指数函数的基础知识

1 x

y

x

y 2= x y ⎪⎭⎫

⎝⎛=21 x y 3= x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛

=31x

y ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=31x

y ⎪⎭

⎫

⎝⎛=21指数函数基础知识

指数函数施我们学习的基本函数之一，对于指数函数的学习，概念非常重要，因此一定要弄懂指数函数的定义。

一、指数函数的定义：

函数

)10(≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。 注意点1：为什么要规定01a a >≠且呢？

①若0a =，则当0x >时，0x a =；当0x <时，x

a 无意义.

②若0a <，则对于x 的某些数值，可使x

a 无意义. 如x

)2(-，这时对于

14x =

，1

2x =，…等等，在

实数范围内函数值不存在.

③若1a =，则对于任何x R ∈，1x

a =，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定01a a >≠且。在规定以后，对于任何x R ∈，x a 都有意义，且0x

a >.

因此指数函数的定义域是R ，值域是(0,)+∞ 。

注意点2：

上述指数函数的定义是形式上的定义，它实质上是一种指数的对应关系，以a 为底数

作为指数对应过去。从对应的角度看指数函数的话，就能很容易理解为什么函数1

3+=x y 不

是指数函数，也能理解指数函数的解析式x y a =中，x a 的系数为什么是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如

x

y a k =+ (01a a >≠且，k Z ∈)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如x

y a -= (01a a >≠且)，因为它可以化为

1x

y a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭，其中10a >，且1

1

a ≠。

二、函数的图象

（1）①特征点：指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象经

过两点(0，1)和(1,a)，我们称这两点为指数函数的两个特征点. ②指数函数y ＝a x

(a ＞0且a ≠1)的图象中，y ＝1反映了它的分布特征；而直线x ＝1与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐标则直观反映了指数函数的底数特征，我们称直线x ＝1和y ＝1为指数函数的两条特征线

(如右图所示). （2）、函数的图象单调性

当a ＞1时，函数在定义域范围内呈单调递增； 当0＜a ＜1时，函数在定义域范围内呈单调递减； 推论：（1）底互为倒数的两个函数图像关于y 轴

对称

（2）当a ＞1时，底数越大，函数图象

越靠近Y 轴 ；

当0＜a ＜1时，底数越小，函数图 象越靠近Y 轴 。

（3）、函数的图象奇偶性：

若函数()f x 是奇函数，则对定义域内的每一个x ，都有()()f x f x -=-; 特别当0x =属于定义域时，有(0)(0)f f =-，所以(0)0f =． 若函数()f x 是偶函数，则对定义域内的每一个x ，都有f(-x)=f(x)。