《量纲分析》PPT课件
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量纲分析和相似原理ppt课件
dim q L TM
几何学量纲：α≠0,
分类 动力学量纲：γ≠0
β=0,
γ=0，
运动学量纲：β≠0，γ=0
二、量纲一的量
基本量和导出量可以组合成量纲为1的量，称 为量纲一的量，即α=0,β=0,γ=0。 特点： （1）无单位，它的大小与所选单位无关； （2）量纲表示式中的指数均为零。 几个互相独立，不能结合成量纲一的量称为基 本量。如长度L、流速v和密度ρ就可以作为基本量。
量，独立，可作为基本量。
如长度L、速度V、密度ρ三个物理量满足：
1 2 3 D 1 2 3 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 3，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
§4-2 量纲分析法
量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中 物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建 立合理的方程式。这种利用量纲和谐原理探求物理量 之间的函数关系称为量纲分析法。 • 依据：量纲和谐原理 • 方法：瑞利法：适用于单项指数形式。 π定理：适用于普遍性的问题。
一 瑞利法
计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n个物理量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： FD=kDx Uyρz μa 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相 同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指数方程式即得 各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小 于等于4~5个。
几何学量纲：α≠0,
分类 动力学量纲：γ≠0
β=0,
γ=0，
运动学量纲：β≠0，γ=0
二、量纲一的量
基本量和导出量可以组合成量纲为1的量，称 为量纲一的量，即α=0,β=0,γ=0。 特点： （1）无单位，它的大小与所选单位无关； （2）量纲表示式中的指数均为零。 几个互相独立，不能结合成量纲一的量称为基 本量。如长度L、流速v和密度ρ就可以作为基本量。
量，独立，可作为基本量。
如长度L、速度V、密度ρ三个物理量满足：
1 2 3 D 1 2 3 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 3，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
§4-2 量纲分析法
量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中 物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建 立合理的方程式。这种利用量纲和谐原理探求物理量 之间的函数关系称为量纲分析法。 • 依据：量纲和谐原理 • 方法：瑞利法：适用于单项指数形式。 π定理：适用于普遍性的问题。
一 瑞利法
计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n个物理量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： FD=kDx Uyρz μa 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相 同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指数方程式即得 各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小 于等于4~5个。
量纲分析与相似原理ppt课件
三个独立的无量纲量：Eu、Re、Fr
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
量纲分析与相似理论-PPT课件
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式 应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动 力学量中各选一个，即可满足要求。
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
Nk QH
a b
c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
a b c d i m N d i m ( Q H )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T M ][ L T M ] [ L T ] [ L ]
2 3
2 2 a3 1 b c
MF2Hf0611001
题
目
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据
（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用
完整的物理方法来表示。
（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；
检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的 密度ρ ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，用函 数关系式表示为：
q f( H , ,g )
2. 将q写成H，ρ ，g的指数乘积形式，即
qk Habgc
解题步骤
3. 写出量纲表达式
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
Nk QH
a b
c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
a b c d i m N d i m ( Q H )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T M ][ L T M ] [ L T ] [ L ]
2 3
2 2 a3 1 b c
MF2Hf0611001
题
目
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据
（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用
完整的物理方法来表示。
（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；
检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的 密度ρ ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，用函 数关系式表示为：
q f( H , ,g )
2. 将q写成H，ρ ，g的指数乘积形式，即
qk Habgc
解题步骤
3. 写出量纲表达式
第五章——量纲分析和相似原理-PPT精选文档
a 4 b 4 c 4 V d 4
V dl 3
a 3 b 3 c 3
将上述表达式写成量纲形式
0 0 0 3 a 1 1 b 1c 1 1 2 M L t ( M L ) ( L t ) ( L ) ( M L t ) 1
解得a1=-1, b1=-2,c1=0, 故
p l F , , 0 2, V V d d d
上述公式还可以写成
l p F , , 1 2 V V d d d
p l F , 2 2 V d V d d
2 p V l F , 2 g 2 gd V d d
（2）找出基本量纲，设为m个 （3）从n个变量中选出包含全部基本量刚的m个基本变量 （4）用基本变量与其它的任一个变量组成无量纲方程，并解出 n-m 个无量纲数组 （5）利用无量纲数组建立描述该现象的方程
【例5-1】 不可压粘性流体在圆管道内流体流动的压降p与 下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度ε 、管内流体密度、 流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出 压降p的表达形式。
5.1 量纲分析 量纲分析和相似原理是指导实验设计和理论基础 1. 量纲分析基础
量纲——用以度量物理量单位的种类，用dim表示 。代表被测 物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。
基本量纲——国际单位制中7个基本物理量的量纲。 [L]、[M]、[t]、[T]、[E]、[C]、[N] 流体力学的常用基本量纲为[L]、[M]、[t]，其它任意物理量 B的量纲可以用三个基本量纲的指数乘积的形式表示出来
1
p V 2
6
5.1 量纲分析
0 0 0 3 a 2 1 b 2c 2 1 1 M L t ( M L ) ( L t ) ( L ) ( M L t ) 2
V dl 3
a 3 b 3 c 3
将上述表达式写成量纲形式
0 0 0 3 a 1 1 b 1c 1 1 2 M L t ( M L ) ( L t ) ( L ) ( M L t ) 1
解得a1=-1, b1=-2,c1=0, 故
p l F , , 0 2, V V d d d
上述公式还可以写成
l p F , , 1 2 V V d d d
p l F , 2 2 V d V d d
2 p V l F , 2 g 2 gd V d d
（2）找出基本量纲，设为m个 （3）从n个变量中选出包含全部基本量刚的m个基本变量 （4）用基本变量与其它的任一个变量组成无量纲方程，并解出 n-m 个无量纲数组 （5）利用无量纲数组建立描述该现象的方程
【例5-1】 不可压粘性流体在圆管道内流体流动的压降p与 下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度ε 、管内流体密度、 流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出 压降p的表达形式。
5.1 量纲分析 量纲分析和相似原理是指导实验设计和理论基础 1. 量纲分析基础
量纲——用以度量物理量单位的种类，用dim表示 。代表被测 物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。
基本量纲——国际单位制中7个基本物理量的量纲。 [L]、[M]、[t]、[T]、[E]、[C]、[N] 流体力学的常用基本量纲为[L]、[M]、[t]，其它任意物理量 B的量纲可以用三个基本量纲的指数乘积的形式表示出来
1
p V 2
6
5.1 量纲分析
0 0 0 3 a 2 1 b 2c 2 1 1 M L t ( M L ) ( L t ) ( L ) ( M L t ) 2
第五章 量纲分析与相似原理ppt课件
4 1 2 n m
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
量纲分析与相似原理PPT课件
1 u 2
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
解得：a = b = c = -1
2
ud
1 Re
第11页/共27页
(雷诺数)
③ П3 =ρa u bd cε
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
1. 物理量的量纲
量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
大小
单位制
物理量
类别
量纲
基本量纲
SI制中的基本量纲：
导出量纲
dim m = M , dim l = L , dim t = T 或：[m]=[M], [l]=[L], [t]=[T]
第1页/共27页
第19页/共27页
第五节 量纲分析与相原理
5.6.2 相似原理 原型现象的Π数方程： 模型现象的Π数方程： 相似条件： 相似结果：
Π1 = f (Π2, Π3, ……Πn ) Π1m = f (Π2 m, Π3 m, ……Πn m ) Π2 m=Π2，Π3 m= Π3，……，Πn m= Πn
Π1= Π1 m
CP
2P
V 3l 2
P
D5n3
（D 为动力机械旋转部件的直径，n 为转速。）
第18页/共27页
第五节 量纲分析与相似原理
5.6 模型实验与相似原理 5.6.1 模型实验
1. 什么是模型实验？
模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发 生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保 证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
解得：a = b = c = -1
2
ud
1 Re
第11页/共27页
(雷诺数)
③ П3 =ρa u bd cε
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
1. 物理量的量纲
量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
大小
单位制
物理量
类别
量纲
基本量纲
SI制中的基本量纲：
导出量纲
dim m = M , dim l = L , dim t = T 或：[m]=[M], [l]=[L], [t]=[T]
第1页/共27页
第19页/共27页
第五节 量纲分析与相原理
5.6.2 相似原理 原型现象的Π数方程： 模型现象的Π数方程： 相似条件： 相似结果：
Π1 = f (Π2, Π3, ……Πn ) Π1m = f (Π2 m, Π3 m, ……Πn m ) Π2 m=Π2，Π3 m= Π3，……，Πn m= Πn
Π1= Π1 m
CP
2P
V 3l 2
P
D5n3
（D 为动力机械旋转部件的直径，n 为转速。）
第18页/共27页
第五节 量纲分析与相似原理
5.6 模型实验与相似原理 5.6.1 模型实验
1. 什么是模型实验？
模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发 生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保 证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。
流体力学量纲分析(课堂PPT)
拉奠定了理想流体的理论基础，给出了反映
质量守恒的连续方程（1752）和反映动量变
化规律的流体动力学方程（1755）。
欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸
如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的
振动问题，等等。
欧拉的专著和论文多达800多种。
19
四、弹性力相似准则
K
dp dV
V
CF C Cl2Cv2
1
（4-15）
重力场中 g' g, Cg 1，则：
Cv
Cl
1 2
（a） 14
弗劳德
英国造船工程师，实验水力学专家。 1810年11月28日生于英国德文郡的达丁海 姆，1879年5月4日卒于英国托基。他曾在 牛津大学的奥里尔学院学习，也从事过土 木工程实践。36岁时开始从事船舶流体力 学研究。19世纪60年代，开始利用缩尺模 型研究船舶阻力。以后由英国海军部提供 经费，他在自己家的附近建造了一座模型 试验水槽，确定运动阻力的主要部分是表 面摩擦力和波。1870年当选为皇家学会委 员，1876年获皇家奖章。1855年造船工程 师学会出版了他的论文集。水力学中描述 惯性力与重力的无量纲数，后被命名为弗 劳德数。
表表面张力愈重要，譬如毛细管现象、肥皂泡、表面张力波
12
流场中有各种性质的力，但不论是哪种力， 只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿 相似准则。
一、重力相似准则（弗劳德准则）
二、粘性力相似准则（雷诺准则） 三、压力相似准则（欧拉准则） 四、弹性力相似准则(柯西准则) 五、表面张力相似准则（韦伯准则） 六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）
13
一、重力相似准则
21
四、弹性力相似准则
CF 1 C Cl2Cv2
量纲分析课件
模型试验的无量纲准则
如果物理方程转换成只包含无量纲量的函数 这个函数关系将不随单位的改变而改变。 式，这个函数关系将不随单位的改变而改变。 单位改变后物理量的数值要改变一个倍数而 物理模型也是改变了实物的大小， 物理模型也是改变了实物的大小，从而把各 物理量改变一个倍数，二者有共同之处。 物理量改变一个倍数，二者有共同之处。
模型试验的无量纲准则
量纲分析正是确定无量纲数的重要手段之一， 量纲分析正是确定无量纲数的重要手段之一， 所求得的须保持为同量的无量纲数， 所求得的须保持为同量的无量纲数，称为模 型试验的无量纲准则。 型试验的无量纲准则。
量纲分析的方法
具体进行无量纲分析有不同的方法。 具体进行无量纲分析有不同的方法。常用 的方法有下列两种： 的方法有下列两种：①白金汉法和 ②瑞利 法。 ①白金汉法：先选取几个独立变量（基本单 白金汉法：先选取几个独立变量（ ），再按 定理算出应有无量纲数的个数， 位），再按̟定理算出应有无量纲数的个数， 并设定无量纲乘积的形式， 并设定无量纲乘积的形式，然后按量纲一 致性原则解出无量纲乘积中各变量的指数， 致性原则解出无量纲乘积中各变量的指数， 就得出各̟。
量纲分析能阐明物理运动中诸物理量之间 的关系，初步反映出某些运动规律。 的关系，初步反映出某些运动规律。 无量纲数求得后又可减少函数中变量的个 也能订出模型试验的相似准则， 数，也能订出模型试验的相似准则，这是 一种简单而有效的方法。 一种简单而有效的方法。 但量纲分析有局限性，应用时必须慎重。 但量纲分析有局限性，应用时必须慎重。 正确的量纲分析基于对物理实质的正确认 分析的结果也须以实验来验证。 识，分析的结果也须以实验来验证。
无量纲数计算式写成： 无量纲数计算式写成：
π=
量纲分析法课件
量的待定幂指数，从而可得到 j 的表达式。 如在该问题中，令：
4
5
M M
0 L0 t 0 0 L0 t 0
L ML3 A1
Lt2 ML3
Mt2 A2 L A3
Mt L B1
2 B2
B3
4
5
M M
0 0
L0t0 L0t0
毛细现象。管中水柱上升的高度 h和水的密度 、表面张
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
Re)
CD
A
2
2
此即为著名的雷利（Rayleigh)绕流阻力计算公式。
式中：CD f (Re) 称绕流阻力系数，在不可压缩流体中与Re 有 关，可由实验测取二者的关系曲线。
23
水射流的加工过程中非常复杂，涉及到许多参数，可以写成如下 式:
Vm f m , m , dm , s , H , E
式中：Vm —单个颗粒的切削率；m —颗粒的速度； m —磨料 的密度； dm —颗粒的平均直径； s —被加工材料的屈服强度；H 、E —材料的刚度和弹性模量。对其模型的描述也较为困难。
燕山大学的王军、于超、耿鹏飞等基于量纲分析法，建立了水射 流打孔过程的新数学模型，
通过试验验证该模型的误差仅为3 % ～ 1 0 % 。
24
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3
量纲分析法课件
毛细现象。管中水柱上升的高度 h和水的密度 、表面张
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
,4
d x4 y4 z4
,5
l
d x5 y5 z5
,6
d x6 y6 z6
15
各物理量的量纲如下：
物理量 d
p
l
量纲 L LT 1 ML3 ML1T 2 ML1T 1 L L
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3
例题：一个细玻璃管插入水中，由于表面张力的作用产生
(1) 选定的 k 个独立变量本身不能组成无量
纲的组合量 即不存在一组不全为零的幂指数
i i 1, ,k,k n ，使下式成立
q11 q2 2 qk k Q10 Q2 0 Qm 0 1
7
q1
q2
…
qk
Q1
C11
C12
…
C1 k
Q2
C 21
C 22
…
C2k
Qm
k
k
k
k
M M
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
,4
d x4 y4 z4
,5
l
d x5 y5 z5
,6
d x6 y6 z6
15
各物理量的量纲如下：
物理量 d
p
l
量纲 L LT 1 ML3 ML1T 2 ML1T 1 L L
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3
例题：一个细玻璃管插入水中，由于表面张力的作用产生
(1) 选定的 k 个独立变量本身不能组成无量
纲的组合量 即不存在一组不全为零的幂指数
i i 1, ,k,k n ，使下式成立
q11 q2 2 qk k Q10 Q2 0 Qm 0 1
7
q1
q2
…
qk
Q1
C11
C12
…
C1 k
Q2
C 21
C 22
…
C2k
Qm
k
k
k
k
M M
量纲分析法ppt课件
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 纲 力 F 的量纲 [F]=LMT-2
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
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9
4-2 动力相似准则
牛顿第二定律F=ma
F ' 'V ' (dv' / dt' ) 用相应的比例尺替换 F V (dv / dt)
kF k kl2kv2
1
或
F'
'l v'2 '2
F
l 2v2
上式称为牛顿数，作用力与惯性力的比值
1、重力场相似
kF
W' W
'V ' g ' Vg
k kl3kg
高超声速：Ma大于5
最大低速风洞：美国航空航天局试验段22.4×36.6m，驱动功率100兆瓦 最高雷诺数风洞（低温风洞）：美国兰利中心2.5×2.5m（液氮降温）
我国风洞设计专家、空气动力研究基地高级工程师、专业技术少将 刘政崇，主持和参与设计建设了我国十几座各型风洞，撰写出两项 风洞国标、军标等著作，为自主建立我国高低速气动力试验设备体 系，推动其研究设计水平跨入世界先进行列，作出杰出贡献 。
1 或
' '2
K'
2
K
Ca
v 2
K
惯性力 弹性力
柯西数 对于气体
K / c 2
Ma
v c
惯性力 弹性力
马赫数
5、表面张力相似
kF
F' F
'l ' l
k kl
代入牛顿数
k kl kv2 / k
1 或
'l ' '2 '
l 2
We
lv 2
惯性力 张力
韦博数
4.3 流动相似条件
欧拉数相等
Eu
p
v2
pA
Av 2
F＝F’=1500N
F
v2l 2
F'
'l '2v'2
4.4 近似的模型实验
完全相似条件（分解相似定理） DVx 1 p v(2Vx 2Vx )
Dt x x2 y2
1、能被同一方程组描述 2、几何相似
DVy 1 p v(2Vy 2Vy )
Dt y x2 y2
3、模型与原型对应截面对应点物性相似
4、进出口截面速度分布相似
5、流动初始条件相似 6、定性准则相等
抓大放小
如重力场下两粘性流体相似
Re Re'
Vl V 'l ' v v'
v v'
若取模型比例为1/10， 则速度为原型的10倍
Fr Fr'
gl V2
g 'l ' V 2'
速度为原型的 10倍
17
例 定：阻某力汽。车已高知1风.5洞m最，大行风驶速速度v=108kvmm/h，4拟5 m在/风s 洞中试则验模以型测车
高度应为多少？若测得模型阻力1500N，则原型汽车阻力为多少?
解：保证流场相似，'l ' '
同种流体 ' '
vl v'l '
l'
vl v'
1.0m
2.4米跨声速风洞
第四章 相似原理和量纲分析 流体的复杂性决定了流体实验的复杂性
设备体积庞大（飞机、发动机、汽车等）－模型实验
流体介质有毒、易燃、易爆或不易获得－其他介质代替
模型怎么设计？介质怎么选？ 实验中测哪些量？
试验数据怎么换算到实物？ 怎样把结果推广到一类相似现象中去？
相似理论
第四章 相似原理和量纲分析
1）同一类流动，能被同一微分方程组描述
2）方程组定解（单值）条件相似
相似条件
3）由单值条件组成的相似准则相等 模
型
1、如何设计模型、选择试验介质？
实
验 根据单值条件相似，相似准则数相等的原则
2、如何进行试验？即试验中测量哪些量？
相似准则中包含的所有量 3、试验数据如何整理？结果如何推广？
将试验数据整理成准则数的函数关系（相似准则方程）
13.3m / s
由欧拉数相等得：
F1
1l12V12
F2
2 l 22V22
所以F1
F2 1l12V12 2 l 22 V22
733N
例：两种密度和动力粘度相等的液体从几何相似的喷嘴中喷出。一 种液体表面张力0.04409N/m，出口直径7.5cm，流速12.5m/s，在离 喷嘴12m处破裂成油滴；另一种液体表面张力0.07348N/m。如流动相 似，另一种液体出口直径、流速、破裂成油滴距离分别多大？
代入上式
kv 1 (kl kg )1/ 2
或 v' (g 'l ' )1/ 2
v (gl)1/ 2
Fr
弗罗德数
2、粘滞力相似
kF
F ' F
'(dvx' / dy')A' (dvx / dy) A
k klkv
k kvkl
/ k
1
或
'v'l ' '
vl
kvkl / k 1
Re
vl
v2 v
例：为研究飞船在空气中以100m／s速度飞行时的阻力，拟采用1/2的 模型在水中做实验，求水流速度应多大？若该速度下测的模型阻力 2700N，则原型飞船实际阻力多大？
解：由相似定理为保证流动相似，雷诺数必相等，即：
1V1l1 2V2l2
1
2
所以
V2
1V1l12 2l2 1
1.2 100 2 103 1000 1.8 105
解：破裂受粘性力和表面张力共同影响，雷诺数及韦博数必相等。
'v'l ' vl '
kvkl 1
'l ' '2 l 2
'
kv2kl k
kv k 0.07348/ 0.04409 1.667
惯性力 粘性力
l
雷诺数
3、压力相似
kF
F' F
P' A' PA
kPkl2
p pA 压力
Eu v2 Av2 惯性力
kP 1 或 P' P
k kv2
'v'2 v2
欧拉数
4、弹性力相似
kF
dp' A dpA
K 'dV ' /V ' A' KdV /VA
kK kl2
代入牛顿数
k kv2 / kK
力学相似
4-1 流动的力学相似 几何形状：长度、面积、体积等 运动状态：速度、加速度、体积流量等
动力特性：质量力、表面力、动量等
1、几何相似
l' l
kl
＝ '
A' A
kA
l '2 l2
kl2
V' V
kV
l '3 l3
kl3
特征尺寸 直径，弦长，管道粗糙度
面积 体积
2、运动相似
v' v
kv
方向相同
第四章 相似原理和量纲分析
本节主要内容
相似理论的概念 相似理论的内容 相似理论的应用
相似理论的理解
第四章 相似原理和量纲分析
低速风洞： 试验段风速 ＜130m/s， Ma ＜ 0.4
流体力学起源于实验流体力学
风洞、水洞、水槽、激波管
高速风洞：试验段风速0.4 ＜ Ma ＜ 4.5 亚声速、跨声速、超声速
kt
t' t
l' / v' l/v
kl kv
速度 时间
加速度
体积流量
3、动力相似
F' F kF
方向相同
k
'
F ' /(a'V ' ) F /(aV )
kF ka kV
kF kl2kv2
通常选取 l、v、为 独立基本量，即
有动力学量的比例尺
力、力矩、功、功率、压强等
kl 、k则v、可k推导出所