分式方程的特殊解法
分式方程的特殊解法
四川省攀枝花市第二中学 617000 王琨
分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外，还有许多特殊的解法。
一、 分组通分法：
例1、 解方程 3
2411423---=---x x x x 分析：要整个方程一起通分，计算量大又易出错。观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。
略解：方程两边分别通分，相减得
)
3)(4(5)1)(2(5---=---x x x x x x 当05≠-x 时，)3)(4()1)(2(--=--x x x x ，解得2
51=
x 当05=-x 时，解得52=x 经检验，2
51=
x 52=x 都是原方程的解 二、 分离分式法：
例2、解方程43325421+++++=+++++x x x x x x x x 分析：每个分式的分母与分子相差1，利用这特点可采用分离分式法求解
略解：原方程可变形为
4
11311511211+-++-=+-++-x x x x 整理得
)4)(3(72)5)(2(72+++=+++x x x x x x 当072=+x 时，解得2
7-
=x 当072≠+x 时，方程无解 经检验27-=x 是原方程的解 三、 韦达定理法：
例3、解方程71
)1(31)1(222=+++++x x x x 分析：该方程的常规解法是换元法，但通过进一步观察会发现含有未知数的两个代数式的和或积都等于常数，故联想韦达定理求解。
略解：设 1)1(22++=x x u 1
)1(32++=x x v 则易知u ，v 是方程0672=+-y y 的两个解，
解这个方程得1=u 6=v 或1 6==v u
???????=++=++∴ (2) 61
)1(3)1( 11)1(2 22x x x x 或???????=++=++(4) 11)13((3) 61)1(222x x x x 由(2) 1)(得 方程无解
由(4) (3)得 2
1732 1±=x 经检验，它们满足原方程。故原方程的解是
2173 1+=x 2
1732-=x 四、 配方法：
例4、解方程 )32(49422x
x x x -=+ 分析：观察发现方程左边恰好是
2x 与x 3的平方和，而右边又含有式子x
x 32-，故可通过配方的方法把左边写成2x 与x 3差的完全平方的形式，进而把原方程看作是以x x 32-为未知数的一元二次方程去求解。
略解：原方程可变形为
03)32(4)32(2=+---x
x x x 解之得132=-x
x 或 332=-x x 当132=-x
x 时，解之得712 1±=x 当332=-x
x 时，解之得1534 3±=x 经检验，它们都满足原方程。故原方程的解是
71 1+=x 712-=x 1533+=x 1534-=x
五、 运用方程c b c x b x +=+
的解求解 方程c
b c x b x +=+的解不难通过去分母法求得为c x =1，c b x =2运用这一结论可以使具备此方程特征的这类方程的解法简捷。 例5、解方程 25991=+++
x x x
略解：原方程可变形为
2
1299+=+++x x x x ∴ 29=+x
x 或 219=+x x 解 29=+x
x 得 31=x 解
219=+x x 得 122-=x 经检验，31=x ，122-=x 都是原方程的解。
六、 运用比例的性质求解
例6、解方程 3
23233332222-+=+--+x x x x x x 分析：方程左边的分子和分母中的二次项系数相同，一次项和常数项均为相反数；方程右边的二次项系数相同，常数项互为相反数，根据上述特点运用比例中的合分比性质来求解使解题过程大大简化。
略解：应用合分比性质得
6
46622
2x x x =- 去分母整理得 03223=-x x
∴0)32(2=-x x
∴01=x 2
32=x 经检验，它们都是原方程的解。
八年级数学下册《分式第二讲分式方程》知识点及典型例习题.doc
【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法 ; 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题 【主要方法】 2. 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ; 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分 母. 3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 2019-2020 年八年级数学下册《分式第二讲 分式方程》知识点和典型例习题 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程 （ 1） 1 3 ；（ 2） 2 1 0 ；（ 3） x 1 4 1 ；（ 4） 5 x x 5 x 1 x x 3 x x 1 x 2 1 x 3 4 x 提示易出错的几个问题： ①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根； ④忘 记验根 . 题型二：特殊方法解分式方程 【例 2】解下列方程 （ 1） x 4 x 4 4 ； （ 2） x 7 x 9 x 10 x 6 x 1x x 6 x 8 x 9 x 5 提示：（ 1）换元法，设 x y ；（ 2）裂项法， x 7 1 1 . x 1 x 6 x 6 【例 3】解下列方程组 1 1 1 (1) x y 2 1 1 1 (2) y z 3 1 1 1 (3) z x 4 题型三：求待定字母的值 【例 4】若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3
【例 5】若分式方程 2 x a 1的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 提示： 2 a 0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 . x 3 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于 x 的方程 x a c b x d (c d 0) 提示：（ 1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） c d 0 . 题型五：列分式方程解应用题 练习： 1．解下列方程： （ 1） x 1 2x 0 ； （2） x 2 4 ； x 1 1 2x x 3 x 3 （ 3） 2x 3 2 ； （4） 7 3 1 7 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 2 1 （ 5） 5x 4 2x 5 1 （6） 1 1 1 1 2x 4 3x 2 2 x 1 x 5 x 2 x 4 （ 7） x x 9 x 1 x 8 x 2 x 7 x 1 x 6 2．解关于 x 的方程： （ 1） 1 1 2 (b 2a) ；（ 2） 1 a 1 b (a b) . a x b a x b x 3．如果解关于 x 的方程 k 2 x 会产生增根，求 k 的值 . x 2 x 2 4．当 k 为何值时，关于 x 的方程 x 3 (x k 2) 1 的解为非负数 . x 2 1)( x 5．已知关于 x 的分式方程 2a 1 a 无解，试求 a 的值 . x 1 （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验， 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1．解方程： 1 x 3 x 2 二、化归法 例 2．解方程： 1 2 0 1 x 2 x 1
分式方程解法知识讲解
16.3《分式方程解法》说课稿 《课标》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”从教师的教学角度上看：教师是进行数学活动的组织者、引领者，是教学活动的主导；从学生的学习角度上看：数学活动是学生经历数学化过程的活动，是学生自己建构数学知识的活动，是学习活动的主体；从师生的合作角度上看：数学活动过程是教师和学生之间互动的过程，是师生共同发展的过程，即要促进学生发展，也要促进教师成长。教师作为数学教学主导，在设计数学活动时要遵循以下原则：一、根据学生的年龄特征和认知特点组织教学。二、重视培养学生的应用意识和实践能力。1、让学生在现实情境和已有的生活和知识经验中体验和理解数学。2、培养学生应用数学的意识和提高解决问题的能力。三、重视引导学生自主探索，培养学生的创新精神。1、引导学生动手实践、自主探索和合作交流。2、鼓励学生解决问题策略的多样化。 四、教师对教学目标，难点，重点把握要恰当、具体。 数的计算非常重要，计算是帮助我们解决问题的工具，只有在具体的情境中才能让学生真正认识计算的作用。首先应当让学生理解的是面对具体的情境，确定是否需要计算，然后再确定需要什么样的计算方法。口算、笔算、估算、计算器和计算机都是供学生选择的方式，都可以达到算出结果的目的。 一、设计思想： 数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学，数学与生活的结合，会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究欲，从而诱发内在学习潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。培养学生的动手能力和创新能力，丰富 和发展学生的数学活动经历，并使学生充分体会到数学之趣、数学之用、数学之美。
分式方程解法的标准
分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊
(完整版)初二数学分式方程经典应用题(含答案)
分式方程应用题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的 火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为 售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工 且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书 所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第 二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300 x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =- 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记 者与驻军工程指挥官的一段对话: 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.
分式方程的解法与技巧_知识精讲
分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=
当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。
分式方程的几种解法
分式方程的几种解法 分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。 一、 去分母法 方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。 例1：解方程： 4 1 21235222-- -=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得： )1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x 整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x 检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。∴原方程的根为6=x 。 二、 换元法 方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。
例2：解方程：2 13 33322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则a x x 13332?=-，原方程变形为： 2 133=+ a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 2 1 2=a 当6=a ，即63 2=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 2 3 ,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 2 3-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。 ∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 2 3- =x 三、 通分法 方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。 例3：解方程： 4 1 614121+- +=+-+x x x x 解：方程两边通分得：) 4)(6(6 4)4)(2(24++--+=++--+x x x x x x x x 即： 24 102 8622 2+-=++x x x x ∴24108622+-=++x x x x 解得：1=x 经检验：原方程的根是1=x 。 四、 加减法
56初中数学八年级上册 分式方程的解法及应用(提高)知识讲解
初中数学八年级上册 分式方程的解法及应用（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
分式方程的解法及应用(提高)知识讲解
分式方程的解法及应用（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；
分式方程应用题含答案经典
分式方程 应用题专题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计 从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到小时）． 解：设通车后火车从福州直达温州所用的时间为x 小时． 依题意，得 29833122 x x =?+． 解这个方程，得14991 x =． 经检验14991 x =是原方程的解． 148 1.6491x =≈． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进 价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 解：设每盒粽子的进价为x 元，由题意得 20%x ×50-（x 2400-50）×5=350 化简得x 2-10x -1200=0 解方程得x 1=40，x 2=-30（不合题意舍去） 经检验，x 1=40，x 2=-30都是原方程的解， 但x 2=-30不合题意，舍去． 答： 每盒粽子的进价为40元． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成 总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ D ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空 调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ D ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强 清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 解：设张明平均每分钟清点图书x 本，则李强平均每分钟清点(10)x +本，
分式方程解法与增根
分式方程（一） 1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 例题1 下列方程中，哪些是分式方程？ ①5（x+1）+x=10 ②21=y ③ 3 21x x -= +π ④42213+-+y y ⑤()x x 33221 =- ⑥ 1212=+y x 例题2 解下列分式方程 （1） x x 311=-； （2） x x x 38741836---=- （3）112112++=++-x x x x ； （4） 11 4 112=---+x x x ； （5） 021211=-++-x x x x ； （6） 22 3 22=--+x x x ； （7） 1 71372 22 2 --+ =-- +x x x x x x （8） 2 1 23524245--+=--x x x x
（9） 01 1 2212 =-++--x x x x （10） 8 6871252652 22 +--=---+-+x x x x x x x x x （11） 12 752352 2+--=+--x x x x x x 例题3：解分式方程： （1） 4 1 215111+++=+++x x x x （2） 8 7 329821+++++=+++++x x x x x x x x （3） )(11b a x b b x a a ≠+=+ （4） ) 1999x )(1998x (1 .....)3x )(2x (1)2x )(1x (1)1x (x 1+++ ++++++++ 并求当x=1时,该代数式的值 （5）若关于x 的分式方程9 13 23322 2---=+-x x x a 的解是x=4,则a 的值是多少？
解分式方程的特殊方法与技巧
分式方程意义及解法 一、内容综述： 1．解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程 2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 产生增根的原因： 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解． 检验根的方法： （1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 （2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．
用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程． 用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答． 注意： （1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 （2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 （3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。
分式方程解题技巧(提高)
分式方程解题技巧 例一， 一般结构的分式方程 解方程：x x x x x ++-=-2227115 解：（分解因式以便确定最简公分母）原方程变形为： ) 1(7)1)(1(1)1(5++-+=-x x x x x x )1(7)1(5-+=+x x x 4=x 检验：把4=x 代入0)1)(1(≠-+x x x 所以4=x 是原方程的解。 例1：解方程：) 4)(1(52)3)(2(1)2)(1(1+++=+++++x x x x x x x 分析：一般解法，最简公分母为)4)(3)(2)(1(++++x x x x ，此题直接去分母较为复杂。经观察发现，左边分母两个因式的差等与分子，右边分母两个因式的和等与分子。故考虑将分式拆开。 解：原方程变形为： 4 11131212111+++=+-+++-+x x x x x x 4 132+=+-x x 2 7-=x 经检验27- =x 是原方程的根。 例2：解方程：
20 7245361121330163223223+++++=+++++x x x x x x x x x x 分析：经观察发现直接去分母计算量非常可观，而且分母用公式法或十字相乘法都不能分解成两个因式的积。但是，同时也发现分子的最高次项的次数都比分母的最高次项高。我们知道假分数可以转化为带分数，故考虑将假分式变为真分式。 解：原方程变形为： 20 72522134222+++++=+++++x x x x x x x x 20 725213422+++=+++x x x x x x 解得：5=x 经检验5=x 是原方程的根。 例3：解方程：02)1(2122=++-+x x x x 分析：此题借用关系式2)1(122 2-+=+x x x x 较为简单。 解：原方程变形为：0)1 (2)1 (2=+-+x x x x 设x x y 1+= 则022=-y y 0=y 或2 当0=y 时，01=+x x ，则方程无解。 当2=y 时，21=+ x x ，即0122=+-x x ，则1=x 经检验：1=x 是原方程的解。 例4：解方程：5 26423234=+-+-+x x x x 分析：根据题目特点，利用下面关系式解题较为简单， 若c c x x 11+=+（c 为常数），则X=C 或c 1。
分式方程的解法
分式方程的解法 多年的教学，总结了一下分式方程的解法，供大家参考，希望对大家有所帮助。 方法1：计算法 例 解方程 32 223=-++x x x 解：移项，得 ()() ()()是原方程的根时， 检验：当计算，得 4,022440 164022164-032 223=≠-+===+-=-++=--++x x x x x x x x x x x x 原理：分式的值为0，分子为0，分母不为0.方法是把所有的项集中于方程左边，右边为0 ，从而利用分式的值为0求出未知数。 方法2：分式相等法 例 解方程 32 223=-++x x x 解：原方程化为 ()()()()()()()() ()()()() 4 16 412344322322232222322222322=-=--=+--+=++--+-+=-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 经检验，x=4是原方程的解。 原理：两分式相等，分母相等，分子也相等。 方法3：等式性质法 例 解方程 32 223=-++x x x 解：方程两边同乘()()22-+x x 得 ()()()() 4 16 412 3443223222322=-=--=+--+=++-x x x x x x x x x x 经检验，x=4是原方程的解。 原理：利用等式性质，去分母化为整式方程。方法2结合方法3，降低去分母的难度。
方法4：比例式法 例 解方程 41 5+=x x 解：两外项的乘积等于两內项的乘积 () 5 55 54154-==-+=+=x x x x x x 经检验，x=-5是原方程的解。
分式方程的概念及解法
分式方程的概念，解法 知识要点梳理 要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和 都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根。 注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。 规律方法指导 1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解． 经典例题透析： 类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D． 举一反三：
分式方程的解法及应用(提高)导学案+习题【含标准答案】
分式方程的解法及应用（提高) 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１)分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母 系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的 方程是整式方程. （3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母,去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于０,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零，对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以）同一个不为0的数,所得方程是原方程 的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程 不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解 方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程 中没有错误的前提下进行的． 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系; (２）设未知数; （3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程; （4)解这个分式方程； （5)验根，检验是否是增根; （6)写出答案.
分式方程的解法经典练习题
【题型3】分式方程的解法 解下列方程 (1)2x ＝3x ＋1； (2)23＋x 3x －1＝19x －3； (3)32x ＋2＝1－1x ＋1； (4)1x －2＝4x 2－4. 【变式训练】 1.解下列方程 (1)13 21 x x =+； (2)2132-=+x x ； （3）133322-=+x x . (4)0422421=+--x x ； （5）0232135=-++x x ； （6）x x 231 43-=- 2.解下列方程 (1)42x ＋1＝x 2x ＋1＋1； (2)x －3x －2＋1＝32－x ； (3)1x －2＝1－x 2－x －3.
(4) 2x ＋3＋32＝72x ＋6； (5)2-x x ＝3x -1； (6)x －1x －2＝2 - x x ＋1. （7）1-3x x 2-x 6+=； (8)51 x 3 -1-x 5x =+； (9) 5315x +=--x x ； (10)3 23 2324x -=-+x x ； （11）21124x x x -=--； （12）31x 3x -1-x 12 =+. (13)3x 2－9＋x x －3＝1； (14)23-x x ＝2x 2－4 +3； (15)x x －1＋1 x 2－1＝1. 3.解下列方程 (1)x x 2－4＋2x ＋2＝1x －2； (2)x ＋14x 2－1＝32x ＋1－44x －2； (3)2x ＋3＋6x 2－9＝1x －3.
4.解下列方程 (1)1 200x －1 2001.5x ＝100； （2）1 000x ＝1 600x ＋30； （3）x x -=+-30004000232000. （4）900x ×12＝900x ＋45×15； （5）420x －420x －0.5＝200； （6）8 000x ＝12 000x ＋8.
分式方程的解法及应用(提高)
分式方程的解法及应用（提高） 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． ●会列出分式方程解简单的应用问题． 学习策略： ●解分式方程去分母是关键； ●解分式方程的应用注意找等量关系，最后要验根. 二、学习与应用 1.一艘轮船在静水中的速度是20km/h,水流速度为v km/h，则轮船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为 ，顺流航行100km所用的时间为，逆流航行60km所用的时间为 . 2. 解方程 21101 1 36 x x ++ -=时，去分母，去括号后为 . 3.将方程 11111 24396 x x x x +++=去分母后得到方程________. 要点一、分式方程的概念 分母中含有的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含 有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一 般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有 未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#45981#405285 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
分式方程的解法.doc
分式方程的解法 一、知识清单 1. 分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程. 2. 解分式方程的基本思想是：去分母，化为整式方程. 3. 解分式方程的一般步骤是： 去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验. 4. 分式方程增根：使最简公分母为0 的未知数的值叫做分式方程的增根. 二、基础夯实 1. 解下列分式方程： （1） 4x x 2 1 3 2 x x 2 （2） 1 x 1 ( x 1)( x 2) 2. 当m 为何值时，分式方程 m 2 x 1 x 1 3 2 x 会产生增根？ 1 三、经典例题 1 1 例1. 我们容易求得分式方程 2 x x 2 的解为x 2或 1 x （口头检验一下）. 2 1 1 （1）方程 3 x x 3 的解为； 1 1 （2）以x为未知数的方程 c x x c 的解为； （3）解方程： x 3x 4 2 3x x 2 4 26 5
例2. 解方程 x x 2 1 x x 3 2 x x 4 3 x x 5 4 例 3. 解 方 程 1 x(x 1) (x 1 1)( x 2) ... ( x 1 1998)( x 1999 ) 1 1 x . 4 ax 例4. 当a 为何值时，以x为未知数的方程 3 x 2 无 解？ 1 1 5 ab 1 x y y z 6 a b 3 例5. 解方程组（1） bc b c 1 4 （2） 1 1 y z z x 7 12 ca 1 1 1 3 c a 5 z x x y 4
四、方法归纳 1. 解分式方程常用的方法：去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、 1 1 换元法、倒置变换法等，还可以巧妙应用“x c x c ”型的解是x c或x 1 c . 2. 利用增根的意义解题是一类重要题型，其方法为：（1）先将分式方程转化为整式方程；（2）从原分式方程中求出使分母为零的增根；（3）把增根代入所得到的整式方程中. 3. 方程无解与方程有增根不是一回事. 如例4 方程无解时 a 有2 个值，但方程有增根时 a 只 有1 个值. 五、考题演练 1. 解关于x的方程 1 1 x a . x 1 a 1 2. 解方程13 11 2x 2x 17 15 2x 2x 19 17 2x 2x 11 9 2x 2x 3. 解方程x 1 1 1 1 2 x x x x x x2 x 2 2 3 2 5 6 7 12 4 21
56分式方程的解法及应用(提高)知识讲解
分式方程的解法及应用（提高） 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】