的应用。
例如，一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，经过3小时，汽车行驶的距离如何表示？2. 让学生独立思考并解答应用题，加深对向量的数乘的应用理解。
Step 5：练习与巩固（10分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成，再进行学生讲解答案。
2. 在学生出现错误或不理解的地方进行解答和讲解。
Step 6：小结与反思（5分钟）1. 总结向量的数乘的概念、性质和计算方法。
2. 引导学生思考向量的数乘在几何问题中的应用。
教学延伸：1. 调查与讨论向量的数乘在实际生活中的应用，例如速度、力和功等。
2. 深入研究向量的数乘的性质和计算方法，并解决更复杂的几何问题。
2.2.3向量的数乘运算件课件人教新课标
（2）3x 3a 2x 4a 4x 4a 4b 0
x 3a 4b 0 x 3a 4b
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ。 问题1：如果 b=λa
那么，向量a与b是否共线？ 问题2：如果 向量a与b共线
那么，b=λa ？
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当有唯一个 实数λ，使得 b=λa
第二章 平面向量 及其应用
必修 四
2.2.3向量的数乘运算
旧知回顾
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，连首尾
特点:同一起点,对角线
C
ab b
A
a
B
3.向量减法三角形法则:
B
C
b
ab
O
a
A
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
a
bB
BA a b
b
Oa A
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
D
的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。b
E
a
A
解：因为A是BC的中点，所以
O
C
OA 1 (OB OC),即OC 2OA OB 2a b.
2
DC OC OD OC 2 OB 2a b 2 b 2a 5 b
3
3
3
基础知识反馈
(1).设 a 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的
AB
AC
AC '
为
AC
上的单位向量
AC
则
AB
AC
的方向为∠BAC的角平分线AD的方向
AB AC
y
（如图）
B
《2.2.3向量的数乘运算》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《向量的数乘运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对向量数乘运算的理解，通过实际操作和练习，使学生能够熟练掌握向量的数乘运算法则，并能解决简单的实际问题。
二、作业内容1. 基础练习：（1）理解向量的数乘概念，完成课本中的概念性题目。
（2）掌握数乘的几何意义，理解向量数乘与大小、方向的关系，完成相应的练习题。
2. 技能应用：（1）完成数个具体的向量数乘运算，如给定向量及实数，求得数乘后的向量结果。
（2）利用数乘运算法则解决简单的物理或几何问题，如求线段的中点、平行四边形的对角线等。
3. 综合练习：（1）设计几个涉及向量数乘的实际问题，要求学生通过数乘运算解决。
（2）设计几个开放性问题，让学生自行设定向量及实数进行数乘运算，并探讨其中的规律和性质。
三、作业要求1. 学生需在理解向量的基本概念及数乘意义的基础上完成作业。
2. 每个题目应独立思考，尽量独立完成。
如有不懂之处，可查阅课本或询问老师。
3. 作业应书写规范，步骤清晰，答案准确。
对于计算题，应写出详细的计算过程。
4. 按时提交作业，不拖延。
如遇特殊情况无法按时完成，需及时向老师说明情况。
四、作业评价1. 老师将根据学生完成作业的正确率、解题思路的清晰度、作业的规范性等方面进行评价。
2. 对于表现出色的学生，将在课堂上进行表扬，并作为其他学生的榜样。
3. 对于作业中出现的错误，老师将进行详细讲解，并要求学生及时订正。
五、作业反馈1. 老师将根据学生的作业情况，对教学中的不足进行反思和调整。
2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行重点讲解和练习。
3. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题思路和方法。
4. 定期收集学生的作业反馈和建议，以便更好地改进教学。
通过这种针对性的作业设计方案，希望能够在巩固学生知识的同时，也能培养学生的实践能力和解题思维，使学生能够在学习过程中取得更好的效果。
六、教学思考对于向量的数乘运算这一内容，我们在教学中不仅要让学生掌握基本概念和运算法则，还要让学生在实际应用中能灵活运用，提高学生的数学素养。
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河北武中·宏达教育集团教师课时教案
备课人授课时间
课题 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课标要求要求学生掌握实数与向量的积的定义、数乘运算的三个运算律。
教学目标
知识目标理解向量共线的充要条件。
技能目标掌握实数与向量的积的定义
情感态度价值观掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算
重点向量数乘运算的意义及运算律，向量共线的条件。
难点向量共线的条件。
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动
一、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量a
作出a
+a
+a
和(-a
)+(-a
)+(-a
)
OC=BC
AB
OA+
+=a
+a
+a
=3a
PN=MN
QM
PQ+
+=(-a
)+(-a
)+(-a
)=-3a
讨论：1︒3a
与a
方向相同且|3a
|=3|a
|
2︒-3a
与a
方向相反且|-3a
|=3|a
|
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
a
a
a
a
O A B
C
a
-a
-a
-a
-
N M Q P
的方向与a 的方向相同；当0λ= 时，0a λ=．实数与向量的积的运算律： （结合律）； a b λλ+a+b ）=（第二分配律）（－λ）a ＝－（λa ）＝λ（－λ（a －b ）＝λa ⨯4) a ＝－a ；
）原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝
，使得b a λ=． 三、课堂练习：。