三角函数的引入和定义

三角函数第一部分

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示：

（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，

注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角

1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .

（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表

示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2

k k Z π

α=

∈. 4、α与2

α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.

如若α是第二象限角，则2

α

是第_____象限角，2α是第 象限角。

5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22

S lR R α==，1弧度(1rad)

57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ）

练习：1．下列角中终边与330°相同的角是（ ） Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确的是（ ）

Α.终边相同的角一定相等。 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象限的角。 D.小于︒90的角都是锐角。

3.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）

Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 4．若α角的终边落在第三或第四象限，则2

α

的终边落在（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限

C ．第一或第四象限

D ．第三或第四象限

5．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）

Ａ．2112sin 222R ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

Ｂ．21

sin 22R

Ｃ．212

R

Ｄ．221

sin 22

R R -

6．若三角形的三个内角的比等于2:3:7，则各内角的弧度数分别为 ． 7．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________． 8．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .

9、（2010江苏泰州，12，3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm ，则扇形的弧长为 cm （结果保留π）．

10、(2010年眉山市)17．已知圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则这个圆锥的侧面积为__________cm 2．

11、用弧度制分别表示第一、二、三、四象限角。

12. 在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120- （2）640 （3）95012'-

13．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）

（1） （2） （3）

14、（2010珠海）15.如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π） 解：∵弦AB 和半径OC 互相平分 ∴OC ⊥AB OM=MC=

21OC=2

1

OA 在Rt △OAM 中，sinA=2

1

=OA OM ∴∠A=30°

又∵OA=OB ∴∠B=∠A=30° ∴∠AOB=120° ∴S 扇形＝3

3601120π

π=⋅⋅

6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离

是0r =>，那

么

sin ,cos y x r r αα=

=，()tan ,0y

x x α=≠，cot x y

α=(0)y ≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

1、已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。

（答：7

13

-）；

2. sin2cos3tan4的值 (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定

3、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4．y =

tan

|

tan ||cos |cos sin |sin |x x x x x +

+的值域是 （ ）

A ．{1,－1}

B ． {－1,1,3}

C ． {－1,3}

D ．{1,3}

7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 如（1）已知f(x)=

f(x)的定义域。 （2）若08

πθ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____

(答：tan sin cos θθθ<<)；

（3）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______

（答：sin tan ααα<<）；

练习：

1.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )

y

T

A x

α B

S

O M P