《1.3.1 函数的单调性与导数》教学案3

《1.3.1 函数的单调性与导数》教学案3

一、教材分析

以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。

二、教学目标

1，知识目标：

1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。

2，能力目标：

学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。 3，情感、态度与价值观目标：

在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。

三、教学重点难点

教学重点：利用导数判断函数单调性。

教学难点：利用导数判断函数单调性。.

四、教学方法：探究法

五、课时安排：1课时

六、教学过程

【引 例】

1．确定函数2

43=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：2243(2)1y x x x =-+=--，在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数。 问：1）、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？

2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？

（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的） （2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）

2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

（1）能画出函数的图象吗？

（2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数2

43=-+y x x 的单调区间也不容易。

【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。 问：如何入手？（图象） 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？

1、研究二次函数243=-+y x x 的图象；

（1） 学生自己画图研究探索。

（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？

（3） （开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

（4） 提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化

规律？

（5） 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。

得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：

①该函数在区间(,2)-∞上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；

在区间(2,)+∞上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；

注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？

②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？

2、先看一次函数图象；

3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）

（1） 观察三次函数3y x =的图象；（几何画板演示） }都是反映函数随自

变量的变化情况。

（2） 观察某个函数的图象。（几何画板演示）

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。

【新课讲解】

4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）

一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，则函数在该区间内

如果在这个区间内'

()0f x >，则()y f x =为这个区间内的增函数；

如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的减函数。

若在某个区间内恒有'()0f x =，则()f x 为常函数。

这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。

小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。 结论应用：

由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：

【例题讲解】

例1、 求证：31y x =+在(,0)-∞上是增函数。

由学生叙述过程老师板书：

因为 '3'2(1)2y x x =+=，(,0)x ∈-∞，

所以 20x >，即'0y >， 所以函数31y x =+在(,0)-∞上是增函数。

注：我们知道3

1y x =+在R 上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。 学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。

例2、 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减

函数.

由学生叙述过程老师板书：

解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x , 令6x 2

－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0

∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数;当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.

令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数. 学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：

（1） 确定函数f (x )的定义域；

（2） 求函数f (x )的导数f ′(x ).

（3） 令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.

令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间

【课堂练习】

1．确定下列函数的单调区间

(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3

(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4)

令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.

∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)

令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4

.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)

(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)

令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1.

∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).

令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.

∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)

2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的

图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )