量子力学教程(第二版)
教学课件 《量子力学教程(第二版)》周世勋
1926 —1927年 戴维孙（Davisson）电子衍射实验
1925年 海森伯（Heisenberg） 矩阵力学
1926年 薛定谔（SchrÖedinger） 波动方程
1928年 狄拉克（Dirac）
RETURN
相对论波动方程
34
三 量子力学的应用简介
1.量子力学是现代物理学和其他自然学科的基础 量子光学、量子电动力学、量子统计 物理学、量子化学、量子生物学、量 子信息学等。
（二）经典物理学的困难与量子物理学的诞生
1. 黑体辐射问题 一个能全部吸收投射在其上面的辐射而 无反射的物体称为绝对黑体，简称黑体。
热平衡时，只与黑体
能
的绝对温度 T 有关而
量
与黑体的形状和材料
密
无关。
度
0
5
10
/10-4 cm
14
（1）维恩（Wien）经验公式
d c1 e3 c2 T d
33
• 量子力学发展简史 A 旧量子论的形成（冲破经典——量子假说）
1900年 普朗克（Planck） 振子能量量子化 1905年 爱因斯坦（Einstein）电磁辐射能量量子化
1913年 玻尔（N.Bohr） 原子能量量子化 B 量子力学的建立（崭新概念）
1923年 德布罗意（de Broglie）电子具有波动性
意义： ①光是由光子组成，能量是量子化的;
RETURN ②微观碰撞事件中能量、动量守恒 。
24
4. 原子结构及其光谱问题
实验：（1）原子是稳定的； （2）氢原子光谱是分立谱线：1911年卢瑟
福 粒子散射实验，原子是有核结构。
经验公式：（巴耳末公式）
RH
1 n2
周世勋《量子力学教程》(第2版)-态和力学量的表象笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
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变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
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第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
《量子力学教程》第二版答案周世勋原著
《量子力学教程》第二版答案周世勋原著量子力学，作为现代物理学的重要支柱之一，其深奥的理论和复杂的数学推导常常让学习者感到困惑。
而周世勋先生的《量子力学教程》则是众多学习者的重要参考书籍。
然而，在学习过程中，课后习题的答案对于理解和掌握知识起着至关重要的作用。
接下来，让我们一起深入探讨《量子力学教程》第二版的答案。
首先，我们需要明确周世勋先生这本教程的重要地位和价值。
它以清晰的逻辑和严谨的体系，为初学者构建了一个逐步深入量子力学世界的桥梁。
书中涵盖了量子力学的基本概念、原理和重要理论，从波粒二象性到薛定谔方程，从态叠加原理到量子纠缠，无一不是量子力学的核心内容。
在面对课后习题时，答案的作用不仅仅是检验我们对知识的掌握程度，更重要的是帮助我们理清思路，发现自己在理解和应用知识方面的不足。
周世勋原著的答案具有以下几个显著特点。
其一，答案的准确性是毋庸置疑的。
每一个解答都经过了精心的推导和论证，确保与量子力学的基本原理和数学方法相一致。
这对于学习者建立正确的物理观念和数学思维非常重要。
例如，在处理涉及薛定谔方程的问题时，答案中会详细展示如何根据给定的初始条件和边界条件求解方程，以及如何对解进行物理意义的解释。
其二，答案具有很好的逻辑性和条理性。
它们通常会按照一定的步骤和思路进行推导，让学习者能够清晰地看到问题的解决过程。
这种清晰的逻辑结构有助于我们培养良好的解题习惯和思维方式。
比如，在解决关于量子态演化的问题时，答案会先分析问题所涉及的物理概念和原理，然后逐步引入相关的数学工具和计算方法，最后得出结论。
其三，答案注重对知识点的拓展和深化。
除了给出基本的解题方法和结果外，还会对一些相关的概念和理论进行进一步的阐述和讨论。
这使得我们在完成习题的同时，能够对量子力学的知识有更全面和深入的理解。
例如，在解答关于量子测量的问题时，答案可能会涉及到测量的不确定性原理以及它与量子态塌缩之间的关系，从而引导我们思考量子力学中一些更深层次的哲学问题。
周世勋《量子力学教程》(第2版)-量子力学若干进展笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
第8章量子力学若干进展8.1复习笔记一、朗道能级1．能级推导电子在均匀外磁场B（沿z 方向）中，取朗道规范后，得定态薛定谔方程：ψψψE p p y B e p m H z y x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22221 鉴于力学量(,,)x z H p p 互相对易，得相应本征态为：)(),,(/)(y e z y x z p x p i zx χψ +=其中，()y χ满足谐振子能量本征值方程（平衡位置在0y ）：)()2()()()(2)(22202222y mp E y y y mc eB m y dy d m z χχχ-=-+- 其中，0||x cp y e B =。
由此可得出朗道能级：2,1()22z z p n c p E n m ω=++ 。
2．结果讨论（1）从经典观点出发：电子沿磁场方向做螺旋运动。
从量子观点出发：电子沿磁场方向做自由运动，在垂直磁场方向绕z 轴旋转。
（2）磁场对能量贡献1||(2z e n B B mcμ+=- ，0z μ<称为朗道抗磁性，与电荷正负无关，是自由带电粒子在磁场中的一种量子效应。
（3）二维电子气的朗道能级简并度是外磁场ϕ中含元磁通量子（0||hc e ϕ=）数目。
二、阿哈罗诺夫-玻姆效应在经典电动力学中，场的基本物理量是电场强度E 和电磁感应强度B，势ψ和A 是为了方便引入的，并不是真实的物理量。
但在量子力学中，势ψ和A 具有可观测意义。
图8-11．实验及其现象如图8-1，从电子枪S 出射的电子束流经双缝和两条路径21,P P 到达屏上，在两条路径中放置一个很长的电流螺线管，垂直纸面，管内磁场强度B 垂直纸面向外（取为z 轴）。
当螺线管通以电流时，屏上出现的干涉条纹产生了移动。
2．现象讨论（1）因螺线管的外部并不存在磁场，所以经典电动力学中，磁场的物理效应不能完全用B 来进行描述。
（2）当螺线管内有磁通ϕ时，电子经过的外部空间B=0，但0≠A 时，因为对包围螺线管的任一闭合回路路径积分有⎰=⋅φl d A ，矢势A 可以对电子发生相互作用。
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
(10) (11) (12) (13)
ek1a B sin k 2aC cosk 2aD 0 0
k1ek1a B k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2a D 0 0
0 sin k 2aC cosk 2aD ek1a F 0
(x) c (x)
⑤
④乘 ⑤，得 (x) (x) c2 (x) (x) ， 可见，c 2 1 ，所以 c 1
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有偶宇称，
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有奇宇称，
18
当势场满足 U (x) U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
3
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3 m0C 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
d
8h c33Βιβλιοθήκη 1hd ，
ekT 1
及 c 、 d c d 得
2
8hc 5
1，
hc
ekT 1
令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
2
(x)
E
2
(x)
②
12
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx2
3
(x)
U
(x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 ( dx2
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
0 0 e k1a
0
k 2 sin k 2 a k 1 Be k1a
k 2 cos k 2 a k 2 sin k 2 a 0 e k1a sin k 2 a k 2 cos k 2 a sin k 2 a k 1e k1a sin k 2 a
d 21 ( x) dx2
#
x
1 2
4 3 1 1 2 0 ， 可见 x 是所求几率最大的位置。 e
9
2.6
在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U ( x) U ( x) ，证明粒子的定态波函数具有确定的
宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为
10
2.7 一粒子在一维势阱中
U 0 0, U ( x) 0,
x a x a
运动，求束缚态( 0 E U 0 )的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的 S-方程为
2 d 2 ( x) U ( x) ( x) E ( x) 2 dx2
按势能U ( x) 的形式分区域的具体形式为
在各区域的具体形式为 Ⅰ： x 0 Ⅱ： 0 x a
2 d 2 1 ( x) U ( x) 1 ( x) E 1 ( x) 2m dx2 2 d 2 2 ( x) E 2 ( x) 2m dx2
①
②
4
Ⅲ： x a
2 d 2 3 ( x) U ( x) 3 ( x) E 3 ( x) 2m dx2
由③再经 x x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 ④
( x) c ( x)
④乘 ⑤，得
⑤
(x) (x) c 2 (x) (x) ， 可见， c 2 1 ，所以 c 1
量子力学教程量子力学教程
归一化条件表示为
d3 r (r, sz ) 2
sz /2
d3
r(
(r,
/
2),
(r
,
/
2))
(r, / (r,
2) / 2)
d3 r[ r, / 2 2 r, / 2 2 ]
（2）
d3 r 1
（12）
并且
2 x
2 y
2 z
I
（单位算符）
（13）
可以证明 的三个分量反对易
x y y x 0 y z z y 0 z x x z 0
（14）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量量子子力力学学教程教程(第二版)
式（11）和（14）联立得
)
1
（6）
a 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基.一
般自旋态可以展开为
sz
a b
aa
b
波函数表示为
（7）
(r, sz ) r, / 2a r, / 2 （8）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量量子子力力学学教程教程(第二版)
பைடு நூலகம்
x
y
y x
i z
y z z y i x
z x x z i y
式（15）与（13）归纳为
（15）
a a i a
（16）
上式与 概括了Pauli 算符的全部代数性质.
量子力学教程(第二版)(精)
ˆ , A ˆ i A ˆ , B ˆ B ˆ i B ˆ , A ˆ , B ˆ 2 A
2 2
ˆ i , A ˆ , B ˆ , A ˆ, B
ˆ A ˆ, B ˆ ˆ /i C C
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
在上面的式子中,
l 和 l z 的本征值都是量子化的.
轨道角动量量子数 磁量子数
2
l
m
对于给定
m l , l 1,
l
,
l
2
的本征函数是不确定的,
因为
, l 1, l , 共有 2l 1 个简并态.
Ylm 就
是用 l z
的本征值来确定这些简并态.
Ylm 为球谐函数, 它们满足
l 2Ylm l l 1 2Ylm ,
lz Ylm m Ylm ,
l 0,1, 2,
,
m l , l 1,
, l 1, l
2
0
* d sin d Ylm , Ylm , δllδmm, 0
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版) 3.3.3 对易力学量完全集(CSCO)
ˆ(A ˆ ,A ˆ , ), 设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符 A 1 2
它们的共同本征态记为 , 设给定一组量子数
表示一组完备的量子数.
之后, 就能够完全确定体系的唯一
ˆ ,A ˆ , ) 构成体系的一组对易可 一个可能状态, 则我们称 ( A 1 2
1 im m e , 2
m 0, 1, 2,
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第二章
RETURN
16
三、 波函数的统计解释
1.粒子和波关系
两种错误观点： ①电子波是电子的某种实际结构，即电子是三
维空间连续分布的某种物质的波包。 ②波是由其所描写的粒子分布于空间而形成的
疏密波。
电子所呈现出来的粒子性只是经典粒子概念 中的“颗粒性”，电子呈现的波动性也只是波 动性中最本质的东西——波的“叠加性”。电 子是具有波粒二象性的物质客体。
13
电子的双缝衍射实验
P
s1
dq
q
S
电子源 s2 Q
D
B
以E1和E2分别表示穿过狭缝S1和S2到达P点的 电子波振幅
E1 E0 cost,
E2
E0
cos(t
2πd
sinq )
上图中光程差S2 Q=d sinq ,在P 点电子波振幅为
E
E1
E2
2E0
cos( πd
sinq ) cos(t
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
q Bh mc
(n 0,1, 2,L )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
电子衍射实验： （德布罗意假说验证，1927年）
电子枪
探测器
q
q
↕d
2d sinq k
11
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章
（2）无耦合表象
力学量组
(
J12
,
J1z
,
J
2 2
,
J
2
z
)
也相互对易，相应的表象称为无耦合表象。无耦合表象的基
矢为：| j1m1 j2m2 。
五、光谱的精细结构
在无外场的情形下，电子自旋对原子能级和谱线有影响。在哈密顿量中体现在电子的自
旋和轨道运动之间的相互作用引起了附加项。体系的哈密顿量可表示为：
2
三、简单塞曼效应 1．简单塞曼效应概念 在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条，这即是简单塞曼效应。
2．简单塞曼效应的物理机制
考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情形。在较强的外磁场作用下，须考虑电子的
轨道磁矩和自旋磁矩与磁场 B 的相互作用。由于外磁场较强，可略去电子的自旋和轨道运
动之间的相互作用能量。此时，哈密顿量可表示为：
H
2
2me
2
U (r)
eB 2mec
(2Sz
Lz )
力学量组 (H , L2 , J 2 , J z ) 相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：
nlmms (r, ,, sz ) Rnl (r)Ylm ( ,)ms (sz )
则 Enlmms
Enl
eB 2mec
(m
2ms
)
EEnlnl22ememBBecec((mm11)), ,
。
(r , 2 ,t)
2 / 31
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在
z
表象中，s
z
的本征值为：
2
，相应的本征态为：
1 2
周世勋《量子力学教程》(第2版)-绪论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
子由能量为 Em 的定态跃迁到能量为 En 的定态时所吸收或发射的辐射频率 满足：
四、微粒的波粒二象性
1．玻尔理论所遇到的困难说明探索微观粒子运动规律的迫切性
在光的波粒二象性的启示下，德布罗意提出微粒具有波粒二象性的假设。
微粒的粒子性（E,p）与波动性（ , 或，k ）的关系满足
E h
p
h
n
k
这公式称为德布罗意公式，或德布罗意关系。
戴维孙-革末的电子衍射实验 该实验充分说明电子具有波动性，验证了德布罗意波的存在。
vd
v
8hv 3 c3
1
hv
dv ，
e kT 1
以及
（1）
v c ，
（2）
v dv d ，
（3）
有
dv d
v
()
d
d
c
v () 2
c
8 hc 1
5
hc
ekT 1
这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零，
的，这样则有
mT
hc xk
把 x 以及三个物理常量代入到上式便知
b mT 2.9 103 m K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较
量子力学教程第二版教学大纲
量子力学教程第二版教学大纲1. 引言在这个信息时代，量子力学正成为一门重要的物理学科。
其在通信、计算和安全等领域内的应用正在不断发展。
因此，本教程旨在为读者提供一份全面的量子力学学习教材，以及应用领域的相关背景知识。
本教程适合物理学或相关学科的本科生和研究生。
2. 学习目标本教程将给予读者：•量子力学基础知识并能够运用基础知识解决问题；•对量子计算和通信技术的应用进行了解；•理解量子力学背景知识，并对其在实际应用方面有一定的了解；•学习并实践量子算法的理论知识。
3. 学习难度本课程基础数学为高等数学，高等代数和复变函数。
建议初学者在学习前先完成相关课程的基本学习。
4. 课程内容本课程内容主要包括四个部分，分别是基础内容、量子随时间演化、量子算法和量子通信。
4.1 基础内容•第一章：量子力学的基本概念•第二章：态矢量和测量•第三章：不确定性原理•第四章：原子和光子的量子力学4.2 量子随时间演化•第五章：量子力学的时间演化•第六章：微扰理论•第七章：分波和矩阵理论4.3 量子算法•第八章：量子门和量子电路•第九章：量子搜索和Grover算法•第十章：Shor算法和量子因子分解4.4 量子通信•第十一章：量子密钥分发•第十二章：量子纠缠和量子重复编码5. 学习方式本教程支持线上学习和线下学习。
线上学习可以通过MOOC平台进行学习，线下学习可以通过教材进行学习。
在线上学习中，我们将为学生提供在线课程学习，课程评估和作业提交。
在线下学习中，学生可以根据自己的情况选择教材和课外资料进行学习和干预。
6. 教学方法本教程采用讲授和互动交流相结合的教学方法。
我们将通过讲授和实例讲解来让学生了解量子力学的相关概念和应用。
同时，我们也将为学生提供问题解答，和互动交流的机会，并通过教材练习来帮助学生巩固所学知识。
7. 课程考核本教程课程考核将分为课堂测验和期末考试。
其中，课堂测验占总成绩的40%，期末考试占总成绩的60%。
《量子力学教程》第二版答案周世勋原著
《量子力学教程》第二版答案周世勋原著量子力学，这一神秘而又充满魅力的科学领域，对于许多学习者来说，既是挑战，也是探索未知的奇妙之旅。
周世勋先生的《量子力学教程》第二版无疑是众多教材中的经典之作。
而与之配套的答案，更是帮助我们在学习的道路上拨开迷雾、找准方向的重要工具。
在学习量子力学的过程中，理解那些抽象的概念和复杂的数学推导并非易事。
这本书的答案就像是一位耐心的导师，在我们困惑时给予指引。
它不仅告诉我们每一道题目的最终结果，更重要的是展示了得出结论的思维过程和推导步骤。
以波函数这一重要概念为例。
在书中的题目中，常常会涉及到波函数的求解和性质的探讨。
答案中会清晰地展示如何根据给定的条件，运用薛定谔方程逐步求解波函数。
通过答案的解析，我们能够明白为什么要采用特定的方法，以及每一步操作的背后原理。
这使得我们不仅仅是机械地记住解题方法，而是真正理解了波函数的本质和其在量子力学中的重要意义。
再来看量子力学中的算符。
算符的运算和性质是学习的重点也是难点。
答案对于涉及算符的题目，会详细地解释每一个算符的作用和运算规则，以及如何将其应用到具体的问题中。
比如，对于动量算符和能量算符，答案会展示如何通过它们来描述粒子的运动状态和能量特征。
这种详细的解释帮助我们建立起对算符的直观认识，从而更好地掌握量子力学的核心内容。
在处理态叠加原理的题目时，答案会通过具体的例子，让我们清楚地看到不同态之间是如何叠加的，以及叠加后的结果所代表的物理意义。
这对于我们理解微观粒子的不确定性和量子态的多样性具有重要的指导作用。
然而，仅仅依赖答案并不能让我们真正掌握量子力学。
答案只是辅助我们学习的工具，我们需要通过自己的思考和努力，去理解每一个概念和方法。
在参考答案的过程中，我们要学会举一反三，思考如果题目条件发生变化，应该如何运用所学的知识去解决问题。
同时，对于答案中的每一个步骤，我们都要认真思考其合理性和逻辑性。
如果有不明白的地方，要及时查阅教材和相关的参考资料，或者与同学、老师进行讨论。
《量子力学教程》第二版答案及补充练习
第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程答案(第二版)
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有p h =λ nmm m E c hc Eh e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
高等教育出版社 量子力学教程第二版课后答案 周世勋 陈灏着
高等教育出版社量子力学教程第二版课后答案周世勋陈灏着----84740a00-7166-11ec-942f-7cb59b590d7d高等教育出版社量子力学教程第二版课后答案周世勋陈灏着课后练习详细讲解量子力学第一章量子理论基础1.1根据黑体辐射公式推导出维恩位移定律：与最大能量密度λM对应的波长与温度T成反比，即λmt=b（常量）；近似计算B的值，精确到两个有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv，（1）−1.以及λv=c，（2）ρvdv=− ρvdλ（3）=−ρv(λ)ρv（λ）=⋅C这里的ρλ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本主题关注λ取什么值时，ρλ达到最大值，因此，我们必须问ρλ是λ的一阶导数为零，从中相应的λ值被记录为λm，需要注意的是，还需要验证ρλyesλλλ的二阶导数是否在M处的值小于零。
如果小于零，则需要在λM之前获得的值，如下所示：hc1−5+⋅hc−λkt−11−eλkt=0⇒5(1−e，则上述方程为λkt5(1−e−x)=x这是一个超越方程。
首先，很容易知道方程有一个解：x=0，但经过验证，解一般；另一个解可以通过逐步逼近法或数值计算法得到：x=4.97。
经过验证，此解决方案正是所需的，因此把x以及三个物理常量代入到上式便知λmt=2.9×10−3米⋅K这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1.2接近0k时，钠的价电子能约为3eV。
找到它的德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知如果所考虑的粒子是非相对论性电子（E）如果我们考察的是相对性的光子，那么注意，本主题中考虑的钠价电子的动能仅为3eV，远小于电子质量与光速平方的乘积，即0.51×106ev，因此使用非相对论电子的能量-动量关系h2µeehc2µec2e1.24×10−62×0.5×1×10×3=0.71×10−9m=0.71nm在这里，利用了hc=1.24×10−6ev⋅Mµec2=0.51×106evhc2µece作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
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量子力学教程(第二版）
按Born-Oppenheimer 近似, H2+ 的Hamilton 量为
H
He
1 R
,
He
1 2 2
1 ra
1 rb
（11）
He 是电子的Hamilton 量，其本征方程为
H e
( 1 2 2
1 ra
1 )
rb
(E
1 )
R
（12）
采用变分法求H2+ 的基态波函数.
H2+ 中的电子的波函数可表示为
(5)
其中 Vee 是电子之间Coulomb排斥能, VNN 是原子核 之间Coulomb排斥能, VeN 是电子与原子核之间 Coulomb吸引能,
Te
i
pi2 2m
(对所有电子求和)
(6)
是电子的动能.原子核动能为
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版）
TN
a
pa2 2M a
(对所有原子核求和)
12.3 分子结构
（31） （32） （33）
量子力学教程(第二版）
则径向方程为
[
2
2
d2 d R2
L(L 1)2
2R 2
V (R)] (R)
E (R)
径向波函数满足
（34）
(0) 0, () 0 （束缚态） （35）
令分子转动产生的离心势能为
W
(R)
V
(R)
L(L 1)2
2R 2
（36）
下面先粗略地分析分子中的电子激发能、振动 能和转动能的相对大小.
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版）
1）设分子大小 a ，一部分电子在整个分子中运 动： x a，
电子的特征动量 电子的特征能量
pe / a Ee 2 / 2ma2
2）假设分子振动的角频率为 ,原子核偏离平
衡位置的距离为 ，
量 子力学教 程 x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A- w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+ x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z- w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v% s#pXlUiQfNcK8H5E2A+ x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-
（39）
量子力学教程(第二版）
令
1W 2
(R0 )
1 2
02
R R0
则
2
2
d2
d 2
1 2
02
2
E
( R0 ) 0, () 0
E
E
V
(R0
)
L(L 1)
2 R2
2
0
方程满足边条件的解为
( ) e 2 2 / 2 H ( ) 0 /
12.3 分子结构
（40） （41） （42） （43）
2)
（18）
3 de(ra rb ) (1 R 1 2R2 )eR
π
3
（19）
H
d
2
a
/
rb
d 2 b
/ ra
3
π
d e2ra 1 [1 (1 R)e2R ]（20）
rb R
a b d
ab
d
3
d e(ra rb ) (1 R) eR
ra
rb
π
rb
（21）
12.3 分子结构
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版）
12.3.3 双原子分子的转动与振动
对于双原子分子，两原子核组成的体系的能量本 征方程为
[
2 2M a
2
1
2 2M b
2 2
V (R)]
Et
引进相对坐标与质心坐标
（28）
R Ra Rb
Rc
M a Ra Ma
M b Rb Mb
令
f (Rc )Φ(R)
R (R) 是振动波函数,0 和 1 分别是两个质子的自旋
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版）
单态(s=0)和三重态(s=1)波函数. H2分子中两个原子核 之间的作用力通常认为与核自旋无关,所以两个原子核
自旋之和s=s1+s2是守衡量,即s为好量子数.处于s=0态 的称为仲氢,处于s=1态的称为正氢.
ca a cb b ,
a
3/ 2
π
era ,
b
3/ 2
π
erb
（13）
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版）
由于电子感受到的势场对于两个全同核的连线的 中点M具有反射不变性，因此电子状态可以按反
射对称性分类.对于偶宇称ca cb ，对于奇宇
称 ca cb .单电子的试探波函数为
c ( a b ) c ( a b )
1 R
He
(
1 2
2 1
1 ra1
1 ) rb1
(
1 2
2 2
1 ra 2
1 rb 2
)
1 r12
采用变分法求H2 的基态波函数. H2 中的单电子波函数可表示为
(r) 3/2 er
π
12.3 分子结构
（23） （24）
量子力学教程(第二版）
考虑到H2 两个电子波函数的交换反对称性，基态 试探波函数取为
个质子空间坐标交换时,质心运动与振动波函数不改变,但转动 部分波函数改变如下:
YLM (θ,) YLM ( θ, ) (1)LYLM ( ,)
考虑到Fermi子体系波函数的交换反对称性, H2分子 的原子核部分的波函数有下列两种形式:
L 偶，R (R)YLM ( ,)0 (s1z , s2z ), L 奇，R (R)YLM ( ,)1(s1z , s2z ).
E
E L
V (R0 )
(
1) 2
0
L(L 1) 2J
2
其中
J R02
（48）
表示双原子分子的转动惯量.式(48)右边第一项为常数 项,与能谱无关.第二项为振动能,第三项为转动能.通常 2 2J 0 ,能谱将出现转动带结构.即给定的振动态, 不同的L的诸能级构成一个转动带,能量遵守L(L+1)
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版）
W(R) 的极小点由下式确定
dW d R R0 0
即
dV dR
R0
L(L 1)
R03
2
0
在R≈ R0 邻域展开W(R)
W
(R)
W
(
R0
)
1 2
W
(
R0
)(R
R0
)
2
V (R0 )
L(L 1)2
2R02
1 2
W
(R0
)(R
R0 )2
12.3 分子结构
（37） （38）
（29） （30）
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版）
能量本征方程可以分离为
2
2M
2R
f
(Rc )
Ec
f
(Rc )
2
[
2
2R
V
(R)]Φ(R)
EΦ(R)
式中
M Ma Mb,
MaMb
Ma Mb
采用球坐标，则
Φ(R)
(R)
R
YLM
( ,)
L 0,1, 2, M L, L 1,， L
释放能量
H2 e H2 354 kcal/mol
H2+ 的存在是从它的光谱得以证实.H2+ 也可以吸收 能量而离解
吸收能量
H2 61 kcal/mol H H
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版）
下面对比讨论H2+与H2：
图1 (ａ）氢分子离子，（ｂ）氢分子
1）讨论氢分子离子H2+：
12.3 分子结构
(7)
由于m M ,所以 TN Te, TN 项可以忽略,即讨论电子
运动时,可以忽略 TN ,把原子核看成不动,此即 Born-Oppenheimer 近似.而在研究分子振动和转动
时,电子的组态近似地视为不变,并相应地提供原子核
之间的一种有效势.把电子运动与原子核振动分离
处理的近似性可用无量纲参数 m M 来表征.因为
（44）
量子力学教程(第二版）
Hν为Hermite 函数
H
( )
1
2(
)
l 0
()l l!
(l
2
)(2 )l
（45)
由边条件确定
H (R0 ) 0
（46）
若 L不太大，R0 很小， 接近于正整数，方程的
本征值为
E
(
1 2
)0
（47）
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版）
可求出双原子分子的相对运动能为
(14)
由归一化条件得
取 其中
c 2 (2 2) 1, a | b c (2 2 )1/ 2
a b
(15) (16)
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版）
由试探波函数，可求出点子的能量平均值
E
1 R
He
a He a b He a 1
（17）