(完整word版)高等代数II期末考试试卷及答案A卷,推荐文档
(24)--13-14学年高等代数(II)试卷及参考答案
得分 五、(10 分) 设 V 是数域 Ω 上的 n 维向量空间, σ 是 V 上线性变换. 证明: 存
在 V 上线性变换 τ , 使得 kerσ = τ (V ), kerτ = σ(V ).
第 5 页 (共 6 页)来自得分 六、(10 分) 设 A1, A2, . . . , Ak 均为 n 阶实对称矩阵, 并且对任意的 i, j 均有
¯ Ý:˦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
(σ + τ )(u)v = u(σ − τ )(v),
(1)
(σ + 2τ )(u)v = uσ(v).
Ý ¦ ÈÙ Þ (2) − (1)
u, v ∈ V ,
τ (u)v = uτ (v).
À τ Ï ©¦». Á Ý (1) ¸ (3) ¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
b
a + 3b
0
1
下对应的矩阵为
.
5. 设 V 是数域 Ω 上的有限维向量空间, 若 V 上线性变换 σ 的特征多项式
为 f (λ) = nk=1(λ − k)k, 则 dim ker(σ − k∗)k =
, 其中 k = 1, 2, . . . , n.
6. 设 V 是 2014 维欧氏空间, 若 V 上线性变换 σ 既是正交变换, 又是反对称
变换, 则 σ 的特征多项式为
.
7. 设 1, 2 都是 30 阶方阵 A 的特征根, 1 的代数重数为 29, 几何重数为 27,
则满足此条件且互不相似的 A 的总个数为
.
第 1 页 (共 6 页)
得分 二、(15 分) 设 A, B 均是 n 阶实对称矩阵. 证明: A, B 都是半正定矩阵, 当且
湖北工程学院高等代数(二)期末试题(A)及答案
得分 阅卷人 三、填空题: 27-29 小题, 每小题 2 分, 共 20 分.
17. 设 dim V1 = 4, dim V2 = 3,dim(V1 ∩ V2) = 2, 则 dim(V1 + V2) =
.
18. 设向量 ξ 在基 ε1, ε2, ε3 下的坐标为 (x1, x2, x3), 则 ξ 在基 ε1 + ε2, ε2, ε3 下的坐
解1二次型的矩阵为a??????a?1?1?1?1?1a?1a??????2分则二次型fx1x2x2是正定?a的所有顺序主子式全大于零即得a0a2?10a?2a120解之得a2
..........................密 ..........................封 ..........................线 ..........................
为 α2 = (−1, 1, 0) , α3 = (−1, 0, 1) . 经过施密特正交化过程后, 求出正交矩阵 T 为
T
=
√1 3
√1 3
√1 3
−
√1 2
√1 2
0
−
√1 6
−
√1 6
√2 6
则二次型 f (x1, x2, x2) 在线性替换 X = T Y 下化为标准型 3y22 + 3y32.· · · · · · · · · · · · · · · · · · ( 8 分 )
9. ×;
10. ×.
二、单项选择题: 11-16 小题, 每小题 3 分, 共 18 分. 11. (B); 12. (B); 13. (B); 14. (B); 15. (B); 16. (B).
2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷专业:信计 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、填空（5分×10）1在4P 中，向量(1,2,1,1)ξ=在12(1,1,1,1),(1,1,1,1),εε==--3(1,1,1,1)ε=--，4(1,1,1,1),ε=--下的坐标____.2 在[]P x 中定义0()()f x f x ψ=，其中0x 是一个固定的数，判断ψ是不是线性变换____.3 线性空间V 的两组基的过渡矩阵为A ，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为____.4设矩阵2323ab ⎛⎝为正交矩阵，则a = ____，b = ____. 5 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的,V αβ∈____. 6已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，则____B .（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）7试写出线性空间V 上线性变换ψ核的表达式______.8 属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？______. 9 设A 是n 阶矩阵，满足2A A =，则矩阵A 的特征值______.二、计算与解答题 （10分×3）10在空间3P 中设线性变换()()12312231,,2,,A x x x x x x x x =-+.求A 在基()()()0231,0,0,1,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵.11设B 是秩为2的54⨯矩阵，()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9T T Tααα==--=--是齐次方程组0Bx =的解向量，求0Bx =的解空间的一个规范正交基.12已知1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求nA .三、证明题 （10分×2）13设12,,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V γ∈满足(),0,1,2,,i i n γα==，则0γ=.14证明： 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，123,,f f f 是它的对偶基，1132123323,,αεεαεεεαεε=-=++=+， 试证：123,,ααα是V 的一组基并求它的对偶基.2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷答案专业:信计 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、填空（5分×10）1在4P 中，向量(1,2,1,1)ξ=在12(1,1,1,1),(1,1,1,1),εε==--3(1,1,1,1)ε=--，4(1,1,1,1),ε=--下的坐标____.5111,,,4444--2 在[]P x 中定义0()()f x f x ψ=，其中0x 是一个固定的数，判断ψ是不是线性变换____.是3 线性空间V 的两组基的过渡矩阵为A ，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为____. ()1'A -4设矩阵2323ab ⎛⎝为正交矩阵，则a = ____，b = ____.1,03. 5 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的,V αβ∈____.()(),,f f αβαβ=6已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，则____B .（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）【解】设()325f x x x =-，则B 的特征值为()()()14,16,212f f f =--=-=-.于是()()()4612288B =-⋅-⋅-=-.7试写出线性空间V 上线性变换ψ核的表达式______.(){}10|0x V x ψψ-=∈= 8 属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？______. 是 9 设A 是n 阶矩阵，满足2A A =，则矩阵A 的特征值______.【解】设λ是A 的特征值，α是其对应的特征向量，则,0A αλαα=≠，22A A αλαλα==，又由2A A =得到2A A ααλα==，所以2λαλα=.20,0,1λλλ-==.二、计算与解答题 （10分×3）10在空间3P 中设线性变换()()12312231,,2,,A x x x x x x x x =-+.求A 在基()()()0231,0,0,1,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵.【解】略.11设B 是秩为2的54⨯矩阵，()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9TTTααα==--=--是齐次方程组0Bx =的解向量，求0Bx =的解空间的一个规范正交基.【解】既然B 是秩为2，解空间的维数为2，又12,αα线性无关，所以12,αα是解空间的一个基，()()()()1121221111,1,2,3,,14,2,10,6.,3TTβααββαβββ===-=-- 再单位化，))1121,1,2,3,2,1,5,3.TTηαη===--12已知1122A ⎛⎫=⎪⎝⎭，求nA . 【解】（1） 求A 的特征值，2300,3E A λλλλλ-=-=⇒==.(2) 求A 的特征向量，当3λ=时，112α⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0λ=时，211α⎛⎫=⎪-⎝⎭.令()12,P αα=，则13000A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是11111130303300002323nn n n nn n A P P P P ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、证明题 （10分×2）13设12,,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V γ∈满足(),0,1,2,,i i n γα==，则0γ=.【证明】根据(),0γγ=.14证明： 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，123,,f f f 是它的对偶基，1132123323,,αεεαεεεαεε=-=++=+，试证123,,ααα是V 的一组基并求它的对偶基.证明：()()123123011,,,,112111g g g f f f -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭。
(完整版)高等代数II期末考试试卷及答案A卷,推荐文档
2、（ D ）设A是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A）A的核是零子空间的充要条件是A是满射； （B）A的核是 V 的充要条件是A是满射； （C）A的值域是零子空间的充要条件是A是满射； （D）A的值域是 V 的充要条件是A是满射。
二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1、（ ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：
（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。 2、（ ）设A是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
2、设A是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明W L 1,2 ,...,r 是A的不变子空间的兖要条件是 A i W i 1, 2,..., r
3、已知 A E 是 n 级正定矩阵，证明：
（1）A 是正定矩阵；
（2） A 2E 3n
答案
一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
3、（ B ） 矩阵 A 可逆的充要条件是：
A A 0; B A 是一个非零常数；
C A 是满秩的； DA 是方阵。
4、（ C ）设实二次型 f X AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：
1、在线性空间 P4 中，定义线性变换：
A a,b,c, d a,b, a c,b d a,b,c, d P4
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
《高等代数2》期末试卷(A)
第 1 页 共 2 页教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期期末考试《高等代数Ⅱ》试卷 (A )试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。
班号： 学号 姓名一、选择题：（每题3分，共15分）1．当λ=（ ）时，方程组1231231222x x x x x x λ++=⎧⎨++=⎩，有无穷多解。
A 1B 2C 3D 42．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）A 线性相关B 线性无关C 线性相关或线性无关D 不一定 3．已知A ，B 为同阶正交矩阵，则下列（ ）是正交阵。
A A B + B A B - C AB D kA 4．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ ）正确。
A A 一定有n 个不同的特征值 B A 一定有n 个相同的特征值 C 必存在正交矩阵P ，使1P AP -成为对角矩阵 D A 的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的 5．当（ ）时，0a A b c ⎛⎫=⎪⎝⎭是正交阵。
A 1,2,3a b c === B 1a b c ===C 1,0,1a b c ===-D 1,0a b c ===1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=-+-4321αααα 。
2．若120s ααα+++= ，则向量组12,,,s ααα 必线性 。
3．1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性 的。
4． 数域F 上任一n 维向量空间都与nF 。
（不同构，同构） 5．A 满足022=++I A A ，则A 有特征值______________________。
6. 二次型yz xz xy z y x z y x f ++----=222),,(的矩阵是____________。
7. A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20001011k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。
(完整word版)高等代数2学期06-07A[1].答案doc
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北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期高等代数（II ）期末考试（A 卷）答案一、填空题(每题3分,共30分)1、设W 1和W 2是R n ⨯n 的两个子空间，其中W 1是由全体n 阶实反对称矩阵构成，W 2是由全体n 阶实下三角矩阵构成, 则 W 1+W 2的维数等于2n ．2. 设ε1 = (1,0,0), ε2 = (0,1,0), ε3 = (0,0,1), η1 = (0,0,2), η2 =(0,3,0), η3 = (4,0,0) 是线性空间P 3的两组基, 则从基η1, η2, η3到基ε1, ε2, ε3的过渡矩阵是 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡413121。
3、线性空间22⨯R 中，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5432A 在基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00011E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00112E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01113E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11114E 下的坐标为： ()T5111---.4、设P 3的线性变换T 为：T(x 1, x 2, x 3) = (x 1, x 2, x 1 + x 2)，取P 3的一组基：ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1)，则T 在该基下的矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111010001． .5、设欧氏空间R 3[x ]的内积为dx x g x f x g x f )()())(),((11⎰+-=则一组基1, x, x 2的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡520320323202． 6、已知三阶矩阵A 满足03E A 2E A E A =-=-=-，则=A 6 ．7、已知矩阵A 的初等因子组为λ2，(λ－１)2，则其Jordon 标准形矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110100 8、欧氏空间V 中两个向量βα,满足βαβα-=+，则α与β的夹角是090．9、3维欧氏空间R 3 (取标准内积)中的向量(2, 3,－1), (1, 1, 0),(0, 1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是 1 ．10、设321,,εεε是数域P 上的3维线性空间V 的一组基，f 是V 上的一个线性函数。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
(完整word版)高等代数试卷及答案(二),推荐文档
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。
2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。
3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。
4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。
5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。
6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。
7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。
8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。
9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。
10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。
二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。
（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。
（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。
（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。
《高等数学(二)》期末考试卷A(含答案)
《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。
高等数学二(A)期末考试试题.docx
太原科技大学2013/2014学年第2学期《高等数学二》课程试卷B卷、填空题(每小题4分，共20分)1、已知Z=/2(2xy),其中/■为任意可微函数，则备=2、函数的定义域是___________________________________ln(l-x z-y z) ----------------------------------------------3、化下述积分为极坐标下的累次积分I =dyf^y~y2 f(x,y) dx _________________________________________________4、设曲线L的质量密度函数为戒3+力，则L的质量可表示为,又若I为二=x(0 « x « 1),则其质量等于5、已知lim”* a n = a> 0,则级数S^=i(—)n,0 < a <a nb的敛散性是____________________注：填空题由于数据丢失具体数据不详, 凭本人根据图片猜测而来，如有错误还请大家尽快指出 1.2小题可以肯定正确。
二、单项选择题(每小题4分，共20分)1、设z=<p(x + y)-巾(x - y),其中<p,小具有二阶连续导数, 则必有()_ d2z d2z - - d2z行一d2z d2z - - d2z d2z _A、—^+—^=0 B> —— = 0 C、—=0 D> —-=0 dx2 dy2dxdy dx2dy2dxdy dydx2、若函数笑/(X )=0,务I(X y)=°测，(勺)在(W。
)是A、连续且可微B、连续但不一定可微C、可微但不一定连续D、不一定可微也不一定连续3、1=贷dy丁疽刁3x2y2 dx,则交换积分次序后，得()A> \=j^ dxjf^3x2y2 dy B> \=ff^ dx 3x2y2 dyC. \=f^ dx f^~x2 3x2y2 dy D> \=f^ dx 3x2y2 dy4、1=]^ xe cosxy tan(xy)dxdy, D: |x| < 1, |y| « 1,则1=()A> 0 B> e C、 1 D > e-25、若级数蠢=1 %收敛于S,贝U级数Xn=l(U n + U n+1)().A、收敛于2sB、收敛于2s-UiC、收敛于2S+U1D、发散三、求下列偏导数(每小题5分，共10分)<、FL - -r^ du du1.设心,求源菽2.设u=x2+ y2 + z2,x=rcos 6 sin(p,y=rsin 0,z=rcos 伊，求房，舞.四、在椭圆x2 + 4y2 = 4上求一点使其到直线2% + 3,-6 = 0的距离最短。
高等代数2期末考卷
高等代数II 》课程期末考试试卷一、 选择题（每小题3分，共12分）1．设(){},,|,W a a b a b a b =+-∈R ，这里R 为实数集，则 （ ）(A) W 与2R 同构。
(B) W 与3R 同构。
(C) W 与2R 的一个真子空间同构。
(D) 2R 与W 的一个真子空间同构。
2. 设1V ，2V 是偶氏空间V 的两个子空间，则2V 是1V 的正交补的充要条件是 ( ) (A) 0 ,2121=+=V V V V V (B) 1V ⊥2V(C) 2121dim dim dimV ,V V V V V +=+= (D) 0),(,2121=∈∈∀+=βαβα有，且 V V V V V3. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，则A 是正交变换的必要而非充分条件是( ) (A) βαβαβα , , ,=∈∀A A V ， (B) ααα=∈∀A V ,(C) ),(),( ,βαβαβα=∈∀A A V ，(D) A 在V 的任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵（注：其中,表示两个向量的夹角，（,）表示该空间的内积。
）4. 设A 是线性空间V 的线性变换，n W W ,,1 都是V 的一组A -不变子空间，且n W W V ⊕⊕= 1，则V 中一定存在一组基，使A 在该基下的矩阵是( ) (A) 对角矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 准对角矩阵二、 判断题（对的打√，错的打×）（每小题3分，共12分）1. 若两个n m ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 有相同的秩,则)(λA 与)(λB 等价 ( ).2. 在3R 空间中，A 是V 中任一向量在xoy 平面上的垂直投影的线性变换，则 (i) Im ker {0}.A A = ( )； (ii) .ker Im V A A =+ ( )3. 欧氏空间中保持长度不变的变换是正交变换. ( )4. 多项式1416623-+-x x x 在有理数域上不可约. ( )三、 填空题（每小题4分，共16分）1. 若矩阵A 的全部初等因子为22)2(,)1(,1+--λλλ，则A 的不变因子为 .2. 设τσ,是2R 空间的线性变换，定义为,,),,(),(),,0(),(R y x x y y x x y x ∈∀== τσ则2(23)(,)x y στ-= .3. 已知133092)(23-+-=x x x x f 有一个根为,32i -则)(x f 在实数域上典型分解式为=)(x f .4．设s 为有限维复线性空间上的一个线性变换，l 为s 的一个特征值，若12,r r 分别表示s 的属于特征值l 的特征子空间和根子空间的维数，3r 表示l 的重数，则123,,r r r 的大小关系满足 。
(完整word版)高等代数第二学期试题
第二学期期末考试《高等代数》试题一、填空：（每空2分，共30分）1、n 元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。
2、A 为正定矩阵，则A _______。
3、),(21s L αααΛ的维数__________向量组s αααΛ21,的秩。
4、1V ，2V 都是线性空间V 的子空间，则维1V +维2V =______________。
5、和1V +2V 是直和的充要条件为=⋂21V V ___________。
6、数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是______________。
7、A ，B 是两个线性变换，它们在基n εεεΛ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则A+B 在基n εεεΛ,,21下的矩阵为______________。
8、A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度=______________。
9、在欧几里德空间中，α=_______。
><βα,=_______。
10、欧几里德空间的一组标准正交基的度量矩阵为_______。
11、A 为正交矩阵，则A =_______，1-A =_______。
二、判断（每题2分，共10分）1、A 的值域是A 的不变子空间，但A 的核不是A 的不变子空间（ ）。
２、两个子空间的交还是线性空间V 的子空间（ ）。
3、线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的（ ）。
4、线性变换把线性无关的向量变为线性无关的向量（ ）。
5、度量矩阵是正定矩阵（ ）。
三、t 取什么值时，二次型3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++正定？（10分）四、在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标，其中=1ε（1，1，1，1），=2ε(1，1，-1，-1)，=3ε（1，-1，1，-1）=4ε（1，-1，-1，1），ξ=（1，2，1，1）（10分）五、3P 中，令),4,2(),,(213131321a a a a a a a a a -+-=σ，求σ在基},,{321εεε下的矩阵。
(完整word版)高等代数期末考试题A答案
高等代数 课程 A 卷试题答案一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分. 把正确答案填在题中横线上）1. 8；2. 0；3. 0；4. 92111⎛⎫ ⎪⎝⎭；5. 1或52;6。
1()3A E E A -+=-；7. 2；8。
23a ≠； 9. 6;10。
112-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭。
二、选择题(本题共10小题，每小题2分,满分20分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号（答题框）内）三、计算题(本题共2小题，每小题10分，满分20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1. 计算n阶行列式a b bb b a bb D b b ab b b ba=。
解:观察行列式，每一行只有一个a 而有1n -个b ,于是将第2列，第3列,……，第n 列分别乘以1加到第1列，得(1)...(1)...(1)..................(1)...a nb b b b a n b a b b D a n bb a b a n b b ba+-+-=+-+-[]1 (1)...(1)1 (1)...b b b a b ba nb b a b bba =+-[]1...00...0(1)00...0 000...b b b a b a n b a b a b-=+--- []1(1)()n a n b a b -=+--2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，123124051B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求A AB 23-.解:1111231111111242111111051111323AB A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭05822221322305622221720.2902224292-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、解答题（本题共2小题，第1小题15分、第2小题10分，满分25分。
10-11高等代数(二)试卷A及答案
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徐州工程学院试卷
七、 （共 1 题，12 分）
⎛1 a a⎞ ⎜ ⎟ 设 A = a a 1 ，其中 a ≠ 0 。 ⎜ ⎟ ⎜1 a a⎟ ⎝ ⎠
（1）求 A 的特征值和特征向量； （2） a 取何值时 A 可以对角化？并求可逆阵 P ，使得 P −1 AP 为对角阵。 八、 （共 1 题， 10 分）
⎛1 ⎜ 1 ( β1 , β 2 , β3 , β 4 ) = (ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) ⎜ ⎜8 ⎜ ⎝3
= (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) A−1 B
0 3 7 2
1 −1⎞ ⎟ 1 4⎟ = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) B 6 −1⎟ ⎟ 2 −1⎠
⎛ −23 −7 −9 8 ⎞ ⎜ ⎟ 6 3 3 −1⎟ ⎜ 由基 α1 , α 2 , α 3 , α 4 到基 β1 , β 2 , β3 , β 4 的过渡矩阵 ⎜ 2 3 2 1⎟ ⎜ ⎟ 2 2 −1⎠ ⎝ 3 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4⎟ −1 ⎜ 4 ⎟ ⎜ α = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) A ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
∀A ∈ V ,设 A = ( aij ) , a11 + a22 + a33 = 0
则 A = − a22 A1 − a33 A2 + a12 E12 + a13 E13 + a21 E21 + a31 E31 + a32 E32 所以 A1 , A2 , E12 , E13 , E23 , E21 , E31 , E32 是 V 的一组基, V 的维数是 8 四、解: V1 = L (α1 α 2 ) ,V2 = L ( β1
最新10-11高等代数2试卷(A)资料
一、填空题（每题3分共15分） 1、已知C 是实数域R 上的线性空间，则()dim C ＝ 2 ；2、已知三阶矩阵A 的特征值分别为1，-1，2，矩阵235A A B -=，则B 的特征值是___-4,-6,-12__；3、设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间，21000000A w w ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中w =，则V 的一组基为___A,A 2__,E_；5、已知A 是一个正交矩阵，那么 2A＝ 1 .二、单项选择题（3分×5）（将每小题正确答案的序号，填在下表对应的方框中）1、设ϕ 是n 维欧氏空间V 上的正交变换, 以下说法错误的有（ A ）个.① 若nξξ,,1 是V 的一组标准正交基, 则)(,),(1n ξϕξϕ 仍是标准正交基；② 存在一组标准正交基, 使得ϕ在这组基下的表示矩阵是正交阵；③ 若U 是ϕ 的不变子空间, 则⊥U 也是ϕ 的不变子空间；④ϕ在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.A 0；B 1；C 2；D 3.3、下列关于有限维空间V 中线性变换T 的说法中错误的是（ C ） A. T 的值域与核都是T 的不变子空间； B. T 是单射当且仅当T 是满射； C. T 的值域与核的和等于V ； D. T 在两组不同基下的矩阵相似.4、下列关于数域P 上线性空间说法错误的是（ C ） A ． n 维线性空间中n 个线性无关向量一定为一组基； B ． n 维线性空间中n+1个向量线性相关； C ． 两个子空间的并还是子空间； D ．两个维数相同的有限维空间同构.5、二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经非退化线性替换X = CY 化为标准形213216),,(y y y y f =，则=a（ D ）A. 6；B. 0；C. 1；D. 2.三、计算题（第1、4小题10分，2、3小题各15分）1、设()(),1,1,1,1,0,1,2,121T T -==αα(),1,0,1,21T-=β()T7,3,1,12-=β求：),(),();,(),(21212121ββααββααL L L L +的一组基和维数。
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高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=I2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()D 以上各情形皆有可能。
三、 是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I则12VV V =⊕。
2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。
4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
四、 解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间4P 中，定义线性变换：()()()()4,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P '''=++∀∈A（1）求该线性变换A 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。
2、（1）求线性空间[]3Px 中从基()()()2:1,1,1I x x --到基()()()2:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；（2）求线性空间[]3Px 中向量()2123f x x x =-+在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标。
3、在R 2中，()()1212,,,a a b b αβ∀==，规定二元函数：()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+（1） 证明：这是R 2的一个内积。
（2） 求R 2的一个标准正交基。
五、 证明题（每小题10分，共30分）1、 设P 3的两个子空间分别为：(){}(){}11231232123123,,0,,,0W x x x x xx W x x x x xx =++==--= 证明：（1）312P W W =+；（2）12W W +不是直和。
2、设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是A 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i W i r α∈=A3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明：（1）A 是正定矩阵； （2）23n A E +>答案一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=I {}2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是1C X-3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 相似关系4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是()10000001λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：A AX A B''=二、 单项选择题（每小题3分，共15分）2、 （ A ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ D ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。
3、（ B ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ C ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
5、（ A ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()D 以上各情形皆有可能。
三、 是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1、（ × ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I则12VV V =⊕。
2、（ √ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
3、（ √ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。
4、（ × ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
四、 解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间4P 中，定义线性变换：()()()()4,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P '''=++∀∈A（1）求该线性变换A 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。
解：（1）线性变换A 在自然基下的矩阵是1000010010100101A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（5分）（2）因为()41E A λλ-=-所以矩阵A 的所有特征值是12341λλλλ====解齐次线性方程组()0E A X -=得矩阵A 的所有特征向量：()()120,0,1,00,0,0,1k k ''+，其中12,k k 不全为零。
（5分）2、（1）求线性空间[]3Px 中从基()()()2:1,1,1I x x --到基()()()2:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；（2）求线性空间[]3Px 中向量()2123f x x x =-+在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标。
解：（1）因为()()()()221111,1,11,,012001x x x x -⎛⎫⎪--=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()()221111,1,11,,012001x x x x ⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()()()()1221111111,1,11,1,1012012001001x x x x --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()21111111,1,1012012001001x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即所求的过渡矩阵为124014001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（5分） ()()()21241,1,1014001x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭（2）因为()()()()221111,,1,1,1012001x x x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭故()()2211231,,23f x x x x x ⎛⎫⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()()()2211111,1,10122241310013x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=---=+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标是：243⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（5分）3、在R 2中，()()1212,,,a a b b αβ∀==，规定二元函数：()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+（3） 证明：这是R 2的一个内积。