弹塑性理论习题
弹塑性力学习题及答案
.本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
答案 (1)pi iq qj jkpk δδδδδ=;答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。
（需证明）2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
弹塑性力学习题集_很全有答案_
1 γ xy 。 （用弹塑性力学转轴公式来证明） 2
题 2—33 图
2 — 34
设 一 点 的 应 变 分 量 为 ε x = 1.0 × 10 −4 ， ε y = 5.0 × 10 −4 ， ε z = 1.0 × 10 −4 ，
ε xy = ε yz = 1.0 × 10 −4 ， ε zx = 3.0 × 10 −4 ，试计算主应变。
应力 τ 8 。
2 —24* 一点的主应力为： σ 1 = 75a, σ 2 = 50a, σ 3 = −50a ，试求八面体面上的全应力
P8 ，正应力 σ 8 ，剪应力 τ 8 。
2—25 试求各主剪应力 τ 1 、 τ 2 、 τ 3 作用面上的正应力。 2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b) 图中有虚线所示的剪应力 τ ′ 时，能否应用平面应力圆求解。
ε x = a 0 + a1 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , ε y = b0 + b1 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , γ xy = c 0 + c1 xy ( x 2 + y 2 + c 2 ), ε z = γ zx = γ yz = 0.
试求式中各系数之间应满足的关系式。 2—38* 试求对应于零应变状态（ ε ij = 0 ）的位移分量。
态。
题 2—13 图
题 2—14 图
2—14* 如题 2—14 图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷 P 作用，试确定杆体两侧外 表面处应力 σ z （横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽
弹塑性理论历年考题
2.9已知应力分量中0x y xy σστ===，求三个主应力123σσσ≥≥。
解 在0x y xy σστ===时容易求得三个应力不变量为1z J σ=，2222yz zx J τττ=+=，30J =特征方程变为32222()0z z σσστσσσσστ--=--=求出三个根，如记1τ=112312,0,2z z σστσσστ=+==-记123σσσ≥≥4.10有一长度为l 的简支梁，在x a =处受集中力P 作用，见题图4.6，试用瑞兹法和伽辽金法求梁中点的挠度。
题图4-6解一：用瑞兹法求解设满足梁端部位移边界条件0,0x l w ==的挠度函数为sinm mm xw B lπ=∑ （1） 梁的变形能U 及总势能∏为2224423001224llmmM EI d w EI U dx dx m BEI dx l π⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑⎰⎰443sin 4m mm m EI m a m B P B l l ππ∏=-∑∑ 由0mB ∂∏=∂得 3442sin m m a Pl l B EI mππ=344sinsin 2mm a m xPl l l w EI mπππ=∑（2）以上级数的收敛性很好，取很少几项就能得到满意的近似解，如P 作用于中点（2a l =）时，跨中挠度为（只取一项）3342248.7x l Pl Pl w EI EIπ=== 这个解与材料力学的解（348Pl EI）相比，仅相差1.5%。
解二：用伽辽金法求解1.当对式（1）求二阶导数后知，它满足220,0x ld wdx==，亦即满足支承处弯矩为零的静力边界条件，因此，可采用伽辽金求解。
将式（1）代入伽辽金方程，注意到qdx P =，且作用在x a =处，可得420sin sin 0lm m m x m a EIB dx P l l l πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ 3442sinm m aPl l B EI mππ= 求出的挠度表达式与（2）一致。
弹塑性力学试题集锦(很全,有答案)
1 / 218弹塑性力学2008级试题一 简述题（60分） 1）弹性与塑性弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。
塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。
2）应力和应力状态应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。
应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。
3）球张量和偏量球张量：球形应力张量，即σ=000000m m m σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其中2 / 218()13m x y z σσσσ=++5）转动张量：表示刚体位移部分，即110221102211022u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥=-- ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦6）应变张量：表示纯变形部分，即112211221122uu v u w x y x z x v u vv w ij x y yz y w u w v wx z y z zε⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥=++ ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关3 / 218系，即应变协调条件。
22222y xyx y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂。
8）圣维南原理：如作用在弹性体表面上某一不大的局部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另一静力等效力所代替，则荷载的这种重新分布，只造离荷载作用处很近的地方，才使应力的分布发生显著变化，在离荷载较远处只有极小的影响。
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第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
弹塑性力学习题集
第二章应力例2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容垂为丫，试写岀边界条件.解：在x=0上,/= -1 f m =0,X =y)?Y =0(q 畑(-1)+(5)"0 =" (T J.3 (-D+(Q v)t=0 0 = 0(aj^-yy (%)”=()•在斜边上1= cosa, m = -sindo t cosa一T yx sina = 0Tcosd- O v sina = 0例1如图所示，试写出其边界条件。
宀"色=0 •空=0 v\ =0 6办/ = L/?r = 0x=o.F=0(2) A = u.・解T| =/a H+wa2i-na)i —T •丄-2迈•V- 2 T] =S + 〃52 + 〃®2 =尹0—；；<3+善xO = _+Tj=/cr B + p,(723 + n<753=5X•^*"，T X®+"77 X5 = -2-r^-^<r v = T)/ r T,ni+T s n = -y x- 2if2)-J ■4r =(T汁Tf+Tf-贰=1 V*27+48V2s.、+〃％),=$;n(a v)x+/(r AV)r =f严-订―1 x = o. y = q(6),・o+Wj(-1)=0心)•(-l) + SJjO = g(6)J0+(G J、(+I)=0G・(+l) + CJ.0 = 0(1)管的两端是自由的)应力状応为，a：=0, %=pRf 二去严=丄(2(pR/“q= [ (pR/t)* 16 35~=毎=网〃对于'Ikes屈服餐件：J2=弋=V => p = 4"R对于Tim屈服条件：s-q比=2q n p = 2XJ/R面上的法向正应力和切向舅应力q例.一种材料左二维主应力空间中进行试验，所得屈肥时的应力状态为2“ G2M3/,小假定此材料为各向同性.与静水压力无关且拉压屈服应力相等.(1)由上述条件推虧在円一巴空间中的各屈肥点应力.(2)证明Mises屈展条件在G,-G2空间中的曲线通过5)中所有点.解：由于静水质力无关的条件得出压服在以下各点会发生：(Gp G>, G J=(3几G 0)+ (-3/, -3/, -3r)= (0. -2/, -3/>(G P a2» bj = (3匚z f 0)+ (-/, t, w>=(2/, 0, -6苒由于各向間性的条件.很容易右出0,-0：空间中的以下五个JS力点也是屈服点A,： (Gp G,, = 3r, 0)B|: 2[, Q2« 6)= (—3f, —2r, 0)B2：oj = (—2f, —3f, 0)C1： (Q p c2, ®)=⑵，0)C,： <G P Q:, G3)=(-/,2I9 0)还有.由于拉压屈服症力相等.因而可得到6一6空间中的另外六个J2力屈服点A3X (Op 匹，Q3)=(-3/, F 0)A4：(Q J, G" ^3>=<"G -3f, 0)Bj： (Op o,, a3) = (3r, 2f, 0) B4： (a p o,, 6)=⑵.3f, 0) C3： (a p G,, a3)=(-2r, z, 0) C4： (Op o,, 6)=匕-2/, 0)容易证明⑷心屈服条件氏+& y：6 =于=7r2通过以上所有屈嚴点平衡方程为：P = N、+ 2N2COS30°=(5+吊2)几何关系为：靳=叫斫=万y[3? 3 V 3© =宁，6=乔=訐本构方程为：当a < aX,(7 = 0； +£[(£-£$)=目£ + 6(1-¥)(2)管段的两端是封闭的;应力状态为，U.= P/?/2G Q^pRlt a r=0 1^=1^=：8,=0A= |(Q -Q,)2+(Q z-<y e>2+(Q0-Q.)2+6( + &)J=L AGj-G, = Gg = pR/[对于Mises屈服条件s P = 2x s t/R对于Trcscii屈服条件：p = 2T JR因此.根据这些点的数据. 可以作出在①空间中的屈服面.讨论:设已知三杆桁架如图1.18所示，三根杆的戡面枳邮相咼并有FU 杆件是由弹塑性线性强化材料所制成的。
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1 / 218弹塑性力学2008级试题一 简述题（60分） 1）弹性与塑性弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。
塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。
2）应力和应力状态应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。
应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。
3）球张量和偏量球张量：球形应力张量，即σ=000000m m m σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其中2 / 218()13m x y z σσσσ=++5）转动张量：表示刚体位移部分，即110221102211022u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥=-- ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦6）应变张量：表示纯变形部分，即112211221122uu v u w x y x z x v u vv w ij x y yz y w u w v wx z y z zε⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥=++ ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关3 / 218系，即应变协调条件。
22222y xyx y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂。
8）圣维南原理：如作用在弹性体表面上某一不大的局部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另一静力等效力所代替，则荷载的这种重新分布，只造离荷载作用处很近的地方，才使应力的分布发生显著变化，在离荷载较远处只有极小的影响。
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1 / 218弹塑性力学2008级试题一 简述题（60分） 1）弹性与塑性弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。
塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。
2）应力和应力状态应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。
应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。
3）球张量和偏量球张量：球形应力张量，即σ=000000m m m σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其中2 / 218()13m x y z σσσσ=++5）转动张量：表示刚体位移部分，即110221102211022u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥=-- ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦6）应变张量：表示纯变形部分，即112211221122uu v u w x y x z x v u vv w ij x y yz y w u w v wx z y z zε⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥=++ ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关3 / 218系，即应变协调条件。
22222y xyx y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂。
8）圣维南原理：如作用在弹性体表面上某一不大的局部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另一静力等效力所代替，则荷载的这种重新分布，只造离荷载作用处很近的地方，才使应力的分布发生显著变化，在离荷载较远处只有极小的影响。
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第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
弹塑性力学作业(含答案)
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： 则显然：3312317.08310 4.917100PaPa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇） 5-2：给出axy ϕ=；（1）：捡查ϕ是否可作为应力函数。
（2）：如以ϕ为应力函数，求出应力分量的表达式。
（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。
（坐标如图所示） 解：将axy ϕ=代入40ϕ∇=式得：220ϕ∇∇= 满足。
弹塑性力学习题集_很全有答案_
σ y = cx + dy − γy , τ xy = − dx − ay ，其它应力分量为零。试根据
直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。 2—16* 已知矩形截面高为 h， 宽为 b 的梁受弯曲时的正 My 12 M 应力 σ z = = y， 试求当非纯弯时横截面上的剪应力公 J bh 3 式。 （利用弹塑性力学平衡微分方程）
题 2—15 图
12 6 0 2—17 已知一点处的应力张量为： σ ij = 6 10 0 MPa ，试求该点的最大主应力及 0 0 0 其主方向。 2—18* 在物体中某一点 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ，试以 τ yz 和 τ zx 表示主应力。
3—1
为 ε 1 = 1.7 × 10 −4 ， ε 2 = 0.4 × 10 −4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。
3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。 设钢块不变形，试求：在压力 P = 6KN 的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应 变，铝的弹性常数 E=70Gpa，ν = 0.33。 3—10* 直径 D = 40mm 的铝圆柱体， 无间隙地放入厚度为 δ = 2mm 的钢套中， 圆柱受
v = b0 + b1 x + b2 y + b3 z w = c 0 + c1 x + c 2 y + c3 z
式中 a 0 L , a1 L , a 2 L 为常数，试证各点的应变分量为常数。 2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
(1) u = (3x 2 + 20) × 10 −2 , v = (4 yx) × 10 −2 ，在（0，2）点处。 (2) u = (6 x 2 + 15) × 10 −2 , v = (8 zy ) × 10 −2 , w = (3z 2 − 2 xy) × 10 −2 ，在（1，3，4）点处。 2—30 试证在平面问题中下式成立： εx + εy =ε′ x + ε′ y
弹塑性理论习题
5-10已知理想均质弹塑性材料制成的圆盘，此材料服从特雷斯卡屈服条件，如 为极限状态时的转速，而 为盘中某一点进入塑性时的转速，试分别求出带中心圆孔圆盘和不带中心圆孔圆盘的 / 值各为多少？
图5-18
5-5试求外半径为b，内半径为a的圆管（如图5-19所示）。在扭矩的作用下，塑性极限扭矩和弹性极限扭矩之比为多大？如为薄壁管，则扭矩之比又为多大？
5-6已知理想弹塑性材料制成的空心圆轴（如图5-20所示），内半径为a，外半径为b，若内外半径之比为 ，即,试求使截面最外层屈服时的 和使截面达到完全屈服时的扭矩 的值各为多少？并写出使塑性区扩展到 时所需的扭矩 的表达式。
提示：边界条件中出现 项时，应设 。
图8-11图8-12
8-4有简支梁长 ，高 ，受均布荷重 的作用，求应力分布，见图8-12。
8-5简支梁长 ，高 ，试证由于自重 所产生的应力分布为
，
，
，
式中 。
提示： ， ， 是方程组的一组特解，然后把有体积力的问题变为无体积力的问题求解。
8-6悬臂梁长 ，高 ，求由于自重 所产生的应力。
（a）单向受力状态， ，
（b）纯剪受力状态， 。
3-17已知薄壁圆筒承受拉应力 及扭矩的作用，若使用米泽斯屈服条件，试求薄壁圆筒屈服时扭转应力应为多大？并给出此时塑性应变增量的比值。
3-18若有两向应力状态 ，试求各应变分量的值。
习题4
4-1设已知对各向同性材料的应力应变关系为 ，试证其应力主轴与应变主轴是一致的。
习题6
6-1在薄中心O，加一对反向力Q，测得板两端A、B二点的伸长为 ，如在A、B二点作用一对拉力P，求板中心的厚度将减小多少。见图6-4
(完整版)弹塑性力学习题题库加答案.docx
第二章 应力理论和应变理论2— 15.如 所示三角形截面水 材料的比重 γ，水的比重 γ 1。
己求得 力解 ：σ x = ax+by ， σy =cx+dy- γy ， τxy =-dx-ay ；根据直 及斜 上的 界条件，确定常数 a 、b 、c 、 d 。
解：首先列出OA 、 OB 两 的 力 界条件：OA ：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x= γ1 y ； T y =0σx =-γ1y ； τxy =0代入： σx =ax+by ； τxy =-dx-ay 并 注 意 此 ： x =0得 ： b=- γ1； a=0；OB ： l 1=cos β ； l 2=-sin β， T x =T y =0：x cosxy sin0 yx cosy sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ a ）将己知条件： σ x=1xy=-dxyγ y-γ y ； τ； σ =cx+dy-代入（ a ）式得：1 y cos dx sin0L L L L L L L L L bdx coscxdyy sin L L L L L L L L L化 （ b ）式得： d = γ12β；ctgT4n2τ 30° δ 30°30°化 （ c ）式得： c =γctg β -2γ 13y10x10Ox12 6τxy103 Pa2— 17.己知一点 的 力 量6 10 00 0δ y求 点的最大主 力及其主方向。
x题1-3 图解：由 意知 点 于平面 力状 ，且知：σx =12×O103σ y =10× 103 τ xy =6× 103，且 点的主 力可由下式求得：β212 101221.2xyxy21023n 22xy22610βγ 1y113710311 6.0828 10317.083 10 3 Paγ34.91724 10BA然：y117.083 10 3Pa2 4.917 10 3Pa30σ 1 与 x 正向的 角 ： （按材力公式 算）c2 xy2 6 12 sin 2tg 2121026xycos2然 2θ 第Ⅰ象限角： 2θ=arctg （ +6） =+80.5376 °则：θ=+40.2688 B 40° 16＇或（-139° 44＇）2— 19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3 并求出σ2 的主方向。
弹塑性力学部分习题及答案
解
根据梁的弯曲变形公式，y = Fx/L(L - x)，其中y为挠度，F 为力，L为梁的长度。代入题目给定的数据，得y = (frac{300 times (4 - x)}{8})。当x = 2时，y = (frac{300 times (4 - 2)}{8}) = 75mm。
习题三答案及解析
解析
和变形情况。
04
弹塑性力学弹塑性力学的基本假设。
答案
弹塑性力学的基本假设包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设和非线性假设。连 续性假设认为物质是连续的，没有空隙；均匀性假设认为物质的性质在各个位置都是相 同的；各向同性假设认为物质的性质在不同方向上都是相同的；非线性假设认为弹塑性
习题二答案及解析
01 02 03 04
解析
选择题主要考察基本概念的理解，如能量守恒定律、牛顿第二定律等 。
填空题涉及简单的力学计算，如力的合成与分解、牛顿第二定律的应 用等。
计算题要求应用能量守恒定律和牛顿第二定律进行计算，需要掌握基 本的力学原理和公式。
习题三答案及解析
01
答案
02
选择题
03
1. A
2. 解
根据牛顿第二定律，F = ma，其中F为力，m为质量，a 为加速度。代入题目给定的数据，得a = (frac{400}{5}) = 80m/s(}^{2})。再根据运动学公式s = ut + (frac{1}{2})at(}^{2})，得s = 10 × 2 + (frac{1}{2} times 80 times (2)^2) = 108m。
04
计算题要求应用胡克定律和动量守恒定律进行计算，需要掌握基本的 力学原理和公式。
习题二答案及解析
弹塑性理论习题
习题2受拉的平板，一边上有一凸出的尖齿，如图 2.1。
试证明齿尖上完全没 P方向余弦为（l,m, n ）,试求斜截面上切应力v 的表达式2-1有应2-2物体中某点的应力状态为（6,j ）= 00 -1-1 0 ，求三个不变量和三个 0 1」主应力的大小。
2- 3 有两个坐标系，试证明 二x 「二八二z 「；「x 卞y =不变量。
2 2 2 ” _2- 4 M 点的主应力为-1 =75N/cm ,6 =50N/cm ，匚3 =-50N/cm 。
一斜截面的法线v 与三个主轴成等角，求P V 、二v 及v'0 T T2-5已知某点的应力状态为 （W ）= T 0 1，求该点主应力的大小和主 芒T 0轴方向。
2-6已知某点的应力状态为（5j ）= ▽cr 'b ，求该主应力的大小和主轴方向。
xyxz2-7已知某点的应力状态为（J,j ）xyE yz 过该点斜截面法线图2.1yzs 02-8物体中某点的应力状态为（0i,j）= 0 0 T y Z求该点主应力的大小和主轴方向。
2-9已知物体中某点的应力状态为匚j ,斜截面法线的方向余弦为」_、1_、1二，试求斜截面上切应力的大小。
、3、32-10半径为a的球，以常速度v在粘性流体中沿X x轴方向运动。
球面上点__ . X 3 V - y - zA（X, y,z）受到的表面力为P x P o ，P y P o，P z P o，式中P o 为流体的静水压力。
试求球所受的总力量。
2-11已知物体中某点的应力状态为二ij，斜截面法线的方向余弦为一、二、二，试证明斜截面上的正应力 J及剪应力8分别为二* J i、、3 、3 、、3 3习题33- 1若位移u 、v 、w 是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是 一样的，这种变形叫均匀变形。
设有以 0为中心的曲面，在均匀变形后成为球 面，2 2 2 2x' +y +z = r问原来的曲面f(x,y,z)=o 是怎样的一种曲面？ 3-2 证明 x 二 k(x y )，= k(y z )， xy = k'xyz ，上二yz = zx = 0 (其中k 和k'是微小的常数)，不是一个可能的应变状态。
弹塑性力学大题
已知某材料在纯剪作用下应力—应变关系如图所示，弹性剪切模量为G ，Poisson 比为ν，剪切屈服极限为s τ，进入强化后满足const G d d ==,/γτ。
若采用Mises 等向硬化模型，试求 （1）材料的塑性模量（2）材料单轴拉伸下的应力应变关系。
解：（1）因为τττγ221232*123121J d J h d p⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= 所以 τγd hd p *3*1=,3*3G d d h p==γτ （2） 弹性阶段。
因为)1(2υ+=EG ，所以)1(2υ+=G E 由于是单轴拉伸，所以εσE = 塑性阶段。
ijp ij fd d σλε∂∂= 1111)1(σσσε∂∂∂∂=fd f h d kl kl p解：在板的固定端，挠度和转角为零。
显然：()0)(b y ==±=±=ωωa x 满足0)(2)(2)(222221=-⋅-=∂∂±=b y x a x C xa x ω故222222111)()(b y a x C w C w --==满足所有的边界条件。
02))((2)y(222221=⋅--=∂∂±=y b y a x C b y ω2、用Ritz 法求解简支梁在均布荷载作用下的挠度（位移变分原理）步骤：（1）设挠度的试验函数 w (x ) = c 1x (l -x )+c 2x 2(l 2-x 2)+…显然，该挠度函数满足位移边界w (0) =0，w (l ) = 0。
（2）求总势能()⎰⎰-''=+=∏l 002qwdx dx w EI 21lV U 仅取位移函数第一项代入，得()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∏l 0121dxx l qx c c 2EI 21（3）求总势能的极值EI24ql c 0c 211==∂∏∂ 代入挠度函数即可1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示， 试写出挠度表示的各边边界条件： 解：简支边OC 的边界条件是：()00==y ω()0022220)(M xy D M y y y -=∂∂+∂∂-===ωνω自由边AB 的边界条件是：()0)(2222=∂∂+∂∂===b x by y x y M ωνω，()()q y x yD V b y b y y -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-+∂∂-===23332ωνω两自由边的交点B ：()0,===b y a x ω()B by a x xy R M ===,2是B 点支座的被动反力。
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习题22-1 受拉的平板，一边上有一凸出的尖齿，如图2.1。
试证明齿尖上完全没有应力。
图 2.12-2 物体中某点的应力状态为,101)010101i j σ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（，求三个不变量和三个主应力的大小。
2-3 有两个坐标系，试证明x y z x y z σσσσσσ'''++=++=不变量。
2-4 M 点的主应力为22212375N/cm ,50N/cm ,50N/cm σσσ===-。
一斜截面的法线v 与三个主轴成等角，求v P 、v σ及v τ。
2-5 已知某点的应力状态为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ττττττ=σ000ij ）（，求该点主应力的大小和主轴方向。
2-6 已知某点的应力状态为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σσσσσσσσσ=σ）（ij ，求该主应力的大小和主轴方向。
2-7 已知某点的应力状态为,)x xy xz i j xy y yz xz yz z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（过该点斜截面法线v 的方向余弦为),,(n m l ,试求斜截面上切应力v τ的表达式。
pp2-8 物体中某点的应力状态为,00)000xz i j yz xz yz τστττ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（求该点主应力的大小和主轴方向。
2-9 已知物体中某点的应力状态为ij σ，斜截面法线的方向余弦为，试求斜截面上切应力的大小。
2-10 半径为a 的球，以常速度v 在粘性流体中沿x 轴方向运动。
球面上点A （z y x ,,）受到的表面力为032x x v p p a a μ-=+，0y y p p a -=，0z zp p a-=，式中0p 为流体的静水压力。
试求球所受的总力量。
2-11 已知物体中某点的应力状态为ij σ，斜截面法线的方向余弦为，试证明斜截面上的正应力8σ及剪应力8τ分别为8113J σ=、8τ=。
习题33-1 若位移w v u 、、是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是一样的，这种变形叫均匀变形。
设有以O 为中心的曲面，在均匀变形后成为球面，2222r 'z 'y 'x =++问原来的曲面0),,(=z y x f 是怎样的一种曲面？ 3-2 证明)y x (k 22x +=ε，)z y (k 22y +=ε，xyz 'k xy =γ，0zx yz z ===γγε（其中k 和'k 是微小的常数），不是一个可能的应变状态。
3-3 将一个实体非均匀加热到温度T ，而T 是x 、y 、z 的函数。
如果假设每一单元体的热膨胀都不受约束，那么各应变分量为T z y x αεεε===，0zx yz xy ===γγγ，其中α是热膨胀系数，是常数。
试证明，这种情况只有当T 是x 、y 、z 的线性函数时才会发生。
3-4 参照下图，设000dS B A =，dS AE =,而AD AC AB AE ++=,试证:222201112223332222dS dS E d E d E d ααα-=++121223233131444E d d E d d E d d αααααα+++ij 2i j E d αα=1α2α3α0A A BCDB 0C 0D OSE3-5 已知欧拉应变ij e 的6个分量，证明小变形的线应变和剪应变为001x AB A B ABε-==- 2211120000000021212e e e C A B A C A B A xy -⋅-=⋅⋅-=γ3-6 已知：20.01u α= ，0υ=， 0ω=，求：ij E . 3-7 试证：2202ij i j dS dS e dx dx -= .3-8 设某点的拉格朗日应变为 ()1000 1.640.4800.48 1.36ij E -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭试求：(a) 主应变；(b) 最大主应变对应的主轴方向； (c) 最大剪应变分量n E .3-9 刚性位移与刚体位移有什么区别？3-10 试用应力分量写出轴对称极坐标平面应变状态条件下的协调方程。
3-11 如图3-11所示，试用正方体（a ×a ×a ）证明不可压缩物体的泊松比21=μ。
3-12 将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，使铁盖上面承受均匀压力p 的作用，如图3-12所示。
假设铁盒与铁盖可以看作为刚体，在橡皮与铁之间没有摩擦力，试求铁盒内侧面所受到的压力以及橡皮块的体积应变。
若将橡皮块换成刚体或不可压缩体时，其体积应变将有什么变化？图3-11 图3-12p3-13 设321,,s s s 为主应力偏量，试证明用主应力偏量表示米泽斯屈服条件，其形式为s s s s σ=++）（23222123 3-14 已知两端封闭的薄壁圆筒，半径为r ，厚度为t ，承受内压及轴向拉应力的作用，试求此时圆管的屈服条件，并画出屈服条件的图。
3-15 已知半径为r ，厚度为t 的薄壁圆筒，承受轴向拉伸和扭转的联合作用，设在加载过程中，保持1/=z r στθ，试求此圆管在按米泽斯屈服条件屈服时，轴向拉伸力P 和扭矩M 的表达式。
3-16 在如下两种情况下，试给出塑性应变增量的比值。
（a ）单向受力状态，1s σσ=， （b ）纯剪受力状态，33sστ=。
3-17 已知薄壁圆筒承受拉应力s z σσ21=及扭矩的作用，若使用米泽斯屈服条件，试求薄壁圆筒屈服时扭转应力应为多大？并给出此时塑性应变增量的比值。
3-18 若有两向应力状态C s==-==p 132s1d 033εσσσσσ，，，，试求各应变分量的值。
习题44-1 设已知对各向同性材料的应力应变关系为 ij 2ij ij e G σλδε=+，试证其应力主轴与应变主轴是一致的。
4-2 设体积力为常量，试证明:220,0e θ∇=∇=。
式中 x y z e εεε=++，x y z θσσσ=++。
4-3 设体积力为常量，试证明:4440,0,0i ii ii u εσ∇=∇=∇=。
4-4 试推导，用应力法把有体积力问题化成无体积力问题的基本方程和边界条件。
4-5 用应力法解释弹性力学问题，基本方程为什么也是9个而不6个？ 4-6 推导密切尔——贝尔特拉米方程的过程中，曾用过平衡方程，为什么解题时，用应力法，基本方程中还有平衡方程？习题55-1 已知理想弹塑性材料的受弯杆件，设计截面为：（a ）正方形，（b ）圆形，（c ）内外径比为ba=κ的圆环，（d ）正方形沿对角线受弯，（e ）工字型；其尺寸如图5-17所示。
试求塑性极限弯矩与弹性极限弯矩之比MeMp=η各为多少？图 5-175-2 设有理想弹塑性材料的矩形截面杆件的高度为h 2，宽度为b 受外力作用，当弹性核2hh e =时，试求此时弯矩值为多少？ 5-3 已知矩形截面的简支梁，其高为h 2，宽为b ,在梁上d 2范围内承受均 布载荷的作用如图5-18所示。
试求此梁中间截面开始进入塑型时的外载荷0q 以及极限载荷*q 的值，分别求出d x >和d x <两种情况时的弹塑性分界线的表达式。
5-4 若已知理想弹塑性材料的剪切屈服极限为k ,如用此材料支撑半径为R 的受扭圆轴，试求当3R =s r 和s r s 2R=时，扭矩M 值的大小。
s r 为弹塑性分解半径。
)(a )(b )(c )(d )(e ）（a图5-185-5 试求外半径为b ，内半径为a 的圆管（如图5-19所示）。
在扭矩的作用下，塑性极限扭矩和弹性极限扭矩之比为多大？如为薄壁管，则扭矩之比又为多大？5-6 已知理想弹塑性材料制成的空心圆轴（如图5-20所示），内半径为a ，外半径为b ，若内外半径之比为β，即,试求使截面最外层屈服时的e M 和使截面达到完全屈服时的扭矩p M 的值各为多少？并写出使塑性区扩展到s r r =时所需的扭矩ep M 的表达式。
图5-19 图5-205-7 在题5-6中，当ep M M =时，试给出卸载后，在弹性区和塑性区应力的表达式。
5-8 已知内半径为a,外半径为b 的自由旋转环盘（如图5-21所示），材料的屈服极限为,试用特雷斯卡屈服条件求出此旋转环盘在极限状态时的表达式，并求出的最大值。
给出a 趋近于零或趋近于b （薄环情况）的的最大值。
)(b图5-215-9 如已知材料的屈服极限按如下规律变化 (1)s rbσσ=+，试求此等厚度自由旋转圆盘在极限状态下的转速p ω以及径向和环向的应力表达式。
5-10 已知理想均质弹塑性材料制成的圆盘，此材料服从特雷斯卡屈服条件，如p ω为极限状态时的转速，而e ω为盘中某一点进入塑性时的转速，试分别求出带中心圆孔圆盘和不带中心圆孔圆盘的p ω/e ω值各为多少？5-11 已知半径为b 的等厚度的实心旋转圆盘，由不可压缩材料制成，材料服从特雷斯卡屈服条件，如盘中所有点都同时进入塑性状态，则屈服条件的表达式应取何形式？此时极限转速e ω应为多大？5-12 设有理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a ，外半径为b ，承受内压i p 的作用，试求此后圆筒开始进入塑性状态时和完全进入塑性状态时的压力比值为多少？5-13 已知理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a ，外半径为b ，承受内压i p 的作用，若s r 为厚壁圆筒中弹塑性分界半径，试求s r 和内压i p 之间的关系，已知k 为材料的剪切屈服极限。
5-14 已知理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a ，外半径为b ，材料的屈服极限为s σ，试求筒内壁进入塑性状态时内压的值i p 为多大？(a)两端为封闭；(b)两端为自由，即0=z σ；(c)两端受刚性约束，即0=z ε。
习题66-1在薄中心O，加一对反向力Q，测得板两端A、B二点的伸长为l∆，6-4如在A、B二点作用一对拉力P，求板中心的厚度将减小多少。
见图习题88-1 轴线水平的圆柱，由于自重产生的应力为.0,,=-=-=xy w x qy qy τρσρσ圆柱的两端被限制在两个光滑的固定刚性平面之间，以维持平面应变状态。
试用草图表明作用于它表面（包括两端）的力。
见图8-9。
图8-98-2 悬臂梁（0≤x ≤1，－c ≤y ≤c ），左端固定，沿下边界受均匀分布剪力，而上边界和右端不受载荷时，可用应力函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=Φ232232444441S c ly c ly c xy c xy xy 得出解答。
这个解答在哪些方面是不完善的？将应力表达式与由拉伸和弯曲的初等公式得到的表达式作一比较，见图8-10。
图8-108-3 悬臂梁受均布荷重q 的作用，梁长l ，高2c ，求应力分布。
见图8-11。
提示：边界条件中出现2x 项时，应设()()y y f x ψ+=Φ2。