2019年高考总复习数学(理科)模拟试卷(一)含解析
2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考数学模拟试卷(一)
2019年高考数学模拟试卷(一）作者：本刊编辑部试题研究中心
来源：《中学生数理化·高考使用》2019年第08期
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的。
18.（本小题满分12分）
某篮球运动员通过选秀进入美国NBA赛场，通过一年的锻炼，技术日渐成熟，下面统计了他进入NBA赛场的第2年到第6年的成绩，其第x年与其年平均每场得分y（单位：分）之间的数据如表1所示。
19.（本小题满分12分）
如圖6，在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上，底面直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC//AD，且AD =AB =2BC。
2019年陕西省高考数学试题(理科)及答案解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x =M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13(D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D) 4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定8.设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20(B) 20 (C) －15(D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是(A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30](D) [20,30]10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有(A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.13. 若点(x, y)位于曲线|1|=-与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为.y x14. 观察下列等式:2=1122-=-123222-=+31262222+-=-310-124…照此规律, 第n个等式可为.15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为.x三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==1A(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a <b , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.。
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．74．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥05．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170219．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．110．5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．9011．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x 轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(),0a t =r ，()1,3b =-r，若4a b ⋅=r r ，则2a b -=r r ． 14．若()52132x a x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为80，则a = ．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为 ．16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线,MO NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知正项数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，且12,9,a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口()1,2,3,4k A k =.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34，摔倒的概率均为14.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用X 表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后，在最后一圈顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望()E X .19． 如图，在三棱锥P ABC -中，D 为棱PA 上的任意一点，,,F G H 分别为所在棱的中点.（1）证明：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，45BAC ∠=︒，当二面角C GF H --的平面角为3π时，求棱PC 的长.20． 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆()222:0O x y r r +=>与x 轴交于点,,M N P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点,A B ，求AB 的取值范围.21． 已知函数()()326,f x x x ax b a b =-++∈R 的图象在与x 轴的交点处的切线方程为918y x =-. （1）求()f x 的解析式； （2）若()()212910kx x f x x k -<<+对()2,5x ∈恒成立，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为3cos ρθ=. （1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，()5,0A ，若点P 到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求ACP ∠的大小.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3121f x x x a =--++. （1）求不等式()f x a >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围.2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q={﹣1，0，1，2}．故选D【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．7【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0故选：D【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．5．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S+2）（S3+2）1代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0∴sin（φ）=0∴φ=kπ∴φ=故选：D【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．10．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90【考点】二项式系数的性质．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1令5﹣r=2，解得r=3．∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，∴x5y2的系数=×9=90．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积=等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为根据几何概率的计算公式可得P=故选：C【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D ．f （2﹣x 1）≤f （2﹣x 2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f （x ）为常数，可得当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，可得y=f （x ）关于x=1对称．当x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|可得f （x 1）＞f （x 2）．当x 1＜1，x 2＜1时，同理可得f （x 1）＞f （x 2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f （x ）=c ，则f'（x ）=0，此时（x ﹣1）f'（x ）≤0和y=f （x +1）为偶函数都成立，此时当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，因为函数y=f （x +1）为偶函数，所以y=f （x +1）=f （﹣x +1）， 即函数y=f （x ）关于x=1对称，所以f （2﹣x 1）=f （x 1），f （2﹣x 2）=f （x 2）． 当x ＞1时，f'（x ）≤0，此时函数y=f （x ）单调递减，当x ＜1时，f'（x ）≥0，此时函数y=f （x ）单调递增．若x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得x 1﹣1＜x 2﹣1，即1≤x 1＜x 2，所以f （x 1）＞f （x 2）．同理若x 1＜1，x 2＜1，由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得﹣（x 1﹣1）＜﹣（x 2﹣1），即x 2＜x 1＜1，所以f （x 1）＞f （x 2）．若x 1，x 2中一个大于1，一个小于1，不妨设x 1＜1，x 2≥1，则﹣（x 1﹣1）＜x 2﹣1， 可得1＜2﹣x 1＜x 2，所以f （2﹣x 1）＞f （x 2），即f （x 1）＞f （x 2）． 综上有f （x 1）＞f （x 2），即f （2﹣x 1）＞f （2﹣x 2）， 故选A ．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题13．()2,6-- 14．-2 15．3216．2 三、解答题17．解：（1）因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，所以212233a a -=， 则21318a a =+，又12,9,a a 成等比数列，所以()212113189a a a a =+=，解得13a =或19a =-，因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为正项数列，所以13a =.所以()3212133n n a n n =+-=-， 故()213n n a n =-⋅.（2）由（1）得()21333213n n S n =⨯+⨯++-⋅L ， 所以()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅L ，所以()231332333213n n n n S S n +⎡⎤-=+⨯+++--⋅⎣⎦L ，即()2133323221313n n n S n +-⨯-=+⨯--⋅-()1136123n n n ++=-+-⋅()12236n n +=-⋅-， 故()1133n n S n +=-⋅+.18．解：（1）由题意可知：3312744256P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）X 的所有可能值为0,1,2,3,4.则()()31,2,3,44k P A k ==，且1234,,,A A A A 相互独立. 故()()1104P X P A ===，()()121P X P A A ==⋅=3134416⨯=，()()1232P X P A A A ==⋅⋅=23194464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12343P X P A A A A ==⋅⋅⋅=3312744256⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12344P X P A A A A ==⋅⋅⋅=43814256⎛⎫=⎪⎝⎭.从而X 的分布列为所以()139********E X =⨯+⨯+⨯+278152534256256256⨯+⨯=.19．（1）证明：因为,G H 分别为,AC BC 的中点， 所以AB GH ∥，且GH ⊂平面FGH ，AB ⊄平面FGH ，所以AB ∥平面FGH .又因为,F G 分别为,PC AC 的中点，所以有GF AP ∥，FG ⊂平面FGH ， 且AP ⊄平面FGH ，所以AP ∥平面FGH . 又因为AP AB A =I ，所以平面ABP ∥平面FGH . 因为BD ⊂平面ABP ，所以BD ∥平面FGH .（2）解：在平面ABC 内过点C 作CM AB ∥，如图所示，以C 为原点，,,CB CM CF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -.由ABC ∆为等腰直角三角形知BG AC ⊥，又BG C F ⊥，AC CF C =I ，所以有BG ⊥平面PAC .设CF a =，则()2,0,0B ，()1,1,0G -，所以()1,1,0BG =--uuu r为平面PAC 的一个法向量.又()0,0,F a ，()1,0,0H ，所以()1,0,FH a =-uuu r ，()1,1,FG a =--uuu r，设(),,m x y z =u r 为平面FGH 的一个法向量，则有0m FH m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uu u r，即有0x az x y az -=⎧⎨--=⎩，所以可取(),0,1m a =u r .由1cos ,2m BG ==u r uu u r，得1a =，从而22a =. 所以棱PC 的长为2.20．解：（1）因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b x b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0y b =时，()max 12PMN S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =，所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3AB =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +.因为直线l1=，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()224843k m ∆=+-=()248320k +>，122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+.AB ===24k+=令2134t k =+，则214034t k <=≤+，所以AB =，403t <≤，所以AB =33AB <≤.综上，AB 的取值范围是⎛ ⎝⎦.21．解：（1）由9180x -=得2x =，∴切点为()2,0. ∵()2312f x x x a '=-+，∴()2129f a '=-=，∴21a =，又()282420f a b =-++=，∴26b =-，()3262126f x x x x =-+-. （2）由()9f x x k <+得()9k f x x >-=3262126x x x -+-，设()3261226g x x x x =-+-，()()2344g x x x '=-+=()2320x ->对()2,5x ∈恒成立，∴()g x 在()2,5上单调递增，∴()59k g ≥=.∵()()32612892f x x x x x =-+-+-=()()3292x x -+-，∴由()()21210kx x f x -<对()2,5x ∈恒成立得()129102x k x x x -<+-213212x x x -=+-对()2,5x ∈恒成立，设()()21321252x h x x x x -=+<<-，()()22213132x x h x x x -+'=-， 当25x <<时，213130x x -+<，∴()0h x '<，∴()h x 单调递减，∴()165105k h ≤=，即12k ≤. 综上，k 的取值范围为[]9,12.22．解：（1）∵3cos ρθ=，∴23cos ρρθ=，∴223x y x +=，即223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴圆C 的参数方程为33cos ,223sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）.（2）由（1）可设333cos ,sin 222P θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[)0,2θπ∈，sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0y -+=， 则P到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3sin 23πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 03πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[)0,2θπ∈，∴3πθ=或43π，故3ACP π∠=或23ACP π∠=. 23．解：（1）由()f x a >，得3121x x ->+， 不等式两边同时平方得，22961441x x x x -+>++， 即2510x x >，解得0x <或2x >.所以不等式()f x a >的解集为()(),02,-∞+∞U .（2）设()3121g x x x =--+=12,2115,2312,3x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，作出()g x 的图象，如图所示，因为()()020g g ==，()()()34213g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，所以()()30,40,f f <⎧⎪⎨≥⎪⎩即1020a a +<⎧⎨+≥⎩，故a 的取值范围为[)2,1--.。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
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PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(解析版)
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|x≤﹣2}D．{x|x≥1}2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的体积为（）A．4B．8C．16D．244．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为（）A．1B．2C．3D．65．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A．5B．7C．9D．116．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且2+a5＝a6+a3，则S7＝（）A．28B．14C．7D．27．（5分）下列判断正确的是（）A．“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的充分不必要条件B．函数的最小值为2C．当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的逆否命题为真命题D．命题“∀x＞0，2019x+2019＞0”的否定是“∃x0≤0，2019x+2019≤0”8．（5分）已知函数f（x）＝3x+2cos x，若，b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．（5分）在各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为（）A．B．1C．D．10．（5分）齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，且当x≥a时，f（x）＝e x﹣2a．若A，B是函数f（x）图象上的两个动点，点P（a，0），则当的最小值为0时，函数f（x）的最小值为（）A．e B．e﹣1C．e D．e﹣212．（5分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右顶点为A，B．P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当（3﹣）+3（ln|m|+ln|n|）取得最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1的右焦点为F，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为．14．（5分）（2x+）4展开式的常数项是．15．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝4，，则a5＝．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，P A ⊥平面ABCD，点M是棱PC的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面BMD；（Ⅱ）当P A＝时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这些小龙虾标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值x与销售单价y之间的关系，经统计得到如下数据：（Ⅰ）已知销售单价y与等级代码数值x之间存在线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.1）；（Ⅱ）若莫斯科某个餐厅打算从上表的6种等级的中国小龙虾中随机选2种进行促销，记被选中的2种等级代码数值在60以下（不含60）的数量为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：对一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线＝x的斜率和截距最小二乘估计分别为：＝，＝．参考数据：x i y i＝8440，x＝25564．20．（12分）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P 满足＝3，记动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设不经过点H（0，1）的直线y＝2x+t与曲线C相交于两点M，N．若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，若关于x的不等式f（x）+（x+）e x﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（0，﹣1）．若直线l与曲线C相交于两点A，B，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|．（Ⅰ）求不等式f（x）﹣3＜0的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m2﹣2m﹣＝0无实数解，求实数m的取值范围．2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝{x|x＞﹣2}．故选：A．2．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限．故选：D．3．【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且侧棱AO与底面OCB垂直，其直观图如图：∵其俯视图是直角三角形，直角边长为2；4；∴OA＝6，∴棱锥的体积V＝＝8．故选：B．4．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（0，1），由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移y＝﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z＝1．故选：A．5．【解答】解：执行如图所示的程序框图如下，n＝1时，S＝＝，n＝3时，S＝+＝，n＝5时，S＝++＝，n＝7时，S＝+++＝，满足循环终止条件，此时n＝9，则输出的n值是9．故选：C．6．【解答】解：∵2+a5＝a6+a3，∴a4＝2，S7＝＝7a4＝14．故选：B．7．【解答】解：“x＜﹣2”推不出“ln（x+3）＜0”，反正成立，所以“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的充分不必要条件，所以A不正确；函数的最小值为3+；所以B不正确；当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”是真命题，所以它的逆否命题为真命题；所以C正确；命题“∀x＞0，2019x+2019＞0”的否定是“∃x0≤0，2019x+2019≤0”不满足命题的否定形式，所以D不正确；故选：C．8．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3x+2cos x，其导数函数f′（x）＝3﹣2sin x，则有f′（x）＝3﹣2sin x＞0在R上恒成立，则f（x）在R上为增函数；又由2＝log24＜log27＜3＜，则b＜c＜a；故选：D．9．【解答】解：高各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱长为2，以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，2），M（，1，1），B（，1，0），N（0，1，0），＝（，﹣1），＝（﹣，0，0），设异面直线A1M与BN所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴tanθ＝．∴异面直线A1M与BN所成角的正切值为．故选：C．10．【解答】解：设齐王上等，中等，下等马分别为A，B，C，田忌上等，中等，下等马分别为a，b，c，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有：（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（A，c），（B，b），（B，c），（C，c），共6种，∴齐王的马获胜的概率为p＝＝．故选：C．11．【解答】解如图，显然的模不为0，故当最小值为0时，只能是图中的情况，此时，P A⊥PB，且P A，PB与函数图象相切，根据对称性，易得∠BPD＝45°，设B（x0，y0），当x≥a时，f′（x）＝e x﹣2a，∴∴x0＝2a∵P（a，0）∴PD＝a，∴BD＝a，即B（2a，a），∴e2a﹣2a＝a，∴a＝1，∴当x≥1时，f（x）＝e x﹣2，递增，故其最小值为：e﹣1，根据对称性可知，函数f（x）在R上最小值为e﹣1．故选：B．12．【解答】解：A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），则，则m＝，n＝，∴mn＝＝，∴（3﹣）+3（ln|m|+ln|n|）＝＝，令＝t＞1，则f（t）＝．f′（t）＝＝，∴当t＝2时，函数f（t）取得最小值f（2）．∴．∴e＝，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2＝1的a＝b＝1，c＝，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则F到渐近线的距离为d＝＝1．故答案为：1．14．【解答】解：由通项公式得：T r+1＝C（2x）4﹣r（）r＝24﹣r C x4﹣2r，令r＝2，得展开式的常数项为：24﹣2C＝24，故答案为：2415．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝4，a n+1＝S n，①，则：当n≥2时，a n＝S n﹣1②①﹣②得：a n+1﹣a n＝a n，所以：（常数），所以：数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列．所以：（首项不符合通项）．故：，当n＝5时，．故答案为：3216．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（1）由题意可得，，由余弦定理可得，cos A＝（2分）即＝，（4分）∴a＝（6分）（2）∵a＝，b＝1，由正弦定理可得，sin B＝＝＝（8分）∵a＞b，∴B＝，（9分）C＝π﹣A﹣B＝（10分）∴S△ABC＝＝＝（12分）18．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连结AC，交BD于点O，连结MO，∵M，O分别为PC，AC的中点，∴P A∥MO∵P A⊄平面BMD，MO⊂平面BMD，∴P A∥平面BMD．解：（Ⅱ）如图，取线段BC的中点H，连结AH，∵ABCD为菱形，∠ABC＝，∴AH⊥AD，分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∴A（0，0，0），B（），C（），P（0，0，），M（），∴＝（，），＝（0，2，0），＝（），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，∴＝（1，0，1），设直线AM与平面PBC所成角为θ，∴sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：＝（38+48+58+68+78+88）＝63，＝（16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8）＝21.5，＝≈0.2，＝﹣＝8.9，故所求回归方程是：＝0.2x+8.9；（Ⅱ）由题意知X的所有可能为0，1，2，∵P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，故X的分布列为：故E（X）＝0×+1×+2×＝1．20．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），∵，∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（3m﹣3x，﹣3y），即，∴，∵|AB|＝4，∴m2+n2＝16，∴，∴曲线C的方程为：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y得，37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，可得﹣，又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，∴t≠±1，又，，∴k HM+k HN＝＝＝4﹣＝1，解得t＝3，故t的值为3．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：f′（x）＝，∵当a＜0，x＞0时，有ax﹣e x＜0，∴当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）由题意当a＝1时，不等式f（x）+（x+）e x﹣bx≥1恒成立，即xe x﹣lnx+（1﹣b）x≥1恒成立，即b﹣1≤e x﹣﹣恒成立，设g（x）＝e x﹣﹣，则g′（x）＝，设h（x）＝x2e x+lnx，则h′（x）＝（x2+2x）e x+，当x＞0时，有h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，且h（1）＝e＞0，h（）＝﹣ln2＜0，故函数h（x）有唯一零点x0，且＜x0＜1，故当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）递增，即g（x0）为g（x）在定义域内的最小值，故b﹣1≤﹣﹣，∵h（x0）＝0，得x0＝﹣，＜x0＜1，…（*）令k（x）＝xe x，＜x＜1，故方程（*）等价于k（x）＝k（﹣lnx），＜x＜1，而k（x）＝k（﹣lnx）等价于x＝﹣lnx，＜x＜1，设函数m（x）＝x+lnx，＜x＜1，易知m（x）单调递增，又m（）＝﹣ln2＜0，m（1）＝1＞0，故x0是函数的唯一零点，即lnx0＝﹣x0，＝，故g（x）的最小值g（x0）＝1，故实数b的取值范围是（﹣∞，2]．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）已知直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．曲线C的极坐标方程是．转换为直角坐标方程为：x2+y2＝2x+2y，整理得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，（2）将直线l的参数方程为（t为参数），代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．得到：，化简得：，所以：（t 1和t2为A、B对应的参数）．故：．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当x≥，f（x）﹣3＝2x﹣1++1﹣3＜0，解得x＜，即有≤x ＜；当﹣2＜x＜时，f（x）﹣3＝1﹣2x++1﹣3＜0，解得x＞﹣，即有﹣＜x＜；当x≤﹣2时，f（x）﹣3＝1﹣2x﹣﹣1﹣3＜0，解得x＞﹣，即有x∈∅．综上可得原不等式的解集为（﹣，）：（Ⅱ）由f（x）＝，可得f（x）的值域为[，+∞），关于x的方程f（x）﹣m2﹣2m﹣＝0无实数解，可得m2+2m+＜，即m2+2m＜0，解得﹣2＜m＜0，则m的范围是（﹣2，0）．。
广东省广州市2019届高三年级第一学期调研考试(一模)理科数学试题(解析版)
2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合M=2{|02},{|230},x x N x x x ?=--<则集合M N Ç=（ ）A. {|02}x x ?B. {|03}x x ?C. {|12}x x -<<D. {|01}x x ?【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合N ，再由交集的定义即可得结果. 【详解】因为集合{}|02M x x=?,{}{}2|230|13N x x x x x =--<=-<<,{}|02M Nx x \??,故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集问题，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2.若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运箅化简复数1a iz i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数，1010a a ì+?ï\í-=ïî，即1a =，故选C.主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）． A. 1 B. 53C. 2D. 3 【答案】C 【解析】试题分析：因为322123124S a a =??，所以32642d a a =-=-=，选C.考点：等差数列性质4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A. 230x y +-= B. 210x y -+= C. 230x y +-= D. 210x y --= 【答案】D 【解析】圆心C(3,0)，k PC ＝12-，∵点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ， ∴k MN k PC ＝－1，∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.考点：圆的弦所在的直线方程.5.已知实数ln222,22ln 2,(ln 2)a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是 A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a c b << 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】由对数函数的性质0ln21<<, 所以22ln 22,+>所以由指数函数的单调性可得，200ln 2112222,0ln 2ln 21=<<=<<=，c a b \<<，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间()()()0,1,1,2,2,+? ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 6.下列命题中，真命题的是（ ） A. 00,0x x R e $危B. 2,2xx R x "?C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 若,x y R Î，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的值域判断A ；根据特殊值判断B C 、；根据逆否命题与原命题的等价性判断D . 【详解】根据指数函数的性质可得x 0e >,故A 错误；2x =时，22x x >不成立，故B 错误；当0a b ==时，1ab=-不成立，故C 错误； 因为“2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1”的逆否命题 “,x y 都小于等于1，则2x y +?”正确，所以“2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1”正确，故选D.【点睛】本题主要考查指数函数的值域、特称命题与全称命题的定义，以及原命题与逆否命题的等价性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7.由()y f x =的图象向左平移3p个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到sin 36y x p 骣琪=-琪桫的图象，则()f x =（ ） A. 3sin 26x p 骣琪+琪桫 B. sin 66x p 骣琪-琪桫 C. 3sin 23x p骣琪+琪桫D. sin 63x p 骣琪+琪桫 【答案】B 【解析】将36y sin x p骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12，再把所得图象向右平移3p 个单位，即可得到()f x 的图象，根据三角函数的图象变换规律可得()f x 的解析式.【详解】将36y sin x p骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12，可得函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象， 再把函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象向右平移3p 个单位，即可得到()66366f x sin x sin x p pp 轾骣骣犏琪琪=--=-琪琪犏桫桫臌的图象， 所以()f x = 66sin x p骣琪-琪桫，故选B. 【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8. 已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A.13 B. 12 C. 59 D. 29【答案】C 【解析】试题分析：甲取出的求有两种情况：（1）从甲取出1黄球1红球，概率为：132136213C C C ?，（2）从甲取出2红球，概率为：142136129C C C ?，故概率为125399+=．考点：1、古典概型；2、分类加法、分步乘法计数原理．9.已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A.1 B. 31 C. 51 D. 22【解析】 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A 的坐标，将A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数,,a b c 的关系，则双曲线的离心率可求.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p骣琪琪桫，双曲线的焦点坐标为(),0c ，2p c \=，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ^轴，将x c =代入双曲线方程得到2,b A c a骣琪琪桫， 将A 的坐标代入抛物线方程可得,422222444b pc c a b a===+， 即4224440a a b b +-=，解得222ba=+ 22222222b c a a a -\==+)22232221c a=+=解得21ce a==，故选A . 【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A. 3(1)2n n -++? B. 3(1)2n n ++? C. 1(1)2n n ++? D. 1(1)2n n +-? 【答案】D 【解析】当1q = 时，不成立，当1q ¹ 时，()3161171{1a q q a q -=-- ，两式相除得3631171163q q q -==-+ ，解得：2q = ，11a = 即1112n n n a a q --== ，12n n n a n -?? ，2112232......2n n s n -=+??+? ，2n s = ()211222......122n n n n -??+-?? ，两式相减得到：21122......22n n n s n --=++++-?()12212112n nn n n -=-?-?- ，所以()112nn s n =+-? ，故选D.11.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A.203 B. 7 C. 223 D. 233【答案】C 【解析】该几何体为如图所示的几何体11EFBC ABCD -，是从棱长为2的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分，其体积111111131111211212273232A B C D ABCD A A EF D D BC V V V V ---=--=-创创-创创=，故选C. 12.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =?的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()(--4)0+ト?，，B. ()0+¥， C. ()(--1)1+ト?，， D. ()--1¥， 【答案】A 【解析】 【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为20x a =，整理得到方程2000x ax a --=有两个解即可，240a a D=+>解出不等式即可.【详解】设切点为()00,x x x e ，(1)x y x e =+¢，000(1)x x x y x e =\=+?¢，则切线方程为：()00000=1()x x y x e x e x x -+?，切线过点(,0)A a 代入得：()00000=1()x x x e x e a x -+?， 2001x a x \=+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a D=+>?或4a <-. 故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 的夹角为45°，且1,2a b ==，则a b -=__________ 【答案】1 【解析】 【分析】先利用平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式求出a b -平方的值，再开平方即可得结果. 【详解】因为向量,a b 的夹角为45°，1,2a b ==，()2222a b a b a b -=+-?222cos 45a b a b °=+-?21221212=+-创?，可得1a b -=，故答案为1.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式，属于简单题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a ba b q ?；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.14.已知423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________． 【答案】1令1x =，得401234(23)a a a a a +=++++； 令1x =-，得401234(23)a a a a a -+=-+-+；两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++?+--444(2(23)(1)1=?=-=．点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b +++?R 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)n ax by a b +?R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.15.已知实数,x y 满足203500x y x y x y ì-?ïï-+?ïí>ïï>ïî，则11()()42x y z =的最小值为__________．【答案】C 【解析】试题分析：不等式组20{350x y x y -?-+?表示的平面区域如下图所示，目标函数2111()()()422x y x y z +==，设2t x y =+，令20x y +=得到如上图中的虚线，向上平移20x y +=易知在点()1,2A 处取得最小值，min 4t =，所以目标函数4min 11()216z ==. 考点：线性规划.16.在四面体P ABC -中，1PA PB PC BC ====，则该四面体体积的最大值为________． 3由于平面PBC 是边长为1的正三角形，P ABC A PBC V V --= ，底面面积固定，要使体积最大，只需高最大，故当PA ^平面PBC 时体积最大，2133113V =创?.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.17.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin B C A A B -=+. （1）求角C 的大小；（2）若A=6p，△ABC 的面积为43M 为BC 的中点，求AM. 【答案】(1) 2;3C p=(2) 27【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出根据cos C 的值，可求角C 的大小；（2）求得()6B AC A pp =-+==，ABC D为等腰三角形，由三角形面积公式可求出CB CM 、的值，再利用余弦定理可得出AM 的值. 【详解】(1)∵222cos cos sin sin sin B C A A B -=+∴()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ---=+（） ∴222sin sin sin sin sin C B A A B -=+由正弦定理得：222c b a ab -=+即222a b c ab +-=-∴22211cos 222a b c C ab +-=-=-即∵C 为三角形的内角，∴23C p= (2)由（1）知23C p =，∴()6B AC A pp =-+== ∴△ABC 为等腰三角形，即CA=CB 又∵M 为CB 中点 ∴CM=BM 设CA=CB=2x 则CM=BM=x1sin 432CABSCA CB C =鬃=∴CA=4,CM=2由余弦定理得：222cos 27CA CM CM CA C +-鬃=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 得分布列和数学期望.【答案】(1) 30.2；(2)分布列见解析， 400. 【解析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）X 的可能取值为：240， 300，360, 420, 480，根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236，利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】(1)样本的质量指标平均值为0.0417.50.162.5??????30.2=. 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2 .（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111,,236， 随机变量X 的取值为：240， 300，360, 420, 480，()()12111111240;3006636369P X P X C ==?==创=；()()112211115111360;420263318233P X C P X C ==创+?==创=， ()111480224P X ==?， 所以随机变量X 的分布列为：()115112403003604204804003691834E X \=?????.【点睛】本题主要考查直方图的应用，互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A-CD-F 为60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD=2，DE=DC=3，CF=6.（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B-EG-D 的余弦值为14. 【答案】（1）详见解析；（2）点G 满足32CG =. 【解析】 【分析】（1）先证明//BC 平面ADE ，//CF 平面ADE ，可得平面//BCF 平面ADE ，从而可得结果；（2）作AO DE ^于点O ，则AO ^平面CDEF ，以平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设()3,,0,15G t t-＃，利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面BEG 的法向量，结合面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，利用空间向量夹角余弦公式列方程解得12t =，从而可得结果.【详解】（1）因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ， 又因为BC 不包含于平面ADE ， 所以BC ∥平面ADE ，因为DE ∥CF ，CF 不包含于平面ADE ， 所以CF ∥平面ADE ，又因为BC ∩CF ＝C ，所以平面BCF ∥平面ADF ， 而BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ．（2）∵CD ⊥AD ，CD ⊥DE∴∠ADE 为二面角A-CD-F 的平面角 ∴∠ADE=60° ∵CD ⊥面ADE\平面CDEF ^平面ADE ，作AO DE ^于点O ，则AO ^平面CDEF ，由2,3AD DE ==，得1,2DO EO ==，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()3,3,1,0,0,1,0,0,2,0,3,5,0A C D E F --，()3OB OA AB OA DC =+=+=，设()3,,0,15G t t-＃，则()()3,2,3,0,,3BE BG t =--=-，设平面BEG 的法向量为(),,m x y z =，则由00m BE m BG ì?ïí?ïî，得323030x y z ty z ì-+-=ïíï-=î，取233x ty z tì=-ïï=íïïî， 得平面BEG 的一个法向量为()23m t t =-， 又面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，23cos ,4413m n t m n m n t t ×\==-+，314t\=， 解得12t =或1322t =-（舍去），此时14CG CF =，得1342CG CF ==，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点P 3(3,在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求△1F AB 的内切圆的半径的最大值.【答案】（1） 22143x y += ；(2) 最大值为34.【解析】 【分析】 (1) 根据离心率为12，点33,骣琪琪在椭圆上，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）可设直线l 的方程为1x m y =+，与椭圆方程联立，可得()2234690m ymy ++-=，结合韦达定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得12121221121234F ABm S F F y y m D +=-=+，换元后利用导数可得，1F ABS D 的最大值为3，再结11442F AB S a r rD =?可得结果.【详解】（1）依题意有22222123314c a a b c a bì=ïïï=+íïï+=ïî，解得231a b c ì=ïï=íï=ïî故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB D 的内切圆半径为r ，1F AB D 的周长为121248AF AF BF BF a +++==，11442F AB S a rr D \=?，根据题意知，直线l 的斜率不为零， 可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ìï+=íï=+ïî，得()2234690m y my ++-=， ()()22636340,m m m R D=++>?，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++， ()12212121212112142F ABm S F F y y y y y y D +\=-+-=，令t ，则1t ³，12124313F AB t S t t tD \==++， 令()13f t t t =+，则当1t ³时，()()21'10,3f t f t t=->单调递增，()()141,33F AB f t f S D \??，即当1,0t m ==时，1F AB S D 的最大值为3，此时max 34r =，故当直线l 的方程为1x =时，1F AB D 内切圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 21.已知函数21()(2ln ),x f x a x x a R x-=-+?. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 的有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当a≤0，()f x 在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当104a <<，()f x 在（0，2）和a +?）上单调递增，在（2，aaa=14，()f x 在（0，+∞）递增；当a ＞14，()f x 在（02，+a 2）递减；(2) ()1,081ln2a 骣琪?琪-桫.【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分四种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?，又()10f a =<，取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪，可证明()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<，()f x 有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--，可证明，当14a =时与当0a >且14a ¹时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+?，()()()2332122'1x ax x f x a xx x --骣-琪=-+=琪桫， （i ）当0a £时，210ax -<恒成立，()0,2x Î时，()()'0,f x f x >在()0,2上单调递增； ()2,x ??时，()()'0,f x f x <在()2,+?上单调递减.（ii ）当0a >时，由()'0f x =得，1232,x x x a a===-（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x ³恒成立，()f x 在()0,+?上单调递增；②当12x x >，即14a >时，x a骣琪Î琪桫或()2,x ??，()'0f x >恒成立，()f x 在(),2,a骣琪+?琪桫上单调递增；2x 骣Î时，()'0f x <恒成立，()f x 在2a骣琪琪桫上单调递减. ③当12x x <，即104a <<时，x a骣琪??琪桫或()0,2x Î时，()'0f x >恒成立，()f x 在()0,2,a骣琪+?琪桫单调递增，x 骣琪Î琪桫时，()'0f x <恒成立，()f x 在a骣琪琪桫上单调递减. 综上，当0a £时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?；当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+?，无单调递减区间为；当14a >时，()f x 单调递增区间为(),2,a 骣琪+?琪桫，单调递减区间为2a骣琪琪桫. （2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?，又()10f a =<，取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪，令()()1212ln ,f x x x f x x =-=，则()12'10f x x=->在()2,+?成立，故()12ln f x x x =-单调递增，()()1052ln5122ln51f x ?=+->，()()0002220000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<， ()f x \有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--，1088ln 2a \>>--，当0a =时，()21x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在()0,+?单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当0a >且14a ¹时，()f x 有两个极值，()()1222ln 20,2ln 4f a f a a a a a骣琪=-+>=-琪桫， 记()2ln g x x x x x =-，()()'1ln 1ln 2g x x x xx=++-+， 令()ln h x x x=+，则()3221121'22x h x x x x -=-+， 当14x >时，()()'0,'h x g x >在1,4骣琪+?琪桫单调递增；当104x <<时，()()'0,'h x g x <在10,4骣琪琪桫单调递减， 故()()1''=22ln 20,4g x g g x 骣琪>->琪桫在()0,+?单调递增，0x ®时，()0g x ®，故2ln 0f a a a a a骣琪=->琪桫，又()()1222ln 204f a =-+>，由（1）知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2骣琪-琪-桫.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.（二）选考题：共10分，请在22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C 的极坐标方程为23cos 2sin r q q =+，直线()1:6l R p q r =?，直线()2:3l R pq r =?，设极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求直线12,l l 的直角坐标系方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于O 、A 两点，直线2l 与曲线C 交于O 、B 两点，求△AOB 的面积.【答案】（1）13:l y x = ； 2:3l y x ；32,12x cos y sin q q qì=ïíï=+î 为参数；（2）23【解析】 【分析】（1）利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点，可得到直线1l 与直线2l 的直角坐标方程；曲线C 的极坐标方程两边同乘以r 利用222,cos ,sin x y x y rr q r q =+== 即可得其直角坐标方程，然后化为参数方程即可；（2）联立6232sin pq r q qì=ïïíï=+ïî，得14OA r ==，同理223OB r ==形面积公式可得结果.【详解】（1）依题意，直线1l 直角的坐标方程为3y x =， 直线2l 直角的坐标方程为3y x ，由2sin r q q =+得223cos 2sin rr q r q =+，222,cos ,x y x sin y r r q r q =+==，()()222314x y r \=-+-=，\曲线C 的参数方程为32cos (12x y sin a a aì=ïíï=+î为参数）.（2）联立6232sin pq r q qì=ïïíï=+ïî，得14OA r ==， 同理223OB r ==6AOBp?， 11142323222AOB S OA OB sin AOB D \=?创?，即AOB D 的面积为23【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程，属于中档题. 利用关系式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî，222tan x y yxr q ì+=ïíï=ïî可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()()13f x x a a R =-?. （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+?； （2）设不等式()13x f x x -+?的解集为M ，若11[,]32M Í，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|01}x x x ３或．（2）14[,]23-． 【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论求解．（2）利用11,32x 轾Î犏犏臌化简313x x a x -+-?得到1x a -?在区间11,32轾犏犏臌上是恒成立的，也就是11a x a -<<+是不等式11,32轾犏犏臌的子集，据此得到关于a 的不等式组，求出它的解即可．解析：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-?．①当13x £时，原不等式可化为3123x x -++-?，解得0x £，所以0x £； ②当123x <<时，原不等式可化为3123x x --+?，解得1x ³，所以12x ?； ③当2x ³时，原不等式可化为3123x x --+?，解得32x ³，所以2x ³．综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ３或． （2）不等式()13x f x x -+?可化为313x x a x -+-?，依题意不等式313x x a x -+-?在11,32轾犏犏臌恒成立，所以313x x a x -+-?，即1x a -?，即11a xa -＃+，所以113112a a ì-?ïïíï+?ïî．解得1423a -＃，故所求实数a 的取值范围是14,23轾-犏犏臌．。
贵州省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
贵州省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前贵州省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）已知集合A={-1,1,2}，B={x|x²≤1}，则A∩B=（）A。
{-1,1} B。
{0,1} C。
{-1,1} D。
{0,1,2}2.（5分）若z(1+i)=2i，则z=（）A。
-1-i B。
-1+i C。
1-i D。
1+i3.（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著。
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A。
0.5 B。
0.6 C。
0.7 D。
0.84.（5分）(1+2x²)(1+x)⁴的展开式中x³的系数为（）A。
12 B。
16 C。
20 D。
245.（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a₅=3a₃+4a₁，则a₃=（）A。
16 B。
8 C。
4 D。
26.（5分）已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则（）A。
a=e，b=-1 B。
a=e，b=1 C。
a=e¹，b=1- D。
a=e¹，b=-1-7.（5分）函数y=在[-6,6]的图象大致为（）A。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科试题(含解析)
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i 2i+=-+（ ）A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b>>>4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 5．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线053=+-y x 垂直，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．310C ．10D ． 22 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310π B ． 320π C ． 3110π- D ． 3120π- 7．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1414B ．8314C ．1313 D ．138．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和i 的值分别为（ ）A ． 2，4B ． 2，5C ． 0，4D ． 0，59.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，ac=（ ）A ．2B ．3C ．33D ．2211．已知为抛物线x y C 4:2=的焦点，C B A ,,为抛物线C 上三点，当0=++FC FB FA 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 3个D ． 无数个12．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()x f x '⋅()1f x +>，且()12018f =．则不等式()20171f x x<+的解集是（ ）A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()()1,00,1-D ．()(),11,-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 若()201512x -=2015012015a a x a x ++⋯+（x R ∈），则20151222015222a a a ++⋯+的值为 ．14． 如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为 ．15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分） 已知函数()()21cos 3sin cos 06662f x x x x ωωωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调区间和最大值、最小值．18．（本题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=，2PA AB BC ===，90ABC ∠=，1AD =，M 是棱PB 中点且2AM =（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN DC λ=，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.20．（本题满分12分）已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．（本题满分12分） 已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数， 2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数． （1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2.【答案】A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之， 22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.3．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0ab <. 综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 4.【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．5．【答案】B【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的渐近线方程为x aby -=，又直线053=+-y x 斜率为3，∴31=a b 故91222=-a a c ， 双曲线的离心率310==a c e ，故选B. 6．【答案】．D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 7．【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．在11Rt AC D △中，111C D =，2212313AD =+=，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===．故选A ． 8．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，，不满足，不满足；满足； 满足； 满足；不满足，满足，输出的值为2，i 的值为，故选B. 9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK] 【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．10．【答案】C【解析】由正弦定理得222202a b c b a ab +-+⋅= ，∴22220a b c +-=，2222c a b -=，∴22222333cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===⋅+≥当344a c c a =，即3a c =时cos B 取最小值．故选C ． 11．【答案】D【解析】抛物线方程为x y C 4:2=,C B A ,,为曲线上三点， 当0=++FC FB FA 时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使AF FD 21=， 当D 在抛物线内部时，设),(00y x D 若存在以D 为中点的弦BC ， 设),(),,(2211n m C n m B ，则0210212,2y n n x m m =+=+，2121m m n n k BC --=则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144m n m n ，两式相减化为，021212124y n n m m n n k BC =+=--=，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D. 12．【答案】C【解析】当0x >时，()()1x f x f x '⋅+>，∴()()10x f x f x '⋅+->，令()()()()1F x x f x x x f x =⋅-=-，则()()()10F x x f x f x ''=⋅+->，即当0x >时，()F x 单调递增．又()f x 为R 上的偶函数，∴()F x 为R 上的奇函数且()00F =，则当0x <时，()F x 单调递增．不等式()20171f x x <+，当0x >时，()2017x f x x ⋅<+，即()2017x f x x ⋅-<，()()1112017F f =-=，即()()1F x F <，∴01x <<；当0x <时，()2017x f x x -⋅<-+，()2017x f x x ⋅->-，()()112017F F -=-=-， 即()()1F x F >-，∴10x -<<．综上，不等式()20171f x x<+的解集为()()1,00,1-．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】-1【解析】在二项式展开式中，令12x =，得201501201511022a a a ⎛⎫=++⋯+ ⎪⎝⎭，令0x =得01a =，所以2015120220151222a a aa ++⋯+=-=-，故选C.14.51【解析】析 画出可行域如图7-14所示阴影部分（含边界），设圆心为'O 到直线210x y -+=的距离为d ，则55d ==，所以min 151PQ d =-=，故选A.15．【答案】120【解析】先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可. 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.16．【答案】2【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高22h a b +，设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，224h r ==．∴22h =22282a b h ab +==≥，∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“=”成立．∴三棱柱的体积12422V Sh abh ab ===≤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1，12-．【解析】（1）()1cos 2133cos 26262x f x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪πππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 2133sin 2662x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪ππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 312cos 2323x x ωωππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =sin 2sin 2366x x ωωπππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π，则44T π=， ∴周期22T ωπ==π，则1ω=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； O ' CyAB 220x y -+=O图 7-14210x y -+=20x y +-=x()2245BD αϕ++=4245BD +≥， 即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥3sin 5α=，203c =． （2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，令2662x πππ-≤-≤得03x π≤≤，令52266x πππ≤-≤得32x ππ≤≤，∴()f x 的增区间为03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，减区间为32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,．∵()f x 在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增，在区间上32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减，又∵()102f =-，122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()min 102f x f ==-，()max 13f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分） 【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）121140；（3）34． 【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ， 则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=． （3）一个人是“好视力”的概率为14，ξ的可能取值为0，1，2，3． ()33402746P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，()2131327C 44641P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=， ()223139C 44426P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=，()3114634P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，ξ的分布列为()27279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本题满分12分） 明（2）23λ=【答案】（1）见证中点K ，连接【解析】（1）取PCMK ，KD ，因为M 为PB 的中点，所以//MK DC 且12MK BC AD ==， 所以四边形AMKD 为平行四边形，所以//AM DK ， 又因为DK ⊂平面PDC ，AM ⊄平面PDC ， 所以//AM 平面PCD .（2）因为M 为PB 的中点，设PM MB x ==， 在PAB ∆中，∵PMA AMB π∠+∠=，设PMA θ∠=，ζ 0 1 23P64276427 649 641则AMB πθ∠=-，所以cos cos 0PMA AMB ∠+∠=，由余弦定理得222222022PM AM PA BM AM AB PM AM BM AM+-+-+=⋅⋅， 即222424044x x x x+-+-+=，所以x =则PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，∵PA AD ⊥，AP AB ⊥且ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD ，且90BAD ABC ∠=∠=，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，因为点N 是线段CD 上一点，可设()1,2,0DN DC λλ==，()()()()()()1,0,01,2,01,2,01,2,00,1,11,21,1AN AD DN MN AN AM λλλλλλλ⎧=+=+=+⎪⎨=-=+-=+--⎪⎩，又面PAB 的法向量为()1,0,0，设MN与平面PAB所成角为θ，则sin θ=====，所以当1315λ=+时，即533λ=+，23λ=时，sin θ取得最大值. 所以MN 与平面PAB 所称的角最大时23λ=. 20．（本题满分12分）【答案】（1）2216x y +=（2【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)xy a b a b +=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =.故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()()2221612610k x kmx m +++-=. 因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+则12MN x =-==因为3MN =3=.整理得 ()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 的. 21．（本题满分12分） 【答案】（1）e （2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，因为()ln x f x ax b x=-+，所以()2ln 1'ln x f x a x-=-.所以函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为y e ae b ax e --+=--，即y ax e b =-++.已知函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+，比较求得b e =.所以实数b 的值为e .（2）由()014f x e ≤+，即0001ln 4x ax e e x -+≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则 ()2222211ln 4'4ln 4ln x x h x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11'0p x x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，即()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h e e e e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）1C ：13422=+y x ，2C ：1=x ；（2）[]3,4． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：13422=+y x ， 当2k θπ≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：θθtan tan -=x y ， 当2k θπ=+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ； （或曲线2C ：0sin cos sin =--θθθy x ） （2）将2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数代入1C ：13422=+y x 化简整理得： ()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+ 则()2236cos 36sin 31440∆θθ=++=>恒成立，∴1212212sin 3PA PB t t t t θ+=+=-=+，∵[]2sin 0,1θ∈，∴[]3,4PA PB +∈．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）[]5,1-．【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤， 综上所述，不等式的解集为{}21x x -≤≤． （2）∵()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+，∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤，∴a 的取值范围为[]5,1-．。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；10.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此直接改写每段话。
2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.已知集合A为{x-1<x<1}，集合B为{-1≤x≤2}，则AB 的并集为[ -1.2 )。
2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。
已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码，当输出y的值为2时，则输入的x的值为e。
6.在平面直角坐标系xOy中，圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图，三个相同的正方形相接，则XXX∠XXX的值为1.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD上一点，且PE=2ED。
设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。
若M是FN的中点，则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。
e)。
11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）。
现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为3.12.如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且AM=2，点N为线段AM的中点，若AB×AC=28，则NB×NC的值为21.13.已知正数x，y满足x+y+1/x+1/y=10，则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足：a1=2，an=cos(πn/2)+3sin(πn/2)，其中n∈N，且nπ/2∈(0.π/2)。
北京专家2019届 高考模拟试卷(一)理科数学ppt
故 A 为锐角， A ，故 bc 8 3,S 1 bc sin A 2 3.………………6 分
6
2
18. （本小题满分 12 分）如图表格为过去五年（2013—2017）国内旅游总花费折线图. (I)由折线图可知，国内旅游总花费
y （单位：万亿元）与年份代码
（年份代码 1—5 分别对应年份 20
an1
an
an
a1
an
1 an
n
1 ，bn
n an
n2 n n,
由 {bn } 是单调递减数列，
bn1
bn
2n 1
0
(
1 2n )min
1 2
，故选
A.
11. 已知 a, b 是平面内的单位向量，夹角为 ，若向量 c 满足 (c a) (c 2b) 0 ，
北京专家2019届高考模拟试卷（一） 理科数学·试卷讲评
选择题部分（60分）
1. 已知集合 A {y | y sin x} ，集合 B {x | y x}，则 AI B D
A. (0,1)
B. [0,1)
C. (0,1]
D. [0,1]
【解析】集合 A [1,1] ，集合 B [0, ) ， AI B [0,1] .
，
F2 F
的中点为
(
c 2
,
a)
，将
(c 2
,
a)
带入双曲线的方程，得： c2 a2 1， 4a2 b2
由 c2
a2
b2 得：
a2 b2 4a2
2019年北京市高考数学试卷(理科)(解析版)
3 5绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数 z =2+i ，则 z ⋅z =A. B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得 z ，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵ z = 2 + i, z ⋅ z = (2 + i)(2 - i) = 5故选 D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.2. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为42 + 32A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.2 ⨯12【详解】运行第一次， k=1 s == 2， 3⨯1- 2，运行第二次， k = 2运行第三次， k = 3 2 ⨯ 22 s == 2，3⨯ 2 - 2 ，2 ⨯ 22s == 2，3⨯ 2 - 2，结束循环，输出 s =2，故选 B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.⎧x = 1+ 3t , ⎨3. 已知直线 l 的参数方程为⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线 l 的距离是1 A. 52 B. 54 C. 56 D. 5【答案】D【解析】【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】直线l 的普通方程为4 (x -1)- 3(y - 2)= 0,即4x - 3y + 2 = 0 ,点(1, 0)到直线l 的距离d ==65 ,故选 D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算 能力的考查.y = 2 + 4t【详解】由题意⎩x 2 + y 2 =1a 2 b2 1 24. 已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为 ，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和 a , b , c 的关系可得满足题意的等式.e = c = 1, c 2 = a 2 - b 2【详解】椭圆的离心率 a 2,化简得3a 2 = 4b 2,故选 B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5. 若 x ，y 满足| x |≤ 1- y ，且 y ≥−1，则 3x+y 的最大值为A. −7B. 1C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.⎧-1 ≤ y⎨y -1 ≤ x ≤ 1- y ,作出可行域如图阴影部分所示.(设 z = 3x + y , y = z - 3x ,当直线 0经过点时, z 取最大值 5.故选 C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.m – m = 5 lg E1 2 16. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足E 2 ，其中星等为 m 1 的星的亮度为 E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1【答案】D【解析】【分析】lgE 1E 1 E 1先求出E 2 ，然后将对数式换为指数式求 E 2 ，再求 E 2 .m - m = 5 lg E1 2 1【详解】两颗星的星等与亮度满足E 2 ,令m 2 = -1.45 ， m 1 = -26.7 ，2 22 11g E 1 = 2 (m - m )= 2(-1.45 + 26.7) = 10.1E 2 5 5 ，E 1 = 1010.1 ⋅ E2 = 10-10.1 E 2 E 1，故选 D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.7. 设点 A ，B ，C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>| BC | ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴| AB + AC |>|BC | ⇔ | AB + AC |>| AB - AC |⇔ | AB + AC |2>| AB - AC |2 ⇔ AB • AC >0 ⇔ AB 与 AC的夹角为锐角.故“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>|BC |”的充分必要条件,故选 C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C ：x 2 + y 2 = 1+ | x | y 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：2 2x ( ) ( ) ( ) () ①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ；③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.x 2 + y 2 = 1+ x yy 2 - x y = 1- x 2 ⎛ y - | x | ⎫2⎪ = 1- 3x 2 ,1- 3x 2 0, x 24【详解】由 得, ,⎝ 2 ⎭ 4 4 3 ,C : x 2 + y 2 = 1+ x y所以 可为的整数有 0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.2 2x 2 + y 2x 2 + y 2 = 1+ x yx + y1+ 2 x 2 + y 2 ≤ 2C由得,,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 . 结论②正确.A 0, -1 ,B 1, 0 ,C 1,1, ,D 0,1 如图所示,易知,S= 1 ⨯1⨯1+1⨯1 = 3四边形 ABCD 的面积ABCD2 2 ,很明显“心形”区域的面积大于2S ABCD ,即“心形”区域的面积大于 3,说法③错误.故选 C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)-解析版
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C. D.2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. B. C. D. 23.已知双曲线：的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则=（）A. B. 2 C. D. 36.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，S2m-1=11，则m=（）A. 11B. 10C. 6D. 57.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A.B.C.D.8.（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A. 5B. 10C. 15D. 209.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在，上单调递减，则ω的最大值是（）A. B. C. D. 210.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.已知以F为焦点的抛物线C：y2=4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A. 2B.C.D. 412.已知函数，＞，，的图象上存在关于直线x=1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3=6，S6=54，则a1=______．14.若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a=______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，点H在线段OB1上，OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（3a-b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b-a=2，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19.某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20.已知椭圆：＞＞的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF 的面积的最大值．21.已知函数f（x）=e2x-ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，A、A∩B={x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A B={x|x＞0}，故本选项错误；C、A B，故本选项错误；D、A B，故本选项正确；故选：D．首先化简集合，再求交集，并集即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心（2，-4），双曲线的一条渐近线为：y=bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，可得2b=4，所以b=2，a=1，则c=，则C的离心率为：．故选：C．求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5.【答案】D【解析】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：=，∴===1•2•+1•2•1=3．故选：D．本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，则：，解得：a m=1．S2m-1===11，解得：m=6故选：C．直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2-1）（1+a）5=32，∴a=1，该展开式中x4的系数是2••a-1••a4=10a-5a4=5，故选：A．令x=1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ=．所以：f（x）=cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k=0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=λ|BF|，∴x1+1=λ（x2+1），∴x1=λx2+λ-1∵|y1|=λ|y2|，∴x1=λ2x2，当λ=1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1=λ，x2=，|AB|=（x1+1）+（x2+1）=．∵，∴（λ++2）max=．则弦AB的中点到C的准线的距离d=，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）==x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x=1的对称图象为g（x），则g（x）=f（2-x）=2-x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（-∞，1）上有公共点．∵g′（x）=-1+＜0，∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，又f（x）=ln（x+a）在（-∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2-1．故选：A．求出f（x）关于直线x=1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（-∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵S3==6，S6==54，∴=1+q3=9，解得q3=8，则q=2，∴=6，解得a1=故答案为：先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：函数的导数为：f′（x）=a+，f′（1）=a+3，而f（1）=a-3，切线方程为：y-a+3=（a+3）（x-1），因为切线方程经过（2，4），所以4-a+3=（a+3）（2-1），解得a=2．故答案为：2．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15.【答案】（ ，]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】【解析】解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=，O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴S ===，∴V =S•O1C1==．故答案为：．当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M-C1O1H的体积最小，求出△O1BH的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B=（3a-b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B=3sin A cos C-sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B=3sin A cos C，∴sin（C+B）=3sin A cos C，…2分∵A+B+C=π，∴sin A=3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C=，…4分∵0＜C＜π，∴sin C==；…6分（2）∵，cos C=，∴由余弦定理：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：24=a2+b2-ab，…8分∴（a-b）2+ab=24，…9分∵b-a=2，∴解得：ab=15，…10分∴S△ABC=ab sin C==5…12分【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，∴Rt△ABD=Rt△BCD，∴AD=CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB=P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由已知二面角A-BD-C为120°，∴∠AEC=120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AB=，在Rt△ABD中，，∴BD=，∵BD=，∴AD=，∵BD2=AB2+AD2，∴AB=2，∴AE=，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO=60°，∴AO=，AE=1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AD=CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由二面角A-BD-C为120°，得∠AEC=120°，由余弦定理得AC=，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO 是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η=2）=，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X=400）=0.4×0.4=0.16，P（X=450）=2×0.4a=0.8a，P（X=500）=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P（X=550）=2ab，P（X=600）=b2，（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得a+b=0.6，∴b=0.6-a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤-0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6-a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）=400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2=520-100a，当a=0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【解析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得b=0.6-a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由椭圆：＞＞可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，-1），根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，故椭圆方程为+y2=1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，则=1，即m2=t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，则△=（2tm）2-4（t2+2）（m2-2）=8＞0，∴y1+y2=-，y1y2=，∴|y1-y2|===，∴△ABF的面积S=|PF|•|y1-y2|=，令f（m）=，m≥1∴f′（m）=，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）=，故△ABF的面积的最大值为【解析】（1）根据根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，可得m2=t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S=，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=2e2x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x-2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）=2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（-∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，＜ln，ln a＞ln，又f′（0）=2＞0，f′（）=2e-a＜0，f′（ln a）=2e2ln a-2a lna=2a（a-ln a）＞0，（易证明a-ln a＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）==0，存在x2∈（，ln a），使得f′（x2）=0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x=x1时，f（x）取得极大值，即M=，由0＜x1＜时，得1-x1＞0，x1≠1-x1，由2-2ax1=0，得=ax1，故M==ax1-ax12=ax1（1-x1）＜a•（）2=，即＜成立．【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。
{x|-2≤x<2}B。
{x|x<2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。
(-∞,1)B。
(-∞,-1)C。
(1,+∞)D。
(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。
6斤B。
9斤C。
9.5斤D。
12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。
60B。
30C。
20D。
105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。
若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。
3B。
4C。
5D。
66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。
0,0B。
1,1C。
0,1D。
1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。
10B。
11C。
12D。
138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。
[0,6]B。
[0,4]C。
[6,+∞)D。
[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。
大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(理科)含答案解析
【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0， ]内的x0的值．
【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+ cos（wx）=2sin（wx+ ）的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，
∴ =π，
∴w=2
∴f（x）=2sin（2x+ ）．
∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，
【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
当x＞1或x＜﹣ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当﹣ ＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（1）为极小值，f（﹣ ）为极大值．
∵f（x）在（﹣∞，﹣ ）上单调递增，
∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
构造函数g（x）=x3+2x﹣ ，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．
【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．
因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：模拟试卷(一)含解析
则双曲线 C 的方程为 4 － 5 ＝1. 故选 B.
12．B 解析：令 y＝xex，则 y′＝(1＋x)ex.由 y′＝0，得 x＝－1.当 x∈(－∞，－1)时，
y′<0，函数 y 单调递减；当 x∈(－1，＋∞)时，y′>0，函数 y 单调递增．作出 y＝xex 的
图象，利用图象变换得 f(x)＝|xex|的图象如图 D205，令 f(x)＝m，
2019 年高考数学(理科)模拟试卷(一)
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟)
第Ⅰ卷(选择题 满分 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．(2017 年江西南昌二模)已知集合 A＝{x|y＝lg(3－2x)}，B＝{x|x2≤4}, 则 A∪B＝( ) A.Error! B．{x|x<2} C.Error! D．{x|x≤2} 2．(2017 年北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值 范围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 3．(2017 年广东茂名一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠， 长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有 一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀 变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A．6 斤 B．9 斤 C．9.5 斤 D．12 斤 4．(2017 年北京)某三棱锥的三视图如图 M11，则该三棱锥的体积为( )
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3⎫A.⎨x⎪－2≤x<2⎬3⎫C.⎨x⎪－2<x<2⎬B2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2017年江西南昌二模)已知集合A＝{x|y＝lg(3－2x)}，＝{x|x2≤4},则A∪B＝()⎧⎪⎩⎭B．{x|x<2}⎧⎪⎩⎭D．{x|x≤2}2．(2017年北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)3．(2017年广东茂名一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤4．(2017年北京)某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为()图M1-1A．60B．30C．20D．105．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是()A．3B．4C．5D．66．(2017年山东)执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a值分别为()y 10．(2016 年天津)已知函数 f (x )＝sin 2 ＋ sin ωx － (ω>0)，x ∈R .若 f (x )在区间(π，2π)A.⎝0，8⎦B.⎝0，4⎦∪⎣8，1⎭C.⎝0，8⎦D.⎝0，8⎦∪⎣4，8⎦x ，且与椭圆 ＋ ＝1 有公共焦点，则 C 的方程为( )A. － ＝1B. － ＝1C. － ＝1D. － ＝1A.⎝－∞，－B.⎝ e ，＋∞⎭C.⎝－ e ，－2⎭D.⎝2， e ⎭a 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为 y ＝ e 2＋1⎫图 M1-2A ．0,0B ．1,1C ．0,1D ．1,07．某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成 绩的茎叶图如图 M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m ＋n 的值是( )图 M1-3A ．10B ．11C ．12D ．13⎧⎪x ≥0，8．(2017 年浙江)若 x ， 满足约束条件⎨x ＋y －3≥0，则 z ＝x ＋2y 的取值范围是( )⎪⎩x －2y ≤0，A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)9．(2017 年广东惠州三模)(x ＋1)5(x －2)的展开式中 x 2 的系数为( ) A ．25 B ．5 C ．－15 D ．－20ωx 1 1 2 2 2内没有零点，则 ω 的取值范围是( )⎛ 1⎤ ⎛ 5⎤ ⎛ 1⎤ ⎡5 ⎫⎛ 1⎤ ⎡1 5⎤x 2 y 2 511．(2017 年新课标Ⅲ)已知双曲线 C ： 2－b2 x 2 y 212 3 x 2 y 2x 2 y 28 10 4 5x 2 y 2x 2 y 25 4 4 3 12．(2017 年广东茂名一模)已知 f (x )＝|x e x |，又 g (x )＝f 2(x )－tf (x )(t ∈R )，若满足 g (x )＝－ 1 的 x 有 4 个，则 t 的取值范围是( )⎛ ⎛e 2＋1 ⎫ ⎛ e 2＋1 ⎫ ⎛ e 2＋1⎫ e ⎭(n ∈N *)，则数列⎨S ⎬的前 n 项和为__________．16．在区间[0，π] 随机地取一个数 x ，则事件“sin x ≤ ”发生的概率为________．(2,30) (4,40) (5,60) (6,50) (8,70) (2)现准备勘探新井 7(1,25)，若通过 1,3,5,7 号井计算出的b ，a 的值(b ，a 精确到 0.01)相 (参考公式和计算结果：b ＝∑ x y ∑ x，a ＝ y －bx ， ∑ x 2 ＝94， ∑x^ ^ 4 4 点 F 在棱 SC 上，且SF ＝λSC ，SA ∥平面 BEF .第Ⅱ卷(非选择题 满分 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生必须作答．第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．平面向量 a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹 角，则 m ＝________.x 2 y 214．设 F 是双曲线 C ：a 2－b 2＝1 的一个焦点，若 C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为__________．15．(2017 年广东广州综合测试二)设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 2＝12，S n ＝kn 2－1⎧ 1 ⎫ ⎩ n ⎭12三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分 12 分)(2017 年广东深圳一模△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，已知 2a ＝ 3c sin A －a cos C .(1)求 C ； (2)若 c ＝ △3，求 ABC 的面积 S 的最大值．18．(本小题满分 12 分)(2017 年广东梅州一模)某集团获得了某地深海油田区块的开采 权，集团在该地区随机初步勘探了部分口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团 按网络点来布置井位进行全面勘探. 由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有 井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数 据资料见如表：井号 I1 2 3 4 5 6坐标(x ，y )/km (1，y )钻探深度/km出油量/L2 4 5 6 8 10 40 70 110 90 160 205(1)1～6 号旧井位置线性分布，借助前 5 组数据求得回归直线方程为 y ＝6.5x ＋a ，求 a ， 并估计 y 的预报值；^ ^ ^ ^比于(1)中 b ，a 的值之差不超过 10%，则使用位置最接近的已有旧井 6(1，y )，否则在新位 置打开，请判断可否使用旧井？^n i =1n ii 2 i - nx ⋅ y- nx 22i -1 2i -1 2i -1i =1 i =1y＝945)i =1(3)设出油量与勘探深度的比值 k 不低于 20 的勘探并称为优质井，那么在原有 6 口井中 任意勘探 4 口井，求勘探优质井数 X 的分布列与数学期望．19．(本小题满分 12 分)(2017 年江西南昌二模)如图 M1-4，已知四棱锥 S -ABCD 中，底 面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD ＝60°，SA ＝SD ＝ 5，SB ＝ 7，点 E 是棱 AD 的中点，→ →(1)求实数 λ 的值；(2)求二面角 S-BE-F 的余弦值．(2017 年广东调研)已知曲线 C 1 的参数方程为⎨ (α 为参数)，以坐标原点(2017 年广东梅州一模)设函数 f (x )＝⎪x ＋m ⎪＋|x －2m |(m >0)．( ⎩ △2图 M1-420．(本小题满分 12 分)(2017 年天津)设 a ，b ∈R ，|a |≤1.已知函数 f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，g (x )＝e x f (x )．(1)求 f (x )的单调区间；(2)已知函数 y ＝g (x )和 y ＝e x 的图象在公共点(x 0，y 0)处有相同的切线． ①求证：f (x )在 x ＝x 0 处的导数等于 0；②若关于 x 的不等式 g (x )≤e x 在区间[x 0－1，x 0＋1]上恒成立，求 b 的取值范围． 21． 本小题满分 12 分)(2017 年广东韶关二模)已知动圆 P 过定点 M (－ 3，0)且与圆 N ： (x － 3)2＋y 2＝16 相切，记动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C .(1)求曲线 C 的方程；(2)过点 D (3,0)且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A ，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q ， 使得直线 AQ ，BQ 的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明 理由．请考生在第 22～23 两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多 做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分 10 分)选修 4-4：极坐标与参数方程⎧⎪x ＝2＋3cos α， ⎪y ＝－3＋3sin αO 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρcos θ－2ρsin θ－3 ＝0.(1)分别写出曲线 C 1 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 1 与曲线 C 2 交于 P ，Q 两点，求 POQ 的面积． 23．(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲⎪ 8 ⎪(1)求证：f (x )≥8 恒成立；(2)求使得不等式 f (1)>10 成立的实数 m 的取值范围．3⎫1.D解析：因为A＝{x|y＝lg(3－2x)}＝{x|3－2x>0}＝⎨x⎪x<2⎬，B＝{x|－2≤x≤2}．所4．D解析：该四棱锥体积为××3×5×4＝10.7．C解析：由题意，得＝88，m＝3，n＝9.所以m B⎩B10．D解析：f(x)＝＋－＝sin⎝ωx－4⎭，f(x)＝0⇒sin⎝ωx－4⎭＝0，kπ＋因此ω∉⎝8，4⎭∪⎝8，4⎭∪⎝8，4⎭∪…＝⎝8，4⎭∪⎝8，＋∞⎭⇒ω∈⎝0，8⎦∪⎣4，8⎦.故选C(2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)⎧⎪⎩⎭以A∪B＝{x|x≤2}．故选D.⎧⎪a＋1<0，2．解析：(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以⎨⎪1－a>0.解得a<－1.3．A解析：依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2.由等差数列性质，得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.11325．解析：因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1，得1≤t<2，由[t2]＝2，得2≤t2<3.由[t3]＝3，得3≤t3<4.由[t4]＝4，得4≤t4<5.所以2≤t2< 5.所以6≤t5<4 5.由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<45矛盾，故正整数n的最大值是4.6．D解析：第一次x＝7,22<7，b＝3,32>7，a＝1；第二次x＝9,22<9，b＝3,32＝9，a＝0.故选D.78＋88＋84＋86＋92＋90＋m＋957＋n＝12.故选C.8．D解析：如图D204，可行域为一开放区域，所以直线过点A(2,1)时取最小值4，无最大值．故选D.图D2049．解析：x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5，含有x2项的构成为－20x2＋5x2＝－15x2.故选C.1－cosωx sinωx12⎛π⎫⎛π⎫2222π4所以x＝ω∉(π，2π)，(k∈Z)．⎛11⎫⎛55⎫⎛99⎫⎛11⎫⎛5⎫⎛1⎤⎡15⎤D.x2y2b 11．B解析：双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±a x，椭圆中：a2＝12，b2＝3，∴c2＝a2－b2＝9，c＝3.即双曲线的焦点为(±3,0)．⎪⎩c ＝a＋b，则双曲线 C 的方程为 － ＝1.当 m ∈⎝0，e ⎭时，f (x )＝m 有 3 个根； 当 m ∈⎝e ，＋∞⎭时，f (x )＝m 有 1 个根； 因此，当关于 m 的方程 m 2－tm ＋1＝0 两根分别在⎝0，e ⎭，⎝e ，＋∞⎭时，满足 g (x )＝－⎛1⎫＝ 1 －t 1＋1<0，解得 t >e 2＋1.故选|c|·|a| |c|·|b| 5 12，解得 k ＝4.所以 S n ＝4n 2－1， ＝ 2 ＝ ＝ ⎝2n －1－2n ＋1⎭.则数列⎨S ⎬的前 n 项和为 ⎝1－3⎭＋ ⎝3－5⎭＋…＋ ⎝2n －1－2n ＋1⎭＝ ⎝1－2n ＋1⎭＝ ⎡ ⎤ 16. 解析：由正弦函数的图象与性质知，当 x ∈⎣0，6⎦∪⎣ 6 ，π⎦时，sin x ≤ .⎛π－0⎫＋⎛π－5π⎫所以所求概率为 ＝ .2－1 ⎫ 1 ⎫ ⎧⎪b ＝ 5， 据此可得双曲线中的方程组：⎨a 22 2 2c ＝3.解得 a 2＝4，b 2＝5.x 2 y 24 5故选 B.12．B 解析：令 y ＝x e x ，则 y ′＝(1＋x )e x .由 y ′＝0，得 x ＝－1.当 x ∈(－∞，－1)时， y ′<0，函数 y 单调递减；当 x ∈(－1，＋∞)时，y ′>0，函数 y 单调递增．作出 y ＝x e x 的图 象，利用图象变换得 f (x )＝|x e x |的图象如图 D205，令 f (x )＝m ，图 D205⎛ 1⎫⎛1 ⎫⎛ 1⎫ ⎛1 ⎫ 1 的 x 有 4 个．令 h (m )＝m 2－tm ＋1，由 h (0)＝1>0 和 h ⎝e ⎭ e 2 e e B.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝ 5，|b |＝2 5，c·a c·b 5m ＋8a · c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，∴ ＝ .∴ ＝8m ＋20.解得 m ＝2.2 514. 5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设 F (c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c 2 4b 2c,2b )在双曲线上，有a b 2 ＝1，则 e 2＝5，e ＝ 5. n15.2n ＋1 解析：令 n ＝1，得 a 1＝S 1＝k －1；令 n ＝2，得 S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋1 1 1 1⎛ 1 ⎧ 1 ⎫ S n 4n －1 (2n ＋1)(2n －1)2 ⎩ n ⎭1⎛1 1⎫ 1⎛1 1⎫ 1⎛ 1 1 ⎫ 2 2 2 1⎛ n 2 2n ＋1.1 π⎤ ⎡5π 1 32 ⎝6 ⎭ ⎝ 6 ⎭ 1π 317．解：(1)由已知及正弦定理，可得 2sin A ＝ 3sin C sin A －sin A cos C ， 在△ABC 中，sin A >0，⎛ ∴ sin C － cos C ＝1.∴sin ⎝C －6⎭＝1.∵0<C <π，∴－ <C － < .∴C － ＝ .∴C ＝ .(2)方法一，由(1)知 C ＝ ，∴sin C ＝ .∵S ＝ ab sin C ，∴S ＝ ab .∵cos C ＝ ，∴a 2＋b 2＝3－ab .∴S ＝ ab ≤ .∴△ABC 的面积 S 的最大值为 .方法二，由正弦定理可知 ＝ ＝ ＝2，∵S ＝ ab sin C ，∴S ＝ 3sin A sin B .∴S ＝ 3sin A sin ⎝3－A ⎭.⎛ ∴S ＝ sin ⎝2A ＋6⎭－ 4 ∵0<A < ，∴ <2A ＋ < .∴当 2A ＋ ＝ ，即 A ＝ 时，S 取最大值 .又 ∑ x 22i －1＝94， ∑ x y＝945，所以b ＝ ∑ xy - 4 x y∑ x- 4 x2 ＝ ≈6.83. a ＝ y －b x ＝46.25－6.83×4＝18.93. 即b ＝6.83，a ＝18.93，b ＝6.5，a ＝17.5. b －ba －a ≈5%， ≈8%，均不超过 10%，∴2＝ 3sin C －cos C .3 1 π⎫ 2 2π π 5π6 6 6π π 2π6 2 32π 33 2 1 32 4a 2＋b 2－c 22ab∵a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤1(当且仅当 a ＝b ＝1 时等号成立)．3 34 434a b csin A sin B sin C12⎛π ⎫3 π⎫ 2 3 .π π π 5π3 6 6 6π π π 36 2 6 418．解：(1)因为 x ＝5， y ＝50.回归直线必过样本中心点( x ， y )， 则 a ＝ y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.故回归直线方程为 y ＝6.5x ＋17.5.当 x ＝1 时，y ＝6.5＋17.5＝24，即 y 的预报值为 24. (2)因为 x ＝4， y ＝46.25.4 4 2i -1 2i -1i =1^4 i =14 i =12i -1 2i -122i -1 945－4×4×46.25 94－4×42 i =1^ ^^ ^ ^ ^ b a因此使用位置最接近的已有旧井 6(1,24)．C 6 5 C 6 15 C 6 15E (X )＝2× ＋3× ＋4× ＝ .∵△GEA ∽△GBC ，∴ ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ SF ＝ SC .∴λ＝ . 则 A (1,0,0)，B (0， 3，0)，S (0,0,2)，平面 SEB 的法向量 m ＝EA ＝(1,0,0)． 则 n ⊥EB ⇒(x ，y ，z )·(0， 3，0)＝0⇒y ＝0， n ⊥GF ⇒n ⊥AS ⇒(x ，y ，z )·(－1,0,2)＝0⇒x ＝2z ， ∴cos 〈m ，n 〉＝ ＝ .即所求二面角的余弦值是 .⎧⎪ g ( x ) = e x 0 , 由题意知 ⎨ ⎧ f ( x )e x 0 = e x 0 ,⎧f (x 0)＝1， 所以 ⎨ 解得⎨⎪⎩ e x 0 [ f ( x ) + f '( x )] = e x 0 . ⎪f ′(x 0)＝0. (3)由题意，1,3,5,6 这 4 口井是优质井，2,4 这两口井是非优质井， ∴勘察优质井数 X 的可能取值为 2,3,4，C 2C 2 2 C 3C 1 8 C 4C 0 1 P (X ＝2)＝ 4 4 2＝ ，P (X ＝3)＝ 4 4 2＝ ，P (X ＝4)＝ 4 4 2＝ .X2 3 4P2 8 1 5 15 152 8 1 85 15 15 319．解：(1)如图 D206，连接 AC ，设 AC ∩BE ＝G ，连接 FG . 则平面 SAC ∩平面 EFB ＝FG . ∵SA ∥平面 EFB ，∴SA ∥FG .AG AE 1GC BC 2SF AG 1 1 1 FC GC 2 3 3图 D206(2)∵SA ＝SD ＝ 5，∴SE ⊥AD ，SE ＝2.又∵AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，∴BE ＝ 3.∴SE 2＋BE 2＝SB 2.∴SE ⊥BE .∴SE ⊥平面 ABCD .以 EA ，EB ，ES 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，→设平面 EFB 的法向量 n ＝(x ，y ，z )，→→ →令 z ＝1，得 n ＝(2,0,1)，m · n 2 5 2 5|m |·|n | 5 520．(1)解：由 f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，可得 f ′(x )＝3x 2－12x －3a (a －4)＝3(x －a )[x －(4－a )]， 令 f ′(x )＝0，解得 x ＝a ，或 x ＝4－a . 由|a |≤1，得 a <4－a .当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，a ) (a,4－a ) (4－a ，＋∞) f ′(x ) ＋ － ＋ f (x ) ↗ ↘ ↗所以 f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(4－a ，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a )． (2)①证明：因为 g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]，⎪⎩ g '( x 0 ) = e x 0 ,0 0 0故曲线 C 的方程为 ＋y 2＝1.⎧Δ＝(6m )－4×5(4＋m )>0，⎩y · y ＝5.x 1· x 2＝m 1 2 2y · y ＋3m (y ＋y )＋9＝ . (x 1－t )(x 2－t )＝x 1· x 2－t (x 1＋x 2)＋t 4＋m 2 4＋m 2 4＋m 2 所以 k AQ · k BQ ＝ 1 y －0 y 2－0 x 1－t x 2－t⎩ 2＋＝－6m所以 f (x )在 x ＝x 0 处的导数等于 0.②解：因为 g (x )≤e x ，x ∈[x 0－1，x 0＋1]，由 e x >0，可得 f (x )≤1. 又因为 f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0，所以 x 0 为 f (x )的极大值点．由(1)知 x 0＝a . 另一方面，由于|a |≤1，故 a ＋1<4－a .由(1)知 f (x )在(a －1，a )上单调递增，在(a ，a ＋1)上单调递减，故当 x 0＝a 时，f (x )≤f (a )＝1 在[a －1，a ＋1]上恒成立，从而 g (x )≤e x 在[x 0－1，x 0＋1] 上恒成立．由 f (a )＝a 3－6a 2－3a (a －4)a ＋b ＝1，得 b ＝2a 3－6a 2＋1，－1≤a ≤1. 令 t (x )＝2x 3－6x 2＋1，x ∈[－1,1]， 所以 t ′(x )＝6x 2－12x .令 t ′(x )＝0，解得 x ＝2(舍去)，或 x ＝0.因为 t (－1)＝－7，t (1)＝－3，t (0)＝1，故 t (x )的值域为[－7,1]． 所以 b 的取值范围是[－7,1]．21．解：(1)设动圆 P 的半径为 r ，⎧⎪r ＝|PM |，由圆 N ：(x － 3)2＋y 2＝16 及点 M (－ 3，0)知点 M 在圆 N 内，则有⎨⎪|PN |＝4－r .从而|PM |＋|PN |＝4>|MN |＝2 3.所以点 P 的轨迹 C 是以 M ，N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆．x 2 y 2设曲线 C 的方程为a b 2＝1(a >b >0)，则 2a ＝4,2c ＝2 a 2－b 2＝2 3. 所以 a ＝2，b ＝1.x 2 4(2)依题意可设直线 AB 的方程为 x ＝my ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．⎧⎪x 2＋y 2＝1， 由⎨ 4 消去 x 整理，得(4＋m 2)y 2＋6my ＋5＝0. ⎪⎩x ＝my ＋32 2 所以⎨y 1＋y 2 2，1 2 4＋m 224则 x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋6＝4＋m 2，36－4m 2 1 2 4＋m 2假设存在定点 Q (t,0)，使得直线 AQ ，BQ 的斜率之积为非零常数，则：36－4m 2 24 (t 2－4)m 2＋36－24t ＋4t 2 2＝－t · ＋t 2＝ ，·5 4＋m 2＝(t 2－4)m 2＋36－24t ＋4t 24＋m 2(t 2－4)m 2＋36－24t ＋4t 2 36－48＋16 4 36＋48＋16 100 20 22．解：(1)由⎨结合 sin 2α＋cos 2α＝1 消去参数 α，得曲线 C 1 的普通方 d ′＝ ＝ .1＋4所以 △S POQ ＝ ×4× ＝ . 8 ⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎪ 8 ⎪ ⎪ 2m ≥2×2m ＝8，当且仅当 ＝2m ，即 m ＝2 时取等号． (2)解：f (1)＝⎪1＋m ⎪＋|1－2m |(m >0)，当 1－2m <0，即 m > 时，f (1)＝1＋ －(1－2m )＝ ＋2m ，由 f (1)>10，得 ＋2m >10.所以 <m <1 或 m >4.当 1－2m ≥0，即 0<m ≤ 时，f (1)＝1＋ ＋(1－2m )＝2＋ －2m,由 f (1)>10，得 2＋ －2m >10.此式在 0<m ≤ 时恒成立．⎩＝ 5.要使 k AQ · k BQ 为非零常数，⎧⎪t 2－4＝0， 则有⎨ 解得 t ＝±2.⎪36－24t ＋4t 2≠0，5 5当 t ＝2 时，常数为 ＝ ；5 5 1当 t ＝－2 时，常数为 ＝ ＝ .所以存在两个定点 Q 1(2,0)和 Q 2(－2,0)使直线 AQ ，BQ 的斜率之积为常数．当定点为5 1Q 1(2,0)时，常数为4；当定点为 Q 2(－2,0)时，常数为20.⎧⎪x ＝2＋3cos α， ⎪⎩y ＝－3＋3sin α程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝9.将 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 代入曲线 C 2 的极坐标方程， 得其直角坐标方程为 x －2y －3＝0.|2－2×(－3)－3|(2)圆心到直线的距离为 d ＝ ＝ 5，1＋4所以弦长|PQ |＝2 9－5＝4.△POQ 的高为原点到直线 x －2y －3＝0 的距离|0－2×0－3| 3 551 3 5 6 52 5 58 23．(1)证明：由 m >0，得 f (x )＝⎪x ＋m ⎪＋|x －2m |≥⎪x ＋m －(x －2m )⎪＝⎪m ＋2m ⎪＝m ＋ 8 8m m所以 f (x )≥8 恒成立．⎪ 8 ⎪1 8 82 m m8m化简，得 m 2－5m ＋4>0，解得 m <1 或 m >4.121 8 82 m m8m12综上所述，当 f (1)>10 时，实数 m 的取值范围是(0,1)∪(4，＋∞)．。