方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案
【分析】
欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径r=2进行比较，即可求解．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】
∵关于x的方程6x2-4 x+m-1=0没有实数根，
∴△=b2-4ac＜0，
即48-4×6×（m-1）＜0，
解这个不等式得m＞3，
12．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（ ）
A．10m或5mB．5m或8mC．10mD．5m
【答案】C
【解析】
【分析】
设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )
A．168(1＋a%)2＝128B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128D．168(1－a2%)＝128
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，
8．如图，AC⊥BC， ，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若 ， ，则BC＝（）
A． B．8C． D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
过 作 垂足分别为 由角平分线的性质可得： 利用 ， 可以求得 进而求得 的面积，利用面积公式列方程求解即可．
【详解】
解：如图，过 作 垂足分别为
【详解】
设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第二节 一元二次方程及其应用
解：设参加交流会的茶叶制作商有 m 人．依题意得 m(m－1)＝380，解得 m1＝20，m2＝－19(舍去)． 答：参加交流会的茶叶制作商有 20 人．
4．(2022·荆州第 7 题 3 分)关于 x 的方程 x2－3kx－2＝0 实数根的情况，
下列判断中正确的是
(B)
A．有两个相等实数根
B．有两个不等实数根
C．没有实数根
D．有一个实数根
5．(2020·荆州第 9 题 3 分)定义新运算“a*b”：对于任意实数 a，b，都
有 a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运
解：设小路宽为 x m， 由题意，得(16－2x)(9－x)＝112. 整理，得 x2－17x＋16＝0. 解得 x1＝1，x2＝16＞9(不合题意，舍去)．∴x＝1. 答：小路的宽应为 1m.
17．(数学文化)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作， 其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长 多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的 长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意，长比宽多__112__步．
100.8
解：设后两次采购价格的平均增长率为 x，依题意得 480(1＋x)2＝480＋100.8，解得 x1＝0.1，x2＝－2.1(舍)． 答：后两次采购价格的平均增长率为 10%.
解：设售价为 y 元/袋时，每周的销售额为 32 400 元．依题意可列方程
y－260
为 y100－
10
＝32 400，解得 y1＝360，y2＝900.
第二节 一元二次方程及 其应用
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.选择合适的方法解一元二次方程， 常在压轴题中涉及考查；2.用一元二次方程根的判别式判断方程根的情 况或者根据根的情况求字母系数的取值范围，根与系数的关系的应用； 3.一元二次方程的应用主要以选择题的形式考查列方程，常在解答题中 与不等式、函数的实际应用结合考查，难度较大，分值一般 3－10 分．
高中数学 第二章 等式与不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系练习(含解析)新人教
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．(2)会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.知识点一 b 2－4ac (Δ)的取值与根的个数间的关系b 2－4ac (Δ)根的情况b 2－4ac >0方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2ab 2－4ac ＝0 方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b2ab 2－4ac <0方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实数根若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a. 状元随笔 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： (1)x 21＋x 22＝(x 21＋2x 1x 2＋x 22)－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2； (2)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；(3)|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2； (4)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； (5)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2. [基础自测]1．方程x 2－23kx ＋3k 2＝0的根的情况是( ) A ．有一个实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根解析：Δ＝(－23k )2－12k 2＝12k 2－12k 2＝0. 答案：C2．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx －3＝0的两根，且满足x 1＋x 2－3x 1x 2＝5，那么b 的值为( )A ．4B ．－4C ．3D ．－3解析：由题知x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝－3， 则x 1＋x 2－3x 1x 2＝－b －3×(－3)＝5， 解得b ＝4. 答案：A3．若代数式x 2－6x ＋5的值是12，则x 的值为( ) A ．7或－1 B ．1或－5 C ．－1或－5 D ．不能确定解析：由题意得x 2－6x ＋5＝12，x 2－6x ＋5－12＝0，x 2－6x －7＝0，∴x ＝6±36＋282， 解得x 1＝－1，x 2＝7.故选A. 答案：A4．已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝________.解析：因为x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个根， 所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1， 所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2.答案：－2题型一 方程根个数的判断及应用[经典例题]例1 若关于x 的不等式x －a2<1的解集为x <1，试判断关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的根的情况．【解析】 解不解式x －a 2<1，得x <1＋a 2，而不等式x －a 2<1的解集为x <1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，所以一元二次方程的根的判别式Δ＝a 2－4＝－4<0，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．先求出a 再判断根的个数状元随笔 (1)解一元一次不等式，利用解集求a.(2)Δ＝a 2－4，利用Δ>0，Δ＝0，Δ<0的情况讨论根的情况. 方法归纳对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x 1,2＝－b ±b 2－4ac2a ；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a； (3)当Δ<0时，方程没有实数根．跟踪训练1 已知关于x 的一元二次方程3x 2－2x ＋k ＝0，根据下列条件，分别求出k 的X 围．(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根． 解析：Δ＝(－2)2－4×3k ＝4(1－3k )． (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1－3k )>0， 所以k <13.(2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即4(1－3k )＝0， 所以k ＝13.题型二 直接应用根与系数的关系进行计算[教材P 50例2]例2 已知一元二次方程2x 2＋3x －4＝0的两根为x 1与x 2，求下列各式的值： (1)x 21＋x 22； (2)|x 1－x 2|.【解析】 由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－2.(1)由上有x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－2×(－2)＝254. (2)因为(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－4×(－2)＝414，所以|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝412. 教材反思在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．跟踪训练2 已知一元二次方程x 2＋3x －1＝0的两根分别是x 1，x 2，请利用根与系数的关系求：(1)x 21＋x 22； (2)1x 1＋1x 2.解析：根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝－1. (1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－3)2－2×(－1)＝11. (2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－3－1＝3.题型三 应用根与系数的关系求字母系数的值或X 围[经典例题]例3 已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，根据下列条件，求出k 的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x 1，x 2，满足|x 1|＝x 2.【解析】Δ＝[－(k ＋1)]2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2＋1＝2k －3，Δ≥0，k ≥32.(1)设方程的两个根为x 1，x 2，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，k 2＝16，k ＝4或k ＝－4(舍)．(2)①若x 1≥0，则x 1＝x 2，Δ＝0，k ＝32.方程为x 2－52x ＋2516＝0，x 1＝x 2＝54>0满足．②若x 1<0，则x 1＋x 2＝0，即k ＋1＝0，k ＝－1. 方程为x 2＋54＝0而方程无解，所以k ≠－1，所以k ＝32.方法归纳利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.跟踪训练3 (1)关于x 的方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或2(2)已知：方程2x 2－(k ＋1)x ＋k ＋3＝0的两根之差为1，则k 的值为________． 解析：(1)∵x 1＋x 2＝m ＋6，x 1x 2＝m 2，x 1＋x 2＝x 1x 2， ∴m ＋6＝m 2， 解得m ＝3或m ＝－2.∵方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝[－(m ＋6)]2－4m 2＝－3m 2＋12m ＋36＝0， 解得m ＝6或m ＝－2. ∴m ＝－2.(2)设x 1，x 2为方程的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k ＋12x 1x 2＝k ＋32，|x 1－x 2|＝1，⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122－2(k ＋3)＝1，k ＝9或k ＝－3.检验当k ＝9或k ＝－3时，Δ≥0成立． 答案：(1)C (2)－3或9课时作业一、选择题1．已知关于x 的一元二次方程3x 2＋4x －5＝0，下列说法正确的是( ) A ．方程有两个相等的实数根 B ．方程有两个不相等的实数根 C ．方程没有实数根 D ．方程的根的情况无法确定解析：∵Δ＝42－4×3×(－5)＝76>0， ∴方程有两个不相等的实数根．故选B. 答案：B2．若关于x 的一元二次方程x 2＋2(m －1)x ＋m 2＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，则m 的取值X 围是( )A ．m ≤12B ．m ≤12且m ≠0C ．m <1D ．m <1且m ≠0解析：∵Δ＝[2(m －1)]2－4m 2＝－8m ＋4≥0，∴m ≤12，∵x 1＋x 2＝－2(m －1)>0，x 1x 2＝m 2>0，∴m <1，m ≠0.综上，m ≤12且m ≠0.故选B.答案：B3．关于x 的一元二次方程x 2＋(a 2－2a )x ＋a －1＝0的两个实数根互为相反数，则a 的值为( )A ．2B ．0C ．1D ．2或0解析：根据根与系数的关系，得－(a 2－2a )＝0，解得a 1＝0，a 2＝2，∵当a ＝2时，原方程为x 2＋1＝0，无解，∴a ＝0.答案：B4．若关于x 的一元二次方程x 2＋2(k －1)x ＋k 2－1＝0有实数根，则k 的取值X 围是( ) A ．k ≥1 B．k >1 C ．k <1 D ．k ≤1解析：∵关于x 的一元二次方程x 2＋2(k －1)x ＋k 2－1＝0，有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝4(k －1)2－4(k 2－1)＝－8k ＋8≥0，解得k ≤1.故选D. 答案：D 二、填空题5．已知代数式7x (x ＋5)＋10与代数式9x －9的值互为相反数，则x ＝________. 解析：根据题意，得7x (x ＋5)＋10＋9x －9＝0， 整理得7x 2＋44x ＋1＝0，∵a ＝7，b ＝44，c ＝1，∴Δ＝442－28＝1 908， ∴x ＝－44± 1 90814＝－22±3537.答案：－22±35376．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝________.解析：由题知：x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝a . 因为x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10， 所以x 1－x 2＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25－4a ＝4，所以a ＝214.答案：2147．关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实数根，则m 的最大整数值是________． 解析：∵关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实数根，∴Δ＝4－8(m －5)>0，且m －5≠0，解得m <5.5，且m ≠5，∴m 的最大整数值是4.答案：4 三、解答题 8．解下列方程： (1)x 2＝25x －2； (2)(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14.解析：(1)整理成一般式，得x 2－25x ＋2＝0， ∵a ＝1，b ＝－25，c ＝2，∴Δ＝20－4×1×2＝12>0， 则x 1＝5＋3，x 2＝5－ 3.(2)方程整理得3x 2＋10x －8＝0，∵a ＝3，b ＝10，c ＝－8， ∴Δ＝100＋96＝196，∴x 1＝23，x 2＝－4.9．若关于x 的方程x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根，试说明关于x 的方程x 2＋mx ＋12m ＝1一定有实数根．解析：∵方程x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根，∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m ＋1)<0，解得m <0.而方程x 2＋mx ＋12m ＝1的根的判别式Δ′＝m 2－4×1×(12m －1)＝m 2－48m ＋4， ∵m <0，∴m 2>0，－48m >0.∴m 2－48m ＋4>0，即Δ′>0， ∴方程x 2＋mx ＋12m ＝1有两个不等的实数根，即一定有实数根．[尖子生题库]10．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根． (1)求k 的取值X 围；(2)若此方程的两个实数根x 1，x 2满足x 21＋x 22＝11，求k 的值．解析：(1)因为关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．所以Δ≥0，即[－(2k －1)]2－4×1×(k 2＋k －1)＝－8k ＋5≥0， 解得k ≤58.(2)由题知x 1＋x 2＝2k －1，x 1x 2＝k 2＋k －1，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(2k －1)2－2(k 2＋k －1)＝2k 2－6k ＋3. 因为x 21＋x 22＝11，所以2k 2－6k ＋3＝11， 解得k ＝4或k ＝－1， 因为k ≤58，所以k ＝－1.。
初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析
初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析一、选择题1．今年深圳的房价平均20000元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000元/平方米，若每年降价均为x%，则下列方程正确的是（ ）A ．220000(1x%)16000+=B ．220000(1x%)16000-=C ．220000(12x%)16000+=D ．()2200001x %16000-= 【答案】B【解析】【分析】已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价.【详解】解：根据每年降价均为x%，则第一次降价后房价为20000(1-x%)元，第二次在20000(1-x%)元基础上又降低x%，变为20000(1-x%)(1-x%)元，即220000(1-x%)，进而可列出方程：220000(1x%)16000-=故选B【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式a(1x%)n b ±=的应用，理解公式是解决本题的关键.2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1B ．m ＞﹣1C ．m ＞1D ．m ＜﹣1【答案】C【解析】试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()224241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，解得： 1.m >故选C ．3．代数式2x -4x +5的最小值是（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．5【答案】B【解析】 2x -4x +5=2x -4x +4-4+5=2(2)x -+1∵2(2)x -≥0，∴2(2)x -+1≥1，∴代数2x -4x +5的最小值为1．故选B.点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为“一个完全平方式”和“一个常数”的和的形式，再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由“任何代数式的平方都是非负数”可知原式的最小值就是那个“常数”.4．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法：①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根；③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．①②③④D ．只有③④【答案】B【解析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ．【详解】解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0方程x 2﹣bx +ac ＝0中根的判别式也是b 2﹣4ac ＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac 2+bc +c ＝0成立，当c ≠0时ac +b +1＝0成立；当c ＝0时ac +b +1＝0不成立；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，可得0x ， 把x 0的值代入（2ax 0+b ）2，可得b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，综上所述其中正确的①②④．故选：B ．【点睛】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示0x ，整体代入求2204(2)b ac ax b -=+．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．5．若a，b为方程2x5x10--=的两个实数根，则22a3ab8b2a++-的值为（）A．-41 B．-35 C．39 D．45【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a，b为方程2x5x10--=的两个实数根，∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a3ab8b2a++-=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2=39．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=ba-，x1·x2=ca；熟练掌握韦达定理是解题关键．6．某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）=1892 B．x（x−1）=1892×2C．x（x−1）=1892 D．2x（x+1）=1892【答案】C【解析】试题分析：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x－1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x(x－1)＝1892．故选C．点睛：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．7．已知x=1是一元二次方程的解，则b的值为（）A ．0B ．1C ．D ．2【答案】C【解析】【分析】 根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x 2+bx+1=0得关于b 的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=1代入x 2+bx+1=0得1+b+1=0，解得b=-2．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．8．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．100（1+x ）2=282B ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2=282C ．100（1+2x ）＝282D ．100+100（1+x ）+100（1+2x ）=282【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【详解】五月份的产量=100（1+x ），六月份的产量=1002(1)x +， 根据题意可得：100+100（1+x ）+1002(1)x +=282.故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为2(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．9．国庆期间电影《我和我的祖国》第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为（ ） A ．3(1)10x +=B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=【答案】D【分析】用含x 的代数式表示出第二天和第三天的票房收入，三天的票房收入再相加即得答案.【详解】解：设平均每天票房收入的增长率记作x ，则233(1)3(1)10x x ++++=. 故选：D.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题，一般的，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为：()21a x b ±=.10．李师傅去年开了一家商店，将每个月的盈亏情况都作了记录．今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份盈利恰好2880元，若每月盈利的平均增长率都相同，这个平均增长率是（ ）A ．20%B ．22%C ．25%D ．44% 【答案】A【解析】【分析】设这个平均增长率为x ，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可．【详解】设这个平均增长率为x ，根据题意得：2000（1+x ）2=2880，解得：x 1=20%，x 2=-2.2（舍去）．答：这个平均增长率为20%．故选A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x ）2=后来的量，其中增长用+，减少用-，难度一般．11．某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．22251196x （﹣）＝B ．21961225x （﹣）＝C ．22251196x （﹣）＝ D ．21961225x （﹣）＝【答案】A【解析】【分析】 可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解．第一次降价后的价格为225×（1﹣x），第二次降价后的价格为225×（1﹣x）×（1﹣x），则225（1﹣x）2=196．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．12．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】试题分析：设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x﹣1）个人贺卡，则共有（x﹣1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程．解：设这个小组有x人，则根据题意可列方程为：（x﹣1）x=72，解得：x1=9，x2=﹣8（舍去）．故选C．13．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（）A．8.5％B．9％C．9.5％D．10％【答案】D【解析】【分析】设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得100（1-x）（1-x）=81，解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）即x=10%故选D．14．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【答案】A分析：A 、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x 1≠x 2，结论A 正确；B 、根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=a ，结合a 的值不确定，可得出B 结论不一定正确；C 、根据根与系数的关系可得出x 1•x 2=﹣2，结论C 错误；D 、由x 1•x 2=﹣2，可得出x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误．综上即可得出结论．详解：A ∵△=（﹣a ）2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8＞0，∴x 1≠x 2，结论A 正确；B 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，∴x 1+x 2=a ，∵a 的值不确定，∴B 结论不一定正确；C 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，∴x 1•x 2=﹣2，结论C 错误；D 、∵x 1•x 2=﹣2，∴x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误．故选A ．点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．15．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k y x x=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．2524k ≤≤B ．26k ≤≤C ．24k ≤≤D ．46k ≤≤【答案】A【解析】【分析】 由点C 的坐标结合直线AB 的解析式可得出点A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k 的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB 上，综上即可得出结论．解：令y ＝−x ＋5中x ＝1，则y ＝4，∴B （1，4）；令y ＝−x ＋5中y ＝2，则x ＝3，∴A （3，2）， 当反比例函数k y x=（x ＞0）的图象过点C 时，有2＝1k ， 解得：k ＝2， 将y ＝−x ＋5代入k y x=中，整理得：x 2−5x ＋k ＝0， ∵△＝（−5）2−4k≥0，∴k ≤254， 当k ＝254时，解得：x ＝52， ∵1＜52＜3， ∴若反比例函数k y x =（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是2≤k≤254， 故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A 、C 时的k 值以及直线与双曲线有一个交点时k 的值．16．两个不相等的实数m ，n 满足2265,65m m n n +=+=，则mn 的值为（ ） A ．6B ．-6C ．5D ．-5 【答案】D【解析】【分析】根据题意得到m ，n 可看作方程x 2-6x-5=0的两根，然后根据根与系数的关系求解即可.【详解】∵两个不相等的实数m ，n 满足22650, 650m m n n +-=+-=，∴m ，n 可看作方程x 2-6x-5=0的两根，∴mn=-5故选：D.【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=.17．已知24b ac -是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）A ．18ab ≥ B ．18ab ≤ C ．14ab ≥ D ．14ab ≤ 【答案】B【解析】【分析】设u 的两个一元二次方程，并且这两个方程都有实根，所以由判别式大于或等于0即可得到ab≤18． 【详解】因为方程有实数解，故b 2-4ac≥0．24b ac =-24b ac =-,设 则有2au 2-u+b=0或2au 2+u+b=0，（a≠0），因为以上关于u 的两个一元二次方程有实数解，所以两个方程的判别式都大于或等于0，即得到1-8ab≥0，所以ab≤18． 故选B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的求根公式：（b 2-4ac≥0）.18．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a 、b 中的较大的数，如：max {2，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为（ ）A ．或1B ．1或﹣1C ．1或1D ．或﹣1【答案】D【解析】【分析】根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x 的分式方程求解，结合x 的取值范围确定方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解即可．【详解】解：①当x ≥﹣x ，即x ≥0时，∵max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1，∴x ＝x 2﹣x ﹣1，解得：x ＝1+2（1﹣2<0，不符合舍去）；②当﹣x ＞x ，即x ＜0时，﹣x ＝x 2﹣x ﹣1，解得：x ＝﹣1（1>0，不符合舍去），即方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为1+2或﹣1，故选：D ．【点睛】本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．19．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=【答案】B【解析】【分析】 根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ，得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400，整理后得：2653500x x +-=故选：B.【点睛】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.20．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠ 【答案】A【解析】【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围．【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14；当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误.故选：C2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y= (x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.4、关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）A．[√24,+∞)B．(−∞,√24]C．[−√24,√24]D．(−∞,−√24]∪[√24,+∞)答案：A分析：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，分x=0和a≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，当x=0时，a≥0，当a≠0时，a≥|x|x2+2=1|x|+2|x|，因为1|x|+2|x|≤2√|x|⋅2|x|=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞). 故选：A.5、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．6、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.7、已知−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，则3x −2y 的取值范围是（ ） A ．[2,13]B ．[3,13]C ．[2,10]D ．[5,10] 答案：A分析：设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，求出m,n 的值，根据x +y,x −y 的范围，即可求出答案.设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，所以{m −n =3m +n =−2，解得：{m =12n =−52,3x −2y =12(x +y )+52(x −y ), ， 因为−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，所以3x −2y =12(x +y )+52(x −y )∈[2,13]， 故选：A.8、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C. 多选题9、已知函数y =ax 2+bx -3，则下列结论正确的是（ ） A ．关于x 的不等式ax 2+bx -3<0的解集可以是{x |x >3 } B ．关于x 的不等式ax 2+bx -3>0的解集可以是∅C ．函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点D ．“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0” 答案：BCD分析：根据不等式的解集求出a 、b ，再解不等式ax 2+bx -3<0可判断A ；取a =-1，b =0，解不等式-x 2-3>0可判断B ；取a =-1，b =4可判断C ；根据根的分布、充要条件的定义可判断D ． 若不等式ax 2+bx -3<0的解集是{x |x >3}，则a =0且3b -3=0，得b =1，而当a =0，b =1时，不等式ax 2+bx -3<0，即x -3<0，得x <3，与x >3矛盾，故A 错误； 取a =-1，b =0，此时不等式-x 2-3>0的解集为∅，故B 正确；函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点,即ax 2+bx -3=0可以有2个正根，取a =-1，b =4，则由y =-x 2+4x -3=0，得x =1或3，故C 正确；若关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根，则{a ≠0,−3a<0,得a >0，若a >0，则Δ=b 2+12a >0，故关于x 的方程ax 2+bx -3=0有两个不等的实根x 1,x 2， 且x 1x 2=-3a <0，即关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根．因此“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0”，故D 正确． 故选：BCD ．10、已知x ，y 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若x +y =2，则1x+1y 有最小值2B ．若x +y =3，则x(y +1)有最大值5C ．若4x +y =1，则2√x +√y 有最大值√2D ．x4+y 2x+1y有最小值94答案：AC分析：将已知转化，再利用基本不等式可判断ABC 选项；利用特值法判断选项D 。
一元二次方程根的分布与不等式技巧训练(有答案绝对好精品)
一元二次函数根的分布（20130924）姓名成绩1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：(1)m为何值时，有一正根、一负根．(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．(3)m为何值时，有两正根．(4)m为何值时，有两负根．(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？2. 当m为何值时，方程有两个负数根？3. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？4.(1)已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．(2)m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.5．已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围．6．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m 的取值范围．7．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围．8.选择题(1)已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（）A．B．C．D．(2)方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．-3＜m＜1 C．-2＜m＜0 D．-1＜m＜1(3).已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．10．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．11：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x12：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2024中考备考热点02 方程(组)与不等式(组)(12大题型+满分技巧+限时分层检测)(原卷版)
热点02 方程（组）与不等式（组）中考数学中《方程（组）与不等式（组）》部分主要考向分为四类：一、一元一次方程与二元一次方程（组）（每年2~4道，8~14分）二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）三、分式方程（每年1~3题，3~12分）四、不等式（组）（每年2~4题，8~18分）方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察。
其中，一元一次方程与二元一次方程（组）是比较接近的两个考点，出题一般都只有1题，一元一次方程多考察其在实际问题中的应用，多为选择题；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。
一元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题。
分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题。
不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。
虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。
考向一：一元一次方程与二元一次方程组【题型1 实际问题抽象出一元一次方程】行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得()A．12240150x x+=B．12240150x x=-C．240(12)150x x-=D．240150(12)x x=+2．（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为斤．3．（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．【题型2 二元一次方程组的解法相关】满分技巧解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。
一元二次方程及不等式练习题
第4章方程与不等式 §4.1一元二次方程一、 选择题 1、方程()2219x x +=的一次项系数是（ ）A 、9B 、4C 、5-D 、2 2、方程2320x x m -+-=有实根，则m 的取值范围是（ ）A 、m ＞－41B 、m ≥41C 、m ≥－41D 、m ＞413、对于一元二次方程23510x x +-=，以下说法准确的是A 、方程无实数根B 、方程有两个相等的实数根C 、方程有两个不相等的实数根D 、方程的根无法确定 4、一元二次方程2520x x -+=的两个根为12,x x ，则12x x +等于（ ）A 、–2B 、2C 、–5D 、5二、 填空题1、将方程2x x =+化成一般形式是___________________，二次项系数是__________，一次项系数是____________，常数项是____________2、25140x x --=的两根是12_____,_____x x ==3、已知12,x x 是方程20x px q ++=的两根，且12126,3x x x x +==，则p =______q =______4、已知12,x x 是方程22410x x ++=的两根，则2212______x x +=5、已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个解，则21a -的值是_______三、 解答题1、解以下方程：（1）2680x x -+= （2）22320x x +-= 2、m 为何值时，方程2(2)20x m x m -+++=有两个相等的实数根。
3、已知两个数的和为4，这两个数的积为1，求这两个数4、已知p 、q 为方程2991000x -+=，求11p q+的值§4.2一元一次不等式组一、 选择题1、不等式组123x x -≤⎧⎨-<⎩的解集是（ ） A 、{}|1x x ≥- B.{}|5x x < C ．{}|15x x -≤< D ．{}|15x x x ≤->或2、不等式组114x x ->⎧⎨≤⎩的解集在数轴上表示应是( ) AB CD3、假如不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x ＞3，那么m 的取使范围是（ ） A ．m ≥3 B ．m ≤3 C ．m=3 D ．m<3二、 填空题1、若a ＜b ，则2___3a b ++，3____3a b --，5___1a b --（用“<”或“>”填空）2、不等式组0210x x -<⎧⎨-<⎩的解集是____________ 3、不等式组32482x x x⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的最小整数解是__________ 三、 解答题1、解以下不等式组（1）3040x x +>⎧⎨-<⎩ （2）230230x x ->⎧⎨-<⎩（3）5030x x ->⎧⎨+>⎩（4）6020x x -<⎧⎨-<⎩ 2、写出不等式组31027x x +>⎧⎨<⎩的所有整数解 §4.3一元二次不等式1、求以下不等式的解集（1）24x ≤（2）2(1)16x -≥ （3）220x x --<（4）2560x x ++>2、x§4.4均值不等式 一、 填空题1、3与7的算术平均值是_______,几何平均值是________2、函数2281()f x x x=+当_____x =时有最小值_______ 二、 解答题1、已知0,0,6,a b a b >>+=且求ab 的最大值2、已知0,0,49,a b ab >>=且求a b +的最小值3、用长16㎝的一根铁丝，围成一个矩形小框，当长和宽各为多少时，面积最大？第4章 方程与不等式 单元测试一、 填空题：1、把方程9)2)(2()1(3+-+=-x x x x 化成一般式是 ，二次项系数与一次项系数之和为________2、方程0232=+-x kx 有两个相等的实数根，则k3、设12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则1212__________x x x x +==4、已知一元二次方程的两个根分别为，则方程是_____________5、不等式组10102x x +>⎧⎪⎨-<⎪⎩的解x ∈_______________6、不等式29x >的解集是___________________，10x -≤的解集是________________7、均值不等式x y +≥________________二、 判断题1、一元二次方程2230x x -+=的二次项系数是2（ ）2、方程220x -=有两个相等的实数根（ ）3、已知a b >，则33a b >（ ）4、10x -≤仅有1x =一个解（ ）5、a b +≥在ab 同号时必成立（ ）三、 选择题1、以下方程有实根的是（ ）A 、0122=++x xB 、012=--x xC 、01062=+-x xD 、0122=+-x x2、设n m ,是两个实数，方程0)(2=++-mn x n m x （ ）A 、有两个实数根B 、无实数根C 、一定有两个等根D 、以上答案都不对3、已知a b <，则以下式子中错误的选项是（ ）A 、a c b c +<+B 、a c b c -<-C 、c a c b ->-D 、ac bc <4、若{}|(1)(25)0P x x x =--<，则（ ）A 、1P ∈B 、52P ∈ C 、2P ∈ D 、5P ∈5、不等式20x ≥的解集是（ ）A 、∅B 、RC 、[)0,+∞D 、(],0-∞四、 解答题1、解方程（1）22(25)(2)x x +=-（2）22530x x --= 2、解不等式（组）（1）24052x x -+<⎧⎨-<-⎩ （2）250x x -+< 3、m 取何值时，方程22210mx mx ++=有两个相等的实数根4、有一张长30㎝、宽20㎝的矩形包装纸，要将这张纸四周裁去相同的宽度，使剩下的矩形包装纸面积为2002cm ，向四周裁去的宽度是多少？5、天虹商场常年销售A 物品，为保证供给，必须保持一定的库存量，已知库存的费用y 与没批进货数量x 之间的函数关系13506y x x =+，求x 取什么值时，库存费用y 最小。
方程与不等式之一元二次方程真题汇编附答案
【解析】
【分析】
根据根的判别式即可求出a的范围．
【详解】
由题意可知：△＞0，
∴1﹣4（﹣a+ ）＞0，
解得：a＞
故满足条件的最小整数a的值是1，
故选D．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式.
13．两个不相等的实数m，n满足 ，则mn的值为（）
A．6B．-6C．5D．-5
综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，
符合条件的a的值的和是−2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
10．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x的分式方程求解，结合x的取值范围确定方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解即可．
【详解】
解：①当x≥﹣x，即x≥0时，
∵max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1，
∴x＝x2﹣x﹣1，
解得：x＝1+ （1﹣ <0，不符合舍去）；
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由于关于x的方程（2-a）x2+5x-3=0有实数根，分情况讨论：
①当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；
②当2-a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值．
【详解】
2023年中考数学-----《一元二次方程之解一元二次方程》知识总结与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学-----《一元二次方程之解一元二次方程》知识总结与专项练习题（含答案解析）知识总结1. 直接开方法解一元二次方程：适用形式：p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2（p 均大于等于0）①p x =2时，方程的解为：p x p x −==21，。
②()p a x =+2时，方程的解为：a p x a p x −−=−=21，。
③()p b ax =+2时，方程的解为：abp x a b p x −−=−=21，。
2. 配方法解一元二次方程：运用公式：()2222b a b ab a ±=+±。
具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。
④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
即：2222222222442420a acb a b x ac a b a b x a b x a cx a b x acx a b x c bx ax −=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛++−=+=++=++∴a ac b a b x a ac b a b x 24224222−−=+−=+， aacb b x a ac b b x 24242221−−−=−+−=， 若042≥−ac b ，则即可求得两根。
3. 公式法解一元二次方程：（1）根的判别式：由配方法可知，ac b 42−即为一元二次方程根的判别式。
用∆表示。
①⇔−=∆042＞ac b 方程有两个不相等的实数根。
②⇔=−=∆042ac b 方程有两个相等的实数根。
③⇔−=∆042＜ac b 方程没有实数根。
（2）求根公式：当042≥−=∆ac b 时，则一元二次方程可以用aacb b x 242−±−=来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。
高一一元二次不等式及其解法知识点+例题+练习 含答案
1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，－b2a)∪(－b2a，＋∞)Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集(x1，x2) ∅∅不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a) (x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2]．( × )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (5)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1．(教材改编)不等式x 2－3x －10>0的解集是________． 答案 (－∞，－2)∪(5，＋∞)解析 解方程x 2－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，由y ＝x 2－3x －10的开口向上，所以x 2－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝________. 答案 [0,4)解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}， ∴M ∩N ＝[0,4)．3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________________． 答案 (2,3)解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．4．(教材改编)若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________． 答案 2解析 因为m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}． 所以1,2一定是m (x －1)＝x 2－x 的解，∴m ＝2.5．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________． 答案 (－1,1)解析 由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)．命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}． 引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上恒成立例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．(2)设a 为常数，∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是________． 答案 (1)(－3,0) (2)[0,4)解析 (1)2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解之得－3<k <0. (2)∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.命题点2 在给定区间上恒成立例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 {x |x <1或x >3}解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (1)[－1,4] (2)(－22，0) 解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.题型三 一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)y ＝[(1＋0.75x )×12－(1＋x )×10]×(1＋0.6x )×10 000 ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000，即y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)上年利润为(12－10)×10 000＝20 000. ∴y －20 000>0，即－6 000x 2＋2 000x >0， ∴0<x <13，即x 的范围为(0，13)．14．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解． 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}． 答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． (2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别．[方法与技巧]1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． [失误与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为____________． 答案 {x |1≤x ≤2}解析 由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0， 所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为________．答案 [－1,1]解析 方法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [0,4]解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.4．已知不等式x 2－2x －3<0的解集是A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b ＝________. 答案 －3解析 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}． 由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2， 所以a ＋b ＝－3.5．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝________.答案 2∶1∶3解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧ b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3. 6．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为__________．答案 1±52解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是________________． 答案 {x |a <x <1a} 解析 原不等式即(x －a )(x －1a)<0， 由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝____________. 答案 －2解析 ax －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(ax －1)<0， 依题意，得a <0，且1a ＝－12.∴a ＝－2. 9．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1.∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是__________________________．答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12.12．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．答案 b <－1或b >2解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.14．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 {m |m ≤－32或m ≥32} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32. 15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0， 解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。
方程与不等式之一元二次方程经典测试题附答案
此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
9．若一元二次方程 x2－2x－m＝0 无实数根，则一次函数 y＝(m＋1)x＋m－1 的图象不经
过第( )象限．
A．四
B．三
C．二
D．一
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
∵一元二次方程 x2 - 2x - m = 0 无实数根
∴△=4+4m<0,即 m<-1
最小整数 a 的值为( )
A．-1
B．0
C．2
D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根的判别式即可求出 a 的范围．
【详解】
由题意可知：△＞0，
∴1﹣4（﹣a+ 3 ）＞0， 4
解得：a＞ 1 2
故满足条件的最小整数 a 的值是 1，
故选 D．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式.
【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1892 张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） A．x（x+1）=1892 B．x（x−1）=1892×2 C．x（x−1）=1892 D．2x（x+1）=1892 【答案】C 【解析】试题分析：∵全班有 x 名同学， ∴每名同学要送出（x－1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是 x(x－1)＝1892． 故选 C． 点睛：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．计算全班共送多少张，首先确定一个 人送出多少张是解题关键．
8．用配方法解方程 x2 6x 4 0 时，原方程变形为（ ）
部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式解题方法技巧
(名师选题)部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式解题方法技巧单选题1、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根，∴Δ=[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)=−4m+4⩾0，解得：m⩽1，∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m−1)，α⋅β=m2−m，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m−1)]2−2(m2−m)=12，即m2−3m−4=0，解得：m=−1或m=4(舍去).故选：A.2、若关于x的不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是（）A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)答案：D分析：根据充分条件列不等式，由此求得a的取值范围.|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则a>0，|x−1|<a⇒1−a<x<1+a，所以{1−a≤0⇒a≥3.1+a≥4故选：D3、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C ．{x |x >3或x <−6}D ．{x |−6<x <3} 答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可. −x 2+3x +18<0可化为x 2−3x −18>0， 即(x −6)(x +3)>0，即x >6或x <−3． 所以不等式的解集为{x |x >6或x <−3}. 故选：A4、已知0<x <2，则y =x√4−x 2的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．6 答案：A分析：由基本不等式求解即可 因为0<x <2， 所以可得4−x 2>0，则y =x√4−x 2=√x 2⋅(4−x 2)≤x 2+(4−x 2)2=2，当且仅当x 2=4−x 2，即x =√2时，上式取得等号， y =x√4−x 2的最大值为2． 故选：A ．5、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．√22D ．√32 答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 若要使ab+bc a 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数， 则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b+2b≤2√22b×2b=22=12√a2+2ac+c22(a2+c2)=12√12+aca2+c2≤12√12+2√a2×c2=12，当且仅当a2+c2b=2b，且a=c取等，即a=b=c取等号，即则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12，故选：A．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.6、已知x>0，则下列说法正确的是（）A．x+1x −2有最大值0B．x+1x−2有最小值为0C．x+1x −2有最大值为－4D．x+1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x+1x ≥2√x×1x=2，分析即得解由题意，x>0，由均值不等式x+1x ≥2√x×1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立故x+1x−2≥0，有最小值0 故选：B7、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a +b )2=(6+1a +9b )(a +b )=6(a +b )+10+ba +9a b≥6(a +b )+16，则有(a +b )2−6(a +b )−16≥0，解得a +b ≥8， 当且仅当a =2，b =6取到最小值8. 故选：B.8、已知正数x ，y 满足2x+3y +13x+y =1，则x +y 的最小值（ ） A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解. 令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m+1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )， ∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34， 当且仅当m4n=2n 4m，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A. 多选题9、已知方程x 2+mx +n =0及x 2+nx +m =0分别各有两个整数根x 1，x 2及x 3，x 4，且x 1x 2>0，x 3x 4>0.则下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1<0，x 2<0，x 3<0，x 4<0 B ．x 1+x 2+x 3+x 4≥−8 C ．n ≤m +1 D ．n +m ≥8 答案：ACD分析：只需分别利用二次方程根与系数的关系，以及判别式判断出正确的结论．解：对于A ：由x 1x 2>0知，x 1与x 2同号． 若x 1>0，则x 2>0，这时−m =x 1+x 2>0， 所以m <0，此时与m =x 3x 4>0矛盾， 所以x 1<0，x 2<0．同理可证x 3<0，x 4<0.故A 正确；对于B ：根据题意可知，{m 2−4n ≥0n 2−4m ≥0 , ∴{n ≤m 24m ≤n 24∵m >0，n >0，∴n ≤n 464，解得n ≥4． 同理m ≥4， ∴m +n ≥8，即x 1+x 2+x 3+x 4=−(m +n )≤−8，故B 不正确，D 正确；对于C ：由A 知，x 3<0，x 4<0，x 3，x 4是整数，所以x 3≤−1，x 4≤−1． 由韦达定理有m −n +1=x 3x 4+x 3+x 4+1=(x 3+1)(x 4+1)≥0， 所以n ≤m +1，故C 正确； 故选：ACD ．10、若1≤x ≤3≤y ≤5，则（ ） A ．4≤x +y ≤8B ．x +y +1x +16y的最小值为10C ．−2≤x −y ≤0D ．(x +1y )(y +4x )的最小值为9 答案：AB分析：根据不等式的基本性质和基本不等式进行求解判断即可.因为1≤x ≤3≤y ≤5，所以4≤x +y ≤8，−4≤x −y ≤0，故A 正确，C 错误； 因为x +y +1x +16y=x +1x +y +16y≥ 2√x ⋅1x +2√y ⋅16y=10，当且仅当x =1，y =4时，等号成立，所以x +y +1x +16y的最小值为10，因此B 正确；因为(x+1y )(y+4x)=xy+4xy+5≥2√4+5=9，当且仅当xy=2时，等号成立，但1≤x≤3≤y≤5，xy取不到2，所以(x+1y )(y+4x)的最小值不是9，因此D不正确，故选：AB11、下列命题中，正确的是（）A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，则a3>b3C．若a>b>0，m>0，则b+ma+m >baD．若−1<a<5，2<b<3，则−4<a−b<3答案：BCD解析：利用不等式的性质，对ABCD一一验证.取c=0，代入验证A,有0>0，错误，故A不正确；对于B：记f(x)=x3，则f(x)为增函数，所以a>b时有f(a)>f(b)，故B正确；对于C：记f(x)=b+xa+x (a>b>0,x≥0)，易证f(x)为增函数，所以m>0时有f(m)>f(0)，即b+ma+m>ba成立，故C正确；对于D：∵2<b<3,∴−3<−b<−2,又有−1<a<5，利用同向不等式相加，有：−4<a−b<3，故D 正确.故选：BCD小提示：利用不等式的性质，判断不等式是否成立的问题：对于不成立的情况，只用举一个反例就可以；对于成立的情况，需要利用不等式的性质进行证明.填空题12、若0<x<2，则y=√2x(2−x)的最大值为_______答案：√2分析：由基本不等式求最大值．∵0<x<2，∴2−x>0，∴y=√2⋅√x(2−x)≤√2⋅x+2−x2=√2，当且仅当x=2−x即x=1时取等号，∴当x=1时，有最大值√2.所以答案是：√2．。
一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}Φ Φ二.穿针引线法例 1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．例3(穿针引线法） 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为（ ） A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0}解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ． 例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是（ ） A ．(x －3)(2－x)≥0B．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0 练习1：1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)答案 D2．(2011·XX)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－13C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－13≤x ≤13D ．R答案 B4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26 答案 C5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎨⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组． 解 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 选C ．例解不等式≥．8 237232x x x -+-解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．。
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附解析
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附解析一、选择题1．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1B ．a=1C ．a ＜1D ．a<1且a≠0【答案】D【解析】【分析】由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．【详解】解：由于原方程是二次方程，所以a≠0；∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1；综上，可得a ≠0，且a ＜1；故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．2．若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第( )象限．A ．四B ．三C ．二D ．一【答案】D【解析】【分析】【详解】∵一元二次方程x 2 - 2x - m = 0无实数根∴△=4+4m<0,即m<-1∴一次函数的比例系数m+1<0,图像经过二四象限截距m-1<0，则图象与y 轴交与负半轴，图像过第三象限∴一次函数y =(m+1)x + m - 1的图像不经过第一象限，故选D.3．下列各式的变形中，正确的是（ ）A ．2810x x --=配方变为2(4)1x -=B ．21()1x x x x÷+=+ C ．221090x x ++=配方变为2(25)16x += D ．22()()x y x y x y ---+=-【解析】【分析】A 、C 选项，利用配方法的步骤进行计算即可，B 、D 选项为根据整式的除法和乘法即可判断.【详解】A 选项，x 2-8x-1=0利用配方法得，x 2-8x+16-16=1整理得（x-4）2=17，选项错误B 选项，整式的除法，()221(1)1x x x x x x x x x x ÷+===+++，选项错误 C 选项，2x 2+10x+9=0 将x 2系数化为1得，29502x x ++=，利用配方法得2252595442x x ++-=-，整理得，25724x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故该选项错误； D 选项，易观察到两多项式中存在相同项及互为相反数项，满足平方差公式，其中相同项为-x ，y 与-y 互为相反数，即有（-x-y ）（-x+y ）=x 2-y 2，正确故选：D ．【点睛】此题主要考查一元二次方程中配方法的运算及整式除法，平方差公式，掌握整式混合运算的法则及配方法的步骤是解题的关键．此题为基础题型，比较简单．4．国庆期间电影《我和我的祖国》第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为（ ） A ．3(1)10x +=B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=【答案】D【解析】【分析】用含x 的代数式表示出第二天和第三天的票房收入，三天的票房收入再相加即得答案.【详解】解：设平均每天票房收入的增长率记作x ，则233(1)3(1)10x x ++++=. 故选：D.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题，一般的，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为：()21a x b ±=.5．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41 B ．-35 C ．39 D ．45【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a 3ab 8b 2a ++-=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2=39．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a；熟练掌握韦达定理是解题关键．6．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【解析】【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．7．已知x=1是一元二次方程的解，则b 的值为（ ） A ．0B ．1C ．D ．2【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x 2+bx+1=0得关于b 的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=1代入x2+bx+1=0得1+b+1=0，解得b=-2．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．8．在解方程（x+2）（x﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x﹣2=5，得方程的根x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x﹣3）=0，得方程的根x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（）A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误【答案】A【解析】（x+2）（x﹣2）=5，x2-4=5，x2-9=0，（x+3）（x-3）=0，x+3=0或x-3=0，x1=-3，x2=3，所以甲错误，乙正确，故选A.9．下列方程中，有实数根的是（）A0+==B1C10=D x-【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可．【详解】A．∵x2+2≥2，0≥≠，故不正确；B．∵x-2≥0且2-x≥0，∴x=20=，故不正确；C0≥≠，故不正确；≥110D．∵x+1≥0，-x≥0，∴-1≤x≤0．x-，∴x+1=x2，∵∆=1+4=5＞0，∴x 1=12-，x 2=12+（舍去），x -有实数根，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．10．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】A【解析】【分析】利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解.【详解】解：Q 一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限， 0k ∴>，0b ≤，240k b ∴∆=->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.11．某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．22251196x （﹣）＝B ．21961225x （﹣）＝C ．22251196x （﹣）＝ D ．21961225x （﹣）＝【答案】A【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解．【详解】第一次降价后的价格为225×（1﹣x ），第二次降价后的价格为225×（1﹣x ）×（1﹣x ），则225（1﹣x ）2=196．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．12．某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%，2018年比2017年产量的增长率为x ，2018年底产量达到144吨，则x 满足（ ）A ．100（1+x ）2＝144B ．100（1+8.1%）（1﹣x ）＝144C ．100（1+8.1%）+x ＝144D ．100（1+8.1%）（1+x ）＝144 【答案】D【解析】【分析】由题意知，2017年蔬菜产量为：100（1+8.1%），2018年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x ），然后根据2018年底产量达到144吨列方程即可.【详解】解：∵某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%， ∴2017年蔬菜产量为：100（1+8.1%），∵2018年比2017年产量的增长率为x ，2018年底产量达到144吨，∴2018年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x ）＝144，故选D ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键.13．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k y x x=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A．2524k≤≤B．26k≤≤C．24k≤≤D．46k≤≤【答案】A【解析】【分析】由点C的坐标结合直线AB的解析式可得出点A、B的坐标，求出反比例函数图象过点C时的k值，将直线AB的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB上，综上即可得出结论．【详解】解：令y＝−x＋5中x＝1，则y＝4，∴B（1，4）；令y＝−x＋5中y＝2，则x＝3，∴A（3，2），当反比例函数kyx=（x＞0）的图象过点C时，有2＝1k，解得：k＝2，将y＝−x＋5代入kyx=中，整理得：x2−5x＋k＝0，∵△＝（−5）2−4k≥0，∴k≤254，当k＝254时，解得：x＝52，∵1＜52＜3，∴若反比例函数kyx=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是2≤k≤254，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A、C时的k值以及直线与双曲线有一个交点时k的值．14．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】B【解析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．15．代数式245x x ++的最小值是（ ）A ．5B ．1C ．4D ．没有最小值【答案】B【解析】【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．【详解】∵x 2+4x+5=x 2+4x+4-4+5=（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴当x=-2时，代数式x 2+4x+5的最小值为1．故选：B ．【点睛】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．16．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x += 【答案】D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】 2890x x ++=，289x x +=-，2228494x x ++=-+，所以()247x +=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.17．如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为 35 米，与墙平行的边留有 1 米宽的门（门用其它材料做成），若鸡场的面积为160 平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（）A．7.5 米B．8米C．10米D．10米或8米【答案】C【解析】【分析】设长为x，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，长用的篱笆为（x−1）米，与2倍的宽长的总和为篱笆的长35米，长×宽＝面积160平方米，根据这两个式子可解出长和宽的值．【详解】解：设鸡场的长为x，因为篱笆总长为35米，由图可知宽为：35(1)2x--米，则根据题意列方程为：35(1)1602xx--=g，解得：x1＝16，x2＝20（大于墙长，舍去），宽为：35(161)2--=10（米），所以鸡场的长为16米，宽为10米，即鸡场与墙垂直的边长为10米．故选：C．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积=长×宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．18．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．2x2﹣x﹣1＝0 D．2x2﹣x+1＝0【答案】D【解析】【分析】根据判别式即可求出答案．【详解】A.△＝4，故选项A有两个不同的实数根；B.△＝4﹣4＝0，故选项B有两个相同的实数根；C.△＝1+4×2＝9，故选项C有两个不同的实数根；D.△＝1﹣8＝﹣7，故选项D 没有实数根；故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．19．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=【答案】B【解析】【分析】 根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ，得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400，整理后得：2653500x x +-=故选：B.【点睛】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.20．设α，β是方程2x 9x 10++=的两根，则()()22α2009α1β2009β1++++的值是（ ）A ．0B ．1C ．2000D ．4000000 【答案】D【解析】【分析】由已知方程的系数可得两根的关系（根据韦达定理或者叫根与系数的关系），再将所求代数式变形可求得代数式结果.【详解】解：∵α，β是方程2x 9x 10++=的两个实数根 ∴2211,910,9101αβααββ==++=++=g ∴()()()()2222α2009α1β2009β1α9α12000β9β120002000200040000004000000αβαβαβ++++=++++++===g 故选D.【点睛】（1）将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.（2）二次函数为2ax x 0(0)b c a ++=不等于的两个不同实数根：α，β满足=,b c a a αβαβ+-=g .。
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一、选择题
1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0
【答案】A
【解析】
分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
【详解】
设旅游人次的年平均增长率为 ，
那么根据题意得： ．
故选：C．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8．聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式 的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为0时 的值，明明负责找值为4时 的值，伶伶负责找最小值，俐俐负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是（）
10．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（）
A．8.5％B．9％C．9.5％D．10％
【答案】D
【解析】
【分析】
设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1•x2=﹣2，结论C错误；
D、∵x1•x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．
故选A．
点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
【详解】
因为方程有实数解，故b2-4ac≥0．
由题意有： 或 ,设u= ，
则有2au2-u+b=0或2au2+u+b=0，（a≠0），
因为以上关于u的两个一元二次方程有实数解，
所以两个方程的判别式都大于或等于0，即得到1-8ab≥0，
所以ab≤ ．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x= （b2-4ac≥0）.
【详解】
设平均每次降价的百分比为x，
则根据题意可得出方程为：8（1﹣x）2＝5.12；
故选C．
【点睛】
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“-”）．
16．方程x2﹣9x+14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
【分析】
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解．
【详解】
第一次降价后的价格为225×（1﹣x），第二次降价后的价格为225×（1﹣x）×（1﹣x），则225（1﹣x）2=196．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
2．从 ， ， ，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为 ．若数 使关于 的一元二次方程 有实数解．且关于 的分式方程 有整数解，则符合条件的 的值的和是（）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程 有实数解，确定a的取值范围，由分式方程 有整数解，确定a的值即可判断．
故选B．
13．两个不相等的实数m，n满足 ，则mn的值为（）
A．6B．-6C．5D．-5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得到m，n可看作方程x2-6x-5=0的两根，然后根据根与系数的关系求解即可.
【详解】
∵两个不相等的实数m，n满足 ，
∴m，n可看作方程x2-6x-5=0的两根，
∴mn=-5
故选：D.
3．已知 ， 是方程 的两根，且 ，则 的值是（ ）
A． B．5C． D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出 ，结合 ，可求出 的值，此题得解．
【详解】
解：∵ ， 是方程 的两根，
．
，
即 ，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，正确求出 的值.
又∵（x﹣ ）2≥0，
∴2（x﹣ ）2+ ≥ ，
∴2x2﹣3x+5有最小值，故伶伶发现2x2﹣3x+5有最小值正确，符合题意，
（4）由（3）可知2x2﹣3x+5没有最大值，故俐俐发现2x2﹣3x+5有最大值错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查解一元二次方程和配方法的应用，掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本题的关键．
12．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）
A．438（1+x）2=389B．389（1+x）2=438
C．389（1+2x）=438D．438（1+2x）=389
C选项，2x2+10x+9=0将x2系数化为1得， ，利用配方法得 ，整理得， ，故该选项错误；
D选项，易观察到两多项式中存在相同项及互为相反数项，满足平方差公式，其中相同项为-x，y与-y互为相反数，即有（-x-y）（-x+y）=x2-y2，正确
故选：D．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程中配方法的运算及整式除法，平方差公式，掌握整式混合运算的法则及配方法的步骤是解题的关键．此题为基础题型，比较简单．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x，
去年上半年发放给每个经济困难学生389元，去年下半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x)元，
则今年上半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) (1＋x)＝389(1＋x)2元．
据此，由题设今年上半年发放了438元，列出方程：389（1+x）2=438．
【详解】
方程 有实数解，
∴△=4(a−4)2−4a2⩾0，
解得a⩽2
∴满足条件的a的值为−4，−2，−1，0，1，2
方程
解得y= +2
∵y有整数解
∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，
符合条件的a的值的和是−2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
7．我市郊区大力发展全域旅游产业，打造了大来岗风景区、敖其湾赫哲族风景区等精品旅游项目，郊区全年旅游人数逐年增加，据统计， 年为 万人次， 年为 万人次．设旅游人次的年平均增长率为 ，则可列方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），旅游人次的年平均增长率为 ，然后根据已知可以得出方程．
b2-4有两个不相等的实数根，即 ，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
4．方程 的两根之和为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
据一元二次方程的根与系数的关系即可判断．
【详解】
根据一元二次方程的根与系数的关系可得：两个根的和是： ．
故选：A．
【点睛】
此题考查根与系数的关系，解题关键在于掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=- ．
．
5．关于 的方程 有实数根，则 满足（）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围．
【详解】
当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=- ；
当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，
所以a的取值范围为a≥1．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9．下列各式的变形中，正确的是（）
A． 配方变为 B．
C． 配方变为 D．
【答案】D
【解析】
【分析】