中考复习: 锐角三角函数

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初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 CA 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性:当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性:当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,8、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。

依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。

(注意:尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例:(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示,即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。

如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。

九年级数学专题复习锐角三角函数

九年级数学专题复习锐角三角函数

总复习锐角三角函数【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用,特殊角三角函数值的求法,运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题,多以中、低档题出现;2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A所对的边BC记为a,叫做∠A的对边,也叫做∠B的邻边,∠B所对的边AC记为b,叫做∠B的对边,也是∠A的邻边,直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA aAc∠==的对边斜边;锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA bAc∠==的邻边斜边;锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边;cosB aBc∠==的邻边斜边;tanB bBB a∠==∠的对边的邻边.要点进阶:ABCabc(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化.(2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成,,,不能理解成sin与∠A,cos与∠A,tan与∠A的乘积.书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”,但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan∠AEF”,不能写成“tanAEF”;另外,、、常写成、、.(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.(4)由锐角三角函数的定义知:当角度在0°<∠A<90°之间变化时,,,tanA>0.考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义,可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,归纳如下:要点进阶:(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若,则锐角.(2)仔细研究表中数值的规律会发现:sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1,而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反,、、的值依次增大,其变化规律可以总结为:当角度在0°<∠A<90°之间变化时,①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)互余关系:,;(2)平方关系:;(3)倒数关系:或;(4)商数关系:.要点进阶:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.考点四、解直角三角形在直角三角形中,由已知元素(直角除外)求未知元素的过程,叫做解直角三角形.在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有:①三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.③边角之间的关系:,,,,,.④,h为斜边上的高.要点进阶:(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°),是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式,没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形,可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a,b)由求∠A,∠B=90°-∠A,斜边,一直角边(如c,a)由求∠A,∠B=90°-∠A,一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A,b)∠B=90°-∠A,一角,锐角、对边(如∠A,a)∠B=90°-∠A,,斜边、锐角(如c,∠A)∠B=90°-∠A,,要点进阶:1.在遇到解直角三角形的实际问题时,最好是先画出一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2.若题中无特殊说明,“解直角三角形”即要求出所有的未知元素,已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是:(1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解.拓展:在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念:(1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母表示.坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度,用字母表示,则,如图,坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角,如图.(3)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方向PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.(4)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角,如图②中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如:东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.要点进阶:1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图.2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形来解.例如:3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义),然后正确画出示意图,进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)三边之间的关系:222a b c +=; (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B =90°; (3)边与角之间的关系:sin cos a A B c ==,cos cos a A B c==,cos sin b A B c ==,1tan tan a A b B==. (4) 如图,若直角三角形ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,设CD =h ,AD =q ,DB =p ,则由△CBD ∽△ABC ,得a 2=pc ;由△CAD ∽△BAC ,得b 2=qc ;由△ACD ∽△CBD ,得h 2=pq ;由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积,得ab =ch .(5)如图所示,若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线,则①CD =AD =BD =12AB ; ②点D 是Rt △ABC 的外心,外接圆半径R =12AB . (6)如图所示,若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径,则2a b c abr a b c+-==++. 直角三角形的面积: ①如图所示,111sin 222ABC S ab ch ac B ===△.(h 为斜边上的高)②如图所示,1()2ABC S r a b c =++△.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质例1.(1)如图所示,在△ABC中,若∠C=90°,∠B=50°,AB=10,则BC的长为( ).A.10·tan50° B.10·cos50° C.10·sin50° D.10 sin50°(2)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,sinA=35,求cosA+tanB的值.(3)如图所示的半圆中,AD是直径,且AD=3,AC=2,则sinB的值等于________.举一反三:【变式】如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为()A .B .C .D .类型二、特殊角的三角函数值 例2.解答下列各题: (1)化简求值:tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°;(2)在△ABC 中,∠C =90°,化简12sin cos A A -.举一反三: 【变式】若3sin 22α=,cos sin βα=,(2α,β为锐角),求2tan()3β的值.例3.如图,在锐角△ABC 中,AB=15,BC=14,S △ABC =84,求: (1)tanC 的值;(2)sinA 的值.CBA举一反三:【变式】如图,AB 是江北岸滨江路一段,长为3千米,C 为南岸一渡口,为了解决两岸交通困难,拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向,B 在C 的东北方向,从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米?(精确到0.1千米)类型三、解直角三角形及应用例4.如图所示,D 是AB 上一点,且CD ⊥AC 于C ,:2:3ACD CDB S S =△△,4cos 5DCB ∠=, AC+CD =18,求tanA 的值和AB 的长.例5.如图所示,山脚下有一棵树AB ,小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ,用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°,已知山坡的坡角为15°,求树AB 的高(精确到0.1m).(参考数据:sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27).举一反三:【变式】如图所示,正三角形ABC的边长为2,点D在BC的延长线上,CD=3.(1)动点P在AB上由A向B移动,设AP=t,△PCD的面积为y,求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;(2)在(1)的条件下,设PC=z,求z与t之间的函数关系式.例6.如图(1)所示,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上,梯子与地面的倾斜角α为60°.(1)求AO与BO的长.(2)若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.①如图(2)所示,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A 沿NO下滑了多少米;②如图(3)所示,当A点下滑到A′点,B点向右滑行到B′点时,梯子AB的中点P也随之运动到P′点,若∠POP′=15°,试求AA′的长.【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 中,∠C =90°,cosA =35,则tan A 等于 ( )A .35 B .45 C .34 D .432.在Rt △ABC 中,∠C=90°,把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA=ab.则下列关系式中不成立的是( )A .tanA•cotA=1B .sinA=tanA•cosAC .cosA=cotA•sinAD .tan 2A+cot 2A=1第2题 第3题3.如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分別是AB 、AD 的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC 等于( ) A .34 B .43 C .35 D .454.如图所示,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,现将△ABC 如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan ∠CBE 的值是( )A .247B .73C .724D .135.如图所示,已知∠α的终边OP ⊥AB ,直线AB 的方程为y =-33x +33,则cos α等于 ( ) A .12B .22C .32D .336.如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向,距离灯塔2海里的点A 处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB 长是( )A.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里二、填空题7.设θ为锐角,且x2+3x+2sinθ=0的两根之差为5.则θ=.8.如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,沿CE折叠矩形ABCD,使点B落在AD边上的点F处,若AB=4,BC=5,则tan∠AFE的值为 .9.已知△ABC的外接圆O的半径为3,AC=4,则sinB= .第8题第9题第11题10.当0°<α<90°时,求21sincosαα-的值为.11.如图,点E(0,4),O(0,0),C(5,0)在⊙A上,BE是⊙A上的一条弦.则t an∠OBE=.12.在△ABC中,AB=12,AC=13,cos∠B=,则BC边长为 .三、解答题13.如图,某仓储中心有一斜坡AB,其坡度为i=1:2,顶部A处的高AC为4m,B、C在同一水平地面上.(1)求斜坡AB的水平宽度BC;(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图,其中DE=2.5m,EF=2m,将该货柜沿斜坡向上运送,当BF=3.5m 时,求点D离地面的高.(≈2.236,结果精确到0.1m)14. 为缓解“停车难”的问题,某单位拟建造地下停车库,建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图,如图所示.按规定,地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志,以便告知停车人车辆能否安全驶入,为标明限高,请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)(sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511,tan18°≈0.3249)15.如图所示,某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动,他们要在某公园人工湖旁的小山AB上,测量湖中两个小岛C、D间的距离.从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°,测得湖中小岛D的俯角为45°.已知小山AB的高为180米,求小岛C、D间的距离.(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA,交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系;然后证明你的猜想;(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C 不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)。

中考数学-锐角三角函数(解析版)

中考数学-锐角三角函数(解析版)
专题 28 锐角三角函数
知识点一:锐角三角函数 1.三角函数定义 在 Rt△ABC 中,若∠C=90°
sin A A的对边 a
斜边
c
A的邻边
b
cos A
斜边
c
A的对边
a
tan A A的邻边 b
A的邻边
b
cot A A的对边 a
2.同角三角函数的关系
(1)平方关系: sin2 Acos2 A1
(1)三边之间的关系为 a2 b2 c2 (勾股定理)
(2)锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
(3)30°角所对直角边等于斜边的一半。
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(5)边角之间的关系为:(三角函数定义)
2.其他有关公式
(1)
S
1 2
ab sin C
=
1 2
bc sin
A
=
1 2
ac sin
B
(2)Rt△面积公式:
S
1 2
ab
1 2
ch
(3)直角三角形外接圆的半径
R c 2
,内切圆半径
r abc 2
结论:直角三角形斜边上的高 h ab c
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度:如图,我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或坡比),用字母 i 表示,即 i h . l
见问题,这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型,要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题.在 解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,应根据题目要求的精确度定答案.

锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备

锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备

锐角三角函数(公式、定理、结论图表)--中考数学知识必备考点一、锐角三角函数的概念如图所示,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A 所对的边BC 记为a,叫做∠A 的对边,也叫做∠B 的邻边,∠B 所对的边AC 记为b,叫做∠B 的对边,也是∠A 的邻边,直角C 所对的边AB记为c,叫做斜边.锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA,即sin A aA c ∠==的对边斜边;锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA,即cos A bA c∠==的邻边斜边;BCa c锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边;cosB aBc∠==的邻边斜边;tanB bBB a∠==∠的对边的邻边.要点诠释:(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化.(2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成,,,不能理解成sin与∠A,cos与∠A,tan与∠A的乘积.书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”,但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan∠AEF”,不能写成“tanAEF”;另外,、、常写成、、.(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.(4)由锐角三角函数的定义知:当角度在0°<∠A<90°之间变化时,,,tanA>0.典例1:(2022•扬州)在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若b2=ac,则sin A的值为..【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可.【解答】解:在△ABC中,∠C=90°,∴c2=a2+b2,∵b2=ac,∴c2=a2+ac,等式两边同时除以ac得:=+1,令=x,则有=x+1,∴x2+x﹣1=0,解得:x1=,x2=(舍去),当x=时,x≠0,∴x=是原分式方程的解,∴sin A==.故答案为:.【点评】本题主要考查了锐角三角函数,熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键.考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义,可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,归纳如下:要点诠释:(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若,则锐角.(2)仔细研究表中数值的规律会发现:sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1,而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反,、、的值依次增大,其变化规律可以总结为:当角度在0°<∠A<90°之间变化时,①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).典例2:(2022•天津)tan45°的值等于()A.2B.1C.D.【分析】根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答.【解答】解:tan45°的值等于1,故选:B.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)互余关系:,;(2)平方关系:;(3)倒数关系:或;(4)商数关系:.要点诠释:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.考点四、解直角三角形在直角三角形中,由已知元素(直角除外)求未知元素的过程,叫做解直角三角形.在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有:①三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.③边角之间的关系:,,,,,.④,h为斜边上的高.要点诠释:(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°),是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式,没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形,可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a,b)由求∠A,∠B=90°-∠A,斜边,一直角边(如c,a)由求∠A,∠B=90°-∠A,一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A,b)∠B=90°-∠A,,锐角、对边(如∠A,a)∠B=90°-∠A,,斜边、锐角(如c,∠A)∠B=90°-∠A,,要点诠释:1.在遇到解直角三角形的实际问题时,最好是先画出一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2.若题中无特殊说明,“解直角三角形”即要求出所有的未知元素,已知条件中至少有一个条件为边.典例3:(2022•丹东)如图,AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,连接AE和BE,BC平分∠ABE交⊙O于点C,过点C作CD⊥BE,交BE的延长线于点D,连接CE.(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若sin∠ECD=,CE=5,求⊙O的半径.【分析】(1)结论:CD是⊙O的切线,证明OC⊥CD即可;(2)设OA=OC=r,设AE交OC于点J.证明四边形CDEJ是矩形,推出CD=EJ=4,CJ=DE=3,再利用勾股定理构建方程求解.【解答】解:(1)结论:CD是⊙O的切线.理由:连接OC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠CBE,∴∠OCB=∠CBE,∴OC∥BD,∵CD⊥BD,∴CD⊥OC,∵OC是半径,∴CD是⊙O的切线;(2)设OA=OC=r,设AE交OC于点J.∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∵OC⊥DC,CD⊥DB,∴∠D=∠DCJ=∠DEJ=90°,∴四边形CDEJ是矩形,∴∠CJE=90°,CD=EJ,CJ=DE,∴OC⊥AE,∴AJ=EJ,∵sin∠ECD==,CE=5,∴DE=3,CD=4,∴AJ=EJ=CD=4,CJ=DE=3,在Rt△AJO中,r2=(r﹣3)2+42,∴r=,∴⊙O的半径为.【点评】本题考查解直角三角形,切线的判定,垂径定理,矩形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是:(1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解.拓展:在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念:(1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母表示.坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度,用字母表示,则,如图,坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角,如图.(3)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方向PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.(4)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角,如图②中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如:东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.要点诠释:1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图.2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形来解.例如:3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义),然后正确画出示意图,进而根据条件选择合适的方法求解.典例4:(2022•黑龙江)小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5:12的山坡上走1300米,此时小明看山顶的角度为60°,山高为()米A.600﹣250B.600﹣250C.350+350D.500【分析】设EF=5x米,根据坡度的概念用x表示出BF,根据勾股定理求出x,根据正切的定义列出方程,解方程得到答案.【解答】解:设EF=5x米,∵斜坡BE的坡度为5:12,∴BF=12x米,由勾股定理得:(5x)2+(12x)2=(1300)2,解得:x=100,则EF=500米,BF=1200米,由题意可知,四边形DCFE为矩形,∴DC=EF=500米,DE=CF,在Rt△ADE中,tan∠AED=,则DE==AD,在Rt△ACB中,tan∠ABC=,∴=,解得:AD=600﹣750,∴山高AC=AD+DC=600﹣750+500=(600﹣250)米,故选:B.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题,掌握坡度是坡面的铅直高典例5:(2022•湖北)如图,有甲乙两座建筑物,从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°,C 点的俯角β为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m,则甲建筑物的高度AB为16m.(sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,结果保留整数).【分析】过点D作DE⊥AB于点E,则BE=CD=6m,∠ADE=45°,∠ACB=58°,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,设AE=xm,则DE=xm,BC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,在Rt△ABC中,tan∠ACB =tan58°=≈1.60,解得x=10,进而可得出答案.【解答】解:过点D作DE⊥AB于点E,如图.则BE=CD=6m,∠ADE=45°,∠ACB=58°,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,设AE=xm,则DE=xm,∴BC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,在Rt△ABC中,tan∠ACB=tan58°=≈1.60,解得x=10,∴AB=16m.故答案为:16.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6:(2022•资阳)小明学了《解直角三角形》内容后,对一条东西走向的隧道AB进行实地测量.如图所示,他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上,他沿西北方向前进100米后到达点D,此时测得点A在他的东北方向上,端点B在他的北偏西60°方向上,(点A、B、C、D在同一平面内)(1)求点D与点A的距离;(2)求隧道AB的长度.(结果保留根号)【分析】(1)根据方位角图,易知∠ACD=60°,∠ADC=90°,解Rt△ADC即可求解;(2)过点D作DE⊥AB于点E.分别解Rt△ADE,Rt△BDE求出AE和BE,即可求出隧道AB的长.【解答】解;(1)由题意可知:∠ACD=15°+45°=60°,∠ADC=180°﹣45°﹣45°=90°,在Rt△ADC中,∴(米),答:点D与点A的距离为300米.(2)过点D作DE⊥AB于点E,∵AB是东西走向,∴∠ADE=45°,∠BDE=60°,在Rt△ADE中,∴(米),在Rt△BDE中,∴(米),∴(米),答:隧道AB的长为米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,掌握方向角的概念,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示,在Rt△ABC 中,∠C=90°,(1)三边之间的关系:222a b c +=;(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;(3)边与角之间的关系:sin cos a A B c ==,cos cos a A B c ==,cos sin b A B c ==,1tan tan a A b B==.(4)如图,若直角三角形ABC 中,CD⊥AB 于点D,设CD=h,AD=q,DB=p,则由△CBD∽△ABC,得a 2=pc;由△CAD∽△BAC,得b 2=qc;由△ACD∽△CBD,得h 2=pq;由△ACD∽△ABC 或由△ABC 面积,得ab=ch.(5)如图所示,若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线,则①CD=AD=BD=12AB;②点D 是Rt△ABC 的外心,外接圆半径R=12AB.(6)如图所示,若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径,则2a b c ab r a b c +-==++.直角三角形的面积:①如图所示,111sin 222ABC S ab ch ac B === △.(h 为斜边上的高)②如图所示,1()2ABCS r a b c=++△.典例7:(2022•黄石)我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”,即通过圆内接正多边形割圆,从正六边形开始,每次边数成倍增加,依次可得圆内接正十二边形,内接正二十四边形,….边数越多割得越细,正多边形的周长就越接近圆的周长.再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率.设圆的半径为R,图1中圆内接正六边形的周长l6=6R,则π≈=3.再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率,则圆周率π约为()A.12sin15°B.12cos15°C.12sin30°D.12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7=2A6M=2R×sin15°,再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”,即可解决问题.【解答】解:在正十二边形中,∠A6OM=360°÷24=15°,∴A6M=sin15°×OA6=R×sin15°,∵OA6=OA7,OM⊥A6A7,∴A6A7=2A6M=2R×sin15°,∴π≈=12sin15°,故选:A.【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质,解直角三角形等知识,读懂题意,计算出正十二边形的周长是解题的关键.。

初中数学中考复习:25锐角三角函数综合复习(含答案)

初中数学中考复习:25锐角三角函数综合复习(含答案)

中考总复习:锐角三角函数综合复习—巩固练习(提高)【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中,∠C=90°,cosA=,则tan A等于( )A.B.C.D.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA=.则下列关系式中不成立的是( )A.tanA•cotA=1 B.sinA=tanA•cosA C.cosA=cotA•sinA D.tan2A+cot2A=1第2题第3题3.如图,在四边形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于( )A.B.C.D.4.如图所示,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是( )A.B.C.D.5.如图所示,已知∠α的终边OP⊥AB,直线AB的方程为y=-x+,则cosα等于( )A.B.C.D.第5题第6题6.如图所示,在数轴上点A所表示的数x的范围是( )A. B.C. D.;二、填空题7.设θ为锐角,且x2+3x+2sinθ=0的两根之差为.则θ=.8.如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,沿CE折叠矩形ABCD,使点B落在AD边上的点F处,若AB=4,BC=5,则tan∠AFE的值为.9.已知△ABC的外接圆O的半径为3,AC=4,则sinB= .第8题第9题第11题10.当0°<α<90°时,求的值为.11.如图,点E(0,4),O(0,0),C(5,0)在⊙A上,BE是⊙A上的一条弦.则tan∠OBE=.12.已知:正方形ABCD的边长为2,点P是直线CD上一点,若DP=1,则tan∠BPC的值是 .三、解答题13.如图所示,某拦河坝截面的原设计方案为AH∥BC,坡角∠ABC=74°,坝顶到坝脚的距离AB=6m 为了提高拦河坝的安全性,现将坡角改为55°,由此,点A需向右平移至点D,请你计算AD的长.(精确到0.1m)14. 为缓解“停车难”的问题,某单位拟建造地下停车库,建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图,如图所示.按规定,地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志,以便告知停车人车辆能否安全驶入,为标明限高,请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)(sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511,tan18°≈0.3249)15.如图所示,某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动,他们要在某公园人工湖旁的小山AB上,测量湖中两个小岛C、D间的距离.从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°,测得湖中小岛D的俯角为45°.已知小山AB的高为180米,求小岛C、D间的距离.(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA,交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系;然后证明你的猜想;(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)【答案与解析】一、选择题1.【答案】D;【解析】在Rt△ABC中,设AC=3k,AB=5k,则BC=4k,由定义可知tan A=.故选D.2.【答案】D;【解析】根据锐角三角函数的定义,得A、tanA•cotA==1,关系式成立;B、sinA=,tanA•cosA=,关系式成立;C、cosA=,cotA•sinA=,关系式成立;D、tan2A+cot2A=()2+()2≠1,关系式不成立.故选D.3.【答案】B;【解析】连接BD.∵E、F分別是AB、AD的中点.∴BD=2EF=4∵BC=5,CD=3∴△BCD是直角三角形.∴tanC=故选B.4.【答案】C;【解析】设CE=x,则AE=8-x.由折叠性质知AE=BE=8-x.在Rt△CBE中,由勾股定理得BE2=CE2+BC2,即(8-x)2=x2+62,解得,∴tan∠CBE.5.【答案】A;【解析】∵y=-x+,∴当x=0时,y=,当y=0时,x=1,∴A(1,0),B,∴OB=,OA=1,∴AB==,∴cos∠OBA=.∴OP⊥AB,∴∠α+∠OAB=90°,又∵∠OBA+∠OAB=90°,∴∠α=∠OBA.∴cosα=cos∠OBA=.故选A.6.【答案】D;【解析】由数轴上A点的位置可知,<A<2.A、由sin30°<x<sin60°可知,×<x<,即<x<,故本选项错误;B、由cos30°<x<cos45°可知,<x<×,即<x<,故本选项错误;C、由tan30°<x<tan45°可知,×<x<1,即<x<1,故本选项错误;D、由cot45°<x<cot30°可知,×1<x<,即<x<,故本选项正确.故选D.二、填空题7.【答案】30°;【解析】x1·x2=2sinθ,x1+x2=-3,则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=9-8sinθ=()2,∴sinθ=,∴θ=30°.8.【答案】;【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠D=90°,CD=AB=4,AD=BC=5,由题意得:∠EFC=∠B=90°,CF=BC=5,∴∠AFE+∠DFC=90°,∠DFC+∠FCD=90°,∴∠DCF=∠AFE,∵在Rt△DCF中,CF=5,CD=4,∴DF=3,∴tan∠AFE=tan∠DCF==.9.【答案】;【解析】连接AO并延长交圆于E,连CE.∴∠ACE=90°(直径所对的圆周角是直角);在直角三角形ACE中,AC=4,AE=6,∴sin∠E=;又∵∠B=∠E(同弧所对的的圆周角相等),∴sinB=.10.【答案】1;【解析】由sin2α+cos2α=1,可得1-sin2α=cos2α∵sin2α+cos2α=1,∴cos2α=1-sin2α.∴.∵0°<α<90°,∴cosα>0.∴原式==1.11.【答案】;【解析】连接EC.根据圆周角定理∠ECO=∠OBE.在Rt△EOC中,OE=4,OC=5,则tan∠ECO=.故tan∠OBE=.12.【答案】2或;【解析】此题有两种可能:(1)当点P在线段CD上时,∵BC=2,DP=1,CP=1,∠C=90°,∴tan∠BPC==2;(2)当点P在CD延长线上时,∵DP=1,DC=2,∴PC=3,又∵BC=2,∠C=90°,∴tan∠BPC=.故答案为:2或.三、解答题13.【答案与解析】解:如图所示,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F.在Rt△ABE中,,∴AE=ABsin∠ABE=6sin 74°≈5.77(cm);,∴BE=ABcos∠ABE=6cos 74°≈1.65(m).∵AH∥BC,∴DF=AE≈5.77m.在Rt△BDF中,,∴(m).∴AD=EF=BF-BE=4.04-1.65≈2.4(m).14.【答案与解析】解:在Rt△ABD中,∠ABD=90°,∠BAD=18°,∴,BD=tan∠BAD·AB=tan 18°×9,∴CD=tan 18°×9-0.5.在Rt△DCE中,∠DEC=90°,∠CDE=72°,∴,=sin 72°×(tan 18°×9-0.5)≈2.3(m).即该图中CE的长约为2.3m.15.【答案与解析】解:如图所示,由已知可得∠ACB=60°,∠ADB=45°.∴在Rt△ABD中,BD=AB.又在Rt△ABC中,∵,∴,即.∵BD=BC+CD,∴.∴CD=AB-AB=180-180×=(180-60)米.答:小岛C、D间的距离为(180-)米.16.【答案与解析】解:(1)BF=CG.证明:在△ABF和△ACG中,∵∠F=∠G=90°,∠FAB=∠GAC,AB=AC,∴△ABF≌△ACG(AAS),∴BF=CG.(2)DE+DF=CG.证明:过点D作DH⊥CG于点H(如图所示).∵DE⊥BA于点E,∠G=90°,DH⊥CG,∴四边形EDHG为矩形,∴DE=HG.DH∥BG.∴∠GBC=∠HDC∴AB=AC.∴∠FCD=∠GBC=∠HDC.又∵∠F=∠DHC=90°,CD=DC,∴△FDC≌△HCD(AAS),∴DF=CH.∴GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG.(3)仍然成立.(注:本题还可以利用面积来进行证明,比如(2)中连结AD)。

2023中考一轮复习:锐角三角函数及其应用

2023中考一轮复习:锐角三角函数及其应用

考点16锐角三角函数及其应用【命题趋势】中考数学中,对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。

其中,锐角三角函数的性质及解直角三角形多以选择填空题为主,解直角三角形的应用多以解答题为主。

整体难度不大,但是所占分值有3~12分,还是需要考生对这块易拿分的考点多加重视。

【中考考查重点】一、锐角三角函数的定义及其性质二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形四、解直角三角形的应用考向一:锐角三角函数的定义及其性质一.锐角三角函数的定义:在Rt △AABC 中,∠C=90°,AB=c ,BC=a ,AC=b 则:∠A 正弦:caA A =∠=斜边的对边sin ;∠A 余弦:c bA A =∠=斜边的邻边cos ;∠A 正切:baA A A =∠∠=的邻边的对边tan ;二.锐角三角函数的函数关系当∠A +∠B=90°时,有以下两种关系:(1).同角三角函数的关系:AAA cos sin tan =;1cos sin 22=+A A (2)互余两角的三角函数的关系:B A B A sin cos ;cos sin ==;)90(1tan tan ︒=∠+∠=∙B A B A 【同步练习】1.(2021•句容市模拟)在△ABC 中,∠C =90°,设∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,则()A .c =b sin BB .b =c sin BC .a =b tan BD .b =c tan BACBabc2.(2021•饶平县校级模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=m,∠B=β,那么AB=()A.m⋅sinβB.C.m⋅cosβD.3.(2021•张湾区模拟)如图,小正方形的边长均为1,有格点△ABC,则sin C=()A.B.C.D.4.(2021•商河县校级模拟)当A为锐角,且<cos∠A<时,∠A的范围是()A.0°<∠A<30°B.30A<60°C.60°<∠A<90°D.30°<∠A<45°5.(2021•桓台县一模)在Rt△ABC中,若∠ACB=90°,tan A=,则sin B=()A.B.C.D.6.(2021•蒙阴县模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=∠ADC=90°,若sin A=,则cos∠BCD的值为.考向二:特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值表αsin αcos αtan α30°21233345°2222160°23213【同步练习】1.(2021•宜兴市模拟)已知cos α=,且α是锐角,则α=()A .30°B .45°C .60°D .90°2.(2022•龙岗区一模)Rt △ABC 中∠C =90°,sin A =,则tan A 的值是()A .B .C .D .3.(2021•邵阳模拟)在△ABC 中,若|sin A ﹣|+(cos B ﹣)2=0,则∠C 的度数是()A .30°B .45°C .60°D .90°4.(2022•无为市校级一模)计算:(1)sin60°•cos30°﹣1;(2)2sin30°+3cos60°﹣4tan45°.考向三:解直角三角形解直角三角形相关:在Rt△ABC中,∠C=90°AB=c,BC=a,AC=b 三边关系:222cba=+两锐角关系:︒=∠∠90BA+边与角关系:caBA==cossin,cbBA==sincos,baanA=t,abanB=t锐角α是a、b的夹角面积:αsin21abS=【方法提炼】与三角函数有关的倍半角问题倍半角模型①知“半角”求“倍角”→知θ,截取使相等(或中垂线),得2θ②知“倍角”求“半角”→知2θ,延长使相等(或做角平分线),得θ(等腰出,半角现)解题主要思想特别记忆:1.“倍半角”模型也可用于“角平分线”类问题2.“倍半角模型”常常转化为“θ”的正切值来计算3.☆【同步练习】1.(2021•樊城区一模)如图,A 、B 、C 是3×1的正方形网格的三个格点,则tan ∠ABC 的值为()A .B .C .D .2.(2021•滨江区校级三模)如图,点A 为∠B 边上任意一点,作AC ⊥BC 于点C ,CD ⊥AB 于点D ,下列用线段比表示tan B 的值,错误的是()A .B .C .D .3.(2021•榆阳区模拟)如图,点A ,B 是以CD 为直径的⊙O 上的两点,分别在直径的两侧,其中点A 是的中点,若tan ∠ACB =2,AC=,则BC 的长为()A .B .2C .1D .2时,③当时,②当时,①当7242tan 43tan 432tan 31tan 342tan 21tan ======θθθθθθ相等角倍角半角常构造(或选择)Rt △延长直角边=斜边,得半角作斜边的中垂线,得2倍角可构造K 型相似,得矩形当有特殊tan α值时,可转化为“倍半角”问题主要思想变“求点的坐标”为“求直线与函数图象交点”抓本质——对称全等+l 1⊥l 2此处k 型相似比已知,矩形对边相等是列方程的等量关系4.(2021•阿城区模拟)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足是D,设∠CAB=α,CD=h,那么BC的长度为()A.B.C.D.h•cosα考向四:解直角三角形的应用解直角三角形的应用:仰角和俯角仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫仰角.俯角:视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作lhi=坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,αtan=i坡度越大,坡角越大,坡面越陡【方法提炼】1.在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合平面几何知识构造直角三角形,利用三角函数或相似三角形来解决问题,常见的构造的基本图形有如下几种:(1)不同地点看同一点,如图①(2)同一地点看不同点,如图②(3)利用反射构造相似,如图③2.常用结论:【同步练习】1.(2022•鹿城区校级一模)如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,点A,B分别在墙面ED和地面FD上,且斜边BC∥ED,若AC=1,∠CBA=α,则AD的长为()A.cosα×tanαB.C.D.2.(2022•无为市校级一模)如图,给出了一种机器零件的示意图,其中CE=1米,BF=米,则AB=()A.(1+)米B.(﹣1)米C.(2﹣)米D.(2+)米3.(2020•秦皇岛一模)如图钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长3m,钓者想看看鱼上钩的情况,把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'长度是()A.3m B.m C.m D.4m1.在直角△ABC中,∠C=90°,AB=3,AC=2,则sin A的值为()A.B.C.D.2.如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin B的值为()A.B.C.D.13.若锐角α满足cosα<且tanα<,则α的范围是()A.30°<α<45°B.45°<α<60°C.60°<α<90°D.30°<α<60°4.下列计算错误的个数是()①sin60°﹣sin30°=sin30°;②sin245°+cos245°=1;③;④.A.1B.2C.3D.45.如图所示,网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在交点处,则∠ABC的正弦值为()A.B.C.D.6.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上,AB与螺母相切,D为螺母与桌面的切点,∠CAB=60°.若量出AD=6cm,则圆形螺母的外直径是()A.cm B.12cm C.cm D.cm7.计算tan30°•sin60°的结果是.8.如图所示,在一次数学活动课上,初三1班的同学们利用长杆来测量某段城墙的倾斜角α,把一根长为6.6米的长杆AC斜靠在城墙旁,量出杆长2米处在地面投影AE的长约为1米,长杆的底端与墙角的距离AB约为2.7米,则倾斜角α的正切值约为.(结果精确到0.01,参考数据≈1.73)9.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子,它是由下面的支架AD,BC与桌面构成如图2,已知OA=OB=OC=OD=20cm,∠COD=60°,则点A到地面(CD所在的平面)的距离是cm.10.计算:tan30°sin60°﹣cos245°+tan45°.11.计算:(1)sin60°•cos30°﹣1;(2)2sin30°+3cos60°﹣4tan45°.12.如图,在△ABC中,BC=4,∠B=45°,∠A=30°,求AB.13.如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC=15°,点A、H、F在同一条直线上,支架AH段的长为0.5米,HF段的长为1.50米,篮板底部水平支架HE的长为0.75米,篮板顶端F到地面的距离为4.4米.(1)则篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为;(2)求底座BC的长(结果精确到0.1米;参考数据:sin15°≈026,cos15°≈097,tan15°≈027,≈1.732,≈1.414).1.(2021·浙江湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,则sin B的值是.2.(2021·浙江金华)如图是一架人字梯,已知AB=AC=2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为()A.4cosα米B.4sinα米C.4tanα米D.米3.(2021·浙江丽水)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥OA于点E,连结OC,OD.若⊙O的半径为m,∠AOD =∠α,则下列结论一定成立的是()A.OE=m•tanαB.CD=2m•sinαC.AE=m•cosαD.S△COD=m2•sinα4.(2021·浙江温州)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=α,则OC2的值为()A.+1B.sin2α+1C.+1D.cos2α+15.(2021·浙江绍兴)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,cos B=,点D是边BC的中点,以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使∠ADE=∠B,连结CE,则的值为()A.B.C.D.26.(2021·浙江杭州)计算:sin30°=.7.(2021·浙江金华)计算:(﹣1)2021+﹣4sin45°+|﹣2|.8.(2021·浙江嘉兴)计算:2﹣1+﹣sin30°;9.(2021·浙江绍兴)计算:4sin60°﹣+(2﹣)0.10.(2021·浙江衢州)计算:+()0﹣|﹣3|+2cos60°.11.(2021·浙江金华)已知:如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠BOC=120°,AB=2.(1)求矩形对角线的长;(2)过O作OE⊥AD于点E,连结BE.记∠ABE=α,求tanα的值.12.(2021·浙江台州)图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图,图2是其示意图.支撑杆AB垂直于地面l,活动杆CD固定在支撑杆上的点E处.若∠AED=48°,BE=110cm,DE=80cm,求活动杆端点D离地面的高度DF.(结果精确到1cm,参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)13.(2021·浙江嘉兴)一酒精消毒瓶如图1,AB为喷嘴,△BCD为按压柄,CE为伸缩连杆,BE和EF为导管,其示意图如图2,∠DBE=∠BEF=108°,BD=6cm,BE=4cm.当按压柄△BCD按压到底时,BD转动到BD′,此时BD′∥EF(如图3).(1)求点D转动到点D′的路径长;(2)求点D到直线EF的距离(结果精确到0.1cm).(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)14.(2021·浙江宁波)我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1,伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图,此时伞圈D已滑动到点D'的位置,且A,B,D′三点共线,AD′=40cm,B为AD′中点.当∠BAC =140°时,伞完全张开.(1)求AB的长.(2)当伞从完全张开到完全收拢,求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离.(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)15.(2021·浙江绍兴)拓展小组研制的智能操作机器人,如图1,水平操作台为l,底座AB固定,高AB为50cm,连杆BC长度为70cm,手臂CD长度为60cm.点B,C是转动点,且AB,BC与CD始终在同一平面内.(1)转动连杆BC,手臂CD,使∠ABC=143°,CD∥l,如图2,求手臂端点D离操作台l的高度DE的长(精确到1cm,参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6).(2)物品在操作台l上,距离底座A端110cm的点M处,转动连杆BC,手臂CD,手臂端点D能否碰到点M?请说明理由.16.(2021·浙江衢州)图1是某折叠式靠背椅实物图,图2是椅子打开时的侧面示意图,椅面CE与地面平行,支撑杆AD,BC可绕连接点O转动,且OA=OB,椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD,点H是CD的中点,FA,EB均与地面垂直,测得FA=54cm,EB=45cm,AB=48cm.(1)椅面CE的长度为cm.(2)如图3,椅子折叠时,连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD,BC转动合拢,椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时,A,B两点间的距离为cm(结果精确到0.1cm).(参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)1.(2021•余杭区二模)若sinα=,则锐角α=()A.30°B.45°C.50°D.60°2.(2021•吴兴区一模)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC:AB=3:5,则tan A的值为()A.B.C.D.3.(2021•杭州二模)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,sin B=0.5,若AC=6,则AB的长为()A.8B.12C.6D.124.(2021•婺城区模拟)若∠A,∠B都是锐角,且tan A=1,sin B=,则△ABC不可能是()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.直角三角形5.(2021•余杭区一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,则tan A的值为()A.B.C.D.6.(2021•宁波模拟)如图,A,B,C,D均为网格图中的格点,线段AB与CD相交于点P,则∠APD的正切值为()A.3B.2C.2D.37.(2021•北仑区一模)如图,点A在半径为6的⊙O内,OA=2,P为⊙O上一动点,当∠OPA取最大值时,PA的长等于()A.3B.2C.D.28.(2021•吴兴区二模)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tan A=,则CD的值为()A.2B.C.D.9.(2021•金华模拟)如图,点A(x,4)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,cosα=,则tanα的值为()A.B.C.D.10.(2021•越秀区校级三模)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则tan∠BAC的值为()A.B.C.D.11.(2021•拱墅区二模)如图,△ABC中,∠A=120°,若BM,CM分别是△ABC的外角平分线,则∠M的余弦值是()A.B.C.D.12.(2022•温州模拟)一个长方体木箱放置在斜面上,其端点A落在水平地面上,相关数据如图所示,则木箱端点C距地面m的高度是()A.a•cosα+b•sinαB.a•sinα+b•cosαC.a•sinα+b•sinαD.a•cosα+b•cosα13.(2021•下城区校级四模)在直角三角形ABC中,若cos C=,则=.14.(2022•温州模拟)如图1是某小车侧面示意图,图2是该车后备箱开起侧面示意图,具体数据如图所示(单位:cm),且AC=BD,AF∥BE,sin∠BAF=0.8,箱盖开起过程中,点A,C,F不随箱盖转动,点B,D,E 绕点A沿逆时针方向转动相同角度,分别到点B′,D′,E′的位置,气簧活塞杆CD随之伸长CD′.已知直线BE⊥B′E′,CD′=2CD,那么AB的长为cm,CD′的长为cm.15.(2021•杭州校级模拟)计算:tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°.16.(2021•鹿城区校级三模)如图,△ABC中,∠ABC=45°,AD是BC边上的中线,过点D作DE⊥AB于点E,DB=3.(1)求BE的长;(2)若sin∠DAB=,求△CAD的面积.17.(2021•宁波模拟)把矩形纸片ABCD,先沿AE折叠使点B落在AD边上的B',再沿AC折叠,恰好点E也落到AD上,记为E'.求:(1)∠B'EE'的度数;(2)∠DAC的正切值.18.(2022•宁波模拟)如图①,一台灯放置在水平桌面上,底座AB与桌面垂直,底座高AB=5cm,连杆BC=CD=20cm,BC,CD与AB始终在同一平面内.(1)如图②,转动连杆BC,CD,使∠BCD成平角,∠ABC=143°,求连杆端点D离桌面l的高度DE.(2)将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°,如图③,此时连杆端点D离桌面l的高度减小了多少cm?(参考数据:sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75)19.(2021•宁波模拟)小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动,需网购一个拉杆箱,图①,图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图,并获得了如下信息:滑杆DE,箱长BC,拉杆AB的长度都相等,B,F在AC上,C在DE上,支杆DF=30cm,CE:CD=1:3,∠DCF=45°,∠CDF=30°,请根据以上信息,解决下列问题.(1)求DE的长度(结果保留根号);(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留根号).。

2024年中考数学一轮复习:锐角三角函数+课件

2024年中考数学一轮复习:锐角三角函数+课件

D.90°
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若
AC=2,BC=1,则sin∠ACD=
.
tanα.tan(90°-α)=1
sin2α+cos2α=1
自学自练展素养
B
c a
A
b
C
随堂练习
Hale Waihona Puke 研学随练展收获1.已知在△ABC中,∠C=90°,∠A=α,AC=3,那么AB的长为( )
A. 3tanα B. 3cotα C.
D.
2.△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA的值为( )
A.
B.
C.
D.
知识点2 特殊角的三角函数值
自学自练展素养
随堂练习
1.△ABC中,∠A、∠B是锐角,
则∠C=
度。
2.在△ABC中,若 三角形。
3.
研学随练展收获

,则△ABC是
知识点3 解直角三角形
自学自练展素养
1.定义:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫做解直角三角形.
2.常用关系:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,则:
2024年中考数学一轮复习
一、素养展示
自学自练展素养
二、教学目标
1.掌握锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值。 2.会用锐角三角函数解直角三角形。
知识梳理
自学自练展素养
知识点1 锐角三角函数
1.定义:
2.重要变形: 设α是一个锐角,则
sinα=cos(90°-α)
cosα=sin(90°-α)
B
a2+b2=
c a
c2∠A+∠B= 90°

初三锐角三角函数复习讲义

初三锐角三角函数复习讲义

锐角三角函数:知识点一:锐角三角函数的定义: 一、 锐角三角函数定义:如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c , 则∠A 的正弦可表示为:sinA ∠A 的余弦可表示为:cosA∠A 的正切可表示为:tanA ,它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A =______,②斜边)(cos =A =______,③的邻边A A ∠=)(tan =______,【特别提醒:1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体,是两条线段的比,没有单位,这些比值只与 有关,与直角三角形的 无关。

2、取值范围 <sinA< , <cosA< ,tanA> 例1. 锐角三角函数求值:在Rt △ABC 中,∠C =90°,若a =9,b =12,则c =______,sin A =______,cos A =______,tan A =______, sin B =______,cos B =______,tan B =______.典型例题:类型一:利用直角三角形求值1.已知:如图,Rt △TNM 中,∠TMN =90°,MR ⊥TN 于R 点,TN =4,MN =3.求:sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR .2.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,⋅=∠43sin AOC 求:AB 及OC 的长.类型二. 利用角度转化求值:1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点.DE ∶AE =1∶2.求:sin B 、cos B 、tan B .2. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( ) A .12 B .32C .35D .455.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .23 B .32 C .34 D .436. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =,AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )A.34 B.43C.35D.45A D ECB F7. 如图6,在等腰直角三角形ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 为AC 上一点,若1tan 5DBA ∠= ,则AD 的长为( )A .2B .2C .1D .22D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB 的长.2.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是等边三角形.若AB=2,求△ABC 的周长.(结果保留根号)3. ABC 中,∠A =60°,AB =6 cm ,AC =4 cm ,则△ABC 的面积是 ( )A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四:利用网格构造直角三角形1.如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为( ) A .12B .55 C .1010D .2552.如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______. 3.如图,A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处,若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆,则'tan B 的值为 ( )A.41 B. 31 C.21D. 14.正方形网格中,AOB ∠如图放置,则tan AOB ∠的值是( )A .55B.2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二:特殊角的三角函数值当 时,正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1.求下列各式的值.1.计算:︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算:3-1+(2π-1)0-33tan30°-tan45°3.计算:030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4.计算: tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2.求适合下列条件的锐角α . (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α(5)已知α 为锐角,且3)30tan(0=+α,求αtan 的值(6)在ABC ∆中,0)22(sin 21cos 2=-+-B A ,B A ∠∠,都是锐角,求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1.已知∠A 为锐角,且sin A <21,那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A <60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角,且030sin cos <A ,则 ( )A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°锐角α30°45°60°sin αcos αtan α类型五:三角函数在几何中的应用1.已知:如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB 于E ,BE =16cm ,⋅=1312sin A 求此菱形的周长.2.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,3==BC AC ,作∠DAC =30°,AD 交CB 于D 点,求:(1)∠BAD ;(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD .3. 已知:如图△ABC 中,D 为BC 中点,且∠BAD =90°,31tan =∠B ,求:sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD .4. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,53sin =B ,点D 在BC 边上,DC= AC = 6,求tan ∠BAD 的值.5.(本小题5分)如图,△ABC 中,∠A=30°,3tan 2B =,43AC =.求AB 的长.DCBAACB知识点三:解直角三角形:1.在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下(如图所示): 在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =b ,BC =a ,AB =c ,①三边之间的等量关系:________________________________.②两锐角之间的关系:__________________________________. ③边与角之间的关系:==B A cos sin ______;==B A sin cos _______;==BA tan 1tan _____;==B A tan tan 1______.④直角三角形中成比例的线段(如图所示).在Rt △ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于D .CD 2=_________;AC 2=_________; BC 2=_________;AC ·BC =_________.例1.在Rt △ABC 中,∠C =90°.(1)已知:32=a ,2=b ,求∠A 、∠B ,c ; (2)已知:32sin =A ,6=c ,求a 、b ;(3).已知:△ABC 中,∠A =30°,∠B =60°,AC =10cm .求AB 及BC 的长.类型六:解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1.如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B 在同一直线上,则AB 两点的距离是( ) A . 200米 B . 200米 C . 220米 D . 100()米 2. 在一次数学活动课上,海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽,如图13所示,某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ,测得C 在A 北偏西31︒的方向上,沿河岸向北前行20米到达B 处,测得C 在B 北偏西45︒的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.(参考数值:tan31°≈53,sin31°≈21)图13ABCD 45° 30°3 .如图,小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为1.7米,求这棵树的高度.A BCD E4.一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高,在河岸边选择一点C ,从C 处测得树梢A 的仰角为45°,沿BC 方向后退10米到点D ,再次测得点A 的仰角为30°.求树高.(结果精确到0.1米.参考数据:2 1.414≈,3 1.732≈)5.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离(AC )为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC=75°. (1)求B 、C 两点的距离;(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?(计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒)坡度与坡角1.如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3,堤坝高BC=50m ,则应水坡面AB 的长度是( )A .100mB .1003mC .150mD .503m2.数学活动课上,老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图,老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:10,学生小明站在离升旗台水平距离为35m (即CE =35m )处的C 点,测得旗杆顶端B 的仰角为α,已知tan α=37,升旗台高AF =1m ,小明身高CD =1.6m ,请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图,有两条公路OM ,ON 相交成30°角,沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ,当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时,在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响,且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大,若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°80米OMNAP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC =4米,AB =6米,中间平台宽度DE =1米,EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱,垂足分别为N 、M 、B ,∠EAB =31°,αABD CEF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ,∠CDF =45°.求DM 和BC 的水平距离BM 的长度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)5.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º,已知原滑滑板AB 的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上.(1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由。

锐角三角函数复习课件九年级中考复习

锐角三角函数复习课件九年级中考复习

误的是( A )
A.sin B=
1
3
1
C.tan B=
2
B.sin C=
2 5
5
D.sin2B+sin2C=1
3
8.如图,点 A(x,4)在第一象限,OA 与 x 轴所夹的锐角为 α,cos α= ,
5
则 tan α 的值为( A
A.
4
3
B.
3
4
C.
5
4
)
D.
4
5
3
9.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 sin A= ,则 cos B 的值是( B )
B
2- 3
2+ 3 2-
=23.类比这种方法,计算
tan
22.5°的
3
)
B. 2-1
C. 2
1
D.
2
14.在如图所示的网格中,小正方形的边长为1,点A,B,C,D都在
格点上,
AB与CD相交于点O,则∠AOC的正切值是( A )
A.
C.
2
3
3
5
3
B.
2
5
D.
3
(1)cos260°+sin260°=
1 ;
cos45°
(2)

tan 45°= 0 ;
sin45°
3
(3)1-2sin 30°cos 30°= 1- 2
.
练习题
1.在△ABC 中,∠A=105°,∠B=45°,tan C 的值是
3
3
.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边都缩小5倍,则sin
是( D )

中考专项复习锐角三角函数

中考专项复习锐角三角函数

与几何图形有关的锐角三角函数问题
总结词
理解几何图形中的角度关系与边长关 系,掌握三角函数的定义及使用。
详细描述
在几何图形中,锐角三角函数通常被 用于求解角度、边长等问题。例如, 在直角三角形中,可以用正弦、余弦 、正切等函数来描述各边与斜边的关 系。
与实际生活有关的锐角三角函数问题
总结词
将实际问题转化为数学问题,通过锐 角三角函数求解。
余弦函数的图像与性质
图像描述
余弦函数图像也是周期性的,但其波形与正弦函数相反,波 峰和波谷随着x的增大而交替出现,且函数值先正后负,周期 为2π。
性质总结
余弦函数具有对称性和周期性,其对称轴为y轴,对称中心为 (kπ+π/2,0),其中k为整数。此外,余弦函数在区间[0,π/2] 上为增函数,在区间[π/2,π]上为减函数。
中考专项复习锐角三角函

汇报人:
2023-12-11
• 锐角三角函数概述 • 锐角三角函数的图像与性质 • 锐角三角函数的应用题解析 • 锐角三角函数的实际应用 • 中考中锐角三角函数的常见考点与题
型 • 中考真题解析与备考策略01锐角三角函数概述
锐角三角函数的定义
正弦函数(sine function): 锐角α的正弦值与直角三角形 斜边长度的比值,记作sin α。
总结
中考中锐角三角函数一般以填空题和选择题 的形式出现,主要考察的是锐角三角函数的 定义以及运用。题目会设定一个或者几个锐 角,然后利用锐角三角函数的定义,求出这 个锐角的三角函数值。
例子
例如,如果一个锐角A的对边长度为4,邻 边长度为3,那么我们可以使用锐角三角函 数的定义来求出这个锐角的正弦值和余弦值 。根据定义,正弦值=对边长度/斜边长度

中考复习专题之-锐角三角函数实际应用

中考复习专题之-锐角三角函数实际应用

事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上,巡逻艇立刻前往A处救援,已知巡逻艇每分钟行驶120米,请估计几分
钟可以到达事故船A处.
(结果保留整数.参考数据: 3 1.73
cos53 3
, sin 53 4
, tan 53 54
, )
5
3
名校模拟
10.(2023·安徽亳州·校联考模拟预测)如图,某数学兴趣小组为了测量塔AB的高度,他们先在水平地面上的
典例2.先化简,再求值
6a a2
9
1
2a 3 a3
其中 a 2sin30 3
典例3.如图,在△ABC中,C 90 , tan A 3 , ABC 的平分线BD交AC于点D,CD= 3.求AB的 3
长?
典例剖析
典例4.如图,△ABC的顶点B,C的坐标分别是1,0,0,3 且 ABC 90 A 30,求点A的坐标?
求观测点B到A船的距离(结果精确到0.1海里).
参考数据:
sin 67.4 12 , cos 67.4 5 ,sin 67.6 0.925, cos 67.6 0.381, 2 1.4临沂·统考一模)越来越多太阳能路灯的使用,既点亮了城市的风景,也是我市积极落实节能 环保的举措,某校学生开展综合实践活动,测量太阳能路灯电池板离地面的高度,如图,已知测倾器的高度为 1.5米,在测点A处安置测倾器,测得点M的仰角∠MBC=33°,在与点A相距3米的测点D处安置测倾器,测得点M 的仰角∠MEC=45°(点A,D与N在一条直线上).求电池板离地面的高度MN的长
5
4
5
3
名校模拟
11.(2023·安徽亳州·统考一模)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量 距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB、CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下 测量方案:无人机在AB、CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为120m,此时观测到楼AB底部点A 处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行48m到达点F,测得点E处俯角为60°,其中 点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确

中考数学复习之锐角三角函数

中考数学复习之锐角三角函数

中考复习之锐角三角函数知识考点:本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现,主要考查锐角三角函数的意义,即运用sin a 、cos a 、tan a 、cot a 准确表示出直角三角形中两边的比(a 为锐角),考查锐角三角函数的增减性,特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。

精典例题:【例1】在Rt △ABC 中,∠C =900,AC =12,BC =15。

(1)求AB 的长;(2)求sinA 、cosA 的值;(3)求A A 22cos sin +的值;(4)比较sinA 、cosB 的大小。

分析:在Rt △ABC 中,已知两直角边长求斜边长可应用勾股定理,再利用两直角边长与斜边长的比分别求出sinA 、cosA 的大小,从而便可以计算出A A 22cos sin +的大小,即可比较sinA 与cosB 的大小。

答案:(1)AB =13; (2)sinA =135,cosA =1312; (3)1cos sin 22=+A A ; (4)sinA =cosB变式:(1)在Rt △ABC 中,∠C =900,5=a ,2=b ,则sinA = 。

(2)在Rt △ABC 中,∠A =900,如果BC =10,sinB =0.6,那么AC = 。

答案:(1)35;(2)6 【例2】计算:020045sin 30cot 60sin +⋅解:原式=2)22(323+⨯=2123+=2注意:熟记00、300、450、600、900角的三角函数值,并能熟练进行运算。

【例3】已知,在Rt △ABC 中,∠C =900,25tan =B ,那么cosA ( ) A 、25 B 、35 C 、552 D 、32分析:由三角函数的定义知:斜边的对边A A ∠=cos ,又因为25tan =B ,所以可设k AC 5=,k BC 2=)0(>k ,由勾股定理得k AB 3=,不难求出3535cos ==k k A 答案:B变式:已知α为锐角,且54cos =α,则ααcot sin += 。

中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解

中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解

中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解锐角三角函数是初中数学中的一个重要内容,也是中考数学考试中常考的内容之一、掌握了锐角三角函数的定义、性质和相关的计算方法,可以帮助我们解决与角度有关的各种问题,如计算角度的大小、求角的三角函数值等。

下面是锐角三角函数的综合复习知识讲解。

1.弧度制和角度制在介绍锐角三角函数之前,我们首先要了解弧度制和角度制。

在角度制中,一个圆的周长被定义为360度,而在弧度制中,一个圆的周长被定义为2π弧度。

所以可以得到以下关系:360度=2π弧度180度=π弧度90度=π/2弧度2.定义对于任意一个锐角A,我们可以在一个单位圆上面取点P,使得∠POA 的顶点为O,点O为圆心,点P在单位圆上。

这样,我们可以定义以下几个锐角三角函数:正弦函数sinA、余弦函数cosA、正切函数tanA、余切函数cotA。

3.性质(1) 正弦函数sinA:在单位圆上,点P的纵坐标就是正弦值sinA。

(2) 余弦函数cosA:在单位圆上,点P的横坐标就是余弦值cosA。

(3) 正切函数tanA:tanA的值等于sinA/cosA。

(4) 余切函数cotA:cotA的值等于cosA/sinA。

(5) 错位现象:sinA等于cos(90度-A),cosA等于sin(90度-A)。

4.基本关系式(1) sin²A + cos²A = 1,即sin²A = 1 - cos²A,cos²A = 1 -sin²A。

(2) tanA = sinA/cosA,cotA = 1/tanA = cosA/sinA。

(3) sin(180度 - A) = sinA,cos(180度 - A) = -cosA。

(4) cos(360度 - A) = cosA,sin(360度 - A) = -sinA。

5.锐角三角函数的值(1)0度、30度、45度、60度、90度的正弦、余弦、正切值是特殊的,需要进行熟记。

中考复习-锐角三角函数和解直角三角形

中考复习-锐角三角函数和解直角三角形

探究提高 在解斜三角形时,通常把斜三角形转化 为直角三角形,常见的方法是作高,作高 把斜三角形转化为直角三角形,再利用解 直角三角形的有关知识解决问题.
知能迁移3 一次数学活动课上,老师带领学生去 测一条南北流向的河宽,如图所示,某学生在 河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得 C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行 40m到达B处,测得C在B北偏西45°的方向上, 请你根据以上数据,求这条河的宽度.(参考 3 数值:tan 31°≈ ) 5

(2)角与角的关系:
(3)边与角的关系:
1 2 sinA=cosB=a ,cosA=sinB= b ; c c

tanA=b ,tanB= a
a
b
1.正确理解三角函数的概念 书写三角函数时,若锐角用一个大写字母 或者一个小写希腊字母表示的,表示它的正 弦时,习惯省略角的符号,如sin A;若锐角 是用三个大写字母或数字表示的,表示它的 正弦时,不能省略角的符号,如sin∠ABC, 余弦和正切的写法同理.由定义可以看出, 锐角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三 角形的两边的比,因此都是正数;因为锐角A 的取值范围是0<∠A<90°,则三角函数的取 值范围是0<sin A<1,0<cos A<1,tan A>0; 当∠A确定时,三个比值也分别有唯一确定的 值与之对应.
探究提高 此类问题常与仰角、俯角等知识相关,通 常由视线、水平线、铅垂线构成直角三角形, 再利用边与角之间存在的三角函数式,变形 求得物体高度.
知能迁移2 (2011· 潜江)五月石榴红,枝头 鸟儿歌.一只小鸟从石榴树上的A处沿直线 飞到对面一房屋的顶部C处.从A处看房屋 3 顶部C处的仰角为30°,看房屋底部D处的 俯角为45°,石榴树与该房屋之间的水平距 离为3 m,求出小鸟飞行的距离AC和房 屋的高度CD.

中考数学专题复习10锐角三角函数及其运用(解析版)

中考数学专题复习10锐角三角函数及其运用(解析版)

锐角三角函数及其运用复习考点攻略考点一 锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义:在Rt △ABC 中.∠C =90°.AB =c .BC =a .AC =b .正弦:sin A =∠的对边=斜边A ac ;余弦:cos A =∠的邻边=斜边A bc;正切:tanA =∠的对边=邻边A ab.【注意】根据定义求三角函数值时.一定要根据题目图形来理解.严格按照三角函数的定义求解.有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2【例2】A .BCD .1【答案】C 【解析】把sin45°=代入原式得:原式=2×.故选C . 考点三 解直角三角形1.在直角三角形中.求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的常用关系: 在Rt △ABC 中.∠C =90°.则: (1)三边关系:a 2+b 2=c 2; (2)两锐角关系:∠A +∠B =90°; (3)边与角关系:sin A =cos B =a c .cos A =sin B =b c .tan A =ab; (4)sin 2A +cos 2A =1.3.科学选择解直角三角形的方法口诀: 已知斜边求直边.正弦、余弦很方便; 已知直边求直边.理所当然用正切; 已知两边求一边.勾股定理最方便; 已知两边求一角.函数关系要记牢; 已知锐角求锐角.互余关系不能少; 已知直边求斜边.用除还需正余弦.【例3】如图.我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD .DC ∥AB ,BC 长为6米.坡角β为45°.AD 的坡角α为30°.则AD 的长为 ________ 米 (结果保留根号)2sin 222【答案】62【解析】解:过C 作CE ⊥AB 于E.DF ⊥AB 于F.可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA. ∵BC=6.∴CE=2sin 456322BC ︒=⨯=.∴DF=CE=32.∴62sin 30DF AD ==︒.故答案为:62.【例4】如图.大海中有A 和B 两个岛屿.为测量它们之间的距离.在海岸线PQ 上点E 处测得74AEP =︒∠.30BEQ =︒∠;在点F 处测得60AFP =︒∠.60BFQ =︒∠.1km EF =.⑴ 判断AB 、AE 的数量关系.并说明理由⑵ 求两个岛屿A 和B 之间的距离(结果精确到0.1km ).(参考数据:3 1.73≈. sin740.96︒≈.cos740.28︒≈.tan74 3.49︒≈.sin760.97︒≈.cos760.24︒≈)【答案】(1)见解析;(2)3.6km【解析】(1)相等.证明:∵30BEQ =︒∠.60BFQ =︒∠.∴30EBF =︒∠.EF BF =.又∵60AFP =︒∠.∴60BFA =︒∠.在AEF △与ABF △中.EF BF =.AFE AFB =∠∠.AF AF =. ∴AEF ABF △≌∠.∴AB AE =. (2)作AH PQ ⊥.垂足为H .设AE x =.则sin74AH x =︒.cos74HE x =︒.cos741HF x =︒+.Rt AHF △中.tan60AH HF =⋅︒.∴()cos74cos741tan 60x x ︒=︒+⋅︒.即()0.960.281 1.73x x =+⨯. ∴ 3.6x ≈.即 3.6km AB ≈.考点四 锐角三角函数的应用1.仰角和俯角:仰角:在视线与水平线所成的角中.视线在水平线上方的角叫做仰角. 俯角:在视线与水平线所成的角中.视线在水平线下方的角叫做俯角. 2.坡度和坡角坡度:坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比).记作i =h l. 坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角.记作α.i =tan α. 坡度越大.α角越大.坡面越陡. 3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角.4.解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型:5.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语.根据题意画出图形.建立数学模型;(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系.把实际问题转化为解直角三角形问题;(3)选择合适的边角关系式.使运算简便、准确;(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义.从而得到问题的解.6.解直角三角形应用题应注意的问题:(1)分析题意.根据已知条件画出它的平面或截面示意图.分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义;(2)找出要求解的直角三角形.有些图形虽然不是直角三角形.但可添加适当的辅助线.把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形);(3)根据已知条件.选择合适的边角关系式解直角三角形;(4)按照题目中已知数据的精确度进行近似计算.检验是否符合实际.并按题目要求的精确度取近似值.注明单位.【例5】如图.一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处.再沿索道乘坐缆车到达顶部C.已知在点A处观测点C.得仰角为35°.且A.B的水平距离AE=1000米.索道BC 的坡度i=1:1.长度为2600米.求山的高度(即点C到AE的距离)(参考数据:sin35°≈0.57.cos35°≈0.82.tan35°≈0.70.≈1.41.结果保留整数)【答案】1983米【解析】:如图.作CD⊥AE于点D.BF⊥CD于点F.又∵BE⊥AD.∴四边形BEDF是矩形.在Rt△BCF中.∵BC的坡度i=1:1.∴∠CBF=45°.∵BC=2600米.∴米.∴米.∵A.B的水平距离AE=1000米.∴米.∵∠CAD=35°.∴(米).答:山高CD约为1983米.【例6】如图.一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向.距离灯塔100海里的A处.它计划沿正北方向航行.去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处.(1)问B处距离灯塔P有多远?(结果精确到0.1海里)(2)假设有一圆形暗礁区域.它的圆心位于射线PB上.距离灯塔150海里的点O处.圆形暗礁区域的半径为60海里.进入这个区域.就有触礁的危险.请判断海轮到达B处是否有触礁的危险?如果海伦从B处继续向正北方向航行.是否有触礁的危险?并说明理由.(参考数据:≈1.414.≈1.732)【答案】(1)71海里;(2)见解析【解析】解:(1)过点P作PD⊥AB于点D.依题意可知.P A=100.∠APD=60°.∠BPD=45°.∴∠A=30°.∴PD=50.在△PBD中.BD=PD=50.∴PB =50≈71.答:B 处距离灯塔P 约71海里.(2)依题意知:OP =150.OB =150﹣71=79>60. ∴海轮到达B 处没有触礁的危险.海伦从B 处继续向正北方向航行.有触礁的危险.第一部分 选择题一、选择题(本题有10小题.每题3分.共30分)1. 比萨斜塔是意大利的著名建筑.其示意图如图所示.设塔顶中心点为点B .塔身中心线AB 与垂直中心线AC 的夹角为A ∠.过点B 向垂直中心线AC 引垂线.垂足为点D .通过测量可得AB 、BD 、AD 的长度.利用测量所得的数据计算A ∠的三角函数值.进而可求A ∠的大小.下列关系式正确的是( )A .sin BDA AB= B .cos ABA AD=C .tan ADA BD=D .sin ADA AB=【答案】A【解析】由题可知.△ABD 是直角三角形.90BDA ∠=︒.sin BD A AB ∴=.cos AD A AB=,tan BDA AD =.∴选项B 、C 、D 都是错误的.故答案选A . 2. 如图.在ABC 中.∠C =90°.设∠A .∠B .∠C 所对的边分别为a .b .c .则( )A .c =b sinB B .b =c sin BC .a =b tan BD .b =c tan B【答案】B【解析】∵Rt ABC 中.90C ∠=︒.A ∠、B 、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ∴sin bB c=.即sin b c B =.则A 选项不成立.B 选项成立 tan bB a=.即tan b a B =.则C 、D 选项均不成立故选:B . 3. 已知α是锐角.sin α=cos60°.则α等于( ) A .30° B .45°C .60°D .不能确定4. 若∠A 是锐角.且sinA= 3.则( )A. 0°<∠A<30°B. 30°<∠A<45°C. 45°<∠A<60°D. 60°<∠A<90° 【答案】 A【解析】∵sin0°=0.sinα= 13.sin30°= 12.又0< 13< 12.∴0°<α<30°. 故答案为:A .5. 点(-sin60°.cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A. (√32.12) B. (-√32.12) C. (-√32.-12) D. (- 12.- 32)【答案】 A 【解析】∵sin60°=√32.cos60°=12.∴(-sin60°.cos60°)=(-√32. 12).关于y 轴对称点的坐标是( √32.12).故答案为:A .6. 在Rt △ABC 中.∠C =90°.BC =5.AC =12.则sinB 的值是( )A .512B .125C .513D .1213【答案】D【解析】解:如图所示:∵∠C =90°.BC =5.AC =12.∴13AB =. ∴12sin 13AC B AB ==.故选:D .7. 如图.某停车场入口的栏杆AB.从水平位置绕点O 旋转到A′B′的位置.已知AO 的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′=α.则栏杆A 端升高的高度为( ) A .米 B .4sinα米 C .米 D .4cosα米【答案】B【解析】 解:如答图.过点A′作A′C ⊥AB 于点C .在Rt △OCA′.sinα=.所以A′C =A′O ·sinα.由题意得A′O =AO =4.所以A′C =4sinα.因此本题选B .8. 菱形ABCD 的对角线AC =10cm.BD =6cm.那么tan为( )【解析】如图.由题意得.AO ⊥BO .AO =AC =5cm.BO =BD =3cm. 4sin α4cos αA CA O''2B1212则tan=tan ∠OBA .故选A.9. 如图.AB 是圆锥的母线.BC 为底面直径.已知BC =6 cm.圆锥的侧面积为15π cm 2 . 则sin∠ABC 的值为 ( )A.34B.35C.45 D. 53【答案】 C【解析】解:设圆锥的母线长为R.由题意得: 15π=π6R.解得:R=5. ∴圆锥的高为4. ∴.故答案为:C.10. 如图.四边形ABCD 是一张平行四边形纸片.其高2cm AG =.底边6cm BC .45B ∠=︒.沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形.若30BEF ∠=︒.则AF 的长为( )2B53AO BO ==A .1cm B.cm 3C.3)cm - D.(2-【答案】D【解析】如图所示.过点F 作FM BC ⊥交BC 于点M.∵AG BC ⊥.45B ∠=︒.AG=2.∴BG=FM=2.AF=GM.令AF=x. ∵两个梯形全等.∴AF=GM=EC=x.又∵30BEF ∠=︒.∴2=tan 30FMME =︒.∴ME =.又∵BC=6.∴26BC BG GM ME EC x x =+++=+++=.∴2x =-D .第二部分 填空题二、填空题(本题有6小题.每题4分.共24分)11..若tan (α–15°)= .则锐角α的度数是________.【答案】 75°【解析】【解答】由tan(α−15°)= √3.得 α−15°=60°. 解得α=75°. 故答案为:75°12.如图.在Rt △ABC 中.∠C =90°.BC =12.tan A =.则sin B =___________.125【答案】【解析】在Rt △ABC 中.∠C =90°.BC =12.tan A =.得.即. ∴AC =5.由勾股定理.得AB.所以sin B =. 故答案为:.13. 如图.A.B.C 是O上的三点.若OBC ∆是等边三角形.则cos A ∠=___________.【解析】解:∵△OBC 是等边三角形∴∠COB=60° ∴∠A=12COB ∠=30°∴cos cos30A ∠= 14. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB 的倾斜角为30.在自动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端B 的仰角为60︒.A 、C 之间的距离为4m . 则自动扶梯的垂直高度BD =_________m .(结果保留根号)【答案】【解析】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°.∠BAC=30°. ∴∠ABC=30°.∴∠ABC=∠BAC.∴BC=AC=4. 在Rt △BCD 中.BD=BCsin60°=4×2=故答案为: 513125125BC AC =12125AC =513AC AB =51315. 如图所示.在四边形ABCD 中.90B ∠=︒.2AB =.8CD =.连接AC .AC CD ⊥.若1sin 3ACB ∠=.则AD 长度是_________.【答案】10【解析】解:在Rt ABC 中.∵12,sin 3AB AB ACB AC =∠==.∴1263AC =÷=.在Rt ADC 中.AD ==10=.故答案为:10.16. 如图.某校教学楼后面紧邻着一个山坡.坡上面是一块平地.//,BC AD BE AD ⊥.斜坡AB 长26m .斜坡AB 的坡比为12∶5.为了减缓坡面.防止山体滑坡.学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测.当坡角不超过50°时.可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A 不动.则坡顶B 沿BC 至少向右移________m 时.才能确保山体不滑坡.(取tan50 1.2︒=)【答案】10【解析】解:如图.设点B 沿BC 向右移动至点H.使得∠HAD=50°.过点H 作HF ⊥AD 于点F.∵AB=26.斜坡AB 的坡比为12∶5.则设BE=12a.AE=5a.∴()()22212526a a +=.解得:a=2.∴BE=24.AE=10.∴HF=BE=24.∵∠HAF=50°.则24tan50 1.2HFAF AF︒===.解得:AF=20.∴BH=EF=20-10=10.故坡顶B沿BC至少向右移10m时.才能确保山体不滑坡.故答案为:10.第三部分解答题二、解答题(本题有7小题.共46分)17. 如图.在ABC中.90,tanC A ABC∠==∠的平分线BD交AC于点.D CD=AB的长?【答案】6【解析】解:在Rt ABC中.90,3C tanA∠==30,60,A ABC∴∠=∠=BD是ABC∠的平分线.30,CBD ABD∴∠=∠=︒又3,CD=330CDBCtan∴==.在Rt ABC中.90,30∠=︒∠=︒C A.630BCABsin∴==︒.故答案为:6.18. 已知:如图.在菱形ABCD中.AE⊥BC.垂足为E.对角线BD=8.tan∠CBD=.(1)求边AB的长;(2)求cos∠BAE的值.12【答案】(1)2√5 ;(2)35【解析】(1)连接AC .AC 与BD 相交于点O .∵四边形ABCD 是菱形.∴AC ⊥BD .BO =BD =4. ∵Rt △BOC 中.tan ∠CBD ==.∴OC =2. ∴AB =BC(2)∵AE ⊥BC.∴S 菱形ABCD =BC ·AE=BD ·AC . ∵AC=2OC =4.∴=×8×4.∴AE =.∴BE. ∴cos ∠ABE ==.19. 如图.小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB .在观测点C 处测得大桥主架顶端A 的仰角为30°.测得大桥主架与水面交汇点B 的俯角为14°.观测点与大桥主架的水平距离CM 为60米.且AB 垂直于桥面.(点,,,A B C M 在同一平面内)12OC OB 1212125BE AB 35(1)求大桥主架在桥面以上的高度AM ;(结果保留根号)(2)求大桥主架在水面以上的高度AB .(结果精确到1米)(参考数据sin140.24,cos140.97,tan14 1.73︒︒︒≈≈≈≈)【答案】(1)大桥主架在桥面以上的高度AM 为(2)大桥主架在水面以上的高度AB 约为50米.【解析】解:(1)AB 垂直于桥面90︒∴∠=∠=AMC BMC在Rt AMC △中.60,30︒=∠=CM ACMtan ∠=AM ACM CM tan 30603︒∴=⋅=⨯=AM CM (米)答:大桥主架在桥面以上的高度AM 为(2)在Rt BMC △中.60,14︒=∠=CM BCMtan ∠=MBBCM CMtan14600.2515︒∴=⋅=⨯≈MB CM=+AB AM MB 1550∴≈+≈AB (米)答:大桥主架在水面以上的高度AB 约为50米.20. 如图.某船向正东航行.在A 处望见海岛C 在北偏东60°.前进6海里到B 点.此时测得海岛C 在北偏东45°.已知在该岛周围6海里内有暗礁.问船继续向正东航行.有触礁的危险吗?【答案】见解析【解析】 解:如图.过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠CAD=90°-60°=30°.∠CBD=90°-45°=45°.∴BD=CD.设CD=x.∴AD=AB+6=6+x.在Rt△CAD中.tan∠CAD=CD AD.∴√33= xx+6.3x=6 √3+ √3x.(3-√3)x=6 √3.解得x=3 √3+3>6.答:若船继续向东航行.无触礁危险。

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)

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中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)知识点一:锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A =∠A 的对边斜边=ac余弦: cos A =∠A 的邻边斜边=bc正切: tan A =∠A 的对边∠A 的邻边=ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。

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]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时,(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 变式练习1:如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为注意:根据定义求三角函数值时,一定根据题目图形来理解,严格按照三角函数的定义求解,有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4,3),那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,∵A (4,3),∴OB =4,AB =3,∴OA =32+42=5,∴cos α=OB OA =45.变式练习2:在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =3,BC =4,则sinA =________. 【解析】∵在Rt △ABC 中,由勾股定理得AC =22AB BC +=32+42=5,∴sin A =BC AC =45. 变式练习3:在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =35,BC =6,则AB =( D )A .4B .6C .8D .10变式练习4:如图,若点A 的坐标为(1,3),则sin ∠1=__32__. ,知识点二 :解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2;(2)锐角之间的关系:∠A +∠B =90°; (3)边角之间的关系:,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======(sinA==cosB=ac,c osA=sinB=bc,tanA=ab.)变式练习1:在Rt△ABC中,已知a=5,sinA=30°,则c=10,b=5.变式练习2:如图,Rt△ACB中,∠B=30°,∠ACB=90°,CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC,满足∠E=30°,∠DCE=90°,再用同样的方法作Rt△FGC,∠FCG=90°,继续用同样的方法作Rt△HIC,∠HCI =90°.若AC=a,求CI的长.解:在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠A=60°,∵AC=a,∴CD=AC·sin60°=32a,依此类推CH=(32)3a=338a,在Rt△CHI中,∵∠CHI=60°,∴CI=CH·tan60°=338a×3=98a.变式练习3:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( D )A.433B.4 C.8 3 D.4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜:已知斜边求直边,正弦、余弦很方便;已知直边求直边,理所当然用正切;已知两边求一边,勾股定理最方便;已知两边求一角,函数关系要记牢;已知锐角求锐角,互余关系不能少;已知直边求斜边,用除还需正余弦.变式练习4:如图,一山坡的坡度为i=1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了__100__米., ,变式练习5:一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为___40+4033___海里/小时.知识点三:解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角:视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角.(如图①)(2)坡度:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比),用字母i表示.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用α表示,则有i=tanα.(如图②)(3)方向角:平面上,通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向),则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角,叫做观测的方向角.(如图③)2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型;(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形问题;(3)选择合适的边角关系式,使运算简便、准确;(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解.注意:解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型:(1)叠合式(2)背靠式解题方法:这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等,列方程求解变式练习1:如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度,他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°,然后沿AD 方向前行10 m ,到达B 点,点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:2≈1.414,3≈ 1.732)解:如解图,由题意可知∠CAB =30°,∠CBD =60°,AB =10 m ,∵∠CBD =∠CAB +∠BCA ,∴∠BCA =∠CBD -∠CAB =60°-30°=30°=∠CAB , ∴BC =AB =10 m . 在Rt △BCD 中,∵sin ∠CBD =CDBC,∴CD =BC ·sin ∠CBD =10×sin60°=10×32=53≈5×1.732≈8.7 m . 答:这棵树CD 的高度大约是8.7 m .变式练习2:如图,小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α=34,在与山脚C 距离200米的D 处,测得山顶A 的仰角为26.6°,求小山岗的高AB (结果取整数;参考数据:sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50).解:设AB =x 米,在Rt △ABD 中,∠D =26.6°,∴BD =tan 26.6x≈2x ,在Rt △ABC 中,tan α=AB BC =34,∴BC =43x ,∵BD -BC =CD ,CD =200,∴2x-43x=200,解得x=300.答:小山岗的高AB约为300米.变式练习3:如图,小明所在教学楼的每层高度为3.5 m,为了测量旗杆MN的高度,他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°,他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°,已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m,求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)解:如解图,过点M的水平线交直线AB于点H,由题意,得∠AMH=∠MAH=45°,∠BMH=30°,AB=3.5 m,设MH=x m,则AH=x m,BH=x·tan30°=33x≈0.58x m,∴AB=AH-BH=x-0.58x=0.42x=3.5 m,解得x≈8.3,则MN=x+1=9.3 m.答:旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4:小明去爬山,如图,在山脚看山顶的角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米,此时小明看山顶的角度为60°,则山高为( )A. (600-2505)米B. (6003-250)米C. (350+3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图,∵BE∶AE=5∶12,∴设BE=5k,AE=12k,∴AB=2()5K+(12k)2=13k,∴BE∶AE∶AB=5∶12∶13,∵AB=1300米,∴AE=1200米,BE =500米,设EC=FB=x米,∵∠DBF=60°,∴DF=3x米,则DC=(3x+500)米,又∵∠DAC=30°,∴AC=3CD,即1200+x=3(3x+500),解得x=600-2503,∴DF=3x=(6003-750)米,∴CD=DF+CF=(6003-250)米,即山高CD为(6003-250)米.变式练习5:某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)解:如解图,过点A作AD⊥BC交BC于点D,过点B作BH⊥水平线交水平线于点H,由题意∠ACH=75°,∠BCH=30°,AB∥CH,∴∠ABC=30°,∠ACB=45°,∵AB=4×8=32米,∴CD=AD=AB·sin30°=16米,BD=AB·cos30°=32×32=163米,∴BC=CD+BD=(16+163)米,∴BH=BC·sin30°=(16+163)×12=(8+83)米.答:这架无人飞机的飞行高度为(8+83)米.变式练习6:如图,我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上,随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上,求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位,其中3≈1.732) 解:∵CD∥BE,∴∠EBC+∠DCB=180°.∵∠ABE=60°,∠DCB=30°,∴∠ABC=90°.…………(4分)由题知,BC=80×12=40(海里),∠ACB=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·tan60°=403≈40×1.732≈69.3(海里).答:此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里.。

初中锐角三角函数知识点总结

初中锐角三角函数知识点总结

锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 为△ABC 中的一锐角,则有 ∠A的正弦:斜边的对边A A ∠=sin c a= ?∠A 的余弦:斜边的邻边A A ∠=cos cb = ∠A的正切:的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba =2、特殊角的三角函数值(1)图表记忆法,(2)规律记忆法:30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1、2、3;30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、对边.AC?30°角的正弦值。

(3)口诀记忆法口诀是:“一、二、三,三、二、一,三、九、二十七,弦比二,切比三,分子根号不能删.”前三句中的1,2,3;3,2,1;3,9,27,分别是30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2,正切的分母为3.最后一句,讲的是各函数值中分子都加上根号,不能丢掉.如tan60°=tan45°1=.这种方法有趣、简单、易记.考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程,叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的类型和解法如下表:)考点三、锐角三角函数的实际应用(高频考点)仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角。

坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角,方向角?指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.注意:东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向.我们一般画图的方位为上北下南,左西右东.lhi==αtan二、锐角三角函数常见考法(一)、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、(2016•陕西)已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC,则tan∠CAB的值为()-A.B.C.D.2【考点】抛物线与x轴的交点;锐角三角函数的定义.【解析】先求出A、B、C坐标,作CD⊥AB于D,根据tan∠ACD=即可计算.【解答】解:令y=0,则﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1,不妨设A(﹣3,0),B(1,0),∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,∴顶点C(﹣1,4),如图所示,作CD⊥AB于D."在RT△ACD中,tan∠CAD===2,故答案为D.(二)、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、(2016•陕西)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.A.一个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是8.B.运用科学计算器计算:3sin73°52′≈.(结果精确到)【考点】计算器—三角函数;近似数和有效数字;计算器—数的开方;多边形内角与外角.【解析】(1)根据多边形内角和为360°进行计算即可;(2)先分别求得3和sin73°52′的近似值,再相乘求得计算结果.-【解答】解:(1)∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为:360°÷45°=8(2)3sin73°52′≈×≈故答案为:8,例3、(2015•陕西)如图,有一滑梯AB,其水平宽度AC为米,铅直高度BC 为米,则∠A的度数约为°(用科学计算器计算,结果精确到°).【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可.》【解答】解:∵tan∠A==≈,∴∠A=°,故答案为:°.【点评】本题考查了坡度坡角的知识,解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值,难度不大.例4、(2014•陕西)用科学计算器计算:+3tan56°≈(结果精确到)【考点】计算器—三角函数;计算器—数的开方.【分析】先用计算器求出′、tan56°的值,再计算加减运算.【解答】解:≈,tan56°≈,…则+3tan56°≈+3×≈故答案是:.【点评】本题考查了计算器的使用,要注意此题是精确到.例5、(2014•陕西)如图,在正方形ABCD中,AD=1,将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′,此时A′D′与CD交于点E,则DE的长度为2﹣.【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E,进而利用勾股定理得出BD的长,进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可.:【解答】解:由题意可得出:∠BDC=45°,∠DA′E=90°,∴∠DEA′=45°,∴A′D=A′E,∵在正方形ABCD中,AD=1,∴AB=A′B=1,∴BD=,∴A′D=﹣1,∴在Rt△DA′E中,、DE==2﹣.故答案为:2﹣.【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识,得出A′D的长是解题关键.(三)、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、(12分)(2015•陕西)如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.(1)如图①,点M是四边形ABCD边AD上的一点,则△BMC的面积为24;(2)如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长的最小值;(3)如图③,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC 的值最小若存在,求出此时cos∠BPC的值;若不存在,请说明理由.|【考点】四边形综合题..【专题】综合题.【解析】(1)如图①,过A作AE⊥BC,可得出四边形AECF为矩形,得到EC=AD,BE=BC﹣EC,在直角三角形ABE中,求出AE的长,即为三角形BMC 的高,求出三角形BMC面积即可;(2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C′,连接C′N,C′D,C′B 交AD于点N′,连接CN′,则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC,求出即可;(3)如图③所示,存在点P,使得cos∠BPC的值最小,作BC的中垂线PQ 交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接圆O,圆O与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心O在PN上,根据AD与BC平行,得到圆O 与AD相切,根据PQ=DC,判断得到PQ大于BQ,可得出圆心O在BC上方,在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆O于点M,连接MC,可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,即∠BPC最小,cos∠BPC的值最小,连接OB,求出即可.【解答】解:(1)如图①,过A作AE⊥BC,(∴四边形AECD为矩形,∴EC=AD=8,BE=BC﹣EC=12﹣8=4,在Rt△ABE中,∠ABE=60°,BE=4,∴AB=2BE=8,AE==4,则S △BMC=BC•AE=24;故答案为:24;(2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C′,连接C′N,C′D,C′B 交AD于点N′,连接CN′,则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC,;∵AD∥BC,AE⊥BC,∠ABC=60°,∴过点A作AE⊥BC,则CE=AD=8,∴BE=4,AE=BE•tan60°=4,∴CC′=2CD=2AE=8,∵BC=12,∴BC′==4,∴△BNC周长的最小值为4+12;(3)如图③所示,存在点P,使得cos∠BPC的值最小,|作BC的中垂线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接圆O,圆O与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心O在PN上,∵AD∥BC,∴圆O与AD相切于点P,∵PQ=DC=4>6,∴PQ>BQ,∴∠BPC<90°,圆心O在弦BC的上方,在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆O于点M,连接MC,∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,^∴∠BPC最大,cos∠BPC的值最小,连接OB,则∠BON=2∠BPN=∠BPC,∵OB=OP=4﹣OQ,在Rt△BOQ中,根据勾股定理得:OQ2+62=(4﹣OQ)2,解得:OQ=,∴OB=,∴cos∠BPC=cos∠BOQ==,则此时cos∠BPC的值为.。

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中考复习:锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数(正弦、余弦、正切)1、定义:在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sinc ), 记作sin A ,即sin A aA c∠==的对边斜边。

把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine ),记作cos A ,即;把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即。

锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数(trigonometric function of acute angle )。

当锐角A 的大小确定时,∠A 的对边与斜边的比(正弦)、∠A 的邻边与斜边的比(余弦)、∠A 的对边与邻边的比(正切)分别是确定的。

2、增减性:在0°到90°之间,正弦值、正切值随着角度的增大而增大,余弦随着角度的增大而减小。

3、取值范围:当∠A 为锐角时,三角函数的取值范围是:0<sin A <1,0<cos A <1,tan A >0。

4、互余两角的函数关系:如果两角互余,则其中一有的正弦等于另一角的余弦,即:若α是一个锐角,则sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α)。

5、正、余弦的平方关系:sin 2α+ cos 2α=1。

二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表:三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边=的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

1、在Rt△ABC 中,∠C=90°,设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c (以下字母同),则解直角三角形的主要依据是:(1)边角之间的关系: sinA =cosB =a c , cosA =sinB =bc,tanA =cotB =a b ,cotA =tanB =b a。

(2)两锐角之间的关系: A +B =90°。

(3)三条边之间的关系:。

2、解直角三角形的基本类型和方法:已知条件解法一边及 一锐角直角边a 及锐角A B =90°-A ,b =a·tanA,c=sin aA斜边c 及锐角A B =90°-A ,a =c·sinA,b =c·cosA两边两条直角边a 和b,B =90°-A ,直角边a 和斜边csinA=ac,B =90°-A ,典型例题及变式1、【2013●兰州】△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A .∠B 、△C 的对边,如果a 2+b 2=c 2,那么下列结论正确的是( )A .csinA =aB .bcosB =cC .atanA =bD .ctanB =b 考点:勾股定理的逆定理;锐角三角函数的定义。

分析:由于a 2+b 2=c 2,根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形,且△C =90°,再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项。

解答:解:△a 2+b 2=c 2,△△ABC 是直角三角形,且△C =90°。

A .sinA = ,则csinA =a .故本选项正确;B .cosB = ,则cosBc =a .故本选项错误; ac a cC .tanA = ab ,则=b .故本选项错误; D .tanB = ba,则atanB =b .故本选项错误。

故选A 。

点评:本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理。

判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可。

2、【2013●湖南邵阳】在△ABC 中,若,则△C 的度数是( ) A .30° B .45° C .60° D .90°【答案】:D 。

【解析】:△,△;△△A=30°,△B=60°,则△C=180°﹣30°﹣60°=90°。

故选D . 【方法指导】:本题考查了特殊角的三角函数值,三角形的内角和定理,属于基础题,一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容.根据绝对值及完全平方的非负性,可求出、的值,继而得出△A 、△B 的度数,利用三角形的内角和定理,可求出△C 的度数。

3、【2013●四川内江】在△ABC 中,已知∠C=90°,sinA+sinB=75,则sinA-sinB= 。

考点: 互余两角三角函数的关系。

分析: 根据互余两角的三角函数关系,将sinA+sinB 平方,把sin 2A+cos 2A=1,sinB=cosA 代入求出2sinAcosA 的值,代入即可求解。

解答: 解:(sinA+sinB )2=(75)2, ∵sinB=cosA ,∴sin 2A+cos 2A+2sinAcosA= 4925, ∴2sinAcosA=4925﹣1= 2425, 则(sinA ﹣sinB )2=sin 2A+cos 2A ﹣2sinAcosA=1﹣2425 = 125, ∴sinA ﹣sinB=± 15。

故答案为:±15。

点评: 本题考查了互余两角的三角函数关系,属于基础题,掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键。

4、【2013●湛江】阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题:0)21(cos 21sin 2=-+-B A 0)21(cos 21sin 2=-+-B A 21cos ;21sin ==B A A sin B cossin30°=,cos30°=,则sin230°+cos230°=_________;①sin45°=,cos45°=,则sin245°+cos245°=_________;②sin60°=,cos60°=,则sin260°+cos260°=_________.③…观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=_________.④(1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对△A证明你的猜想;(2)已知:△A为锐角(cosA>0)且sinA=,求cosA.考点:解直角三角形;勾股定理;同角三角函数的关系。

分析:①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值;④由前面①②③的结论,即可猜想出:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1;(1)过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°.利用锐角三角函数的定义得出sinA= ,cosA= ,则sin2A+cos2A=,再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2,从而证明sin2A+cos2A=1;(2)利用关系式sin2A+cos2A=1,结合已知条件cosA>0且sinA= ,进行求解。

解答:解:△sin30°=,cos30°=,△sin230°+cos230°=()2+()2=+=1;①△sin45°=,cos45°=,△sin245°+cos245°=()2+()2=+=1;②△sin60°=,cos60°=,△sin260°+cos260°=()2+()2=+=1.③观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1.④(1)如图,过点B作BD△AC于D,则△ADB=90°.△sinA=,cosA=, △sin 2A+cos 2A=()2+()2=,△△ADB=90°, △BD 2+AD 2=AB 2, △sin 2A+cos 2A=1.(2)∵sinA=,sin 2A+cos 2A=1,∠A 为锐角, ∴cosA==.点评: 本题考查了同角三角函数的关系,勾股定理,锐角三角函数的定义,比较简单。

课时测试一、选择题: 1、【2011●江苏省无锡市】 sin45°的值是( ) A.12 B. 2 C. 3D.1 2、【2013●湖北孝感】式子 的值是( )A .B .0C .D .2 3、【2011●山东临沂】如图,△ABC 中,cosB =22,sinC =53,则△ABC 的面积是( )A .221B .12C .14D .21 4、【2011●山东日照】在Rt △ABC 中,∠C =90°,把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cot A =ab.则下列关系式中不成立...的是( )(A )tan A ·cot A =1 (B )sin A =tan A ·cos A (C )cos A =cot A ·sin A (D )tan 2A +cot 2A =15、【2013●东营】将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置,然后绕点O 逆时针旋转90︒至的位置,点B 的横坐标为2,则点的坐标为( )A .(1,1)B .C .(-1,1)D .(6、【2011●湖北宜昌】如图是教学用直角三角板,边AC=30cm ,∠C=90°,tan∠BAC=33,则边BC 的长为( ).A. 303cmB. 203cmC.103cmD. 53cm7、【2013●四川乐山】如图,已知第一象限内的点A 在反比例函数上,第二象限的点B 在反比例函数上,且OA ⊥OB ,,则k 的值为【 】A .-3B .-6C .-4D .A OB ''∆A '2y x=k y x=-8、【2011●广东茂名】如图,已知: 9045<<A ,则下列各式成立的是A .sinA =cosAB .sinA >cosAC .sinA >tanAD .sinA <cosA二、填空题:9、【2013●杭州】在Rt △ABC 中,△C =90°,AB =2BC ,现给出下列结论:△sinA =;△cosB =;△tanA =;△tanB =,其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号10、【2013●浙江台州】如图,在⊙O 中,过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线,切点为D ,若AC=7,AB=4,则sinC 的值为 .11、【2012●江苏泰州市】如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上,AB 、CD 相交于点P ,则tan ∠APD 的值是 .12、【2011●重庆江津】在Rt △ABC 中,∠C=90º,BC=5,AB=12,sinA=_________. 13、【2011●江苏南京】如图,以O 为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM 交于点A ,再以A 为圆心,AO 长为半径画弧,两弧交于点B ,画射线OB ,则cos△AOB 的值等于_________.三、解答题:14、【2012●重庆】已知:如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是ABOCD第10题(第13题)BA MO等边三角形。

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