三维热传导问题温度场的分布的数值分析PPT课件
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热传导温度场不确定性数值分析
关键词
不确定 性
区间分析
热传导
矩 阵摄动 Ａ
中图法分类号
Ｔ Ｋ １ ２ ４ ；
文献标志码
在 很多 实际工 程 结 构 中 ， 一些 重 要 的结构 参 数 往 往存 在 误 差 或 不 确 定 性 。处 理 不 确定 性 问 题 的 方 法 主要有 三 种 ： 随机模型、 模 糊 模 型 和 区 间 分 析 模型¨ Ｊ ， 分 别 适 用 于 解 决 不 同类 型 的 不 确 定 性 问 题 。区间分 析 模 型 则 适 用 于统 计 信 息 不 足 以描 述 不确定 参数 的概 率分 布 或 隶 属 函数 ， 或 者 仅 知道 不 确 定参 数 的取 值 范 围 ， 并 想 获 得 响应 的 区间 范 围 的 情 况 。 目前 ， 区 间分析 方 法 在 结构 动 力 特 性分 析 方
第ｌ ３卷 第 ６期
２ ０ １ ３年 ２月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖ ｏ ｌ ＿ １ ３ Ｎｏ ． ６ Ｆ ｅ ｂ ．２ ０ １ ３
１ ６ ７ １ —１ ８ １ ５ （ ２ ０ １ ３ 、 ０ ６ － １ ６ ０ ６ — ０ ３
Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ａ ｎ ｄ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
１ ６ ０ ７
在式 （ １ ） 一式（ ３ ） 所 给 出 的控 制 方 程 和 边 界 条
件 中， 相关参数均为 区间变量 ， 具 有管 横 截 面 的 热 传 导 温 度 场 区 间 分 析 问 题， 如图 １ 所示 ， 内径 为 ０ ． ８ １ １ ３ ＿ ， 外径 为 １ ． ０ ｍ， 沿 横 截 面厚 度方 向温 度 不 变 ， 外 圆弧 边 界 为第 一类 边 界 条件 ， 内 圆弧 边 界 是 第 二 类 边 界 条 件 ， 现 考 虑 各 物
三维稳态导热问题数值求解 实验内容的ppt讲解
第一类边界条件
tAB=ti,M=200℃； tBC=tL,j=100℃ ； tCD=ti,0=50℃； tDA=t0,j=50℃；
上边界200℃
其余边界50℃
导热系数为常数、稳态、无内热源时的导 热微分方程式（控制方程）为
t t t 2 2 0 0℃； tbob=50℃； tlb=50℃； trb=50℃； tfb=50℃； tbab=50℃；
划分为10×10×10的三维网格后，Δx=Δy=Δz
实验一、三维稳态导热问题数值求解
一正方体金属块，其长宽 高均为0.1m,上边界面温 度为200℃，其他5个面 温度均为50℃，利用C语 言在10×10×10三维网 格上编写该三维稳态导热 问题计算程序，并求出图 2中所示中间面的温度分 布。
实验一、三维稳态导热问题数值求解
一正方体金属块，其长宽高均为0.1m,上边界面温度 为200℃，其他5个面温度均为50℃，利用C语言在 10×10×10三维网格上编写该三维稳态导热问题计 算程序，并求出图中所示中间面的温度分布。
a /( c) ，称为热扩散率。 式中，
对于二维问题，导热微分方程式为
2 2 t t t a x 2 y 2
初始条件（时间条件）
t 0 t0 50 C
第一类边界条件
t
tAB=200℃； tBC=100℃； tCD=50℃； tDA=50℃；
划分为10×5的二维网格后，Δx=Δy 内节点离散方程（显式差分格式）
t i , j Fo t i 1, j t i 1, j t i, j 1 t i , j 1 1 4Fot i , j
k 1 k k k k k
《热传导》课件(32张PPT)
动手
热传导实验总结
热可以从物体的某一局部传递到另一局部，也可以通过接 触，从一个物体传递给另一个物体，这种传热方式叫作热 传导。热传导时，热总是从温度较高处传到温度较低处。
交流
三、热传导应用
生活中有许多热传导的事例，你能说说它们的传热过程吗？
分组交流请注意：两个物体需要直接接触，并且一个温度高一个 温度低，也就是有温差出现，才会发生热传导
2.一个物体受热后，热的传递方向是〔 A 〕 A.向四周传递 B.沿直线从一端向另一端传递 C.无法确定，需根据具体情况而定
课堂练习
3.以下热传导过程不正确的选项是B 〔 〕 A.电熨斗金属底板→衣服 B.冰块→纱布→皮肤 C.水槽热水→玻璃杯→杯里的冷水
4.热传导的速度描述正确的一项为哪一A 项〔 〕
交流
班级交流
烙饼 火的热传递给锅面，饼与锅面接触， 热传递给饼，饼受热变熟了。
量体温
人体将热传给体温计的感温探头，感温探头变 热，直到与人体温度相同，热传导就会停止。 此时体温计上显示的温度就是人体的温度。
交流
热敷或冷敷
冷敷或热敷：冷敷是皮肤的热传递给布包里 的冰块，皮肤的温度降低，到达减慢血液循 环的目的；热敷是布包里的热传递给皮肤， 皮肤温度变高，以加快血液循环。
A.先快后慢 B.先慢后快 C.匀速传递
课堂总结
这节课，我们通过观察热在金属片和液体中的传递过程， 归纳热传导的概念。讨论生活中常见的热传导现象，总结 出固体、液体、气体之间通过接触都可以有热传导现象的 发生。同时，还能解释生活中热传导的现象。
板书设计
热传导
同一物体：一部分→另一部分 特点：高→低
动手
实验设计
①将凡士林均匀地涂在两块金属片上。 ②用试管夹夹住金属片的一端，加热金属片的另一端，
化工原理课件 热传导ppt
1 (0.15 0.29 0.228) 2.357 S 1.05 0.15 0.81 S
q Q t1 t4 1016 34 416.5W / m2 S SR 2.357
（2）求耐火砖和保温砖之间的界面温度t2
由 q1＝q＝Q/S＝l1(t1－t2)/b1
有 (t1－t2)＝qb1/l1＝416.5×0.15/1.05＝59.5 ℃
解：设外层平均直径为dm2，内层平均直径为dm1， 则：dm2＝2dm1，且 l2＝2l1
由导热速率方程知：
Q
t
t
41πdm1lt 5
1Sm1 2Sm2 1πdm1l 212πdm1l
14
两层材料互换位置后：
Q'
t
1πdm1lt
21πdm1l 1 2πdm1l
＝35℃。问：
（1）保温层的厚度最少应有多厚？
（2）假设管材的导热系数l1＝45W/(m.K)。问蒸汽管道壁的
温度降（t1－t2）是多少？
解：（1）
Q 2π2 (t2 t3 )
L
ln r3
r2
即：
150 2 3.14 0.15185
ln r3
0.0475
10
r3＝0.127 m 保温层的最小厚度应为： b2＝12－47.5＝79.5 mm （2）稳定传热，各层的导热量Q/L相同，对管材层，有：
0.37
2 0.37
5677W/m2
且
5677x
0.815t
1650
0.00076 (t
2
16502
4.2_热传导课件
取环形微元，直径 r， 厚dr，
则： S2prL
由Fourier定律， Q 2πrL dt
dr 积分得:
Q
2πL(t1 t2 )
ln r2
t1 t2 r2 r1
Dt b
Dt R
推动力 阻力
r1
Sm Sm
Q
2πL(t1 t2 )
ln r2
t1 t2 ln r2 / r1
dQ dS dt
dx
表征材料导热性能的物性参数, 越大，导热性能越好。
dQ
ds
t
W m2 ℃
W
m ℃
n
m
讨论：
写成
dQ dS
t n
，可与牛顿粘性定律(P12)类比：
dQ t dt
Dt R
推动力 阻力
r1
2πL
可写成：Q Sm(t1 t2 ) Sm(t1 t2 )
b
r2 r1
Sm 2π rm L
rm
r2 r1 ln r2
r1
Sm
s2 s1 ln s2
s1
（若S2/S1≤2，可用算术均值)
对数平均半径 对数平均面积
P218：算术平均和对数平均
记为 grad t 指向温度升高的方向
热流方向总是与温度梯度方向相反。
一维稳态温度场：
gradt
dt
dx
等温面的特点：
I
（1）温度不同的等温面绝不会相交。 II
n
t+Dt
则： S2prL
由Fourier定律， Q 2πrL dt
dr 积分得:
Q
2πL(t1 t2 )
ln r2
t1 t2 r2 r1
Dt b
Dt R
推动力 阻力
r1
Sm Sm
Q
2πL(t1 t2 )
ln r2
t1 t2 ln r2 / r1
dQ dS dt
dx
表征材料导热性能的物性参数, 越大，导热性能越好。
dQ
ds
t
W m2 ℃
W
m ℃
n
m
讨论：
写成
dQ dS
t n
，可与牛顿粘性定律(P12)类比：
dQ t dt
Dt R
推动力 阻力
r1
2πL
可写成：Q Sm(t1 t2 ) Sm(t1 t2 )
b
r2 r1
Sm 2π rm L
rm
r2 r1 ln r2
r1
Sm
s2 s1 ln s2
s1
（若S2/S1≤2，可用算术均值)
对数平均半径 对数平均面积
P218：算术平均和对数平均
记为 grad t 指向温度升高的方向
热流方向总是与温度梯度方向相反。
一维稳态温度场：
gradt
dt
dx
等温面的特点：
I
（1）温度不同的等温面绝不会相交。 II
n
t+Dt
热传导问题的数值解法
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
s
w e n s 0
➢ 从元体西界面导入的热量为: ➢ 从元体东界面导入的热量为: ➢ 从元体北界面导入的热量为: ➢ 从元体南界面导入的热量为:
控制方程
t
a
2t x2
对该方程，扩散项在i时刻采用中心差分格式， 非稳态项取向前差分格式进行离散，得：
t (i1) n
t (i) n
a
t (i) n1
2tn(i)
x2
t (i) n1
t (i1) n
a x 2
t t (i)
(i)
n1 n1
1
2a x 2
t
(i n
)
上述离散方程一旦i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未 知量，因此可以立即求出i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
tm1,n
tm1,n
2tm,n
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
0(x2 )
m,n
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t
tm1,n tm1,n 2tm,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布
热传导热辐射热对流PPT课件
边界条件：
T (0) T1 T (l ) T2
结果：
T T T x 2 1 x T1 L
T1 T2 A L T1 T2 L A
热阻
(无内热源、传导系数为常数）
2.2.1.2 园筒体 L T1 ri
意义： 日常生活 → 各种工业生产（能源动力、冶金化工、 机械材料、电信交通、建筑、航天等） → 农业林 业 工业革命：化石能源的利用（煤、石油和天然气）带来 了人类活动革命性的变化
大量消费化石能源造成的问题 能源利用的发展趋向：节能型、环保型、能源可再生型
燃烧炉
脱飞灰 烟囱
汽轮机 水蒸汽
发电机
T,1 T 1 h1
T2
T3
λ λ2
1
T,2 h2
例题1
一个薄硅片和一个8mm厚的金属铝片由0.02mm厚 的树脂黏结。硅片和铝片各边长为10mm,外表面通过冷空 气冷却，温度为25 °C，如果硅片在正常条件下生成热 量为104 W.m-1,硅片是否会超过其最高承受温度（85 °C）？设硅片整体温度均一，对流传热系数为100 W.m2.K-1, 硅片与铝片黏结的接触热阻为0.2~0.9 ×10-4 m2.K.W-1。
x
第四讲
思考题分析 潜热的概念
Boiling point (°C) Water
Freon N2 CH4
Latent heat (kJ/kg) 2501 166 199 112
100
-30 -196 -164
上讲思考题：球型一维传导问题
dT (4 r ) dr
2
Ti To
热阻 R1
1.4.3 辐射传热
理想黑体的辐射传热流量
最新传热学第二章 稳态热传导PPT课件
实用计算中，大多数材料的导热 系数都可以用线性近似关系，即 λ= λ0（a+bt），式中，t为温度， a,b为常量， λ0是直线段的延长线 在纵坐标轴上的截距。
3 、保温材料（隔热、绝热材料）
把导热系数小的材料称保温材料。我国规
t 定： ≤ 350 ℃ 时， ≤ 0.12w/mk 保温材
料导热系数界定值的大小反映了一个国家保 温材料的生产及节能的水平。 越小，生产及 节能的水平越高。
传热学第二章 稳态热传导
1.重点内容：
① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。
2.掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3.了解内容：多维导热问题
导热特点
1)物体之间不发生宏观相对位移。
2)依靠微观粒子（分子、原子、电子等）的无规 则热运动。
3)是物质的固有本质。
微元体的导热热平衡分析
① 通过 x=x 、 y=y 、 z=z ，三个微元表面而导 入微元体的热流量：фx 、фy 、фz 的计算。 根 据傅立叶定律得
x
t x
dydz
y
t y
dxdz
(a) 通过 x=x+dx 、 y=y+dy 、 z=z+dz 三个微元 表面而导出微元体的热流量ф x+dx 、ф y+dy 、ф z+dz 的计算。根据傅立叶定律得：
物体的温度场通常用等温面或等温线表示。
等温线图的物理意义： 若每条等温线间的温度间隔相等时，等
温线的疏密可反映出不同区域导热热流 密度的大小。
三 、导热基本定律
1 、导热基本定律（傅立叶定律） 1 ）定义：在导热现象中，单位时间内通过给 定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截 面方向上的温度变化率，而热量传递的方 向与温度升高的方向相反，即 ~ t
第章-导热的计算与分析 ppt课件
解法二：傅立叶定律积分→热流密度
ppt课件
12
解法一：一维稳态无内热源导热问题
控制方程：
d2t dx2
0
定解条件：
x
x 0, t 0.25,
25 t 30
积分：
t
tw2 tw1
x
tw1
ppt课件
13
代入已知数据可以得出墙壁内的温度分布
t 30 25 x 25 20x 25 0.25
a.单层壁导热 b.多层壁导热 c. 复合壁导热
ppt课件
3
1、单层平壁的导热
a 几何条件：单层平板；
b 物理条件：、c、 已知；
无内热源 c 时间条件：稳态导热 : t 0
d 边界条件：第一类
类似于渗流力学中单相流体的平面平行流的渗流过程
ppt课件
4
根据上面的条件： 一维、稳态、无内热源导热 控制
ppt课件
27
Q tw1 tw2 tw2 tw3 tw3 tw4
1 n r2
1 n r3
1 n r4
21l r1 22l r2 23l r3
Q
tw1 tw4 1 3 1 n ri1
2 l i1 i ri
单位管长的热流量
Q
ql l
1
c2 tw1
ppt课件
6
线性
t
tw2 tw1
x
tw1
分布
dt
tw2
tw1
带入Fourier 定律
dx
r
ppt课件
12
解法一：一维稳态无内热源导热问题
控制方程：
d2t dx2
0
定解条件：
x
x 0, t 0.25,
25 t 30
积分：
t
tw2 tw1
x
tw1
ppt课件
13
代入已知数据可以得出墙壁内的温度分布
t 30 25 x 25 20x 25 0.25
a.单层壁导热 b.多层壁导热 c. 复合壁导热
ppt课件
3
1、单层平壁的导热
a 几何条件：单层平板；
b 物理条件：、c、 已知；
无内热源 c 时间条件：稳态导热 : t 0
d 边界条件：第一类
类似于渗流力学中单相流体的平面平行流的渗流过程
ppt课件
4
根据上面的条件： 一维、稳态、无内热源导热 控制
ppt课件
27
Q tw1 tw2 tw2 tw3 tw3 tw4
1 n r2
1 n r3
1 n r4
21l r1 22l r2 23l r3
Q
tw1 tw4 1 3 1 n ri1
2 l i1 i ri
单位管长的热流量
Q
ql l
1
c2 tw1
ppt课件
6
线性
t
tw2 tw1
x
tw1
分布
dt
tw2
tw1
带入Fourier 定律
dx
r
三维热传导问题温度场的分布的数值分析PPT课件
算区域,自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法,例如有限差
分法,仅当网格极其细密时,离散方程才满足积分守恒:而有限体积法即使在粗网格情况下,
也显示出准确的积分守恒:就离散方法而言,有限体积法可视作有限单元法和有限差分法
的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律(既插值函数),并将其作为近
牛顿冷却公式
-
P124
29
03 导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
这就是第三类边界条件下平直边界面上节点的有限差分方程
-
30
03 导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
内部节点
对流边界节点
-
31
03 导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
前面已建立了物体内部节点和边界节点的有限差分方程，如有n个未知温度的节点，就可以写 出n个代数方程。现在要运用高斯-赛德尔迭代法来求解这种方程组
• 随时间而变动的温度场称为非稳态温度场,在非稳态温度场中发生的导热称为
非稳态导热.各店温度不随时间变动的温度场称为稳态温度场,在稳态温度场中
发生的导热称为稳态导热.一维温度场具有最简单的数学形式
t f x
-
6
01 热传导及导热的基本定律
• 2.温度梯度
• 在同一瞬时,物体内温度相同的各点所连成的面或线称为等温面或等温线.由于 物体内同一点上不可能同时具有两个不同的温度,所以温度不同的等温面或线 不会相交.
导热问题数值求解的基本思想
对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、空 间坐标系中连续的物理量场，如导热物体的温度场，用有限个离散点上的 值的集合来代替；通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该 物理量的数值解。
导热问题的数值解法课件.ppt
2tm,n y2
tm,n1
m,n
x y
tm,n
1 4
(tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1
x2 )
2t x 2
2t y 2
=0时：
0
tm,n
1 4
(tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n 1 )
§4-2 稳态导热问题的数值解法 长江大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering
三、建立节点物理量的代数方程（离散方程） 内节点 (2) 热平衡法
基本思想：对每个有限大 y
小的控制容积应用能量守
恒，从而获得温度场的代
数方程组，它从基本物理
现象和基本定律出发，不
必事先建立控制方程，依 据 能 量 守 恒 和 Fourier 导
t0
热定律即可。
h3tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱf
(m,n+1)
(m,n)
(m-1,n)
§4-1导热问题数值求解的基本思想长江大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering
数值求解的步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
§4-1导热问题数值求解的基本思想长江大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering
为什么要建边界 节点离散方程？
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三维热传导问题温度场的分布的数值分析
-
1
目录
contents
01 热传导及导热的基本定律 02 导热微分方程及定解条件 03 导热问题的数值求解基础 04 各种数值解法的介绍
-
2
01
热传导及导热的 基本定律
-
3
01 热传导及导热的基本定律
热传导及导热的基本定律
一 热传导 当物体内有温差或两个不同温度的物体直接接触时,在物体各部分之间不发
-
11
02 导热微分方程及定解条件
对于非稳态，有内热源的问题，由能量守恒定律，热平衡方程式应该是
导入微元 体的总热
流量
微元体内 热源的生
成热
导出微元 体的总热
流量
微元体热 力学能的
增量
任意方向的总热流量 可以分解为x、y、z三 个坐标轴方向的分热 流量。
-
12
02 导热微分方程及定解条件
-
13
02 导热微分方程及定解条件
W/㎡ ,于是有
q
A
-
5
01 热传导及导热的基本定律
三、温度场和温度梯度
• 1.温度场
• 物体内部产生导热的起因在于物体各部分之间具有温度差,所以研究导热必然 涉及物体的温度分布.在某一瞬时,物体内各点的温度分布称为温度场.在一般
情况下,温度是空间坐标(x,y,z)和时间( )的函数,即 t f x, y, z,
• 傅里叶归纳了无数实验研究结果,提出了导热的基本定律:单位时间内通过单位 面积的热量(即热流密度q)正比于该处的温度梯度,写成矢量形式,即
q gradt n t n
• 该式为傅里叶定律的数学表达式,式中负号表示热流密度的方向永远指向温度
降低的方向.写成标量形式为
q t n
• 热导率的定义式可由傅里叶定律表达式得到
生相对位移的情况下,依靠物质微粒的热运动而产生的热量传递现象称为热传导, 简称导热
-
4
01 热传导及导热的基本定律
二、热流量及热流密度
• 1.热流量
• 单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量,记为 ,单位为W
• 2.热流密度
• 单位时间通过单位面积的热量称为热流密度(或称面积热流量),记为q,单位为
• 随时间而变动的温度场称为非稳态温度场,在非稳态温度场中发生的导热称为
非稳态导热.各店温度不随时间变动的温度场称为稳态温度场,在稳态温度场中
发生的导热称为稳态导热.一维温度场具有最简单的数学形式
t f x
-
6
01 热传导及导热的基本定律
• 2.温度梯度
• 在同一瞬时,物体内温度相同的各点所连成的面或线称为等温面或等温线.由于 物体内同一点上不可能同时具有两个不同的温度,所以温度不同的等温面或线 不会相交.
这一基本思想可用求解过程的框图来表示：
-
24
03 导热问题的数值求解基础
建立控制方程及定解条件
这一基本思想可用求解过程的框图来表示： 确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立温度场的迭代初值
求解代数方程
改进初场
否
是否收敛
是
-
解的分析
25
04 导热问题的数值求解基础
稳态导热问题的数值计算
导热问题数值求解的基本思想
对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、空 间坐标系中连续的物理量场，如导热物体的温度场，用有限个离散点上的 值的集合来代替；通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该 物理量的数值解。
• 观察一物体内温度为t及t+Δt的两个不同温度的等温面,沿等温面法线方向上 的温度增量Δt与法向距离Δn比值的极限称为温度梯度,用符号gradt表示
gradt
Δt nΔlinm0Δn
n
t n
-
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01 热传导及导热的基本定律
四、热导率及傅里叶定律
AΔδt
-
8
01 热传导及导热的基本定律
2.傅里叶定律
q t
n
• λ表征物质导热能力大小
-
9
02
导热微分方程及 定解条件
-
10
02 导热微分方程及定解条件
导热微分方程
傅里叶定律揭示了导热量与温度梯度的关系，要想确定温度梯度， 必须首先求解导热体内的温度分——温度场。因此必须建立一个能全面 描述导热问题温度场的数学表达式，即导热微分方程
然后结合具体的单值性条件求解方程便可得出特定条件下的温度分 布t=f(x,y,z,,τ)
03 导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
对于第一类边界条件，边界节点温度已给定，所有内节点的差分方程组成了一个封闭的代数 方程组，可以立即进行求解。
但对于含有第二类或第三类边界条件的导热问题，由内节点的差分方程组成的方程组不是封 闭的，因为其中包含了未知的边界温度，因而还必须补充边界节点的有限差分方程，才能使方程 组封闭。
对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于 数学上的困难还无法得出其分析解。
这时，就该数值解法上场表演了。
-
22
03 导热问题的数值求解基础
数值解法是求解所有上述情况下导热问题的有效方法。 有限差分法
数值解法
有限元法 边界元法
and so on
-
23
03 导热问题的数值求解基础
牛顿冷却公式
-
P124
29
03 导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
这就是第三类边界条件下平直边界面上节点的有限差分方程
-
30
03 导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
内部节点
对流边界节点
-
31
03 导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
-
14
02 导热微分方程及定解条件
-
15
02 导热微分方程及定解条件
-
16
02 导热微分方程及定解条件
定解条件
-
17
02 导热微分方程及定解条件
通过无限大平壁的导热
-
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02
-
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（二）用傅里叶定律求解
02
-
20
03
导热问题的数值 求解基础
-
21
03 导热问题的数值求解基础
原则上，导热问题的求解就是对导热微分方程 方程式在规定的边界和初 始条件下求解。这种解法称为分析解法。但从前面的分析看出，分析解法只 能求解一些导热体的几何形状或边界条件简单的导热求解基础
内部节点的有限差分方程
下面用热平衡法建立节点的有限差分方程。热平衡法的基本原理就是对任一元体，根据能量 守恒定律写出热平衡式。
同理右侧、上侧和下侧导入的热流量分别为
-
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03 导热问题的数值求解基础
内部节点的有限差分方程
上式即为节点有限差分方程，简称节点方程
-
28
-
1
目录
contents
01 热传导及导热的基本定律 02 导热微分方程及定解条件 03 导热问题的数值求解基础 04 各种数值解法的介绍
-
2
01
热传导及导热的 基本定律
-
3
01 热传导及导热的基本定律
热传导及导热的基本定律
一 热传导 当物体内有温差或两个不同温度的物体直接接触时,在物体各部分之间不发
-
11
02 导热微分方程及定解条件
对于非稳态，有内热源的问题，由能量守恒定律，热平衡方程式应该是
导入微元 体的总热
流量
微元体内 热源的生
成热
导出微元 体的总热
流量
微元体热 力学能的
增量
任意方向的总热流量 可以分解为x、y、z三 个坐标轴方向的分热 流量。
-
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02 导热微分方程及定解条件
-
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02 导热微分方程及定解条件
W/㎡ ,于是有
q
A
-
5
01 热传导及导热的基本定律
三、温度场和温度梯度
• 1.温度场
• 物体内部产生导热的起因在于物体各部分之间具有温度差,所以研究导热必然 涉及物体的温度分布.在某一瞬时,物体内各点的温度分布称为温度场.在一般
情况下,温度是空间坐标(x,y,z)和时间( )的函数,即 t f x, y, z,
• 傅里叶归纳了无数实验研究结果,提出了导热的基本定律:单位时间内通过单位 面积的热量(即热流密度q)正比于该处的温度梯度,写成矢量形式,即
q gradt n t n
• 该式为傅里叶定律的数学表达式,式中负号表示热流密度的方向永远指向温度
降低的方向.写成标量形式为
q t n
• 热导率的定义式可由傅里叶定律表达式得到
生相对位移的情况下,依靠物质微粒的热运动而产生的热量传递现象称为热传导, 简称导热
-
4
01 热传导及导热的基本定律
二、热流量及热流密度
• 1.热流量
• 单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量,记为 ,单位为W
• 2.热流密度
• 单位时间通过单位面积的热量称为热流密度(或称面积热流量),记为q,单位为
• 随时间而变动的温度场称为非稳态温度场,在非稳态温度场中发生的导热称为
非稳态导热.各店温度不随时间变动的温度场称为稳态温度场,在稳态温度场中
发生的导热称为稳态导热.一维温度场具有最简单的数学形式
t f x
-
6
01 热传导及导热的基本定律
• 2.温度梯度
• 在同一瞬时,物体内温度相同的各点所连成的面或线称为等温面或等温线.由于 物体内同一点上不可能同时具有两个不同的温度,所以温度不同的等温面或线 不会相交.
这一基本思想可用求解过程的框图来表示：
-
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03 导热问题的数值求解基础
建立控制方程及定解条件
这一基本思想可用求解过程的框图来表示： 确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立温度场的迭代初值
求解代数方程
改进初场
否
是否收敛
是
-
解的分析
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04 导热问题的数值求解基础
稳态导热问题的数值计算
导热问题数值求解的基本思想
对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、空 间坐标系中连续的物理量场，如导热物体的温度场，用有限个离散点上的 值的集合来代替；通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该 物理量的数值解。
• 观察一物体内温度为t及t+Δt的两个不同温度的等温面,沿等温面法线方向上 的温度增量Δt与法向距离Δn比值的极限称为温度梯度,用符号gradt表示
gradt
Δt nΔlinm0Δn
n
t n
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01 热传导及导热的基本定律
四、热导率及傅里叶定律
AΔδt
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01 热传导及导热的基本定律
2.傅里叶定律
q t
n
• λ表征物质导热能力大小
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02
导热微分方程及 定解条件
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02 导热微分方程及定解条件
导热微分方程
傅里叶定律揭示了导热量与温度梯度的关系，要想确定温度梯度， 必须首先求解导热体内的温度分——温度场。因此必须建立一个能全面 描述导热问题温度场的数学表达式，即导热微分方程
然后结合具体的单值性条件求解方程便可得出特定条件下的温度分 布t=f(x,y,z,,τ)
03 导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
对于第一类边界条件，边界节点温度已给定，所有内节点的差分方程组成了一个封闭的代数 方程组，可以立即进行求解。
但对于含有第二类或第三类边界条件的导热问题，由内节点的差分方程组成的方程组不是封 闭的，因为其中包含了未知的边界温度，因而还必须补充边界节点的有限差分方程，才能使方程 组封闭。
对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于 数学上的困难还无法得出其分析解。
这时，就该数值解法上场表演了。
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03 导热问题的数值求解基础
数值解法是求解所有上述情况下导热问题的有效方法。 有限差分法
数值解法
有限元法 边界元法
and so on
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03 导热问题的数值求解基础
牛顿冷却公式
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P124
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03 导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
这就是第三类边界条件下平直边界面上节点的有限差分方程
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03 导热问题的数值求解基础
边界节点的有限差分方程
内部节点
对流边界节点
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03 导热问题的数值求解基础
节点方程组的求解
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02 导热微分方程及定解条件
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02 导热微分方程及定解条件
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02 导热微分方程及定解条件
定解条件
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02 导热微分方程及定解条件
通过无限大平壁的导热
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（二）用傅里叶定律求解
02
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03
导热问题的数值 求解基础
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03 导热问题的数值求解基础
原则上，导热问题的求解就是对导热微分方程 方程式在规定的边界和初 始条件下求解。这种解法称为分析解法。但从前面的分析看出，分析解法只 能求解一些导热体的几何形状或边界条件简单的导热求解基础
内部节点的有限差分方程
下面用热平衡法建立节点的有限差分方程。热平衡法的基本原理就是对任一元体，根据能量 守恒定律写出热平衡式。
同理右侧、上侧和下侧导入的热流量分别为
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27
03 导热问题的数值求解基础
内部节点的有限差分方程
上式即为节点有限差分方程，简称节点方程
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