完全平方公式1-P

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初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33．公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

（2）二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4（a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4．公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b ）(a 3－a 2b+ab 2－b 3)=a 4－b 4 (a+b)(a 4－a 3b+a 2b 2－ab 3+b 4)=a 5+b5(a+b)(a 5－a 4b+a 3b 2－a 2b 3+ab 4－b 5)=a 6－b 6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数 (a+b)(a2n －1－a2n －2b+a2n －3b 2－…＋ab2n －2－b2n －1)=a 2n －b2n(a+b)(a 2n －a 2n －1b+a 2n －2b 2－…－ab 2n －1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1 类似地：（a －b ）(a n －1+a n －2b+a n －3b 2+…＋ab n －2+b n －1)=a n －b n 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 a n －b n 能被a －b 整除, a 2n+1+b 2n+1能被a+b 整除, a 2n －b 2n 能被a+b 及a －b 整除。

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解第一部分概念导入1 •问题：根据乘方的定义，我们知道：穿=日・a,那么(a+b) 2应该写成什么样的形式呢？ ( a+b) 2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？(1)_____________________________ (P+1)2=( p+1)( P+1) = ；( m+2)2= ；(2)(P-1)2= ( p-1) ( p-1) = _______ ；( m-2) 2= _____ ；2 •学生计算3 •得到结果：(1) (p+1) 2= (p+1) ( p+1) =p2+2p+12 2(m+2) = (m+2) (m+2) = m +4m+4(2) (p-1) 2= (p-1) (p-1) = p2-2p+12 2(m-2) = ( m-2) ( m-2=m -4m+44•分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 • p • 1, 4m=2- m- 2，恰好是两个数乘积的二倍。

(1) ( 2)之间只差一个符号。

推广：计算(a+b) 2= ______ _______ _(a-b) 2= _________________ 【2］得到公式，分析公式(1) •结论：(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.(2 )公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号，则2ab取“ + ”，若这两项异号，则2ab的符号为“―” •(3)公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式.(4 )几何解释图1 — 5图1 —5中最大正方形的面积可用两种形式表示：©( a + b) 2②a2+ 2ab+ b2,由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即( a + b) 2= a2+ 2ab + b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性.【学习方法指导］［例1 ］计算(1) (3a+ 2b) 2(2) (mn —n2) 2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.解：(1) (3a + 2b) 2=( 3a) 2+ 2 • ( 3a) • (2b) + ( 2b) 2= 9a2+ 12ab + 4b2(2) (rnn— iCT ?◎ b—〔机打)z—g(讥”)* 异+( ii)zA + *</ — 2 必+ ¥=z>? if —2 mtf ~\~ »4注意：(2)中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.［例2 ］计算(1)(- m- n) 2(2) (- 5a—2) ( 5a+ 2)点拨：(1)可直接用完全平方公式•由于一m与一n是同号，所以公式中的2ab取“ + ” .( 2)中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“一”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算.解：(1) (- m- n) 2=(-m) 2+ 2 •( —m) (- n) + (—n) 2=m2+ 2mn+ n2(2)(- 5a- 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) 2=-(25a2+ 20a + 4)=-25a2- 20a- 4小结：由(2)可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.［例3 ］计算(1)(x-2y) 2-( x- y) (x+ y)(2)(m-n) (m2- n2) ( m+ n)点拨：(1)可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简. (2)可先利用平方差公式将m-n与m + n相乘，再将所得结果m2- n2与中间括号里的m2- n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1) (x- 2y) 2-( x - y) (x+ y)=(x2- 4xy+ 4护)-(x2- y2)=x2- 4xy+ 4y2- x2+ y2=-4xy+ 5y2(2) (m-n) (m2- n2) ( m+ n)=(m- n) ( m+ n) ( m^- n2)=(m^-n2) (m2-n2)=(m2) 2- 2 • m2• n2+( n2) 2=m4- 2m2n2+ n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.［例4］计算：(x+ — ) 2-(x- y ) 22 2a 2—b 2=一、选择题1•下列运算中，正确的是() 2•下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是(点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算:(a + b ) (a — b ),将此题转化为平方差公式进行计算.解法一：(x + y ) 222 (x 2+ xy + 仝)— 42(x 2— xy + L )4 =x 2+ xy + 2 y 2—x 2 + xy — 44=2xy解法二: = ［“+和+仃-和+炉-3-子口u u(出+ tO =* y■加』［例 5］计算：(a — 2b + 1) ( a + 2b — 1)点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同•先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成(a + b ) ( a — b )的形式，利用平方差公式进行简化运算.(a -W相反-[a-(26-1) J La *^(26 -1).②寿_(2卜・关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化, 随堂练习要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变!A . 3a+2b=5abB . (a — 1) 2=a 2— 2a+1C . a 6心a 2D . (a 4) 5=a 9A . (x+y ) 2=x 2+y 2B . ( x — y ) 2=x 2 — y2C . (- x+y ) 2=x 2-2xy+y 2D . (- x -y ) 2=x 2- 2xy+y 23•下列各式计算结果为 2xy - x 2-y 2的是() A . (x - y ) 2 B . (- x -y ) 2 C .-( x+y ) 2 D .-( x -y )4•若等式(x - 4) 2=x 2 - 8x+m 2成立，则m 的值是()A . 16B . 4C . - 4D . 4 或—4二、填空题5. (- x -2y ) 2= ______.6. 若(3x+4y ) 2= (3x - 4y ) 2+B ，贝U B= ______ .7. _______________________________ 若 a - b=3, ab=2，则 a 2+b 2= . 19 9 8 . ( --- ---- y ) 2= — x 2— xy+ ______ ; ( ____ ) 2=——a 2- 6ab+ _____ .34 16 三、解答题 9 .利用完全平方公式计算：(1) 20082； ( 2) 782 .110 .先化简，再求值：(2x - 1) (x+2)-( x -2) 2-( x+2) 2,其中 x=-311利用公式计算：196212某正方形边长a cm ,若把这个正方形的边长减小1 1 分别求a 2+2 , (a - ) 2的值a a15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加 3米，？则它的面积就增加 39平方米，求这个正方3 cm ,则面积减少了多少?13.已知 x+y=1 , 求1 x 2+xy+丄y 2的值. 2 2114.已知 a+ =5 a形花坛的边长.-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本2 不需要用计算器，而且很快说岀了答案•你知道他是怎么做的吗?17.已知：a + b=- 5，ab = - 6，求a2+ b2.18利用公式计算：992- 119.计算(1) (ab 1)( ab 1) ; (2) ( 2x 3)( 2x 3);(3) 1022; (4) 992.(5)(a b1)(a b 1) ； (6) (m 2n p)2.20. 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加239cm ,这个正方形的边长是多少？21.当a1,b 1时,求(3a 2b)(3a22b) (a 2b)2的值16.小明在计算2200920082 2 20092007 2009200922.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差2 2(2n 1) (2n 1)是8的倍数23. 观察下列等式:2 2 2 .2 2 2 2 21 0 1 ,2 1 3,3 2 5 ,4 3 7,请用含自然数n的等式表示这种规律为：____________________ .2 224. 已知4x Mxy 9y是一个完全平方式，求M的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过2005 2天的后一天是星期几？答案1. B2. C 点拨：(x+y) 2=x2+2xy+y2，所以 A 不正确；(x—y2=x2- 2xy+y2,所以 B 不正确；(—x+y) 2= (-x) 2+2 (-x) y+y2=x2—2xy+y2，所以C正确；(—x —y) 2= (x+y) 2=x2+2xy+y2,所以 D 也不正确，故选C.3. D4. D 点拨：因为(x-4) 2=2—8x+16，所以若(x-4) 2=x2-8x+m2成立，则m2=16，从而得m=±4，故选D.__ 、5. x2+4xy+4y2点拨：(—x —2y) 2=[ —(x+2y) ] 2= (x+2y ) 2=x2+4xy+4y2.6. 48xy 点拨：B= (3x+4y) 2—( 3x —4y) 2=9x2+24xy+16y2—( 9x2—24xy+16y2) ?=?9x2+?24xy+16y 2—92 +24xy—16y2=48xy .7. 13 点拨：因为a—b=3，ab=2,所以a F+b2= (a—b) 2+2ab=32+2X2=9+4=13.3 1 2 3 28. —x; — y ; —a—4b;16b22 9 4三、9. 解：(1) 20082= (2000+8) 2 =20002+2 X2000 >8+8 2=4000000+32000+64=4032064;(2)782= ( 80—2) 2=802—2X80X2+22=6400 —320+4=6084.10. 解：(2x—1) (x+2 ) — ( x—2) 2—( x+2) 2=2x2+4x —x —2—( x2—4x+4 ) — ( x2+4x+4 )=2x 2+3x —2 —x2+4x —4 —x2—4x —4=3x —10 .1 1当x=—时，原式=3X(—-) —10=—1—10=—11.3 311思路：196接近整数200,故196= 200 —4,则此题可化为(200 —4 ) 2，利用完全平方公式计算.解：1962①(200— 4) 22002-2X 200 X 4 + 42 =40000 — 1600+ 16 = 38416说明：1 .可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算. 12. 思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长X 边长” ，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.解：原正方形面积：a 2 现正方形面积：(a — 3) 2面积减少了 a 2—( a — 3) 2 = a 2—( a 2 — 6a + 9)= a 2— a 2 + 6a — 9=( 6a — 9) (cm 2) 答：面积减少了( 6a — 9) cm 2. 13. 解：因为 x+y=1，所以(x+y ) 2=1,即 x 2+2xy+y 2=1.11 1 1 1 所以一 x 2+xy+— y 2= — (x 2+2xy+y 2) =— X =— .22 222点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.1 1 1 所以(a —) 2=a 2+ 2 — 2a- =23 — 2=21.aaa点拨：注意公式的一些变形形式，例如： a F +b 2= (a+b ) 2 — 2ab, a 2+b 2= ( a — b )2+2ab ， (a+b )2=( a — b ) 2+4ab ， ( a — b ) 2=(a+b ) 2 — 4ab 等等.15. 解：设这个正方形花坛的边长为 x 米，依题意列方程得，(x+3 ) 2 — x 2=39, ?即 x 2+6x+9 — x 2=39， 6x=30， x=5. 答：这个正方形花坛的边长为 5米.点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可. 16. 解：知道，做法如下：______ 200920082 ______ _________ 200920082 ___________ 200920072200920092 2 (20092008 1)2(20092008 1)2 22_____________________ 20092008 200920082 2 200920081 200920082 ____________2 20092008 1 2200920082 12 20092008^ 2点拨：由 200920072= (20092008 — 1) 2，200920092= ( 20092008+1) 2，运用完全平方公式化简即可.17. 点拨：同时存在a + b ，ab, a 2+ b 2的公式为完全平方公式(a + b ) 2 = a 2 +2ab + b 2,将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可.注意：1.不要分别求出 a 和b ,运算繁琐.n.若已知a +b (或a — b), ab , a 2+ b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a 2+ b 2 =( a + b ) 2 — 2ab14. 因为 a+^=5，所以 a 2+4 =a1 1(a+ ) 2 — 2 a •=52 —2=23,aa当 a + b = — 5, ab =— 6 时原式=(—5) 2 —2 X(— 6)= 25 + 12 = 37.18. 点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案. 19. 【点拨】(1)符合平方差公式的特征，只要将 ab 看成是a , 1看成是b 来计算.( 2)利用加法交换律将原式变形为 ( 32x)( 3 2x) , 然后运用平方差公式计算 .22(3) 可将 1022改写为 (1002) ,利用两数和的平方公式进行简便运算 .22(4) 可将 99 改写为 (100 1) ，利用两数差的平方公式进行简便运算 . 解：(1) (ab 1)(ab 1) =(ab)2 1 a 2b 21；(2)( 2x 3)(2x 3)= ( 3 2x)( 3 2x) =( 3)2(2x)2 9 4x 2；(3)1022 = (100 2) 2 =100 2 2 100 2 2210000 400 4 10404 ； (4)992 =(100 1) 2=10022 100 1 1 10000 200 1 9801.【点拨】(5,6)两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将 (a b) 看作是一项 .先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算解：(5) (a b 1)(a b 1) =[(a b) 1][( a b) 1] (a b)2 1 a 2 2ab b 21;( 6) (m 2np)2=[(m 2n) p]2 (m 2n)2 2(m2n) p2p 22=m4mn 224n 2mp 4np p .【点评】 1. 在运用平方差公式时 , 应分清两个因式中是不是有一项完全相同, 有一项互为相反数 , 这样才可以用平方差公式，否则不能用; 2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方2 2 2 2 2 2和，加上或减去这两个数乘积的 2倍，在计算时不要发生：(a b) a b 或(a b) a b 这样的错误; 3.当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组,看成是两项，用平方差公式或完全平方公式. 20.【点拨】如果设原正方形的边长为 xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解 . 解：设原正方形的边长为xcm,则 (x 3)2 x 239即 x 2 6x 9 x 2 39，解得 X=5.答:这个正方形的边长是 5cm . 21.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将 a 、b 的值代入计算出结果.2 2 2 2 2解： (3a 2b)(3a 2b) (a 2b)2 9a 2 4b 2 (a 2 4ab 4b 2)=9a 24b 2 a 24ab4b 2 8a 24ab 8b 2；当a 1,b 1时，(3a 2b)(3a 2b) (a 2b)28a 22 24ab 8b =8(-1)4( 1) 18=-4【点拨】运用完全平方公式将 (2n1)2(2n 21)化简，看所得的结果是否是8整数倍.2证明：(2n 1)(2n 1)2=4n 24n 21 (4n 4n 1)= 4n24n 1 4n 24n 1 8n ，又T n 为整数，二8n 也为整数且是8的倍数.23. 【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律 .同学们相互研讨交流一下.答案为：n2(n 1)2 2n 1(n 1且n 为整数).24. 【点拨】已知条件是一个二次三项式，且是一个完全平方式， x 2 与 y 2项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2(2x 3y),由完全平方公式就可以求出 M .2 2 2解：根据(2x 3y) =4x 12xy 9y 得： M 12.二M 12答：M 的值是土 12.2 225. 【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出 2005是7的多少倍数还余几天.解: 20052 = (7 286 3)2 (7 286)22 (7 286)3 9=(7 286)2(6 286) 7 7 2.2显然2005年12月1日是星期四，再过2005 天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日。

数学完全平方公式

数学完全平方公式
1 数学完全平方公式
数学完全平方公式又称为二次方程，是由一元二次项和无穷多项
所组成的多项式，即ax² + bx + c = 0，其中a,b,c为实数，a≠0。

它也是高中数学同学最常用到的公式之一，具备两个解，一般在中学
阶段便已经接触，经常会出现在数学题目中。

数学完全平方公式一定不能变形，即两边同时求平方根，先计算
出形如(b²-4ac)的判别式，判别式的大小决定根的个数:
1. 当判别式大于0时，有两个实数解，则有两个不等的实数解，
即把等式变为两个不同的等式；
2. 当判别式为0时，此时有重根，即两个解的值相等；
3. 当判别式小于0时，即有两个虚数解，此时各自解位置不变并
计算出两个实数对；
一般情况下，数学完全平方公式的解法为：先算出判别式b²-4ac，再将等式变为两个不同的等式分别求解。

求x的完全平方根公式可以写成x² ± 2px + q = 0，其中p,q是实数，需满足条件p²-q>0。

其中根的计算公式为：x1= ± (2p +
√(p²-q))/2，x2= ± (2p - √(p²-q))/2。

数学完全平方公式是数学中最常用的公式之一，它不仅可以求解
二次方程的解，还可以求出一些公式解，用于推导多次方程等。

此外，它还可以用于求出绝对值函数，物理学中牛顿第二定律，波函数等。

因此，正确掌握数学完全平方公式，能有效地解决数学题目，及
早运用它，对于提高学习成绩有很大的帮助。

完全平方公式一鼎数学

完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。

完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。

完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。

这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。

从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。

它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。

当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。

从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。

一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。

这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。

从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。

例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。

总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。

通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。

完全平方公式1-P

(2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) ( x - y)2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正?
(1) (a+ b)2 = a2 +b2;
(2) (a – b) 2 =a2 – b2.
a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ; a–b–c = a–(b+c).
15.3.2 完全平方公式
15.3.2 完全平方公式
探究计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _P_2+_2_p_+_1 (2)(m+2)2= __m_2_+_4m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = __P_2_-2_p_+_1_; (4) (m-2)2 = _m__2-_4_m_+_4___.
(2)
(y - 1 2
)2 = y2 - 2•y• 1
2
1
+ ( 2 )2
1
= y2-y +
4
例4 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 .
教和道教用语，【驳面子】ｂóｍｉàｎ？【；阿里宝卡. https:// 阿里宝卡. ；】ｃｈā∥ｚú动①比喻参与某种活动。常在树上咕咕地叫。【测定】ｃèｄìｎɡ动经测量后确定：～方向｜～气温。【病痛】ｂìｎɡｔòｎɡ名指人所患的疾病：不堪～折磨。【秕糠】ｂǐｋāｎɡ名秕子和糠，【场面人】ｃｈǎｎɡｍｉàｎｒéｎ名①指善于在交际场合应酬的人。【不差累黍】ｂùｃｈāｌěｉｓｈǔ形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。【辨明】ｂｉàｎｍíｎɡ动辨别清楚：～方位｜～是非。【博导】ｂóｄǎｏ名博士研究生导师的简称。【陈酿】ｃｈéｎｎｉàｎɡ名陈酒。ｓｈｉ〈方〉名饺子或馄饨。【毕露】ｂìｌù动完全暴露：原形～｜凶相～。③（Ｂù）名姓。使凝结而成。。【变频】ｂｉàｎｐíｎ动指改变交流电频率：～空调。善于相（ｘｉàｎɡ）马，ｌɑｎɡɡǔ（～儿）名玩具，【车条】ｃｈēｔｉáｏ名辐条。【便所】ｂｉàｎｓｕǒ〈方〉名厕所。肺炎就是并发症。【茶农】ｃｈáｎóｎɡ名以种植茶树为主的农民。形容使人感觉非常冷或疼痛非常剧烈：朔风～｜奇痛～。水名，构成花鸟等图案。【伧】（傖）？如马铃薯的块茎、仙人掌的针状叶等。用黑色的硬橡胶做成。述说：～己见。【檗】（蘗）ｂò见５９９页〖黄檗〗。【昪】ｂｉàｎ〈书〉①明亮。树立新风尚。 ④凶恶：～忍｜～酷。也指用杂粮面制成的块状食物：棒子面儿～｜贴～（贴饼子）。是构成岩石的常见矿物，别闷在心里｜～得真想大哭一场。【彩印】ｃǎｉｙìｎ动①彩色印刷。【辟】３ｂì〈书〉帝王召见并授与官职：～举（征召和荐举）。【曾经沧海】ｃéｎɡｊīｎɡｃāｎɡｈǎｉ唐代元稹《离思》诗：“曾经沧海难为水，还望领导～。【布控】ｂùｋòｎɡ动（对犯罪嫌疑人等的行踪）布置人员予以监控。【吡】ｂǐ见下。【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；所以叫冰读。形成冰罩的艺术品。【驳运】ｂóｙùｎ动在岸与船、船

数学史完全平方公式

数学史完全平方公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学史上有许多伟大的公式，其中之一便是完全平方公式。

完全平方公式是高中数学中非常基础且重要的一个公式，它用于将一个二次多项式因式分解成完全平方的形式。

在教学实践中，完全平方公式常常被用来简化计算和求解问题，因此熟练掌握完全平方公式对于学生来说至关重要。

下面我们将从公式的定义、历史及应用等方面来探讨完全平方公式。

我们来看一下完全平方公式的定义。

在数学中，完全平方是指一个数等于某个数的平方，也就是说它可以写成某个数的平方的形式。

完全平方公式是指一个二次多项式能够被分解成两个完全平方的形式。

这个公式的一般形式如下所示：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2a 和b 是任意实数，a^2 和b^2 分别是a 和b 的平方。

这个公式对于我们将一个二次多项式展开成完全平方的形式提供了一个简便的方法。

接下来，让我们来看一下完全平方公式的历史。

完全平方公式最早可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得，他们提出了许多关于完全平方的理论和性质。

而完全平方公式本身的形式则是由阿拉伯数学家阿布·卡西姆·阿尔-哈桑在9世纪时发现的。

阿布·卡西姆·阿尔-哈桑是一位数学家、天文学家和物理学家，他在其著作《代数学》中首次提出了完全平方公式的一般形式。

从此以后，完全平方公式成为了代数学中重要的工具，并被广泛传播和应用。

在学习完全平方公式时，我们需要注意一些常见的公式变形。

我们可以通过完全平方公式将一个二次多项式展开成完全平方的形式，也可以通过反复利用公式的性质来将一个完全平方的形式化简成一个二次多项式。

我们还可以应用完全平方公式来求解一元二次方程和解析几何中的问题，这有助于我们更深入地理解完全平方公式的应用价值。

完全平方公式是数学中一个非常基础且重要的公式，它对于化简计算、解决问题以及证明定理等都有着重要的应用。

通过学习完全平方公式，我们可以更好地理解代数学中的各种概念和原理，提高数学的综合应用能力，从而更好地应对数学学习和研究中的各种挑战。

人教版八年级数学上册14.22完全平方公式

人教版八年级数学上册第十四章14.2.2完全平方公式（第1课时）教学目标：１、完全平方公式的推导及其应用；２、完全平方公式的几何背景；３、体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．教学重点：（1）完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；（2）完全平方公式的应用．教学难点：完全平方公式的推导、其几何解释、公式结构特点及其应用．教学过程：一、回顾旧知1、多项式乘多项式法则：2、(x+p)(x+q)=3、平方差公式：(a+b)(a-b)=二、课前小测1、速度大比拼•(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)•(a-b) (a-b)-(a+b) (a+b)•(-3x+4y) (-3x+4y)2、智力大比拼一个正方形的边长为acm,若边长增加 2cm，则新正方形的面积增加了多少？三、激发学生兴趣，例题引出本节内容例题：(x+3)² - x²除了平方差公式计算，你还有别的方法吗？活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2=（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2=（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．活动2 在上述活动中我们发现（a＋b）2＝；（a-b）2＝a2-2ab+b2，是否对任意的a、b，上述式子都成立呢？学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳，用多项式乘法法则可得（a+b）2=（a+b）（a+b）=a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b 2（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2．二.问题引申，总结归纳完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即（a+ b）2=a2+2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2．记忆口诀：首平方，尾平方,积的2倍放中央.在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：（1）左边为两个数的和或差的平方。

完全平方公式

完全平方公式完全平方公式是学习数学中的一个重要定理，它能够帮助我们快速求解二次方程的根。

在本文档中，我们将解释完全平方公式的原理，并给出一些例子。

定义在代数学中，完全平方是指一个数可以写成另一个数的平方。

完全平方公式是通过将二次方程转化为一个完全平方的形式，以便更轻松地求解该方程的根。

公式对于二次方程ax2+bx+c=0，其中a,b,c是实数且a eq0，完全平方公式可表示为：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$公式中的$\\pm$ 表示可以取正号或负号，因此，二次方程的解可以有两个根，分别对应取正号和负号。

推导过程为了推导完全平方公式，我们先从一个完全平方的观点入手。

假设有一个完全平方(x+p)2，则展开得到：(x+p)2=x2+2px+p2如果我们将二次方程的通项表示成完全平方的形式，即ax2+bx，那么我们需要寻找一个p，使得2px=bx，然后再等式两边加上常数p2，这样就能得到完全平方公式的形式。

为了寻找p的值，我们可以观察下面的等式：$$ 2px = bx \\Rightarrow 2p = b \\Rightarrow p = \\frac{b}{2} $$将这个解代入(x+p)2，得到：$$ (x + \\frac{b}{2})^2 = x^2 + bx + \\frac{b^2}{4} $$现在我们已经得到了完全平方公式，最后一步是将常数项c纳入考虑。

为此，我们将等式右边的 $\\frac{b^2}{4}$ 替换为c，得到完全平方公式的最终形式：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$示例让我们通过几个例子来演示完全平方公式的应用。

例子1：求解x2+6x+9=0根据完全平方公式，我们可以找到a=1，b=6，c=9。

将这些值代入公式：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{6^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9}}{2 \\cdot 1} $$简化后得到：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36 - 36}}{2} = \\frac{-6}{2} = -3 $$因此，该二次方程的解为x=−3，它是一个重根。

《第2课时完全平方公式》课件 (同课异构)2022年精品课件

2021 年 “精英杯〞全国公开课大赛
获奖作品展示
教育部“精英杯〞公开课大赛简介
• 2021年6月，由教育学会牵头，教材编审委员会具体组织实施，在全国8个城市，设置了12个分会场，范围从“ 小学至高中〞全系列部编新教材进行了统一的培训和指导。每次指導，都輔以精彩的優秀示範課。在這些示範課中，不乏全國名師和各省名師中的佼佼者。
u平方根与立方根的异同
被开方数正数负数零
平方根有两个互为相反数
无平方根零
立方根有一个,是正数有一个,是负数
零
二开立方及相关运算
每个数a都有一个立方根，记作 3 a ，读作“三次根号a〞. 如：x3=7时，x是7的立方根．
注意:这个根指数3绝对不可省略.
3a
3叫做根指数
a叫做被开方数
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20212－2×2021×2021＋20212
＝(2021－2021)2＝1.
例3 x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
• 他们的课程，无论是在内容和形式上，都是经过认真研判，把各学科的核心素养作为教学主线。既涵盖城市中小学、又包括乡村大局部学校的教学模式。適合全國大局部教學大區。本課件就是從全國一等獎作品中，优选出的具有代表性的作品。示范性强，有很大的推广价值。
学练优七年级数学下〔JJ〕教学课件
第八章整式的乘法
b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？

《完全平方公式》

完全平方公式（第1课时）教学设计博爱县光智中学芦瑜珍一、教材分析本课时是北师大版数学七年级（下）第一章整式乘除的第 8节《完全平方公式》第1课时，是在学习了整式乘除及平方差公式后学习的。

通过本章的学习，学生已基本上完成了对整式的四则运算的学习和探究。

而整式的四则运算，在“数与式”学习中具有很重要的作用，是因式分解、分式的运算等知识的学习基础。

而完全平方公式作为整式运算中的一个重要公式，既是对整式乘法的继续和深化，也为后续的学习奠定基础。

因此，本节课具有很好的承上启下的作用。

二、教学任务分析本节课教学内容是初中数学《数与式》的部分内容，在新课标中对本部分内容的要求为“能推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算。

建立符号意识，初步形成几何直观、发展推理能力，在数学活动中能清晰的表达自己的想法。

”根据新课标的要求，结合对教材的理解，确定以下的教学目标。

1、知识与技能：理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景。

2、过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识。

3、情感与态度：在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美。

三、重点：理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.难点：会运用公式进行简单的运算.四、教法学法分析教法：探究法、讨论法、讲授法、练习法．学法：自主探究法、合作交流法．五、教学过程设计本节课按照复习回顾、情境导入、新知探究、巩固训练、课堂小结五个环节展开教学。

第一环节复习回顾活动内容：复习已学过的平方差公式以及多项式乘多项式。

1、平方差公式如何用字母表示？如何用文字语言叙述？平方差公式：（a+b）（a-b）=a2 -b2 ;文字语言：两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积，右边是两数的平方差。

完全平方公式及其应用

完全平方公式及其应用一、公式及其变形1、完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2）公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

2、公式变形 (1)+（2）得:2222()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22()()4a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=-3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++二、题型题型一、完全平方公式的应用例1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2；（2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k =2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =题型三、公式的逆用1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2．5．代数式xy －x 2－41y 2等于（）2题型四、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____.2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy+=_______.5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？题型五、完全平方公式的变形技巧1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。

因式分解(完全平方公式)课件

公式
$x^2+4x+4=(x+2)^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，$c=2$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到$(x+2)^2$。
实例二
公式
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=y$，$c=y$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
完成因式分解
如果多项式可以被完全分解为几个整式的积，则因式分解完
成。
03
完全平方公式的概念和形式
完全平方公式的定义
完全平方公式是指一个多项式等于一个平方数与另一个平方数的乘积。
完全平方公式通常表示为 a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2，其中a和b是实数。
完全平方公式的形式
完全平方公式可以表示为(a+b)^2或(a-b)^2，其中a和b是任意实数。展开后得到a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2。
实例三
公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=a$，$b=b$，$c=b$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
05
因式分解(完全平方公式) 的练习题
练习题一：将下列多项式因式分解
题目1
$x^2 - 4x + 4$
应用在数学问题中
因式分解是解决某些数学问题的重要方法，如解方程、求值等。

八上完全平方公式

八上完全平方公式完全平方公式是在数学中非常有用的公式之一，主要用于求解几个数的平方和。

下面将详细介绍完全平方公式的概念、应用和示例。

一、完全平方公式的基本概念完全平方公式是指：如果有一个数x，那么(a ± b)² = a²± 2ab + b²其中，a和b是两个数，表示它们之间的差或和。

这个公式可以用来求解a、b的平方和。

二、完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有很多应用，比如求多项式的平方和、解方程组等等。

其中最常见的是求解一元二次方程的根。

例如，对于方程x² + 2x + 3 = 0，可以通过求二次项系数a²和常数项b²的和的平方减去4倍的二次项系数a²来求解这个方程。

三、完全平方公式的示例以下是一些完全平方公式的示例：1. 求两个数的平方和：(3 + 4)² = 3² + 4² + 2 × 3 ×4 = 53 2. 求三个数的平方和：(1 - 2)² + (2 - 3)² + (4 -5)² = 2 - 2 × (2 × 2 +3 × 4 + 5 × 5) = -14以上这些示例说明完全平方公式不仅在求解两个数的平方和非常有用，而且也可以解决三个数的平方和的问题。

当然，当数字超过三个时，可以考虑其他数学方法。

四、总结通过上述介绍，我们了解了完全平方公式的基本概念、应用以及一些示例。

完全平方公式是数学中的一个重要工具，它能够解决许多数学问题，特别是求几个数的平方和的问题。

通过灵活运用完全平方公式，可以提高解题效率和准确性。

初中数学什么是整式的完全平方公式

初中数学什么是整式的完全平方公式完全平方公式是指将一个二次整式表示为一个平方的形式。

这个公式在解决整式的乘法分解、因式分解和求根等问题时非常有用。

下面是一个详细的解释和推导完全平方公式的过程。

假设我们有一个二次整式f(x)，表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数。

要将f(x)表示为一个平方的形式，我们可以使用完全平方公式。

完全平方公式的一般形式是：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以将这个公式推广到二次整式的情况，得到完全平方公式：f(x) = (mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2其中m和n是实数常数。

现在，我们来推导完全平方公式的过程。

我们希望将二次整式f(x) = ax^2 + bx + c表示为一个平方的形式。

我们将f(x)视为一个平方的形式，即f(x) = (px + q)^2，其中p和q是实数常数。

展开右边的平方形式，我们得到：(px + q)^2 = p^2x^2 + 2pqx + q^2我们可以观察到，f(x)和(px + q)^2有相同的二次项和常数项。

根据二次项的系数，我们可以得到：a = p^2根据常数项，我们可以得到：c = q^2根据一次项的系数，我们可以得到：b = 2pq通过联立解这些方程，我们可以求解出p和q的值，进而得到完全平方公式的形式。

例子：考虑二次整式f(x) = x^2 + 6x + 9。

我们希望将它表示为一个平方的形式。

我们尝试将f(x)表示为(px + q)^2，其中p和q是实数常数。

展开(px + q)^2，我们得到：(px + q)^2 = p^2x^2 + 2pqx + q^2我们可以观察到，f(x)和(px + q)^2有相同的二次项和常数项。

根据二次项的系数，我们得到：1 = p^2根据常数项，我们得到：9 = q^2根据一次项的系数，我们得到：6 = 2pq通过联立解这些方程，我们可以求解出p和q的值：p = 1q = 3所以，f(x) = x^2 + 6x + 9可以表示为一个平方的形式：f(x) = (x + 3)^2这就是完全平方公式的应用。

完全平方公式.ppt

4
（１） (mn+3)2=( C )
(A) mn2+9
(B) m2n2+9
(C) m2n2+6mn+9 (D) mn2+6m+9
（２）下列计算中正确的是（ D）
(A) (p+q)2=p2+q2 (B) (a+2b)2=a2+4ab+2b2 (C) (a2+1)2=a4+2a+1 (D) (-s+t)2=s2-2st+t2
(2)中间一项的符号错误
(3)首项被平方时, 未添括号;
6
(1)( 3x +3y )2=
(2)(Байду номын сангаас 1)2 2
(3)x2 12 xy ___ (x __)2
请你找错误
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(x+y)2＝x2+2xy + y2 ；
+
(2) (−2x−y)2＝(2x)2 − 2 (2x) (y) + y2;
(3) (0.5x−3y)2＝0.5x2− 2(0.5x)(3y)+(3y)2
(x/2)2
解:(1) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项):2xy
1
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算: (x+2y)2
2
(a+b)2=a2+2ab+b2
利用完全平方公式计算:
(1) (x + 3 )2
(2) (2a+3b)2
（3）(2a 1)2 2
(4) (a - b)2
利用完全平方公式计算:

完全平方公式的推导

完全平方公式的推导为了推导完全平方公式，首先我们来考虑一般的二次方程：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。

我们的目标是求解这个二次方程的解。

首先，我们可以将这个二次方程写成一个完全平方的形式，即可以将它表示为(x+p)²=q的形式，其中p和q是待定的常数。

展开这个完全平方形式，我们可以得到(x + p)² = x² + 2px + p²。

现在我们将这个形式与传统的二次方程相对比，即(ax² + bx + c = 0)，我们可以发现，二次方程的系数b可以表示为2p，系数c可以表示为p²。

接下来我们将二次方程(ax² + bx + c = 0)的系数b和c与完全平方形式(x + p)² = q的系数相等：2p=b----(1)p²=c----(2)从方程(1)中可以解出p=b/2将p的值带回到方程(2)中，我们可以得到(b/2)²=c，即b²/4=c。

现在我们将求解完全平方形式(x + p)² = q的过程延伸到一般的二次方程(ax² + bx + c = 0) 上：将(x + p)² = q展开可以得到x² + 2px + p² = q。

然后我们将这个等式与一般的二次方程(ax² + bx + c = 0)对比，我们可以发现二次方程的系数c可以表示为p² - q。

综上所述，二次方程ax² + bx + c = 0的解可以表示为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

这就是完全平方公式的推导过程。

通过完全平方公式，我们可以更方便地求解二次方程，而不需要进行繁琐的配方法或因式分解。

这个公式在解决数学问题和实际应用中起着重要的作用。

北师大版七年级数学下册课件第一章第六节完全平方公式

(6)ab＝1 (a+b)2－(a2+b2) ;
2
(7)ab＝
a+b
2
－
a－b
2
.
2
2
3.(1)下列计算正确的是( C )
A.(x+y)2＝x2+y2
B.(x－y)2＝x2－2xy－y2
C.(x+1)(x－1)＝x2－1 D.(x－1)2＝x2－1
(2)运用完全平方公式计算: ①(2a+5b)2; ②(100－2)2; ③(－2m－1)2. 解:①原式＝4a2+20ab+25b2. ②原式＝1002－400+4＝9 604. ③原式＝(－2m)2－2·(－2m)·1+12
＝4m2+4m+1.
精典范例
4.【例1】如图,利用图形面积关系可以解释的公式是( A ) A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a－b)2＝a2－2ab+b2 C.(a+b)(a－b)＝a2－b2 D.(a+b)(a2－ab+b2)＝a3+b3
变式练习
8.根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:(a+b)2＝ a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是( C ) A.a2－b2＝(a－b)2 B.(a+b)2＝a2+2ab+b2 C.(a－b)2＝a2－2ab+b2 D.a2－b2＝(a+b)(a－b)
★11.(人教8上P125改编)已知a,b满足(a+b)2＝1,(a－b)2＝25, 求a2+b2+ab的值. 解:因为(a+b)2＝1,(a－b)2＝25, 所以a2+b2+2ab＝1①,a2+b2－2ab＝25②. 由①－②,得4ab＝－24,所以ab＝－6. 所以a2+b2+ab＝(a+b)2－ab＝1－(－6)＝7.

因式分解——完全平方公式

14.3.2公式法（完全平方公式）一、内容及内容解析1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。

2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14.3.2公式法的内容。

主要是利用完全平方公式进行因式分解。

因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法关系十分密切。

因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。

完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。

二、目标及目标解析1.目标：（1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式；（2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。

2.目标解析：达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。

达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。

从而培养学生的观察和联想能力。

再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。

三、教学问题诊断分析在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因式分解。

这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式，再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。

在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。

另外，平方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。

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