四边形中的最值问题专题(提纲)

主备（讲）人：八年级10班邓永豪

路在脚下 志在我心 全力以赴 永创辉煌

四边形中的最值问题

例1 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ）

A.1

B. √3 C ．2 D ．√3＋1

试一试 化动为静，先确定K 点位置，从特殊位置切入。 （2012年台州市中考题）

例2 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）

A ．

B ．

C . 2 D.3

试一试 三角形任两边之和大于第三边。 （2012年济南市中考题）

例3 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，△AMB ≌△ENB 。 求证：

（1）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小。

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由。 试一试 连接M 、N ，将AM 、BM 、CM 替换。

（2）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为√3+1时，求正方形的边长。

试一试 ①等腰三角形三线合一 ②构建直角三角形求正方形边长 （2010年宁德市中考题）

①求线段最值常用的方法：

1.两点之间线段最短

例：如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是_________________。

2.垂线段最短。

例： (09陕西) 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是_____________。 3.斜边大于直角边。

4.三角形任两边之和大于第三边。 例：已知菱形ABCD ，点P 是OD 上一点，当AP+CP 值最大时，点P 于何位置？___________________________。

②线段长度最值常与图形运动、点运动相关联，需理清静点与动点、常量与变量，动静转化。

拓展：费马点：

1.若给定一个三角形△ABC 的话，从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A 、B 、C 的距离之和比从其它点算起的都要小。

2.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

3.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

D

A

C

E

P