湖南省湘潭市2021届新高考数学最后模拟卷含解析

湖南省湘潭市2021届新高考数学最后模拟卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）

A ．1

B ．2

C 3

D ．2【答案】B

【解析】

【分析】 根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．

【详解】 正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半，

且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，

所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 2，故选B.

【点睛】

本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．

2．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（ ）

A ．12i -

B ．1i +

C ．1i -+

D ．12i + 【答案】B

【解析】

【分析】

转化()(1)11i z i +-=-，为111i z i

--=

+，利用复数的除法化简，即得解 【详解】

复数z 满足：()(1)11i z i +-=- 所以()211112i i z i i ---===-+

1z i ⇒=-

1z i ∴=

+

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 3．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>

B ．b c a >>

C ．a b c >>

D ．c a b >>

【答案】D

【解析】

【分析】

与中间值1比较，,a c 可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．

【详解】 0.50.41<，3log 51>，又550log 2log 3<<，∴5511log 2log 3

>，即23log 5log 5>， ∴c a b >>．

故选：D.

【点睛】

本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．

4．如图所示，已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.

A ．33

B ．72

C 3

D 7

【答案】C

【解析】

【分析】

易得||2AF a =，||4BF a =，又1()2

FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r ，平方计算即可得到答案. 【详解】

设双曲线C 的左焦点为E ，易得AEBF 为平行四边形，

所以||||||||2BF AF BF BE a -=-=，又||2||BF AF =，

故||2AF a =，||4BF a =，1()2

FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r ， 所以2221(41624)4

c a a a a =+-⨯，即223c a =，

故离心率为e =故选：C.

【点睛】

本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，是一道中档题.

5．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ）

A ．-2

B ．-1

C ．1

D ．2 【答案】B

【解析】

【分析】

求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；

【详解】

f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），

因为f′（x ）11

x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1，

故选：B ．

【点睛】

本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．

6．复数12i i

--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】 试题分析：由题意可得：131255i i i -=--. 共轭复数为3155

i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系

7．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭

，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114 C ．1054 D ．1174

【答案】C

【解析】

【分析】

根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫ ⎪⎝

⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得ω的最大值.

【详解】 由题意知1122ππ,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩

其中12k k k =-，21k k k '=+． 又()1f x 在ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304

k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤．

①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,3

2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π 4.5π44

x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去； ②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,3

2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π 2.5π44

x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去； ③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,3

2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，