数列的函数特征(北师大版)

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数列的函数特性
请看下面例子 新中国成立后，我国1952～1994年间部分年份进
出口贸易总额（亿美元）数据排成一数列： 19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1 154.4,2 367.3.
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贸易总额/亿美元
2700 2400 2100 1800 1500 1200
我们可以把一个数列用图像来表示： 图1是数列①：3,4,5,6,7,8,9的图像.
an 8 6 4 2
O 2 46 n 图1
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图2是数列⑤： 1，1 ，1 ，1 ， 的图像. 357
an
1
1 3
O 1 2 3 4n 图2
.
图3是数列⑥：2100,2100,2100,…，2100的图像. an
2100
1.2 数列的函数特性
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1.知识目标：理解递增、递减、常数列概念；会判断数列的 增减性；理解利用解析式、表格、图像表示数列的异同. 2.能力目标：学会观察、分析、猜测、归纳，数形结合法的 应用. 3.情感目标：在学习数列函数特性的过程中，增强学生认识 事物的能力，逐步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度.
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（3）当n为奇数时，an
n
1 (n 1) 2
1,
当n为偶数时,
an
n
1 (n 2
1)
n,
所以数列 {an} 既不是递增数列也不是递减数列，是摇摆数列.
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本节课主要学习了： 1.递增数列、递减数列、常数列. 2.判断数列增减性的方法. 3.数列是一类定义域为正整数集的特殊函数，它也可以 用图像、表格表示.
，
bn1
bn
n 1 n2
n n 1
(n
1 1（) n
2）
0,
所以bn1 bn ,因此这个数列是递增数列.
.
例4 作出数列 1 , 1 , 1 , 1 ,, ( 1)n , 的图像，
并分析数列的增减性.2 4 8 16
2
an
1
2
1
●
41
3
5
●
O
2
4 ●n
●
1 4
1
●
2
图4
.
解 图4是这个数列的图像，数列各项的值负正相间，表示 数列的各点相对于横轴上下摆动，它既不是递增的，也不 是递减的.
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2.判断下列数列 an 的增减性.
(1)an
n; n 1
(2)an
2 (1)n ; 5
(3)an
n
1 (1)n (n 1) 2
解：(1)an1
an
n 1 n2
n n 1
(n 1)2 (n 2)n (n 1)(n 2)
(n
1 1)(n
2)
,
an1 an 0 ，所以数列{an} 为递增数列.
900 600 300
0
19.4 1952
31.0 1957
42.5 1965
2 367.3
1154.4
45.9
696.0
381.4 147.5
1970 1975 1980 1985 1990 1994 年份/年
由上图可以看出我国1952～1994年部分年份，各 时期进出口贸易总额的增长变化情况.
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O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 图3
思考:通过这几个例子你是否发现用图像来表示数列的好处.
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从图中可以看出，数列①的函数图像上升，称这样的 数列为递增数列；数列⑤的函数图像下降，称这样的数列 为递减数列；数列⑥称为常数列. 思考：你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的 概念呢？
(2) 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
解 (1)设an 3 n，那么
an1 3 (n 1) 2 n,
an1 an (2 n) (3 n) 1,
所以an1 an ,因此数列{an}是递减数列.
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（2）设bn
n ,那么 n 1
bn1
n 1 (n 1) 1
n 1 n2
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1.数列的概念是什么. 2.数列的通项公式的含义是什么.
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由上节课的学习我们知道数列可以看作定义域为正 整数集N+(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依 次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.
而数列的通项公式就类似于函数的解析式，因此研 究数列的性质我们就可以借助数列的通项公式，而且数列 的表示形式也和函数一样，有多种表示方法，下面来看几 个例子.
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例5 一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途 （包括A，B）共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站 的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站 的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个. 试写出邮件在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列， 画出该数列的图像，并判断该数列的增减性.
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78
70
列以 用可 表见 格， 来我 表们 示也 数可
它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的.
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1.在1984年到2004年的6届夏季奥运会上，我国获得的金
牌数依次排成数列：15,5,16,16,28,32.试画出该数列的
图像.
an
32
24
16 8
O 1984 1988 1992 1996 2000 2004 n
一般地，一个数列{an}，如果从第2项起,每一项都大 于它前面的一项，即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列.
如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项，即 an+1<an,那么这个数列叫作递减数列.
如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.
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例3 判断下列无穷数列的增减性.
（1）2,1,0，1,,3 n,
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（2）方法1：
an1
an
2 • (1)n1 5
2•(1)n 5
2 • (1)n (1 55
1)
8 5
• (1)n , 5
an1 an 0,
所以数列 {an}为递减数列
方法2：因为函数
y
（
1 5
）x是减函数且
2 0,
y
2（1）x 是减函数，所以数列 5
an
2 (1)n 为递减数列. 5
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作家当然必须挣钱才能生活，写作，但是他 决不应该为了挣钱而生活，写作。
——马克思
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解 将A，B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，通过 计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：
7,12,15,16,15,12,7,0. 填写下表
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站号
123456
剩余邮件数 7 12 15 16 15 12
该数列的图像如下图所示.
an /件
16ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O 1 2 3 4 5 6 7 8 n/站