中考复习： 锐角三角函数

中考复习：锐角三角函数

知识梳理

一、

锐角三角函数（正弦、余弦、正切）

1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A

的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ）， 记作sin A ，即sin A a

A c

∠=

=的对边斜边。

把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即

；

把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即

。

锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。 当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。 2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。 3、取值范围：

当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。

4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。

5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。

二、300、450、600

的正弦值、余弦值和正切值如下表：

三、解直角三角形

b

cos c A A ∠=

=的邻边斜边a

tan b

A A A ∠=

∠的对边＝

的邻边C ∠A 的邻边b

∠A 的对边a

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：

（1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝

a c ， cosA ＝sinB ＝b

c

，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a

。 （2）两锐角之间的关系： A ＋B ＝90°。

（3）三条边之间的关系：

。

2、解直角三角形的基本类型和方法：

已知条件

解法

一边及 一锐角

直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c=sin a

A

斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA

两边

两条直角边a 和b

，B ＝90°-A ，

直角边a 和斜边c

sinA=

a

c

，B ＝90°-A ，

典型例题及变式

1、【2013●兰州】△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ．∠B 、△C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ）

A ．csinA =a

B ．bcosB =c

C ．atanA =b

D ．ctanB =b 考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义。

分析：由于a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，且△C =90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项。 解答：解：△a 2+b 2=c 2，

△△ABC 是直角三角形，且△C =90°。

A ．sinA = ，则csinA =a ．故本选项正确；

B ．cosB = ，则cosBc =a ．故本选项错误； a

c a c

C ．tanA = a

b ，则=b ．故本选项错误； D ．tanB = b

a

，则atanB =b ．故本选项错误。

故选A 。

点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理。判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可。 2、【2013●湖南邵阳】在△ABC 中，若,则△C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

【答案】：D 。 【解析】：△，△;

△△A=30°，△B=60°，则△C=180°﹣30°﹣60°=90°。

故选D ． 【方法指导】：本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．根据绝对值及完全平方的非负性，可求出、的值，继而得出△A 、△B 的度数，利用三角形的内角和定理，可求出△C 的度数。

3、【2013●四川内江】在△ABC 中，已知∠C=90°，sinA+sinB=

7

5

，则sinA-sinB= 。 考点： 互余两角三角函数的关系。

分析： 根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB 平方，把sin 2A+cos 2A=1，sinB=cosA 代入求出2sinAcosA 的值，代入即可求解。 解答： 解：（sinA+sinB ）2=（7

5

）2， ∵sinB=cosA ，

∴sin 2A+cos 2A+2sinAcosA= 4925

， ∴2sinAcosA=

4925﹣1= 2425

， 则（sinA ﹣sinB ）2=sin 2A+cos 2A ﹣2sinAcosA=1﹣2425 = 1

25

， ∴sinA ﹣sinB=± 1

5

。 故答案为：±

15

。 点评： 本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键。 4、【2013●湛江】阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：

0)2

1

(cos 21sin 2=-+-

B A 0)2

1(cos 21sin 2=-+-

B A 21

cos ;21sin ==B A A sin B cos