哈工程材料力学 6第六章

tg 2 0
（e）解析法： 1
0 80 0 80 2 ( ) 20 2 4.7 MPa ， 2 2
3
0 80 0 80 2 ( ) 20 2 84.7 MPa 2 2 2 20 0.5 ， 2 0 2634, 0 1317 0 80
第六章 应力状态理论和应变状态理论
6-1 构件受力如图所示。①确定危险点的位置。②用单元体表示危险点的应力状态。 （ a ）不计自重时，危险点为任一横截面上的任意一点 （ b ）危险点在 3M 与 2 M 之间的任一截面的边缘上任一 （ c ）危险点在图示三处 （ d ）危险点为任一截面的外边缘上任一点
1 3 80 MPa 2
题 6-3 图 6-4 已知矩形截面梁某截面上的弯矩及剪力分别为 M 10kN m ， Q 120kN ，试绘制截 面上 1、2、3、4 各应力点应力状态的单元体，并求其主应力。 解：点 1： x
M 10 1000 120 MPa , 1 2 0, 3 x 120 MPa 1 W 2 6 5 10 10 6 3 Q 3 120 10 3 36 MPa ，处于纯剪状态, 2 bh 2 5 10 10 4
d 5cm ， 2mm 。试求：① A 点在指定斜截面上的应力；② A 点主应力的大小及方向
（用单元体表示） 。
解： xy
M n M n D 16 M n ，数据代入，得： xy , D d 2 54mm IP IP 2 D 3 (1 4 ) P 2.0 10 4 N 61.2 MPa A (d )
6-7 二向应力状态如图所示，应力单元为兆帕。试求主应力并作应力圆。 解： x 80 MPa, 60 ,已知：

cos120 xy sin120 50 MPa

80 y 2
sin120 xy cos120 ,且 xy 0 ,
主应力计算：
1
79.9 79.9 2 ( ) 20.6 2 84.9 MPa 2 2 79.9 79.9 2 ( ) 20.6 2 5 MPa 2 2
3
tg 2 0
2 20.6 0.516, 0 1356 79.9 80 y 2 80 y 2
联立求解，得到 x y 70 MPa, x 50 MPa 则： 1
70 70 70 70 2 ( ) ( 50) 2 100 MPa 2 2
2
70 70 70 70 2 ( ) ( 50) 2 20 MPa 2 2
3 0 ， tg 2 0
2 x ，则 0 45 x y
题 6-9 图 6-9 试求图示各应力状态的主应力及最大剪应力（应力单位为兆帕） 。 解： （ a ） 1 0 0 50 50 MPa, 3 50 MPa, 2 50 MPa
2
max
（ b ） 1
xy 73.2 MPa ， y
所以 x 0, y 61.2 MPa, xy 73.2 MPa 现已知 30,
x 1 x y cos 2 xy sian2 48.1 MPa 2 2

xy x y 1.2, 0 333 sin 2 xy cos 2 10.1 MPa , tg 2 0 x y 2
式中静矩 S
b h2 ( y 2 ) ,得 2 4
1
x ( x ) 2 xy 2 70.4 MPa, 3 10.4 MPa , 2 0 2 2
点 4： 1 x 120 MPa, 2 3 0
题 6-4 图 6-5 薄壁圆筒扭转——拉伸试验的示意图如图所示。若 P 20kN ， M n 600 N m 且
2 20 0.8 50 0
max 32 MPa,1 0 45 2540 得 0 1920 ， 从而 1 57 MPa, 3 7 MPa ，
用图解法，按几何关系可求得 2 0 40, max 32 MPa
（ b ）解析法： 1
3
tg 2 0
max (
50 2 ) 20 2 32 MPa 2
6-3 在图示应力状态中，试用解析法和图解法求指定斜截面上的应力（应力单位为兆帕） 。 解： （ a ）解析法：
40 0 40 0 cos120 20sin120 27.3 MPa 2 2 40 0 sin120 20cos120 27.3 MPa , 2
得 1 109.8 MPa, 3 48.8 MPa
题 6-5 图
wk.baidu.com
题 6-6 图
题 6-7 图
6-6 图示简支梁为 36a 工字梁， P 140kN ， l 4m 。 A 点所在截面在集中力 P 的左侧， 且无限接近 P 力作用的截面。试求：① A 点在指定斜截面上的应力；② A 点的主应力及主 平面位置（用单元体表示） 。 解： A 所处截面上弯矩、剪力：
题 6-1 图
题 6-2 图 6-2 已知应力状态如图所示，图中应力单位皆为兆帕。试用解析法及图解法求：①主应力大 小，主平面位置；②在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；③最大剪应力。 解： （ a ）解析法 x 50 MPa, y 0, xy 20 MPa, tg 2 0
tg 2 0
max (
（ f ）解析法： 1
80 2 ) 20 2 44.7 MPa 2
20 30 20 30 2 ( ) 20 2 37 MPa ， 2 2 20 30 20 30 2 ( ) 20 2 27 MPa 2 2 2 20 0.8, 2 0 21840 , 0 10920 20 30

即：
27.3MPa, 27.3MPa
图解法：斜面法线与 x 轴夹角为 60 ，应力图中， 2 60 120 （ b ）解析法：
20 50 30 50 cos 60 (20)sin 60 52.3 MPa 2 2 30 50 sin 60 (20) cos 60 18.7 MPa 2 斜面与 x 轴正向夹角为 30 ，应力图中， 2 30 60 （ c ）解析法： 0 60 0 60 cos90 40sin 90 10 MPa 2 2 0 60 sin 90 40cos90 30 MPa 2
M
查型钢表后， A 点以下表面对中性轴静矩：
1 1 P 140 PL 140 4 140kN .m ， Q 70kN 4 4 2 2
S (13.6 1.58 17.2 1 7.42 12.7) 10 6 464 10 6m 3
正应力、剪应力：
联立解得： y 40 MPa ，从而 1 80 MPa, 2 40 MPa 注：凡是涉及某斜面上的应力，应从 角定义出发，准确找出 角的值
题 6-8 图 6-8 在通过一点的两个平面上，应力如图所示，单位为兆帕。试求主应力的数值及主平面位 置，并用单元体的草图表示出来。在通过一点的两个平面上，应力如图所示，单位为兆帕。 试求主应力的数值及主平面位置，并用单元体的草图表示出来。 解：取出图示单元体，依题中条件有：
1 3
40 20 40 20 2 ( ) 40 2 11.2 MPa ， 2 2 40 20 40 20 2 ( ) 40 2 71.2 MPa 2 2 2 ( 40) 4 , 0 3759, max 41.2 MPa 40 20 3
My 140 10 3 9 10 6 79.9 MPa I 15760 10 8 QS 70 103 464 10 6 10 6 20.6 MPa 8 2 Ib 15760 10 1 10
60, 则：
79.9 79.9 cos120 20.6sin120 2.13 MPa 2 2 79.9 sin120 20.6cos120 24.3 MPa 2
点 2： x
1 36 MPa, 2 0, 3 36 MPa,
3 10 2 M y 10 10 4 10 60 MPa ， 点 3： x 1 I 3 8 5 10 10 12
QS 120 10 3 46.8 10 6 x 27 MPa 1 I b 5 103 10 8 5 10 2 12
50 2 ) 20 2 32 MPa 2
2
（ c ）解析法： 1 0 0 25 25 MPa, 3 25 MPa ，
tg 2 0
2 25 无穷大， 2 0 90, 0 45, max 25 MPa 0
（ d ）解析法： x 40 MPa, y 29 MPa ，
105 75 105
x y x y cos 210 x sin 210 45 2 2 x y sin150 x cos150 25 3 2
x y sin 210 x cos 210 25 3 2
120 40 120 40 2 ( ) 30 2 130 MPa, 2 30 MPa 2 2
3 30 MPa ， max
注：此类问题中，受力状态是三向的，不再是平面问题，以（ b ）为例作详细分析： 在图示坐标系下， z 50 MPa, x 20 MPa, y 30 MPa 因为 x y 面内应力情况复杂，先进行分析： 则： x 20 MPa ， y 30 MPa ， xy 40 MPa
50 50 50 50 ( ) 2 20 2 57 MPa ， 3 ( ) 2 20 2 7 MPa 2 2 2 2 2( 20) 4 1 0.8 ，得 0 3840 1920 ， 50 5 2
tg 2 0
max (
1 3 50 (50) 50 MPa 2 2
30 20 30 20 2 ( ) 40 2 52.2 MPa, 3 42.2 MPa 2 2
2 50 MPa ， max
（ c ） 1
1 3 47.2 MPa 2