“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)

“PA+k·PB”型的最值问题

【问题背景】

“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】

线段最值问题常用原理：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

【模型初探】

（一）点P在直线上运动“胡不归”问题

如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3

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思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？

提取系数k即可哦！！！

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问

题”。

【模型初探】

（二）点P 在圆上运动 “阿氏圆”问题

如图所示2-1-1，⊙O 的半径为r,点A 、B 都在⊙O

外，P 为⊙O 上的动点，已知r=k ·OB.连接PA 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确

图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3

分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图2-1-2）在线段

OB 上截取OC 使OC=k ·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB=PC 。

∴本题求“PA+k ·PB ”的最小值转化为求“PA+PC ”的最小值，即A 、P 、C 三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。

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【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA=kPB （k ≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

“阿氏圆”一般解题步骤：

第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；

第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；

第三步：计算这两条线段长度的比OP k

=；

OB

第四步：在OB上取点C，使得OC OP

=；

OP OB

第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．

①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数

起点构造所需角（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题

②“阿氏圆”构造共边共角型相似

构造△PAB∽△CAP推出2

=

PA AB AC

即：半径的平方=原有线段⨯构造线段

1．(胡不归问题)如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则AM+12

BM 的最小值为 .

分析：如何将1

2

BM 转化为其他线段呢？

即本题k 值为12

即转化为30°角的正弦值。

思考到这里，不难发现，只要作MN 垂直于BC ， 则MN=12

BM ，即AM+12

BM

最小转化为AM+MN 最小，本题得解。 详解：如图，作AN ⊥于BC 垂足为N, ∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC=60°， ∴∠DBC=30°， 即sin ∠DBC=12

=MN

BM

， ∴12

BM=MN ，

∴AM+12

BM=AM+MN ，即AM+12

BM 的最小值为AN. 在RT △ABN 中，AN=AB ·sin ∠ABC=6=∴AM+1

2BM 的最小值为

变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM ”的最小值你会求吗？

(2) 本题如要求“AM+BM+CM ”的最小值你会求吗？

答案：（1）2）本题也可用“费马点”模型解决哦！！！！----详见：本公众号前文！

B

D

2．(阿氏圆问题) 如图，点A 、B 在☉O 上，且OA=OB=6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD=4，动点P 在☉O 上，则2PC PD +的最小值为__________． 分析：如何将2PC 转化为其他线段呢？ 不难发现本题出现了中点，即2倍关系 就出现了。套用“阿氏圆”模型：

构造共边共角相似

半径的平方=原有线段⨯构造线段 详解：∴连接OP,在射线OA 上截取AE=6. 即：2OP OC OE =⨯ ∴△OPC ∽△OEP

∴2PE PC =

∴2PC PD PE PD +=+,即P 、D 、E 三点共线最小. 在

即2PC PD +的最小值为

变式思考：(1)本题如要求“1

PC PD 2

+”的最小值你会求吗？

(2)

本题如要求“3PC PD 2

+”的最小值你会求吗？

答案：（1

）2）