小题练透：第6讲函数的性质

第6 讲函数的性质单调性和奇偶性

1.函数的单调性:

增函数：对于属于定义域 D 内某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2,

当x1 < x2时，都有f(x1) < f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数即增函数：x1 < x2⇔f(x1) < f(x2) 减函数：对于属于定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，

当x1 < x2时，都有f(x1) > f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数即减函数：x1 < x2⇔f(x1) > f(x2

2.函数单调性质：(1)增函数+增函数=增函数, (2)增函数-减函数=增函数，

(3)减函数+减函数=减函数，(4)减函数-增函数=减函数；

3.奇偶性

奇函数⇔f(−x) = −f(x)⇔图象关于原点中心对称

偶函数⇔f(−x) = f(x) ⇔图象关于y 轴对称

4.函数奇偶性的性质：(1)奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；

（3）奇函数×奇函数=偶函数；（4）偶函数×偶函数=偶函数；（5）奇函数×偶函数=奇函数. 5.

若奇函数在 x=0 处有定义，则f(0) = 0，若y = f(x)是偶函数，则f(x) = f(|x|)＝f(−x)奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数在对称区间上有相反的单调性

6.初等函数的单调性与奇偶性

8.在二次函数f(x) = ax2 + bx + c中，若有f(m) = f(n)成立，则二次函数的对称轴为直线x = m+n

2

9.利用函数单调性比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内.

10.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，

使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(定义域优先原则)

一．选择题：本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分.

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.(05T4)下列在实数域上定义的函数中，是增函数的为（）

A.y = 2x

B.y = x2

C.y = cos x

D.y = sin x

2.(12T3)下列函数为奇函数的是( )

A.y = x2

B.y = 2 sin x

C.y = 2 cos x

D.y = 2lnx

3.(13T6)下列函数为偶函数的是（）

A.y = e x

B.y = lgx

C.y = sin x

D.y = cos x

4.(19T4)函数y = f(x) ( x ∈ R)是增函数，则下列关系式中正确的是（）

A.f(−2) = f(3)

B.f(2) < f(3)

C. f(−2) < f(−3)

D.f(−1) > f(0)

5.(17T5)设f(x)是定义在R 上的奇函数，

已知当x ≥ 0时，f(x) = x2 − 4x3,则f(−1)=( )

A.−5

B.−3

C.3

D.5

6.(15T7)已知函数f(x)是奇函数，且f(2) = 1，则[f(−2)]3 = ( )

A.−8

B.−1

C.1

D.8

7.(16T10)已知f(x)为偶函数，且y = f(x)的图像经过点(2, −5),

则下列等式恒成立的是（）

A.f(−5) = 2

B. f(−5) = −2

C.f(−2) = 5

D.f(−2) = −5

8.(00T7)偶函数f(x)在（−∞，0]上是减函数，那么( )

A.f(−1) < f(3) < f(2)

B.f(−1) < f(2)

C.f(2) < f(3) < f(−1)

D.f(3) < f(2) < f(−1)

9.(09T7)设函数y = f(x)在区间(0, +∞)内是减函数,

则a = f(sin G),b = f(sin G), c = f(sin G)的大小关系是（）

6 4 3

A.c > b > a

B.b > c > a

C.b > a > c

D.a > b > c

10.(05T11)设f(x) = (ax2 + 1) sin x，其中a 为常数，则f(x)是（）

A.既是奇函数又是偶函数

B.奇函数

C.既非奇函数也非偶函数

D.偶函数

log1 x , x > 1

2

11.(11T13)已知函数f(x) = {sin x 0 ≤ x ≤ 1,则下列结论中,正确的是 ( )

x , x < 0

3

A.f(x)在区间(1, +∞)上是增函数

B. f(x)在区间(−∞, 1]上是增函数

C.f(G)=1

D.f(2)=1

2

12.(99T12)已知f(x)是R 上的奇函数a ∈ R,g(x) = af(x) + 2

在[0, +∞)上有最大值6，那么g(x)在(−∞, 0]上（）

A.有最大值-6

B.有最小值-6

C.有最小值-4

D.有最小值-2

13.(02T13)函数f(x) = ax3 + bx + 2，若f(2) = 8，则f(−2) = （）

A.−8

B.−6

C.−4

D.−2

14.(02T15)函数f(x)对任意实数x 都有f(5 + x) = f(5 − x)，

且方程f(x) = 0有不同的3 个实数根，则这3 个实数根的和为（）

A.0

B.3

C.5

D.15

15.(18T15)设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对于任意实数x，

有f(x + 4) = f(x),若f(−1) = 3，则f(4) + f(5) = ( )

A.−3

B.3

C.4

D.6

二.填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，满分25 分.

16.若函数f(x) = 3x + m − 1是奇函数,则常数m=

17.(14T18)已知f(x)是偶函数，且x ≥ 0时f(x) = 3x，则f(−2) =

18.已知f(x) = ax3 + bx,且f(−3) = 17,则f(3) =

19.(12T20)f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，

则不等式f(x) > f(2x − 3)的解集是

20.(05T22)函数y = f(x)是实数域上的减函数，也是奇函数，

且f(1 − a) + f(1 − a2) < 0,则a 的取值范围是