1.均值不等式(含答案)

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均值不等式含答案

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课时作业15均值不等式时间:45分钟满分:100分课堂训练5 31.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( )A V【答案】当且仅当3x=5y时取等号.42・函数f(x)=x+~+3在(一8,一2]上( )xA.无最大值,有最小值7B.无最大值,有最小值一1C.有最大值7,有最小值一1D.有最大值一1,无最小值【答案】D4【解析】Vx^-2, :.f(x)=x+~+3✓V= __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+34=—1,当且仅当一x=—即x=—2时,取等号,有最大值一1,无最小值.1 43・己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ .【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数,可把x+1看成一个整体,然后 将函数用x+1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的 形式特点,从而能用均值定理来处理.【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0.“ r «+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1= 吊4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)•苗+5=94当且仅当x+l= 勒,即X=1时,等号成立.mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数• 课后作业一、选择题(每小题5分,共40分)・••当x=\时,工+7x+l° 灯仆-1 — $函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9.【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) —【解析】斤胃字E+芥沁+树+2胡畔4. 求函数y=以+7卄10~x+1(Q-1)的最小值. mx+n1.设X>0,则y=3-3x--的最大值是(A. 3 B・ 3—3也C. 3-2\/3 D・一1【答案】C[解析】y=3 —3x—2=3 —(3x+g)W3— =3_2^/5.当且仅当3x=p即兀=平时取“=”・2.下列结论正确的是()A.当x>0 且xH 1 时,lgx+占$2C.当诈2时,x+2的最小值为2D.当0<A W2时,x—丄无最大值X【答案】B【解析】A中,当x>0且兀工1时,lgx的正负不确定,・°・lgx +占M2或lgx+吉W—2; C中,当诈2时,(x+£)min=|; D中当1 I 30aW2 时,),=兀一?在(0,2]上递增,(x--).…ax=2-3.如果d, b 满足0<a<b, a+b= 1,则g, u,2ub, a2+b2中值最大的是()A. 3C. 3-2^3A iB • aD. cr+b 1【答案】D【解析】 方法一:*.* 0<ci<b,・ *. 1 =a+b>2a i 又 a 2+b 2^2cib 9・•・最大数一定不是“和2", 又 a 2+b 2=(a + b)2—lab = 1 — 2ab, V \ =a+b>2\[ab,ab<^,1 — 2ab> 1 —[=[, 即 cP+Z?2>^.I ? 45方法二:特值检验法:取a=y b=y 则2ab=§, a 2+b 2=^ / ^>2>Q >3,^cr+b 1 最大.4. 己知a>b>c>0.则下列不等式成立的是() 1,1 _______ 2 a~b b —f^a —c1 ___2 b~c a~c]a~b【答案】A【解析】*.\/>Z?>c>0, *.a —b>0, b —c>0, a — c>0,••・("_4士+爲C. lab 1<21 b —c= [(a~b) + (b~c)Y b~c a —b =2+三+口匚+丄宀丄5. 下列函数中,最小值为4的是(C. /(x) = 3x +4X3"v【答案】D ・ /(x) = lgx+log v 10«+5 工+4+1 —•血)=2X 严=2X = 2X(尸 +寸;+4)24,要取等号,必须寸卫+4=^^^,即工+4=1,这是不 可能的,排除.故选C.6. 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它 称物体的重量,只需将物体放在左、右托盘各称一次,则两次称量结 果的和的一半就是物体的真实重量•设物体放在左右托盘称得的重量 分别为“,则物体的实际重量为多少?实际重量比两次称量 的结果的一半大了还是小了?()a+bA.—^―;大 C.\[ab ;大 【答案】D4A. f(x)=x+~ 工+5B ・・22X 严 【解析】 A 、D 选项中,不能保证两数为正,排除;B 选项不 b~c a~b22+2、/三•戸=4能取等号, B ・¥力 D.\[cib ;小【解析】 设物体真实重量为血,天平左.右两臂长分别为d 12,则ml [=al2® m 【2 = bh ②①X ②得加2川2 =如2 • • m =yfcib又・・•字鼻颁且“Hb,・・・等号不能取得,故g 字. 7・已知x>0,)>0, x+2y+2xy=8,则x+ly 的最小值是( )A. 3B. 49 C 2【答案】B•: — l<x<8,8—x 9 I Q・・・+)=卄2•百亍(卄1)+吊-222屮+1)•吊—2 = 94,当且仅当x+l=—y 时“="成立,此时x=2, y=l,故选B.1 F -HxH -18 .在区间[㊁,2]上,函数.心)=工+加+c (Z?、c G R )与g (x )=: --------------------------------------------------------------------------- ---- 在同一点取得相同的最小值,那么/(对在区间百,2]上的最大值是 ( )5D 4F+x+11【解析】 Tx+2y+2x)=88—x2x+2>0, C. 8【解析】•••g(x) = -—=X+£+1N3,当x=l时取等号,即当x=l时取最小值3, :.fix)的对称轴是x=l, ・•”=—2,将(1,3)代入即得c=4, 5)=工一加+4,易得在右,2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分,共20分)工+29.比较大小:-7=7= ________ 2(填“>”y,“N” 或“W”)・帖+1【答案】2Q+2 J ________ 1【解析】脅7T声1+肩百浓10.当X>1时,不等式^+土鼻“恒成立,则实数"的取值范X— 1围是_______ .【答案】(一8, 3]【解析】Tx>l, ・°・x+— >0,x— 1要使x+JryNd 恒成立,设f{x) =x+-^~r(x> 1),则dW/(X)min 对x>\恒成立.又./W=x+=7=x—1+7^7+1鼻2寸(%^)><^^+1=3,当且仅当x—1=亠即兀=2时取“=”・X— 1・・・aW3.三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11.设兀,yWR*,且x+y+xy=2,(1)求x+y的取值范围;(2)求厂的取值范围.Y-H V【解析】(1) 2 = x+y+xy W x+y+(2,当且仅当x=y时取“•二(x+yF+4(x+y) — 8 $0.・:[(x+y)+2]2212.*/x+y>0, .*.x+y+2・・」+〉—2也一2,当且仅当x=y=羽一1时取“ ="•故x+y的取值范围是[2萌一2, +8).(2)2=x+y+xy2y[xy+xy,当且仅当x=y=\[3— 1 时取“=”.•: (y[xy)2~\~2ylxy^2.1)?W3.又x、)>0, .\y[xy+1>0. .\y[xy+ 1羽—1.・・・()5W4—2萌,即厂的取值范围是(0,4—2羽].12.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,每一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?【解析】(1)设船捕捞刃年后的总盈利y万元.则,n(n— 1)y=50/?-98-[12Xn+ 2X4]= -2/r+40/?-98=-2(/1-10)2+102・:捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.v 4W(2)年平均利润为匚=—2 n+—-20r~49W_2〔2\” •万_20,= 1249当且仅当”=节,即n=7时上式取等号.所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元.【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定31域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.。

3-2-1《均值不等式》含答案

3-2-1《均值不等式》含答案

基 础 巩 固一、选择题1.若a 、b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A .a 2+b 2>2ab B .a +b ≥2ab C.1a +1b >2abD.b a +a b ≥2[答案] D[解析] ∵a 2+b 2-2ab =(a -b )2≥0,∴A 错误. 对于B 、C ,当a <0,b <0时,明显错误. 对于D ,∵ab >0,∴b a +ab ≥2b a ·a b =2.2.设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( ) A .a <b <ab <a +b2 B .a <ab <a +b2<b C .a <ab <b <a +b2 D.ab <a <a +b2<b[答案] B[解析] ∵0<a <b ,∴a <a +b2<b ,A 、C 错误;ab -a =a (b -a )>0,即ab >a ,故选B. 3.设x 、y ∈R ,且x +y =5,则3x +3y 的最小值为( ) A .10B .6 3C .4 6D .18 3[答案] D[解析] x +y =5,3x +3y ≥23x ·3y =23x +y =235=18 3. 4.已知正项等差数列{a n }中,a 5+a 16=10则a 5a 16的最大值为( )A .100B .75C .50D .25[答案] D[解析] ∵a 5>0,a 16>0,a 5+a 16=10, ∴a 5·a 16≤(a 5+a 162)2=(102)2=25, 当且仅当a 5=a 16=5时,等号成立.5.(2012~2013学年度湖南师大附中高二期中测试)设a >0,b >0,若3是3a与3b的等比中项,则1a +1b 的最小值为( )A .8B .4C .1 D.14[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b =3,∴a +b =1, ∴1a +1b =a +b a +a +b b =2+b a +a b ≥4. 当a =b =12时“=”成立.故选B.6.若0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,则a +b,2ab ,2ab ,a 2+b 2中最大的一个是( )A .a 2+b 2B .2abC .2abD .a +b[答案] D[解析] 解法一:∵0<a <1,0<b <1,∴a 2+b 2>2ab ,a +b >2ab ,a >a 2,b >b 2, ∴a +b >a 2+b 2,故选D.解法二:取a =12,b =13,则a 2+b 2=1336,2ab =63,2ab =13,a +b =56,显然56最大.二、填空题7.设实数a 使a 2+a -2>0成立,t >0,比较12log a t 与log a t +12的大小,结果为________________.[答案] 12log a t ≤log a t +12[解析] ∵a 2+a -2>0,∴a <-2或a >1, 又a >0且a ≠1,∴a >1,∵t >0,∴t +12≥t ,∴log a t +12≥log a t =12log a t , ∴12log a t ≤log a t +128.函数y =x ·(3-2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________. [答案] 98[解析] ∵0≤x ≤1,∴3-2x >0,∴y =122x ·(3-2x )≤12[2x +(3-2x )2]2=98,当且仅当2x =3-2x 即x =34时,取“=”号. 三、解答题9.已知a 、b 是正数,试比较21a +1b 与ab 的大小.[解析] ∵a >0,b >0,∴1a +1b ≥21ab >0. ∴21a +1b ≤221ab=ab . 即21a +1b≤ab . 能 力 提 升一、选择题1.已知x >0,y >0,lg2x+lg8y=lg2,则 1x +13y 的最小值是( )A .2B .2 2C .4D .2 3[答案] C[解析] 由lg2x +lg8y =lg2,得lg2x +3y =lg2, ∴x +3y =1,1x +13y =(1x +13y )(x +3y )=2+x 3y +3yx ≥4, 当且仅当x 3y =3y x ,即x =12,y =16时,等号成立.2.(2012~2013学年度山西忻州一中高二期中测试)a =(x -1,2),b =(4,y )(x 、y 为正数),若a ⊥b ,则xy 的最大值是( )A.12 B .-12 C .1 D .-1[答案] A[解析] 由已知得4(x -1)+2y =0,即2x +y =2. ∴xy =x (2-2x )=2x (2-2x )2≤12×(2x +2-2x 2)2=12.3.设函数f (x )=2x +1x -1(x <0),则f (x )( ) A .有最大值 B .有最小值 C .是增函数 D .是减函数[答案] A[解析] ∵x <0,∴f (x )=2x +1x -1 ≤-2(-2x )(-1x )-1=-22-1,等号在-2x =1-x ,即x =-22时成立.∴f (x )有最大值.4.已知x >0,y >0,x 、a 、b 、y 成等差数列,x 、c 、d 、y 成等比数列,则(a +b )2cd 的最小值是( )A .0B .1C .2D .4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a +b )2cd =(x +y )2xy =x y +yx +2≥2y x ·xy +2=4.当且仅当x =y 时取等号,∴所求最小值为4.二、填空题5.已知a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =12(lg a +lg b ),R =lg(a +b 2),则P 、Q 、R 的大小关系是________.[答案] P <Q <R[解析] 因为a >b >1,所以lg a >lg b >0, 所以12(lg a +lg b )>lg a ·lg b ,即Q >P ,又因为a +b 2>ab ,所以lg a +b 2>lg ab =12(lg a +lg b ),所以R >Q .故P <Q <R .6.函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -1=0(mn >0)上,则1m +1n 的最小值为________.[答案] 4[解析] 函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A (1,1). ∴m +n -1=0,即m +n =1.又mn >0,∴1m +1n =(1m +1n )·(m +n )=2+(n m +mn )≥2+2=4,当且仅当m =n =12时,等号成立.三、解答题7.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的质量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量,这种说法对吗?证明你的结论.[解析] 不对.设左右臂长分别为l 1,l 2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a 、b ,真实重量为G ,则由杠杆平衡原理有:l 1·G =l 2·a ,① l 2·G =l 1·b ,②①×②得G 2=ab ,∴G =ab ,由于l 1≠l 2,故a ≠b , 由均值不等式a +b2>ab 知说法不对, 真实重量是两次称量结果的几何平均数.8.求函数y =1-2x -3x 的值域. [解析] y =1-2x -3x =1-(2x +3x ). ①当x >0时,2x +3x ≥22x ·3x =2 6.当且仅当2x =3x ,即x =62时取等号. ∴y =1-(2x +3x )≤1-2 6.②当x <0时,y =1+(-2x )+(-3x ). ∵-2x +(-3x )≥2(-2x )·(-3x )=2 6.当且仅当-2x =-3x 时,即x =-62时取等号. ∴此时y =1-2x -3x ≥1+2 6综上知y ∈(-∞,1-26]∪[1+26,+∞).∴函数y =1-2x -3x 的值域为(-∞,1-26)∪[1+26,+∞).。

高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)

高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)

高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中,均值不等式是一条非常重要的数学定理。

它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。

本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。

一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。

它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。

算术平均值是最为熟悉的一种形式,它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。

几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。

平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。

在不等式的关系中,对于正实数来说,有以下几个性质:1. 当所有元素相等时,算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。

2. 当所有元素不相等时,算术平均值大于几何平均值,而几何平均值大于平方平均值。

3. 对于正实数来说,算术平均值大于几何平均值,并且它们都大于平方平均值。

二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。

它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。

1. 证明与推导在证明和推导方面,均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。

通过运用不同形式的均值不等式,我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。

例如,在求证某个不等式问题时,我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。

2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。

通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较,我们可以得出一些关于数列性质的结论。

例如,当一组数的算术平均值大于几何平均值时,就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。

三、均值不等式的例题解析下面,我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。

例题1:已知a、b、c为正实数,证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。

解析:我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。

第6节 均值不等式及其应用

第6节 均值不等式及其应用

第6节 均值不等式及其应用知识梳理1.均值不等式如果a ,ba =b 时,等号成立.数a +b2称为a ,b a ,b 的几何平均值. 2.两个重要的不等式(1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a =b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a =b 时取等号. (3)(a +b )2≥4ab ;2(a 2+b 2)≥(a +b )2. 当且仅当a =b 时,等号成立. 3.利用均值不等式求最值 已知x ≥0,y ≥0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小).(2)如果和x +y 是定值s ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是s 24(简记:和定积最大).1.b a +ab ≥2(a ,b 同号),当且仅当a =b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22≤a 2+b 22.3.21a +1b≤ab ≤a +b2≤a 2+b 22(a >0,b >0).4.应用均值不等式求最值要注意:“一定,二正,三相等”,忽略某个条件,就会出错.5.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用均值不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a 2+b 2≥2ab 与a +b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y =x +1x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )=sin x +4sin x 的最小值为4.( ) (4)x >0且y >0是x y +yx ≥2的充要条件.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)不等式a 2+b 2≥2ab 成立的条件是a ,b ∈R ; 不等式a +b2≥ab 成立的条件是a ≥0,b ≥0.(2)函数y =x +1x 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值. (3)函数f (x )=sin x +4sin x 没有最小值. (4)x >0且y >0是x y +yx ≥2的充分不必要条件.2.若x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.81答案 A解析 因为x +y =18,所以xy ≤x +y2=9,当且仅当x =y =9时,等号成立.3.(多选题)若x ≥y ,则下列不等式中正确的是( ) A.3x ≥3y B.x +y2≥xy C.x 2≥y 2D.x 2+y 2≥2xy答案 AD解析 由指数函数的单调性可知,当x ≥y 时,有3x ≥3y ,故A 正确; 当0>x ≥y 时,x +y2≥xy 不成立,故B 错误; 当0≥x ≥y 时,x 2≥y 2不成立,故C 错误;x 2+y 2-2xy =(x -y )2≥0成立,即x 2+y 2≥2xy 成立,故D 正确.4.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )=x +1x -2(x >2)在x =a 处取最小值,则a 等于( ) A.1+2 B.1+3 C.3D.4答案 C解析 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+1x -2+2≥2(x -2)×1x -2+2=4,当且仅当x -2=1x -2(x >2),即x =3时取等号,即当f (x )取得最小值时,x =3,即a =3,故选C.5.(2020·长沙月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m ,则这个矩形的长为________m ,宽为________m 时菜园面积最大. 答案 15 152解析 设矩形的长为x m ,宽为y m.则x +2y =30(0<x ≤18),所以S =xy =12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x +2y 22=2252,当且仅当x =2y ,即x =15,y =152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为________.答案1 4解析由题设知a-3b=-6,又2a>0,8b>0,所以2a+18b≥22a·18b=2·2a-3b2=1 4,当且仅当2a=18b,即a=-3,b=1时取等号.故2a+18b的最小值为14.考点一 利用均值不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32,则函数y =4x (3-2x )的最大值为________. (2)已知x <54,则f (x )=4x -2+14x -5的最大值为________.(3)已知函数f (x )=-x 2x +1(x <-1),则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值-4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值-4答案 (1)92 (2)1 (3)A解析 (1)y =4x (3-2x )=2[2x (3-2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x +(3-2x )22=92, 当且仅当2x =3-2x ,即x =34时,等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32,∴函数y =4x (3-2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92.(2)因为x <54,所以5-4x >0,则f (x )=4x -5+14x -5+3=-⎝⎛⎭⎪⎫5-4x +15-4x +3≤-2(5-4x )·15-4x+3=-2+3=1,当且仅当5-4x =15-4x,即x =1时,取等号. 故f (x )=4x -2+14x -5的最大值为1. (3)f (x )=-x 2x +1=-x 2-1+1x +1=-⎝⎛⎭⎪⎫x -1+1x +1=-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1+1x +1-2 =-(x +1)+1-(x +1)+2.因为x <-1,所以x +1<0,-(x +1)>0, 所以f (x )≥21+2=4, 当且仅当-(x +1)=1-(x +1),即x =-2时,等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ,n 满足m +2n =8,则2m +1n 的最小值为________,等号成立时m ,n 满足的等量关系是________. 答案 1 m =2n解析 因为m +2n =8,所以2m +1n =⎝ ⎛⎭⎪⎫2m +1n ×m +2n 8=18⎝ ⎛⎭⎪⎫4+4n m +m n ≥18⎝⎛⎭⎪⎫4+24n m ×m n =18(4+4)=1,当且仅当4n m =m n ,即m =4,n =2时等号成立. 角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R ),则x 2+y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2+y 4=1,可得x 2=1-y 45y 2,所以x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2+4y 2≥15×21y 2×4y 2=45,当且仅当1y 2=4y 2,即y =±22时取等号.所以x 2+y 2的最小值为45.感悟升华 利用均值不等式求最值的方法(1)知和求积的最值:“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立.(2)知积求和的最值:“积为定值,和有最小值”,直接应用均值不等式求解,但要注意利用均值不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解.【训练1】(1)已知实数x,y>0,且x2-xy=2,则x+6x+1x-y的最小值为()A.6B.62C.3D.32(2)(多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是()A.若x,y>0,x+y=2,则2x+2y的最大值为4B.若x<12,则函数y=2x+12x-1的最大值为-1C.若x,y>0,x+y+xy=3,则xy的最小值为1D.函数y=1sin2x+4cos2x的最小值为9答案(1)A(2)BD解析(1)由x,y>0,x2-xy=2得x-y=2x,则1x-y=x2,所以x+6x+1x-y=x+6x+x 2=3⎝⎛⎭⎪⎫x2+2x≥3×2x2×2x=6,当且仅当x2=2x,即x=2,y=1时等号成立,所以x+6x+1x-y的最小值为6.(2)对于A,取x=32,y=12,可得2x+2y=32>4,A错误;对于B,y=2x+12x-1=-⎝⎛⎭⎪⎫1-2x+11-2x+1≤-2+1=-1,当且仅当x=0时等号成立,B正确;对于C ,易知x =2,y =13满足等式x +y +xy =3,此时xy =23<1,C 错误; 对于D ,y =1sin 2x +4cos 2x =⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x +4cos 2x (sin 2x +cos 2x )=cos 2x sin 2x +4sin 2x cos 2x +5≥24+5=9.当且仅当cos 2x =23,sin 2x =13时等号成立,D 正确.故选BD. 考点二 均值不等式的综合应用【例4】 (1)(2020·湘东七校联考)已知f (x )=13x 3+ax 2+(b -4)x +1(a >0,b >0)在x =1处取得极值,则2a +1b 的最小值为( ) A.3+223 B.3+22 C.3D.9(2)已知不等式(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)C (2)B解析 (1)因为f (x )=13x 3+ax 2+(b -4)x +1(a >0,b >0), 所以f ′(x )=x 2+2ax +b -4. 因为f (x )在x =1处取得极值,所以f ′(1)=0,所以1+2a +b -4=0,解得2a +b =3. 所以2a +1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b ·13·(2a +b )=13⎝ ⎛⎭⎪⎫5+2b a +2a b ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5+22b a ·2a b =3(当且仅当a =b =1时取等号).故选C. (2)已知不等式(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,只要求(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y 的最小值大于或等于9, ∵1+a +y x +axy ≥a +2a +1,当且仅当y =ax 时,等号成立, ∴a +2a +1≥9,∴a ≥2或a ≤-4(舍去),∴a ≥4, 即正实数a 的最小值为4,故选B.感悟升华 1.当均值不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用均值不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时,要观察题目的特点,利用均值不等式确定相关成立的条件,从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中,A =π6,△ABC 的面积为2,则2sin C sin C +2sin B+sin Bsin C 的最小值为( ) A.32B.334C.32D.53(2)在△ABC 中,点D 是AC 上一点,且=4,P 为BD 上一点,向量=λ+μ(λ>0,μ>0),则4λ+1μ的最小值为( ) A.16B.8C.4D.2答案 (1)C (2)A解析 (1)由△ABC 的面积为2,所以S △ABC =12bc sin A =12bc sin π6=2,得bc =8, 在△ABC 中,由正弦定理得 2sin C sin C +2sin B +sin B sin C =2c c +2b +bc=2·8b8b +2b +b 8b=168+2b2+b 28=84+b2+b 2+48-12 ≥284+b 2·b 2+48-12=2-12=32, 当且仅当b =2,c =4时,等号成立,故选C.(2)由题意可知,=λ+4μ,又点B ,P ,D 共线,由三点共线的充要条件可得λ+4μ=1,又因为λ>0,μ>0,所以4λ+1μ=⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ+1μ·(λ+4μ)=8+16μλ+λμ≥8+216μλ·λμ=16,当且仅当λ=12,μ=18时等号成立,故4λ+1μ的最小值为16.故选A. 考点三 均值不等式的实际应用【例5】网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x =3-2t +1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是________万元. 答案 37.5 解析 由题意知t =23-x-1(1<x <3),设该公司的月利润为y 万元,则y =⎝ ⎛⎭⎪⎫48+t 2x x -32x -3-t =16x -t 2-3=16x -13-x +12-3=45.5-⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(3-x )+13-x ≤45.5-216=37.5,当且仅当x =114时取等号,即最大月利润为37.5万元.感悟升华 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用均值不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练3】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是________.答案 30解析 一年的总运费与总存储费用之和为y =6×600x +4x =3 600x +4x ≥2 3 600x ·4x =240,当且仅当3 600x =4x ,即x =30时,y 有最小值240.A 级 基础巩固一、选择题1.已知a ,b ∈R ,且ab ≠0,则下列结论恒成立的是( )A.a +b ≥2abB.a b +b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b +b a ≥2 D.a 2+b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b +b a =⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b +⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2. 2.若3x +2y =2,则8x +4y 的最小值为( )A.4B.42C.2D.22 答案 A解析 因为3x +2y =2,所以8x +4y ≥28x ·4y =223x +2y =4, 当且仅当3x +2y =2且3x =2y ,即x =13,y =12时等号成立.故选A.3.(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知正实数a ,b 满足a +b =2,下列式子中,最小值为2的有( )A.2abB.a 2+b 2C.1a +1bD.2ab答案 BCD 解析 因为a ,b >0,所以2=a +b ≥2ab ,所以0<ab ≤1,当且仅当a =b =1时等号成立.由ab ≤1,得2ab ≤2,所以2ab 的最大值为2,A 错误;a 2+b 2=(a+b )2-2ab ≥4-2=2,B 正确;1a +1b =a +b ab =2ab ≥2,C 正确;2ab ≥2,D 正确,故选BCD.4.已知x >0,y >0,且1x +1+1y =12,则x +y 的最小值为( ) A.3B.5C.7D.9 答案 C解析 ∵x >0,y >0,且1x +1+1y =12,∴x +1+y =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1+1y (x +1+y )=2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+1+y x +1+x +1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2+2y x +1·x +1y =8,当且仅当y x +1=x +1y ,即x =3,y =4时取等号,∴x +y ≥7,故x +y 的最小值为7.5.要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元答案 C解析 由题意知,体积V =4 m 3,高h =1 m ,所以底面积S =4 m 2,设底面矩形的一条边长是x m ,则另一条边长是4x m ,又设总造价是y 元,则y =20×4+10×(2x +8x )≥80+202x ·8x =160,当且仅当2x =8x ,即x =2时取得等号. 6.若实数x ,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x +y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2+y 2+xy =1⇒(x +y )2-xy =1,∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 22,当且仅当x =y 时取等号, ∴(x +y )2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 22≤1, 即34(x +y )2≤1,∴-233≤x +y ≤233,∴x +y 的最大值是233.故选B.7.(2021·沈阳一模)若log 2x +log 4y =1,则x 2+y 的最小值为( )A.2B.23C.4D.22 答案 C解析 因为log 2x +log 4y =log 4x 2+log 4y =log 4(x 2y )=1,所以x 2y =4(x >0,y >0),则x 2+y ≥2x 2y =4,当且仅当x 2=y =2时等号成立,即x 2+y 的最小值为4.故选C.8.(2020·重庆联考)对任意m ,n ∈(0,+∞),都有m 2-amn +2n 2≥0,则实数a 的最大值为( ) A.2B.22C.4D.92 答案 B解析 ∵对任意m ,n ∈(0,+∞),都有m 2-amn +2n 2≥0,∴m 2+2n 2≥amn ,即a ≤m 2+2n 2mn =m n +2n m 恒成立,∵m n +2n m ≥2m n ·2n m =22,当且仅当m n =2n m 即m =2n 时取等号,∴a ≤22,故a 的最大值为22,故选B.二、填空题 9.若直线x a +y b =1(a >0,b >0)过点(1,2),则2a +b 的最小值为________.答案 8解析 由题设可得1a +2b =1,∵a >0,b >0,∴2a +b =(2a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b =4+b a +4a b ≥4+2b a ·4ab=8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a =4a b ,即b =2a =4时,等号成立. 故2a +b 的最小值为8.10.已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________.答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x +3y =9-xy ,因为x >0,y >0, 所以x +3y ≥23xy ,所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +3y 22, 当且仅当x =3y ,即x =3,y =1时取等号,即(x +3y )2+12(x +3y )-108≥0,令x +3y =t ,则t >0且t 2+12t -108≥0,得t ≥6,即x +3y 的最小值为6.法二 (代入消元法)由x +3y +xy =9,得x =9-3y 1+y, 所以x +3y =9-3y 1+y +3y=9+3y 21+y =3(1+y )2-6(1+y )+121+y=3(1+y )+121+y -6≥23(1+y )·121+y-6 =12-6=6,当且仅当3(1+y )=121+y,即y =1,x =3时取等号, 所以x +3y 的最小值为6.11.(2020·天津卷)已知a >0,b >0,且ab =1,则12a +12b +8a +b的最小值为__________.答案 4解析 因为a >0,b >0,ab =1,所以原式=ab 2a +ab 2b +8a +b =a +b 2+8a +b≥2a +b 2·8a +b =4,当且仅当a +b 2=8a +b ,即a +b =4时,等号成立.故12a +12b +8a +b的最小值为4. 12.函数y =x 2+2x -1(x >1)的最小值为________. 答案 23+2解析 ∵x >1,∴x -1>0,∴y =x 2+2x -1=(x 2-2x +1)+(2x -2)+3x -1=(x -1)2+2(x -1)+3x -1=(x -1)+3x -1+2≥23+2.当且仅当x -1=3x -1,即x =3+1时,等号成立.B 级 能力提升13.(多选题)(2021·石家庄一模)若a ,b ,c ∈R ,且ab +bc +ca =1,则下列不等式成立的是( )A.a +b +c ≤3B.(a +b +c )2≥3C.1a +1b +1c ≥23D.a 2+b 2+c 2≥1答案 BD解析 由均值不等式可得a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca ,∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +bc +ca )=2,∴a 2+b 2+c 2≥1,当且仅当a =b =c =±33时,等号成立.∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca )≥3,∴a +b +c ≤-3或a +b +c ≥ 3.若a =b =c =-33,则1a +1b +1c =-33<2 3.因此,A ,C 错误,B ,D 正确.故选BD.14.(2020·山东名校联考)正实数a ,b 满足a +3b -6=0,则1a +1+43b +2的最小值为( ) A.13B.1C.2D.59 答案 B解析 由题意可得a +3b =6,所以1a +1+43b +2=19[(a +1)+(3b +2)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1+43b +2=19⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5+3b +2a +1+4(a +1)3b +2≥1, 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2(a +1)=3b +2,a +3b =6,即a =2,b =43时等号成立.故1a +1+43b +2的最小值为1,选B.15.若a ,b ∈R ,ab >0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为________. 答案 4解析 ∵a ,b ∈R ,ab >0,∴a 4+4b 4+1ab ≥4a 2b 2+1ab =4ab +1ab ≥24ab ·1ab =4,当且仅当⎩⎨⎧a 2=2b 2,4ab =1ab ,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2=22,b 2=24时取得等号. 16.已知函数f (x )=x 2+ax +11x +1(a ∈R ),若对于任意的x ∈N *,f (x )≥3恒成立,则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫-83,+∞ 解析 对任意x ∈N *,f (x )≥3,即x 2+ax +11x +1≥3恒成立,即a ≥-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +8x +3. 设g (x )=x +8x ,x ∈N *,则g (x )=x +8x ≥42,当且仅当x =22时等号成立,又g (2)=6,g (3)=173,∵g (2)>g (3),∴g (x )min =173.∴-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +8x +3≤-83,∴a ≥-83,故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-83,+∞.。

均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版

均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版

t
t
t
答案:[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值. x2 1
解析:令 x2 1 t,t 1,则 x2 t2 1 ,带入原式化简得 y t 2 2 2 , t
当 t 2 即 t 2 时等号成立. t
答案: 2 2
例 3 已知 x 1,求 f (x) x2 x 1 的最小值. 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案:
1
2
38
对勾函数:
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数. x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况.
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四:分离换元法求最值(二次比一次或一次比二次时用)
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域. x 1 2
解析:令 x 1 t,t 3 ,则 x t 1,带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ,
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ,当 t 4 即 t 2 时等号成立.
解析:构造对勾函数 y 3x 12 ,由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减, x

y
3x
12 x
y(3)
13

答案: (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ,求函数 y x 4 的最小值. x4
已知 x 3,求函数 y 2x 3 的值域. 2x

均值不等式

均值不等式

【方法小结】 (1)解应用题时,一定要注意变 量的实际意义,即其取值范围,这对最优化问 题起着关键作用. (2)在求函数的最值时,除应用均值不等式外, 有时会出现均值不等式取不到等号的情形,此 时要利用函数的单调性求解.
方法感悟 方法技巧 1.合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆 与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值, 必要时出现积为定值或和为定值(如例2). 2.当多次使用均值不等式时,一定要注意每次 是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条 件的一致性,否则就会出错,因此在利用均值 不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅 是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有 误的一种方法.
失误防范
a+b 应用均值不等式 ab≤ 时要注意的问题 2 (1)注意不等式成立的条件 a>0,b>0. (2)均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和 将“积式”转化为“和式”的放缩功能, 在证明或 求最值时,要注意这种转化思想.
考向瞭望·把脉高考
考情分析
通过对近几年高考试题的统计和分析可以发现,本 节主要考查利用均值不等式求函数的最值.若单纯 考查均值不等式,一般难度不大,通常出现在选择 题和填空题中;若考查均值不等式的变形,即通过 对代数式进行拆、添项或配凑因式,构造出均值不 等式的形式再进行求解,难度就会提升.对均值不 等式的考查,若以解答题的形式出现时,往往是作 为工具使用,用来证明不等式或解决实际问题. 预测2012年高考仍将以求函数的最值为主要考点, 重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力.
【思路分析】 利用a2+b2≥2ab两两结合即可求 证.但需两次利用不等式,注意等号成立的条 件. 【证明】 a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2 =2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd. 故原不等式得证,等号成立的条件是a2=b2, 且c2=d2,ab=cd. 【名师点评】 证明不等式时要注意灵活变形, 多次利用均值不等式时,注意每次等号是否都成 立,同时也要注意应用均值不等式的变形形式.

2020-2021学年高一上数学新教材必修一第2章:均值不等式(含答案)

2020-2021学年高一上数学新教材必修一第2章:均值不等式(含答案)
∴1+x= ≤ =1+ ,
∴x≤ .当且仅当a=b时等号成立.]
8.已知函数y=4x+ (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=________.
36[y=4x+ ≥2 =4 (x>0,a>0),当且仅当4x= ,即x= 时等号成立,此时y取得最小值4 .又由已知x=3时,ymin=4 ,
∴ =3,即a=36.]
A. > B. + ≤1
C. ≥2D. ≤
D[由 ≤2得ab≤4,
∴ ≥ ,故A错;
B中, + = = ≥1,故B错;
由a+b=4,得 ≤ = =2,故C错;
由 ≥ 2得a2+b2≥2× 2=8,
∴ ≤ ,D正确.]
二、填空题
6.已知a>b>c,则 与 的大小关系是________.
≤ [∵a>b>c,
2020-2021学年高一上数学新教材必修一
第2章:均值不等式
一、选择题
1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是()
A.s≥tB.s>t
C.s≤tD.s<t
2.下列不等式中正确的是()
A.a+ ≥4B.a2+b2≥4ab
C. ≥ D.x2+ ≥2
3.已知a>0,b>0,则下列不等式中错误的是()
+ ≥2(当且仅当a=c时取“=”);
+ ≥2(当且仅当b=c时取“=”).
从而 + + ≥6(当且仅当a=b=c时取等号).
∴ + + -3≥3,
即 + + ≥3.
[等级过关练]
1.下列不等式一定成立的是()
A.x+ ≥2B. ≥
C. ≥2D.2-3x- ≥2
B[A项中当x<0时,x+ <0<2,∴A错误.

《均值不等式》例题-完整版课件

《均值不等式》例题-完整版课件
• 【思路点拨】 以污水池的长或宽为自变量, 表示出函数(总造价),无条件限制时,用基本 不等式求最值,在限制条件下不能用基本不等 式求最值时,考虑用函数单调性求最值.
【解析】 (1)设污水池的长为 x,则宽为40x0,总造价
y=2x+2·40x0·200+2·250·40x0+80×400
= 400x+90x0 + 32 000≥400·2

某工厂拟建一座平面图为矩形且面
积为400平方米的三级污水处理池,平面图
如下图所示.池外ห้องสมุดไป่ตู้建造单价为每米200元,
中间两条隔墙建造单价每米250元,池底建
造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不
计,且池无盖).
• (1)试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并 求出最低造价;
• (2)若受场地限制,长与宽都不能超过25米,则 污水池的最低造价为多少?
【解析】 ∵a>2,∴a-2>0, 又∵m=a+a-1 2=(a-2)+a-1 2+2, ∴m≥2 a-2×a-1 2+2=4,即 m∈[4,+∞). 由 b≠0 得 b2≠0,∴2-b2<2,∴22-b2<4,即 n<4, ∴n∈(0,4),综上易得 m>n.
【答案】 A
已知 a、b、c 为正数,求证:b+ac-a+c+ab-b +a+bc-c≥3.
从而ba+ab+ac+ac+bc+bc≥6(当且仅当 a=b=c 时取 等号).
∴ba+ab+ac+ac+bc+bc-3≥3, 即b+ac-a+c+ab-b+a+bc-c≥3.
【思路点拨】 因为 x<54,∴4x-5<0,故应先处理符号, 再将 4x-2 化为 4x-5+3,然后用基本不等式.
【解析】 ∵x<54,∴5-4x>0, ∴y=4x-2+4x-1 5=-[(5-4x)+5-14x]+3≤-2+3 =1, 当且仅当 5-4x=5-14x时,即 x=1 时,上式等号成立. ∴x=1 时,ymax=1.

完整版)均值不等式测试题(含详解)

完整版)均值不等式测试题(含详解)

完整版)均值不等式测试题(含详解)解析:将不等式化简为x2-x+1/4+1/4≥1,即(x-1/2)2≥3/4,当x≤1/2-√3/2或x≥1/2+√3/2时,不等式成立,选项B符合条件。

3.C解析:2x+8y=2(x+4y),由于x+3y-1=0,所以2x+8y=2(x+4y)=(x+3y-1)+5y+1≥2√15,故最小值为2√15,选项C符合条件。

4.B解析:根据柯西-施瓦茨不等式,有|(mx+ny)|≤√(m2+n2)(x2+y2),代入已知条件得到|(mx+ny)|≤√3,故mx+ny的最大值为3,选项B符合条件。

5.B解析:将选项B化简为(a-b)2(a2+b2+ab)≥0,显然成立,其他选项均不成立。

6.A解析:将选项A化简为(x+1/x+2)2≥4,即(x2+1+2x/x)2≥4,由于x>0,故(x2+1+2x/x)2≥(2(x2+1))/x≥4,故选项A成立。

7.A解析:将2a+b+c表示为a+(a+b+c),代入已知条件得到a(a+b+c)+bc=4-2(a+b+c),化简得到(a+b+c-2)2=4-23,故a+b+c的最小值为3-1,选项A符合条件。

填空题:8.最大值为2,当x=1时取得。

9.最小值为2,当x=2时取得。

10.最小值为2,当x=1时取得。

11.最大值为4,当x=2时取得。

解答题:12.由于点A在直线mx+ny+1=0上,所以loga(3)-1=-(mx+ny)/a,化简得到mx+ny=-a(loga(3)-1),代入mn>0得到a>1/3,且mn=a2>0,故m=n=a/√2,所以m+n=√2a,最小值为2√2.13.设购买次数为n,则每次购买x=400/n吨,总运费为4n万元,总存储费用为4x=1600/n万元,总花费为4n+1600/n,根据均值不等式,有4n+1600/n≥2√(4n×1600/n)=80,即n≥4,故购买次数至少为4,每次购买100吨。

(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案:2.2.4.1 均值不等式 (含答案)

(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案:2.2.4.1 均值不等式 (含答案)

2.2.4 均值不等式及其应用第1课时均值不等式1.均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值.前提给定两个正数a,b结论数a+b2称为a,b的算术平均值数ab 称为a,b的几何平均值(2)均值不等式前提a,b都是正数,结论a+b2≥ab ,等号成立的条件当且仅当a=b时,等号成立几何意义所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大.(3)本质:算数平均值的本质就是数a ,b 在数轴上对应点的中点坐标.几何平均值的本质就是a ,b 乘积的开方.均值不等式就是在正数的前提下其算数平均值大于等于其几何平均值. (4)应用:应用均值不等式求最值.(1)均值不等式中的a ,b 只能是具体的某个数吗? 提示:Xa ,b 既可以是具体的某个数,也可以是代数式.(2)均值不等式的叙述中,“正数”两个字能省略吗?请举例说明. 提示:不能,如(-3)+(-4)2 ≥(-3)×(-4) 是不成立的. 2.均值不等式与最值两个正数的积为常数时,它们的和有最小值; 两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.通过以上结论可以得出,利用均值不等式求最值要注意哪几方面? 提示:求最值时,要注意三个条件,即“一正”“二定”“三相等”.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)两个不等式a 2+b 2≥2ab 与a +b2 ≥ab 成立的条件是相同的.( )提示:×.不等式a 2+b 2≥2ab 成立的条件是a ,b ∈R ;不等式a +b2 ≥ab成立的条件是a >0,b >0.(2)当a >0,b >0时a +b ≥2ab .( ) 提示:√.均值不等式的变形公式.(3)当a >0,b >0时ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2 2.( ) 提示:√.均值不等式的变形公式. (4)函数y =x -1+1x -1的最小值是2.( )提示:×.当x -1<0,即x <1时,x -1+1x -1 是负数.2.若正实数a ,b 满足a +b =2,则ab 的最大值为( ) A .1 B .22 C .2 D .4【解析】选A.当a ,b 为正实数时,由ab ≤a +b 2 ,ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a +b 2 2 =⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2=1,当且仅当a =b =1时等号成立,所以ab 的最大值为1. 3.(教材例题改编)已知x >1,y =x +1x -1 ,则y 的最小值是( )A .1B .2C .3D .4【解析】选C.因为x >1,则x -1>0,由基本不等式得y =x -1+1x -1+1≥2(x -1)·1x -1+1=3,当且仅当x =2时,等号成立,因此,y 的最小值是3.类型一 对均值不等式的理解(数学抽象)1.给出下列条件:①ab >0;②ab <0;③a >0,b >0;④a <0,b <0.其中能使b a +ab ≥2成立的条件个数为( )A .1B .2C .3D .4【解析】选C.由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”,即当ba ,ab 均为正数时,可得b a +ab ≥2,此时只需a ,b 同号即可,所以①③④均满足要求.2.不等式a +1≥2 a (a >0)中等号成立的条件是( ) A .a =0 B .a =12 C .a =1 D .a =2【解析】选C.因为a >0,根据均值不等式ab ≤a +b2 ,当且仅当a =b 时等号成立,故a +1≥2 a 中等号成立当且仅当a =1. 3.若a >0,b >0,且M =a +b2 ,G =ab ,H =a 2+b 22 ,则M ,G ,H 的大小关系为________.【解析】因为a >0,b >0,所以有a +b2 ≥ab (当且仅当a =b 时取等号),因此有M ≥G .a 2+b 2≥2ab ⇒a 2+b 2+a 2+b 2≥2ab +a 2+b 2⇒a 2+b 2≥(a +b )22 ⇒a 2+b 22 ≥(a +b )24(当且仅当a =b 时取等号),因为a >0,b >0,所以有a 2+b 22 ≥a +b2 ,因此有H ≥M . 答案:H ≥M ≥G均值不等式使用的条件利用均值不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:“一正”是,要判断参数是否为正;“二定”是,要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);“三相等”是,一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数是否在定义域内,二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).【补偿训练】设0<a<b ,则下列不等式中正确的是( ) A .a<b<ab <a +b 2 B .a<ab <a +b2 <b C .a<ab <b<a +b 2 D .ab <a<a +b2 <b【解析】选B .因为0<a<b ,所以0< a < b ,所以a<ab ,同样由0<a<b 得a 2 <b 2 ,所以a +b 2 <b ,由均值不等式可得,ab <a +b 2 ,综上,a<ab <a +b2 <b.类型二 利用均值不等式求最值(数学运算)【典例】当x>1时,求x 2+8x -1 的最小值.探求解书写表达令t=x2+8x-1=(x-1)2+2(x-1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2,①因为x-1>0,所以t≥2(x-1)·9x-1+2=8,当且仅当x-1=9x-1,即x=4时,t的最小值为8.②注意书写的规范性:①为了表达式的完整性,可以将表达式记为t=x2+8x-1②步骤中不能省略验证等号成立的条件题后反思表达式的恒等变形是解题的关键,ax2+bx+cdx+e(ad≠0)形式的表达式通常分母不变,将分子化为m(dx+e)2+n(dx+e)+q的形式(m,n,q为常数)并展开,再利用均值不等式求解,均值不等式的应用必须一正、二定、三相等,三者缺一不可利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点(1)两种类型:①若a+b=p(两个正数a,b的和为定值),则当a=b时,积ab有最大值p24,可以用均值不等式ab ≤a+b2求得.②若ab=S(两个正数的积为定值),则当a=b时,和a+b有最小值2S ,可以用均值不等式a+b≥2ab 求得.(2)一个关注点:不论哪种情况都要注意等号取得的条件.(2021·潍坊高一检测)规定记号“⊙”表示一种运算,即a⊙b=ab +a +b(a,b为正实数).若1⊙k=3,则k的值为________,此时函数y=k⊙xx的最小值为________.【解析】由题意得1⊙k=k +1+k=3,即k+k -2=0,所以k =1或k =-2(舍去),所以k=1.y=k⊙xx =x+x+1x=1+x +1x≥1+2x×1x=3,当且仅当x =1x,即x=1时,等号成立.答案:1 3【拓展延伸】1.一次式除以二次式形式的表达式的最值的求法(1)分子一次形式不变,将分母的二次形式改写为分子一次形式的平方或者一次形式的几倍或者常数形式.(2)分子分母同除以分子后利用均值不等式求解.2.利用均值不等式求解整式形式的最值(1)判断所求表达式中未知量的正负.(2)直接使用均值不等式求解,特别注意最后要进行等号成立时的未知量的检验.【拓展训练】对任意x>0,xx 2+3x +1的最大值为________.【解析】由题意,对任意x>0,有x x 2+3x +1 =1x 2+3x +1x =1x +1x +3≤12x·1x +3 =15 ,当且仅当x =1x ,即x =1时,等号成立, 即x x 2+3x +1 的最大值为15 . 答案:15总结:本题主要考查了均值不等式的应用,解答中对xx 2+3x +1 进行等价转化求得最大值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.类型三 间接利用均值不等式求最值“不正”问题【典例】已知x<0,则3x +12x 的最大值为________. 【思路导引】变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值. 【解析】因为x<0,所以-x>0.则3x +12x =-⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12-x +(-3x ) ≤-212(-x )·(-3x ) =-12,当且仅当12-x=-3x ,即x =-2时,3x +12x 取得最大值为-12. 答案:-12若条件改为“x<1”,结论改为“则3(x -1)+12x -1 的最大值为________.”如何求解?【解析】因为x<1,所以x -1<0,故-(x -1)>0,所以3(x -1)+12x -1 =-⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-3(x -1)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-12x -1 ≤ -2-3(x -1)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-12x -1 =-12,当且仅当-3(x -1)=-12x -1 ,即x =-1时,3(x -1)+12x -1 取得最大值-12.答案:-12“不定”问题【典例】(1)已知x>2,求x +1x -2的最小值.【思路导引】先对式子变形,凑定值后再利用均值不等式求最值. 【解析】(1)因为x>2,所以x -2>0,所以x +1x -2 =x -2+1x -2 +2≥2(x -2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x -2 +2=4,所以当且仅当x -2=1x -2 (x>2),即x =3时,x +1x -2 的最小值为4.(2)已知0<x<4,求x(8-2x)的最大值.【解析】因为0<x<4,所以8-2x>0,所以x(8-2x)=12 ×2x(8-2x)≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x +8-2x 2 2 =8, 所以当且仅当2x =8-2x ()0<x<4 , 即x =2时有最大值,x(8-2x)的最大值为8.若把本例(1)改为:已知x<54 , 试求4x -2+14x -5的最大值.【解析】因为x<54 ,所以4x -5<0,5-4x>0. 所以4x -5+3+14x -5 =-⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5-4x +15-4x +3≤-2(5-4x )·15-4x+3=1.当且仅当5-4x =15-4x 时等号成立,又5-4x>0,所以5-4x =1,x =1时,4x -2+14x -5的最大值是1.1.负数在均值不等式中的应用当所给式子均小于0时,也可以利用均值不等式求最值,但是要注意不等号方向的变化.2.通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.1.(2021·宜春高一检测)已知两个正数a ,b 满足3a +2b =1,则3a +2b 的最小值是( )A .23B .24C .25D .26【解析】选C .根据题意,正数a ,b 满足3a +2b =1, 则3a +2b =⎝⎛⎭⎫3a +2b ⎝⎛⎭⎪⎫3a +2b =13+⎝⎛⎭⎪⎫6a b +6b a≥13+26a b ·6ba =25,当且仅当a =b =15 时等号成立. 即3a +2b 的最小值是25.2.不等式9x -2 +(x -2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( )A .x =3B .x =-3C .x =5D .x =-5【解析】选C .由均值不等式知等号成立的条件为9x -2 =x -2,即x =5(x =-1舍去).3.已知x<0,则x +94x 的最大值是________.【解析】已知x<0,则x +94x =-⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-x +9-4x ≤-294 =-3,当-x =9-4x,即x =-32 时,等号成立.答案:-3【补偿训练】(2020·潍坊高一检测)设a>b>0,则a 2+1ab +1a (a -b )的最小值是( )A .1B .2C .3D .4【解析】选D .因为a>b>0,所以a 2+1ab +1a (a -b )=a 2-ab +ab +1ab +1a (a -b )=ab +1ab +a(a -b)+1a (a -b ) ≥2+2=4,(当且仅当ab =1且a(a -b)=1即a = 2 ,b =22 时,取“=”号),故应选D .备选类型 “不等”问题【典例】下列命题中,正确的是( ) A .x +4x 的最小值是4B .x 2+4 +1x 2+4的最小值是2C .如果a>b ,c>d ,那么a -c>b -dD .如果ac 2>bc 2,那么a>b【思路导引】利用均值不等式和对勾函数的性质,以及不等式的性质,分别对四个选项进行判断,得到答案.【解析】选D .选项A 中,若x<0,则无最小值,所以错误;选项B 中,t =x 2+4 ≥2,则函数y =x 2+4 +1x 2+4转化为函数y =t +1t ,在[2,+∞)上单调递增,所以最小值为52 ,所以错误; 选项C 中,若a =c ,b =d ,则a -c =b -d ,所以错误; 选项D 中,如果ac 2>bc 2,则c≠0,所以c 2>0,所以可得a>b.运用均值不等式解“不等”问题(1)观察运用均值不等式求最值的表达式是否满足一正二定; (2)使用均值不等式,检验等号是否成立,成立即运用均值不等式,否则结合单调性加以求解.下列各式中,最小值是2的为( )A .(x +1)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1B .(x +2)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2C .(x 2+1)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+1 D .x 2+3 +1x 2+3【解析】选C .选项A ,只有当x +1>0,即x >-1时,才有(x +1)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1≥2(x +1)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1 =2(当且仅当x =0时取等号)成立,此时(x +1)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1 的最小值为2,当x +1<0,即x<-1时,(x +1)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1 没有最小值,因此选项A 是错误的;选项B ,只有当x +2>0,即x >-2时,才有(x +2)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +2 ≥2(x +2)·1(x +2)=2(当且仅当x =-1时取等号)成立,此时(x +2)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +2 的最小值为2,当x +2<0,即x <-2时,(x +2)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +2 没有最小值,因此选项B 是错误的;选项C ,因为x 2+1>0,所以⎝⎛⎭⎫x 2+1 +⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2+1 ≥ 2⎝⎛⎭⎫x 2+1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2+1 =2(当且仅当x =0时取等号),因此⎝⎛⎭⎫x 2+1 +⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2+1 的最小值为2,所以本选项是正确的; 选项D ,因为x 2+3 >0,所以x 2+3 +1x 2+3≥2x 2+3·1x 2+3=2,x 2+3 =1x 2+3⇒x 2+3=1⇒x 2=-2方程无实数根,故不等式取不到等号,因此本选项是错误的.1.若x 2+y 2=4,则xy 的最大值是( ) A .12 B .1 C .2 D .4【解析】选C.xy ≤x 2+y 22 =2,当且仅当x =y 时取“=”.2.(2021·烟台高一检测)已知a >0,b >0,若不等式4a +1b ≥ma +b 恒成立,则m 的最大值为( )A .10B .12C .16D .9【解析】选D.由已知a >0,b >0,若不等式4a +1b ≥ma +b恒成立,所以m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +1b (a +b )恒成立,转化成求y =⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +1b (a +b )的最小值,y=⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +1b (a +b )=5+4b a +ab ≥5+24b a ·ab =9,当且仅当a =2b 时等号成立,所以m ≤9.3.(教材练习改编)已知x>3,y =x 2-3x +1x -3 ,则y 的最小值为( )A .2B .3C .4D .5【解析】选D .因为x>3,所以x -3>0,则y =x 2-3x +1x -3=x +1x -3=x -3+1x -3+3≥2(x -3)×1x -3+3=5,当且仅当x -3=1x -3,即x =4时取等号. 4.已知0<x<4,则4x +14-x 的最小值为________,此时x =________.【解析】因为x +4-x4 =1,且0<x<4,所以4x +14-x =⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x +14-x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4+4-x 4 =54 +x 4(4-x ) +4-x x ≥54 +2x 4(4-x )·4-x x =94 ,当且仅当x =83 时等号成立.答案:94 835.若a>0,b>0且2a +1b =3,则ab 的最大值为________. 【解析】因为a>0,b>0,所以2a +1b =3≥22a b ,当且仅当2a =1b ,即a =34 ,b =23 时,等号成立,所以a b ≤98 . 答案:98。

均值不等式含答案

均值不等式含答案

均值不等式教学重点: 掌握均值不等式的证明及应用,会用均值不等式求函数的最大值或最小值; 教学难点: 利用均值不等式的证明。

1. 算术平均值与几何平均值(1) 算术平均值:对任意两个正实数,a b ,数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值 (2) 几何平均值:对任意两个正实数,a b叫做,a b 的几何平均值 2. 均值定理如果,a b R +∈,那么2a b+≥,当且仅当a b =时,等号成立 3. 均值不等式的常见变形(1)),a b a b R ++≥∈(2)()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭(3)2b aa b+≥(,a b 同号且不为0) (4))2,11a b R a b+≤∈+类型一: 均值不等式的理解例1. 设0,0a b >>,则下列不等式不成立的是()A.2b a a b +≥B.44222a b a b +≥ C. 22b a a b a b +≥+ D.1122a b a b+≥++解析:特值法,令1a b ==,则A,B,C 项都成立,而D 项中,1122,23a b a b+=+=+ 显然不成立,故D 项不成立。

答案:D练习1. 若a 、b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( )A .a 2+b 2>2abB .a +b ≥2abC .1a +1b >2abD .b a +ab ≥2答案:D练习2. 设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( )A .a <b <ab <a +b 2B .a <ab <a +b 2<bC .a <ab <b <a +b 2D .ab <a <a +b2<b答案:B类型二: 均值不等式与最值例2. 若正数x 、y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( ) A .245 B .285C .5D .6解析:由x +3y =5xy 得15y +35x =1,∴3x +4y =(3x +4y )·(15y +35x )=3x 5y +12y 5x +95+45≥23x 5y ·12y 5x +135=125+135=5,当且仅当3x 5y =12y5x时,得到最小值5. 答案:C练习3. 设x 、y ∈R ,且x +y =5,则3x +3y 的最小值为( ) A .10 B .63 C .46 D .18 3答案:D练习4. 已知正项等差数列{a n }中,a 5+a 16=10则a 5a 16的最大值为( ) A .100 B .75 C .50 D .25 答案:D类型三: 利用均值不等式证明不等式及应用例3. 已知a 、b 、c ∈R ,求证:a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2≥2(a +b +c ). 解析:∵a +b2≤a 2+b 22,∴a 2+b 2≥a +b2=22(a +b )(a ,b ∈R 等号在a =b 时成立). 同理b 2+c 2≥22(b +c )(等号在b =c 时成立).a 2+c 2≥22(a +c )(等号在a =c 时成立). 三式相加得a 2+b 2+b 2+c 2+a 2+c 2 ≥22(a +b )+22(b +c )+22(a +c ) =2(a +b +c )(等号在a =b =c 时成立). 答案:见解析练习5. 已知a 、b 是正数,试比较21a +1b 与ab 的大小.答案:∵a >0,b >0,∴1a +1b ≥21ab >0. ∴21a +1b ≤221ab =ab .即21a +1b≤ab . 练习6.若x >0,y >0,x +y =1,求证:(1+1x )·(1+1y)≥9..答案:证法一:左边=(1+1x )(1+1y)=1+1x +1y +1xy =1+x +y xy +1xy=1+2xy ≥1+2(x +y 2)2=9=右边.当且仅当x =y =12时,等号成立.证法二:∵x +y =1, ∴左边=(1+1x )(1+1y)=(1+x +y x )(1+x +y y )=(2+y x )(2+xy )=5+2(y x +xy )≥5+4=9=右边.当且仅当x =y =12时,等号成立.例4. 在面积为S (S 为定值)的扇形中,当扇形中心角为θ,半径为r 时,扇形周长最小,这时θ、r 的值分别是( )A .θ=1,r =SB .θ=2,r =4SC .θ=2,r =3S D .θ=2,r =S 解析:S =12θr 2⇒θ=2Sr2,又扇形周长P =2r +θr =2⎝⎛⎭⎫r +Sr ≥4S , 当P 最小时,r =Sr ⇒r =S ,此时θ=2.答案:D练习7. 设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖),按交通规定车厢宽为2m ,则车厢的最大容积是( )A .(38-373)m 3B .16m 3C .42m 3D .14m 3 答案:B练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就减少20个,为获得最大利润,售价应定在( )A .每个95元B .每个100元C .每个105元D .每个110元 答案:A1. 若x >0,y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是( ) A .1x +y ≤14B .1x +1y ≥1C .xy ≥2D .1xy ≥1答案:B2. 已知m 、n ∈R ,m 2+n 2=100,则mn 的最大值是( )A .100B .50C .20D .10 答案:B3. 若a >0,b >0且a +b =4,则下列不等式恒成立的是( )A .1ab >12B .1a +1b ≤1C .ab ≥2D .1a 2+b 2≤18答案:D4. 实数x 、y 满足x +2y =4,则3x +9y 的最小值为( )A .18B .12C .23D .43 答案:A5.设x +3y -2=0,则3x +27y +1的最小值为( )A .7B .339 C .1+22 D .56. 设a >0,b >0,若3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b 的最小值为( )A .8B .4C .1D .14答案:B基础巩固1. 若0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,则a +b,2ab ,2ab ,a 2+b 2中最大的一个是( ) A .a 2+b 2 B .2ab C .2ab D .a +b 答案:D2. 若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( )A .[0,2]B .[-2,0]C .[-2,+∞)D .(-∞,-2] 答案:D3. 已知x 、y ∈R +,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为________.答案:34. 已知a 、b 为实常数,函数y =(x -a )2+(x -b )2的最小值为__________ 答案:12(a -b )25. a 、b 、c 是互不相等的正数,且a 2+c 2=2bc ,则下列关系中可能成立的是( ) A .a >b >c B .c >a > b C .b >a >cD .a >c >b答案:C6. 设{a n }是正数等差数列,{b n }是正数等比数列,且a 1=b 1,a 21=b 21,则( ) A .a 11=b 11 B .a 11>b 11 C .a 11<b 11 D .a 11≥b 11 答案:D7. 已知a >1,b >1,且lg a +lg b =6,则lg a ·lg b 的最大值为( ) A .6 B .9 C .12D .18答案:B8. 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A .60件B .80件C .100件D .120件 答案:B9. 已知2x +3y=2(x >0,y >0),则xy 的最小值是________.10. 若实数x 、y 满足x 2+y 2+xy =1,则x +y 的最大值是________.答案:23311. 做一个面积为1 m 2,形状为直角三角形的铁架框,在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是( )A .4.6 mB .4.8 mC .5 mD .5.2 m 答案:C12. 光线透过一块玻璃,其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下,至少需这样的玻璃板________块.(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771) 答案:1113. 一个矩形的周长为l ,面积为S ,给出下列实数对:①(4,1);②(8,6);③(10,8);④(3,12).其中可作为(l ,S )的取值的实数对的序号是________. 答案:①④14. 已知正常数a 、b 和正实数x 、y ,满足a +b =10,a x +by =1,x +y 的最小值为18,求a 、b 的值.答案:x +y =(x +y )·1=(x +y )·(a x +by)=a +b +ay x +bxy ≥a +b +2ab =(a +b )2,等号在ay x =bx y 即y x=ba时成立. ∴x +y 的最小值为(a +b )2=18, 又a +b =10,∴ab =16.∴a 、b 是方程x 2-10x +16=0的两根, ∴a =2,b =8或a =8,b =2.能力提升15. 已知x >0,y >0,lg2x +lg8y =lg2,则 1x +13y 的最小值是( )A .2B .22C .4D .2 3 答案:C16. 设函数f (x )=2x +1x-1(x <0),则f (x )( )A .有最大值B .有最小值C .是增函数D .是减函数17. 已知x >0,y >0,x 、a 、b 、y 成等差数列,x 、c 、d 、y 成等比数列,则(a +b )2cd 的最小值是( )A .0B .1C .2D .4 答案:D18. 若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数,且P =ab +cd ,Q =ax +cy ·b x +dy,则有( ) A .P =Q B .P ≥Q C .P ≤Q D .P >Q 答案:C19. 已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4有( )A .最大值54B .最小值54 C .最大值1 D .最小值1答案: D20. 已知y >x >0,且x +y =1,那么( )A .x <x +y 2<y <2xyB .2xy <x <x +y 2<yC .x <x +y 2<2xy <yD .x <2xy <x +y 2<y答案:D21. 设a 、b 是正实数,给出以下不等式:①ab >2ab a +b ;②a >|a -b |-b ;③a 2+b 2>4ab -3b 2;④ab +2ab >2,其中恒成立的序号为( )A .①③B .①④C .②③D .②④ 答案:D22. 已知a >0,b >0,且a +b =1,则⎝⎛⎭⎫1a 2-1⎝⎛⎭⎫1b 2-1的最小值为( ) A .6 B .7 C .8 D .9 答案:D23.若直线2ax -by +2=0(a >0,b >0)被圆x 2+y 2+2x -4y +1=0截得的弦长为4,则1a +1b 的最小值为( )A .14B .12 C .2 D .4答案:D24. 当x >1时,不等式x +1x -1≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[3,+∞) D .(-∞,3] 答案:D25. 已知正数x 、y 满足1x +4y=1,则xy 有( )A .最小值116B .最大值16C .最小值16D .最大值116答案:C26. 若正实数x 、y 满足2x +y +6=xy ,则xy 的最小值是________ 答案:1827. 已知函数f (x )=lg x (x ∈R +),若x 1、x 2∈R +,判断12[f (x 1)+f (x 2)]与f (x 1+x 22)的大小并加以证明.答案:12[f (x 1)+f (x 2)]≤f (x 1+x 22)∵f (x 1)+f (x 2)=lg x 1+lg x 2=lg(x 1·x 2), f (x 1+x 22)=lg x 1+x 22,而x 1、x 2∈R +,x 1x 2≤(x 1+x 22)2,而f (x )=lg x 在区间(0,+∞)上为增函数. ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1+x 22)2,∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1+x 22. 即12(lg x 1+lg x 2)≤lg x 1+x 22. 因此,12[f (x 1)+f (x 2)]≤f (x 1+x 22).28. 已知a 、b 、c ∈R +,求证:a 2b +b 2c +c 2a≥a +b +C答案:∵a 、b 、c ∈R +,a 2b ,b 2c ,c 2a均大于0,又a 2b +b ≥2a 2b ·b =2a , b 2c +c ≥2b 2c·c =2b , c 2a+a ≥2c 2a·a =2c , 三式相加得a 2b +b +b 2c +c +c 2a +a ≥2a +2b +2c ,∴a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +C . 29.求函数y =1-2x -3x 的值域.答案:y =1-2x -3x =1-(2x +3x).①当x >0时,2x +3x ≥22x ·3x=2 6. 当且仅当2x =3x ,即x =62时取等号.∴y =1-(2x +3x)≤1-2 6.②当x <0时,y =1+(-2x )+(-3x ).∵-2x +(-3x)≥2(-2x )·(-3x)=2 6.当且仅当-2x =-3x 时,即x =-62时取等号.∴此时y =1-2x -3x≥1+2 6综上知y ∈(-∞,1-26]∪[1+26,+∞).∴函数y =1-2x -3x的值域为(-∞,1-26)∪[1+26,+∞).30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.试求:(1)仓库面积S 的取值范围是多少?(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长?答案:(1)设正面铁栅长x m ,侧面长为y m ,总造价为z 元,则z =40x +2×45y +20xy =40x +90y +20xy ,仓库面积S =xy .由条件知z ≤3 200,即4x +9y +2xy ≤320. ∵x >0,y >0,∴4x +9y ≥24x ·9y =12xy .∴6S +S ≤160,即(S )2+6S -160≤0. ∴0<S ≤10,∴0<S ≤100. 故S 的取值范围是(0,100].(2)当S =100 m 2时,4x =9y ,且xy =100. 解之得x =15(m),y =203(m).答:仓库面积S 的取值范围是(0,100],当S 取到最大允许值100 m 2时,正面铁栅长15 m.31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为12万元,以后每年增加4万元,每年捕鱼收益50万元.(1)问第几年开始获利?(2)若干年后,有两种处理方案:①年平均获利最大时,以26万元出售该渔船;②总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船.问哪种方案最合算?答案:由题设知每年的费用是以12为首项,4为公差的等差数列.设纯收入与年数的关系为f (n ),则f (n )=50n -[12+16+…+(8+4n )]-98=40n -2n 2-98. (1)由f (n )>0得,n 2-20n +49<0, ∴10-51<n <10+51, 又∵n ∈N ,∴n =3,4,…,17. 即从第3年开始获利.(2)①年平均收入=f (n )n =40-2(n +49n )≤40-2×14=12,当且仅当n =7时,渔船总收益为12×7+26=110(万元). ②f (n )=-2(n -10)2+102.因此当n =10时,f (n )max =102,总收益为102+8=110万元,但7<10,所以第一种方案更合算.。

均值不等式的应用(习题+标准答案)

均值不等式的应用(习题+标准答案)

均值不等式的应用(习题+答案)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:均值不等式应用一.均值不等式1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值例1:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x解:(1)y =3x 2+12x2 ≥23x 2·12x2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)(2)当x >0时,y =x +1x≥2x ·1x=2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1x )≤-2x ·1x=-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式 含答案

均值不等式   含答案

课时作业15 均值不等式时间:45分钟 满分:100分课堂训练1.已知5x +3y=1(x >0,y >0),则xy 的最小值是( )A .15B .6C .60D .1【答案】 C【解析】 ∵5x +3y =1≥215xy,∴xy ≥60,当且仅当3x =5y 时取等号.2.函数f (x )=x +4x+3在(-∞,-2]上( )A .无最大值,有最小值7B .无最大值,有最小值-1C .有最大值7,有最小值-1D .有最大值-1,无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤-2,∴f (x )=x +4x+3=-⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-x+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-4x +3≤-2-x⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-4x +3=-1,当且仅当-x =-4x,即x =-2时,取等号,∴f (x )有最大值-1,无最小值.3.已知两个正实数x ,y 满足x +y =4,则使不等式1x +4y≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤-∞,94 【解析】 1x +4y =⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x +y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +4y =54+y 4x +x y ≥54+214=94. 4.求函数y =x 2+7x +10x +1(x >-1)的最小值.【分析】 对于本题中的函数,可把x +1看成一个整体,然后将函数用x +1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的形式特点,从而能用均值定理来处理.【解析】 因为x >-1, 所以x +1>0.所以y =x 2+7x +10x +1=x +12+5x +1+4x +1=(x +1)+4x +1+5≥2x +1·4x +1+5=9当且仅当x +1=4x +1,即x =1时,等号成立.∴当x =1时,函数y =x 2+7x +10x +1(x >-1),取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )=ax 2+bx +cmx +n (m ≠0,a ≠0)或者g (x )=mx +nax 2+bx +c(m ≠0,a ≠0)的函数,可以把mx +n 看成一个整体,设mx+n =t ,那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数.课后作业一、选择题(每小题5分,共40分)1.设x >0,则y =3-3x -1x的最大值是( )A .3B .3-32C .3-2 3D .-1【答案】 C【解析】 y =3-3x -1x =3-(3x +1x)≤3-23x ·1x=3-2 3.当且仅当3x =1x ,即x =33时取“=”.2.下列结论正确的是( ) A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x ≥2B .当x >0时,x +1x≥2C .当x ≥2时,x +1x的最小值为2D .当0<x ≤2时,x -1x无最大值【答案】 B【解析】 A 中,当x >0且x ≠1时,lg x 的正负不确定,∴lg x +1lg x ≥2或lg x +1lg x ≤-2;C 中,当x ≥2时,(x +1x )min =52;D 中当0<x ≤2时,y =x -1x 在(0,2]上递增,(x -1x )max =32.3.如果a ,b 满足0<a <b ,a +b =1,则12,a,2ab ,a 2+b 2中值最大的是( )A.12 B .a C .2ab D .a 2+b 2【答案】 D【解析】 方法一:∵0<a <b ,∴1=a +b >2a ,∴a <12,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab , 又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab , ∵1=a +b >2ab ,∴ab <14,∴1-2ab >1-12=12,即a 2+b 2>12.方法二:特值检验法:取a =13,b =23,则2ab =49,a 2+b 2=59,∵59>12>49>13,∴a 2+b 2最大. 4.已知a >b >c >0,则下列不等式成立的是( ) A.1a -b +1b -c >2a -c B.1a -b +1b -c <2a -c C.1a -b +1b -c ≥2a -c D.1a -b +1b -c ≤2a -c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0, ∴a -b >0,b -c >0,a -c >0,∴(a -c )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a -b +1b -c =[(a -b )+(b -c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a -b +1b -c =2+b -c a -b +a -bb -c≥2+2b -c a -b ·a -bb -c=4. ∴1a -b +1b -c ≥4a -c >2a -c.5.下列函数中,最小值为4的是( ) A .f (x )=x +4xB .f (x )=2×x 2+5x 2+4C .f (x )=3x +4×3-xD .f (x )=lg x +log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中,不能保证两数为正,排除;B 选项不能取等号,f (x )=2×x 2+5x 2+4=2×x 2+4+1x 2+4=2×(x 2+4+1x 2+4)≥4,要取等号,必须x 2+4=1x 2+4,即x 2+4=1,这是不可能的,排除.故选C.6.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左、右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量.设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ,b (a ≠b ),则物体的实际重量为多少?实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了?( )A.a +b2;大 B.a +b2;小C.ab ;大D.ab ;小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ,天平左、右两臂长分别为l 1,l 2,则ml 1=al 2① ml 2=bl 1②①×②得m 2l 1l 2=abl 1l 2 ∴m =ab 又∵a +b2≥ab 且a ≠b ,∴等号不能取得,故m <a +b2.7.已知x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是( ) A .3 B .4 C.92D.112【答案】 B【解析】 ∵x +2y +2xy =8,∴y =8-x2x +2>0,∴-1<x <8,∴x +2y =x +2·8-x 2x +2=(x +1)+9x +1-2≥2x +1·9x +1-2=4,当且仅当x +1=9x +1时“=”成立,此时x =2,y =1,故选B.8.在区间[12,2]上,函数f (x )=x 2+bx +c (b 、c ∈R )与g (x )=x 2+x +1x在同一点取得相同的最小值,那么f (x )在区间[12,2]上的最大值是( )A.134 B .4 C .8D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )=x 2+x +1x =x +1x+1≥3,当x =1时取等号,即当x =1时取最小值3,∴f (x )的对称轴是x =1,∴b =-2,将(1,3)代入即得c =4,∴f (x )=x 2-2x +4,易得在[12,2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分,共20分) 9.比较大小:x 2+2x 2+1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).【答案】 ≥ 【解析】x 2+2x 2+1=x 2+1+1x 2+1≥2. 10.当x >1时,不等式x +1x -1≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________.【答案】 (-∞,3]【解析】 ∵x >1,∴x +1x -1>0,要使x +1x -1≥a 恒成立,设f (x )=x +1x -1(x >1),则a ≤f (x )min 对x >1恒成立.又f (x )=x +1x -1=x -1+1x -1+1≥2x -1×1x -1+1=3,当且仅当x -1=1x -1即x =2时取“=”.∴a ≤3.三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11.设x ,y ∈R +,且x +y +xy =2, (1)求x +y 的取值范围; (2)求xy 的取值范围.【解析】 (1)2=x +y +xy ≤x +y +(x +y 2)2,当且仅当x =y 时取“=”. ∴(x +y )2+4(x +y )-8≥0. ∴[(x +y )+2]2≥12.∵x +y >0,∴x +y +2≥12.∴x +y ≥23-2,当且仅当x =y =3-1时取“=”. 故x +y 的取值范围是[23-2,+∞).(2)2=x +y +xy ≥2xy +xy ,当且仅当x =y =3-1时取“=”. ∴(xy )2+2xy ≤2.∴(xy +1)2≤3. 又x 、y >0,∴xy +1>0.∴xy +1≤ 3. ∴0<xy ≤3-1.∴0<xy ≤4-23,即xy 的取值范围是(0,4-23].12.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,每一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少? (2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少? 【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元.则y =50n -98-[12×n +n n -12×4]=-2n 2+40n -98 =-2(n -10)2+102∴捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.(2)年平均利润为y n =-2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n +49n -20 ≤-2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2n ·49n-20=12当且仅当n =49n,即n =7时上式取等号.所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元.【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量 ,一般把要求最值的量定为函数; (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案.。

均值不等式练习与答案

均值不等式练习与答案

函数单调性特训1.已知x 、y 都是正数,且满足230x y xy ++=,则xy 的最大值为_________.2.设O 是ABC 的外心,满足1324CO t CA t CB →→→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,若||3AB →=,则ABC 面积的最大值为_______.3.ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知,3B b π==.则22a c +的最大值为______.4.△ABC 中,b =4,a =4cos C +c sin B ,则△ABC 面积的最大值为___________.5.已知0a >,0b >,21a b +=,则22144a b ab++的最小值是__________;6.已知0a >,0b >,且2249220a b ab +-=,则ab 的最大值为____________.7.已知0,0x y >>,且2969x y xy ++=,则29x y +的最小值为___________.8.已知圆C 1:(x -a )2+(y +2)2=4与圆C 2:(x +b )2+(y +2)2=1外切,则ab 的最大值为_____________.9.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sin sin sin sin A C b cB C a--=+,3b =,则ABC的周长的最大值是___________.10.已知0x >,0y >,4x y +=,则22log log x y +的最大值是_________.11.若0a >,0b >,且22a b +=,则2221a b a b ++的最小值为________.12.正实数,,a b c 满足22340a ab b c -+-=,当ab c 取得最大时,212a b c+-的最大值为____________.13.已知正实数x ,y 满足123y x+=,则yx 的最大值为_________.14.设m ∈R ,过定点A 的动直线0x my +=与过定点B 的动直线240mx y m --+=交于点(),P x y ,则PA PB ⋅的最大值是_______.15.已知锐角α、β满足6παβ+=,则91sin cos cos sin αβαβ+的最小值为___________.16.已知正数x ,y ,z 满足01x <<,42y z +=,则111x xyz+-的最小值___.17.已知0,0x y >>,且8x y +=,则(1)(1)x y +⋅+的最大值为_____.18.设0x >,0y >,23x y +=24x y --的最小值为____________.19.在ABC ∆中,60C =︒,且2sin aA=,则ABC ∆面积S 的最大值为______.20.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若(4b -c )cosA =a cos C ,且a =ABC 的周长的取值范围___________.21.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 是CD 的中点,点F 为线段BD 上的一动点,若AF =(0,0)xAE yDC x y +>> ,则22341x y -+的最大值为___________.22.已知,x y 都为正实数,则()241xy x xy++的最小值为___________.23.已知正实数,x y 满足(31)(21)1x y x y +-+-=,则x y +的最小值是________.24.圆224610x y x y ++-+=关于直线80(0,0)ax by a b -+=>>对称,则32a b+的最小值是_____.25.已知正数a ,b 满足112a b +=,则31a b -+的最大值为______.26.若正实数a 、b 满足a b ab +=,则16b a a ab++的最小值为_________.27.设0a b >>,那么41()a b a b +-的最小值是___________.28.已知,,21x y R x y +∈+=,则1x y x y++的最小值为_____________.29.已知数列{}n a 前n 项和为n S ,数列2n S n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,1为公差的等差数列,则14n n a a S ++的最大值是________.30.已知0a >,0b >,且1a b +=,则11ab a b++的最小值为__________.31.非负实数,x y 满足2660xy x y ++-=,则2x y +的最小值为___________.32.已知实数x ,y 满足x 2+xy =1,则y 2﹣2xy 的最小值为___________.33.已知()lg 2lg lg(2x y x y +=+),则22xy x y y++的最小值为___________.34.最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题,故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图,树顶A 离地面a 米,树上另一点B 离地面b 米,在离地面()c c b <米的C 处看此树,离此树的水平距离为___________米时看A ,B 的视角最大.35.若正数x ,y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是__________.36.当1x >时,求821x x +-的最小值为___________.37.已知正实数x ,y 满足196x y x y+=++,则x y +的最小值是___________.38.已知实数x ,y 满足x 2+xy =1,则y 2﹣2xy 的最小值为___________.39.已知,,a b c +∈R ,且24ab ac +=,则22822a b c a b c+++++的最小值是___________.40.若0,0,10x y xy >>=,则25x y+的最小值为_____.41.函数2y =的最小值是___________.42.设x ,y 均为正数,且xy +x -y -10=0,则x +y 的最小值是_______.43.已知,x y 为正实数,则162y x x x y++的最小值为__________.44.已知0a >,0b >,且2a b +=,则1aa b+的最小值为___________.45.已知1F ,2F 分别是双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为右支上任意一点,若212224PF PF a+的最大值为2,则双曲线C 离心率的取值范围是______.46.已知0,0a b >>,若不等式313m a b a b≤++恒成立,则m 的最大值为__________.47.已知1a >,则23111-+-a a a 的最小值为___________.48.已知0a >,0b >22的最小值为___________.49.已知,a b 是正数,且(1)(1)9a b --=,则+a b 的最小值是_______.50.已知1,0x y >>,且1211x y+=-,则2x y +的最小值为________.51.函数()()52(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为___________.52.已知二次函数2()()f x ax bx c a b =++<的值域为[)0,+∞,则a b cb a++-的最小值为______.53.已知0a <<,则2125a M a a +=+++的最大值为______.54.若实数,x y 满足22321x xy y --=,则2252x y x xy y+++的最大值为___________.55.()21147x x x x ->-+的最大值为______.56.已知正实数a ,b 满足1a b +=,则1412a b+++的最小值为___________.57.如图所示,已知点G 是ABC ∆的重心,过点G 作直线分别交AB ,AC 两边于M ,N 两点,且AM xAB =u u u r u u u r,AN yAC =u u u r u u u r,则2x y +的最小值为___________.58.已知()()()2ln 40,0f x x ax b x a b =++->>在1x =处取得极值,则21a b+的最小值为___________.59.已知正实数x ,y 满足2x y xy +=,则2xx y y++的最小值是_________.60.若,x y R +∈,且21x y +=,则22212x y x y +++的最小值为_________函数单调性特训答案第1页答案第2页。

均值不等式常见题型及解析

均值不等式常见题型及解析

均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b,有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\),当且仅当a = b时等号成立。

比如说,已知\(a>0\),\(b>0\),\(a + b = 1\),求\(ab\)的最大值。

这时候就可以直接用均值不等式啦。

由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\),把\(a + b = 1\)代入,得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\),那么\(ab\leq\frac{1}{4}\),当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。

这种直接应用的题型呢,关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系,然后套公式就好啦。

就像看到一道题,告诉你两个正数的和是定值,那你就赶紧想均值不等式求积的最值;要是告诉你积是定值,就想求它们和的最值。

这就像一个小窍门,一看到这种形式,心里就“叮”一下,知道该怎么做啦。

二、凑项应用均值不等式有些题呢,不会直接给你能用均值不等式的形式,需要咱们自己去凑项。

比如说,求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。

这时候直接用均值不等式可不行,因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。

那我们就凑项呀,把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。

因为\(x>1\),所以\(x - 1>0\),\(\frac{1}{x - 1}>0\)。

根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\),也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\),那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\),当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\),也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。

均值不等式---含答案

均值不等式---含答案

均值不等式---含答案课时作业15 均值不等式时间:45分钟 满分:100分课堂训练1.已知5x +3y =1(x >0,y >0),则xy 的最小值是( ) A .15 B .6 C .60 D .1【答案】 C【解析】 ∵5x +3y =1≥215xy ,∴xy ≥60,当且仅当3x =5y 时取等号.2.函数f (x )=x +4x +3在(-∞,-2]上( ) A .无最大值,有最小值7 B .无最大值,有最小值-1 C .有最大值7,有最小值-1 D .有最大值-1,无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤-2,∴f (x )=x +4x +3=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(-x )+⎝ ⎛⎭⎪⎫-4x +3≤-2(-x )⎝ ⎛⎭⎪⎫-4x +3=-1,当且仅当-x =-4x ,即x =-2时,取等号,∴f (x )有最大值-1,无最小值.3.已知两个正实数x ,y 满足x +y =4,则使不等式1x +4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________.【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤-∞,94 【解析】 1x +4y =⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x +y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y =54+y 4x +x y ≥54+214=94. 4.求函数y =x 2+7x +10x +1(x >-1)的最小值.【分析】 对于本题中的函数,可把x +1看成一个整体,然后将函数用x +1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的形式特点,从而能用均值定理来处理.【解析】 因为x >-1, 所以x +1>0.所以y =x 2+7x +10x +1=(x +1)2+5(x +1)+4x +1=(x +1)+4x +1+5≥2(x +1)·4x +1+5=9当且仅当x +1=4x +1,即x =1时,等号成立.∴当x =1时,函数y =x 2+7x +10x +1(x >-1),取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )=ax 2+bx +cmx +n(m ≠0,a ≠0)或者g (x )=mx +n ax 2+bx +c(m ≠0,a ≠0)的函数,可以把mx +n 看成一个整体,设mx +n =t ,那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数.课后作业一、选择题(每小题5分,共40分)1.设x >0,则y =3-3x -1x 的最大值是( ) A .3 B .3-3 2 C .3-2 3 D .-1【答案】 C【解析】 y =3-3x -1x =3-(3x +1x )≤3-23x ·1x=3-2 3.当且仅当3x =1x ,即x =33时取“=”.2.下列结论正确的是( ) A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x ≥2B .当x >0时,x +1x ≥2C .当x ≥2时,x +1x 的最小值为2 D .当0<x ≤2时,x -1x 无最大值 【答案】 B【解析】 A 中,当x >0且x ≠1时,lg x 的正负不确定,∴lg x+1lg x ≥2或lg x +1lg x ≤-2;C 中,当x ≥2时,(x +1x )min =52;D 中当0<x ≤2时,y =x -1x 在(0,2]上递增,(x -1x )max =32.3.如果a ,b 满足0<a <b ,a +b =1,则12,a,2ab ,a 2+b 2中值最大的是( )A.12 B .a C .2ab D .a 2+b 2【答案】 D【解析】 方法一:∵0<a <b ,∴1=a +b >2a ,∴a <12,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab , 又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab , ∵1=a +b >2ab ,∴ab <14,∴1-2ab >1-12=12,即a 2+b 2>12. 方法二:特值检验法:取a =13,b =23,则2ab =49,a 2+b 2=59,∵59>12>49>13,∴a 2+b 2最大. 4.已知a >b >c >0,则下列不等式成立的是( ) A.1a -b +1b -c >2a -c B.1a -b +1b -c <2a -cC.1a -b +1b -c ≥2a -cD.1a -b +1b -c ≤2a -c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0, ∴a -b >0,b -c >0,a -c >0,∴(a -c )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a -b +1b -c =[(a -b )+(b -c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a -b +1b -c =2+b -ca -b +a -bb -c≥2+2b -c a -b ·a -bb -c=4. ∴1a -b +1b -c ≥4a -c >2a -c. 5.下列函数中,最小值为4的是( ) A .f (x )=x +4x B .f (x )=2×x 2+5x 2+4C .f (x )=3x +4×3-xD .f (x )=lg x +log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中,不能保证两数为正,排除;B 选项不能取等号,f (x )=2×x 2+5x 2+4=2×x 2+4+1x 2+4=2×(x 2+4+1x 2+4)≥4,要取等号,必须x 2+4=1x 2+4,即x 2+4=1,这是不可能的,排除.故选C.6.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左、右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量.设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ,b (a ≠b ),则物体的实际重量为多少?实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了?( )A.a +b2;大B.a +b 2;小C.ab ;大D.ab ;小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ,天平左、右两臂长分别为l 1,l 2,则ml 1=al 2① ml 2=bl 1②①×②得m 2l 1l 2=abl 1l 2 ∴m =ab又∵a +b 2≥ab 且a ≠b ,∴等号不能取得,故m <a +b 2.7.已知x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是( ) A .3 B .4 C.92D.112【解析】 ∵x +2y +2xy =8,∴y =8-x2x +2>0,∴-1<x <8,∴x +2y =x +2·8-x 2x +2=(x +1)+9x +1-2≥2(x +1)·9x +1-2=4,当且仅当x +1=9x +1时“=”成立,此时x =2,y =1,故选B.8.在区间[12,2]上,函数f (x )=x 2+bx +c (b 、c ∈R )与g (x )=x 2+x +1x 在同一点取得相同的最小值,那么f (x )在区间[12,2]上的最大值是( )A.134 B .4 C .8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )=x 2+x +1x =x +1x +1≥3,当x =1时取等号,即当x =1时取最小值3,∴f (x )的对称轴是x =1,∴b =-2,将(1,3)代入即得c =4,∴f (x )=x 2-2x +4,易得在[12,2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分,共20分)9.比较大小:x 2+2x 2+1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).【解析】x 2+2x 2+1=x 2+1+1x 2+1≥2. 10.当x >1时,不等式x +1x -1≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________.【答案】 (-∞,3]【解析】 ∵x >1,∴x +1x -1>0,要使x +1x -1≥a 恒成立,设f (x )=x +1x -1(x >1),则a ≤f (x )min对x >1恒成立.又f (x )=x +1x -1=x -1+1x -1+1≥2(x -1)×1x -1+1=3,当且仅当x -1=1x -1即x =2时取“=”.∴a ≤3.三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11.设x ,y ∈R +,且x +y +xy =2, (1)求x +y 的取值范围; (2)求xy 的取值范围.【解析】 (1)2=x +y +xy ≤x +y +(x +y2)2,当且仅当x =y 时取“=”.∴(x+y)2+4(x+y)-8≥0.∴[(x+y)+2]2≥12.∵x+y>0,∴x+y+2≥12.∴x+y≥23-2,当且仅当x=y=3-1时取“=”.故x+y的取值范围是[23-2,+∞).(2)2=x+y+xy≥2xy+xy,当且仅当x=y=3-1时取“=”.∴(xy)2+2xy≤2.∴(xy+1)2≤3.又x、y>0,∴xy+1>0.∴xy+1≤ 3.∴0<xy≤3-1.∴0<xy≤4-23,即xy的取值范围是(0,4-23].12.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,每一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?【解析】(1)设船捕捞n年后的总盈利y万元.则y=50n-98-[12×n+n(n-1)2×4]=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102∴捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.(2)年平均利润为y n =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫n +49n -20 ≤-2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·49n -20=12 当且仅当n =49n ,即n =7时上式取等号.所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元.【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量 ,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.。

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②如果 a1 ,a2 ,⋯,an 都是正实数,那么
a1
+ a2
+⋯ + an n

n
a1a2 ⋯ an
,当且仅当 a1
= a2
= ⋯ = an 时,等
号成立.
( 2)常用性质
①若 a > 0,b > 0,则
a2 + b2 a +b


ab ≥
2;
2
2
11 +
ab
②若 a > 0, b > 0, c > 0 ,则 a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ 3 abc ≥ 3 ;
a3
b3 +
+
c3
≥ a+b+c.
bc ca ab
3.已知 a > 0, b > 0, n ∈ N * ,求证: (a + b)(an + bn ) ≤ 2(an +1 + bn +1) .
4.已知 a,b, c 都是实数,求证: a2 + b2 + c2 ≥ 1 (a + b + c )2 ≥ ab + bc + ca . 3
(6)若 a > b > 0, c > d > 0, 则 ac > bd > 0 ;
(7)若 a > b, ab > 0, 则 1 < 1 ; ab
(9)若 a > b > 0 ,整数 n > 1,则 n a > n b ;
(8)若 a > b > 0 ,整数 n > 1 ,则 a n > b n ; (10) | a | − | b | ≤ a +b ≤ a + b .
⇔ (1+ b )2 < 4 < (1 + a )2 ( a > b > 0)
a
b

b <1<
a . 由 a > b > 0 知,此时显然成立.
a
b
例 4.证明:对于任意的 n ∈ N * ,都有1+ 1 + 1 +⋯ + 1 < 2 n .
23
n
提示:当 k ≥ 2 时,有 1 = 2 <
2
= 2( k − k −1) .
x3
+
y3 +
z3
≥ 3.
(1 + y)(1 + z) (1 + z)(1 + x) (1 + x)(1 + y) 4
第4页共4页
换元 法是指对 结构较为 复杂 ,量与 量之间关 系不甚明 了的命题 ,通过 恰当引入 新变量 ,代换 原命题中 的部分式子,简化原有结构,使其转化为便于研究的形式.
第1页共4页
3.均值不等式及其性质
( 1)均值不等式
①如果 a,b 都是正实数,那么 a + b ≥ ab ,当且仅当 a = b 时,等号成立. 2
= r 2 | 3 cos 2θ − 4 sin 2θ | = 5r 2 | sin( 2θ + ϕ) | ≤ 5r 2 ≤ 20 ,得证!

8.已知正实数 a,b, c 满足 a2
+ b2
+ c2
= 1 ,求 S
=
1 a2
1 + b2
1 +c2

2(a3
+ b3 + c3 ) 的最小值. abc
提示 :由 a2
1
+
1
+
1
≤ 1.
a3 + b3 + abc b 3 + c 3 + abc c3 + a3 + abc abc
提示 : 由
a3
+ b3

ab(a
+ b)
可得
a3
+ b3
+
abc

ab(a
+b
+
c)
,故
a3
1 + b3 + abc

1 abc

a
c +b
+
c
,
第3页共4页
同理有
b3
1 + c3 + abc
8.已知实数 x, y 满足 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2, z = x 2 + xy + y 2 ,求 z 的取值范围.
9.已知 a,b, c 是不全相等的正实数,求证: lg a + b + lg b + c + lg c + a > lg a + lg b + lg c .
2
2
2
10.已知正实数 x, y, z 满足 xyz =1 ,求证:
2.不等式的证明方法
( 1)比较法
①作差比较法: a ≥ b ⇔ a − b ≥ 0; ②作商比较法: a > 1, b > 0 ⇒ a > b . b
( 2)综合法 利用某些已经证明过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所求证的不等式 ,这种证明方法
叫做综合法.综合法的证明思路是:“由因导果”.
+ b2
+ c2
=1 ,可得
S
= 3+
b2 a2
+
c2 a2
c2 + b2
+
a2 b2
+
a2 c2
+
b2 c2
a2 − 2(
bc
+
b2 ca
+
c2 )
ab
,从而可得
S ≥3+2
c2
b2 +2
a2 +2
a2 − 2(
+
b2
+
c2
)
= 3 ,即 S 得最小值为 3 .
ab ca bc bc ca ab
例 9.求证:对任意正实数 a,b, c ,均有
例 3.已知 a > b > 0 ,求证: (a − b)2 < a + b − ab < (a − b)2 .
8a
2
8b
提示:原不等式 ⇔ (
a−
b)2(
a+
b)2 ( <
a−
b)2 ( <
a−
b)2(
a+
b)2
8a
2
8b
( a + b)2
( a + b)2

<1<
(a > b > 0)
4a
4b
第2页共4页
243
53
+ c)

28
3


3
28

⋅ (abc) 28
243 159

283


3
28
+
28
= ( 28)3 .
a2
b2
c2
3
三、及时巩固提高
A组 1.已知 x, y, z 满足 x + y + z = 1,求证: x 2 + y2 + z 2 ≥ 1 .
3
2.求证:对任意正实数 a,b, c ,均有
不等式(1)--不等式基础
一、基础知识点击
1.不等式的基本性质
(1)若 a > b, 则 a + c > b + c ;
(2)若 a > b, b > c ,则 a > c ;
(3)若 a > b, c > 0, 则 ac > bc ;
(4)若 a > b, c < 0, 则 ac < bc ;
(5)若 a > b, c > d ,则 a + c > b + d ;
+
1 27a2
+⋯+
1 27a2
+a

1
28⋅ (27−27 ⋅ a−53 )28
81
53


= 28 ⋅ 3 28 ⋅ a 28 ,
同理,可得: 1 b2
+b≥
81 −
28⋅ 3 28
53
⋅ b− 28 ,
1 c2
+c

81
53


28⋅ 3 28 ⋅ c 28
.
将以上三式相乘可得
(
1 a2
1 + a)( b2
k k + k k + k −1
例 5.已知 n, k 均为大于 1 的整数,求证:1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 + 1 + ⋯ + 1 < 2.
2k 3k
nk
提示 :当
m

2
时,有
1 mk
1 ≤
m2
< 1 = 1 −1. m(m −1) m −1 m
例 6.已知 a + b + c > 0,ab +bc + ca > 0,abc > 0 ,求证: a > 0,b > 0, c > 0 .
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