一元二次方程的解法训练
一元二次方程的解法(公式法)_同步练习
课题 一元二次方程的解法（公式法）1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？2、用配方法解一般形式的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax3、一元二次方程的求根公式：用公式法解下列方程:(1)2 x 2＋x －6＝0； (2)0422=+-x x ；(3)5x 2－4x －12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.用公式法解方程：3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).4、一元二次方程的根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是：（1）当b 2－4ac ＞0时， ；（2）当b 2－4ac ＝0时， ；（3）当b 2－4ac ＜0时，1、不解方程，判别方程05752=+-x x的根的情况。
2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
解方程：2x 2－x －3=0观察它的两个根，并计算两根之和，两根之积分别等于多少？你能得到什么结论吗？用适当的方法解下列方程：（1）3x 2－4x ＝2x ； （2）31（x ＋3）2＝1；（3）x 2＋(3＋1)x ＝0 （4）x （x －6）＝2（x －8）；（5）（x ＋1）（x －1）＝x 22； （6）x （x ＋8）＝16；已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.（精确到0.1米）达标测评1．用公式法解下列方程：（１）2220xx +-= ２）23470x x +-=；（３）22810yy +-=； （４）212308x x -+=．2．用适当的方法解下列方程：（１）2(2)3y -=； （２）2(23)3(43)x x +=+；（３）2320xx --= （４）(1)(2)5x x -+=．[我的收获—我快乐]________________________________________ [我的不足—我改正]你有做错的题吗？请你记录下来并更正到错题记录本！____________________________________。
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得 ，移项 ，得 ，配方, 得 ，方程左边写成平方式 ，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。
（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。
3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。
当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。
一元二次方程的解法练习题
一元二次方程的解法练习题一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，解一元二次方程需要一定的技巧和方法。
下面是一些一元二次方程的解法练习题，通过这些题目的练习，你可以巩固解一元二次方程的方法，提高解题的能力。
题目1：求解方程$x^2 - 5x + 6 = 0$题目2：求解方程$2x^2 + 3x - 2 = 0$题目3：求解方程$3x^2 - 4x - 4 = 0$题目4：求解方程$4x^2 + 4x + 1 = 0$题目5：求解方程$x^2 + 6x + 9 = 0$解答：解答题目1：首先，观察方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，可以发现该方程的系数已经是标准形式，可以直接使用因式分解法进行求解。
将方程因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，由乘法原理可以得到两个解$x=2$和$x=3$。
解答题目2：方程$2x^2 + 3x - 2 = 0$的系数为非标准形式，可以使用求根公式进行求解。
先计算判别式$D=b^2-4ac=3^2-4\times 2\times (-2)=49$，判别式大于0，方程有两个实根。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$，代入系数得到两个解$x_1=\frac{-3+\sqrt{49}}{2\times 2}$和$x_2=\frac{-3-\sqrt{49}}{2\times 2}$，简化后得到结果$x_1=\frac{1}{2}$和$x_2=-2$。
解答题目3：方程$3x^2 - 4x - 4 = 0$的系数为非标准形式，可以使用配方法进行求解。
首先，计算一下配方法中的常数项$b=\frac{a}{2}$，即$b=\frac{-4}{2}=-2$。
然后，将原方程改写为$(x-b)^2=b^2-ac$的形式，代入得到$(x+2)^2=12$。
再对方程两边取平方根，得到$x+2=\pm\sqrt{12}$。
简化后得到两个解$x_1=\sqrt{12}-2$和$x_2=-\sqrt{12}-2$。
计算专题一元二次方程解法分类训练专题
一元二次方程分类训练专题一、直接开平方法1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．2．解方程：（x﹣2）2＝18．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝05．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．二、配方法9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．三、公式法17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．20．解方程：．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．四、因式分解法25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．五、换元法35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．参考答案与试题解析一．解答题（共38小题）1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝4，x2＝﹣6．2．解方程：（x﹣2）2＝18．【答案】．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0【答案】见试题解答内容5．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．【答案】，．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．【答案】a≤﹣1时，方程没有实数解；a＞﹣1时，x1＝﹣，x2＝．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【答案】见试题解答内容8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝5，x2＝﹣7．（3）x1＝，x2＝．9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．【答案】，．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．【答案】．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．【答案】（1），；（2），．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．【答案】（1）x1＝+，x2＝﹣；（2）x1＝+，x2＝﹣；（3）x1＝1，x2＝；（4）x1＝2，x2＝．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】x1＝+，x2＝﹣．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．【答案】（1），；（2）x1＝1，x2＝﹣3．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．【答案】，．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．【答案】x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．【答案】x1＝，x2＝18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．【答案】，．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．【答案】x1＝，x2＝2．20．解方程：．【答案】，．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．【答案】x1＝，x2＝．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．【答案】x1＝，．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣1．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．【答案】x1＝1，x2＝﹣3．25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【答案】x1＝5，x2＝﹣3．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．【答案】x1＝﹣2，x2＝1.5．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；（2）x1＝5，x2＝7．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．【答案】（1）x1＝，x2＝1；（2）t1＝1，t2＝．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．【答案】，x2＝2．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【答案】（1）x1＝0，x2＝﹣；（2）x1＝3，x2＝．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）【答案】x1＝，x2＝﹣2．32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝3；（2）x1＝﹣，x2＝4．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．【答案】（1）x1＝2.5，x2＝2；（2）x1＝4，x2＝﹣．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【答案】x1＝，x2＝．35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．【答案】见试题解答内容36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x ＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x ＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．【答案】，．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x ＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．【答案】（1）x1＝，x2＝，x3＝2，x4＝﹣1．（2）4．第11页（共11页）。
一元二次方程的解法练习题
一元二次方程一. 填空题1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是它的二次项系数是；一次项系数是；常数项是。
根的判别式△=。
2、关于x 的方程(m 2－1)x 2+(m+1)x+m －2=0是一元二次方程，那么m 的取值范围是；当m=时，方程是一元一次方程。
3、关于x 的一元二次方程(2m －1)x 2+3mx+5=0有一根是x=－1，那么m=，另一根是 。
4、关于x 的一元二次方程(k －1)x 2+2x －k 2－2k+3=0的一个根为零，那么k=。
5. 如果x x 12、是方程x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。
6. 一元二次方程x x 2350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 1222+的值是____。
7、假设方程x x k 220-+=的两根的倒数和是83，那么k =____________。
8、.关于x 的方程〔2k+1〕x 2－kx+3=0，当k______时，方程为一元二次方程，当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．9、关于x 方程〔m+3〕x 27m -+〔m －3〕x+2=0是一元二次方程，那么m 的值为________．10、如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，那么1112x x +的值等于________ 11、假设方程〔x －2〕2=a －4有实数根，那么a 的取值范围是________12、22____)(_____3-=+-x x x13、一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____.14、x 2+mx+7=0的一个根,那么m=________,另一根为_______.15、关于x 的二次方程03k 4x k x 22=---的两个实数根为21x x 、，如果1)1x )(1x (21=--，那么k ＝_____________．16、实数x 、y 满足06y 2x y 4xy 4x 22=-++++，那么x ＋2y 的值为_____________．二. 选择题1. 以下方程中，两实数根之和等于2的方程是〔〕A. x x 2230+-=B. x x 2230-+=C. 22302x x --=D. 36102x x -+=2. 如果一元二次方程x x 2320+-=的两个根为x x 12、，那么x x 12+与x x 12的值分别为〔〕A. 3，2B. --32，C. 32，-D. -32，3. 关于x 的方程x k x k 2260-++-=()有两个相等的正实数根，那么k 的值是〔〕A. 2B. -10C. 2或-10D. 254. 假设方程x x m 280-+=两实数根的平方差为16，那么m 的值等于〔〕A. 3B. 5C. 15D. -155 . 对于任意实数m ，关于x 的方程()()m x mx m 2221240+-++=一定〔〕A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根6．假设x=1是方程〔k －1〕x 2+〔k 2－1〕x －k+1=0的一个根，那么k 值满足〔〕．A ．k=±1B ．k=1C ．k=－1D ．k≠±17．用直接开平方法解方程3〔x －3〕2－24=0，得方程的根是〔〕．A ．B ．x=3－C ．x 1x 2=3－D ．x=－3±8、k 为实数，那么关于x 的方程01k x )1k 2(x 2=-+++的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定9、用配方法将二次三项式5a 4a 2+-变形的结果是( ) A ．1)2a (2+-B ．1)2a (2++C ．1)2a (2-+D ．1)2a (2-- 10、如果方程0m x 2x 2=++有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是( )A ．m<1B ．m>1C ．m<－1D ．m>－111、以下一元二次方程中，没有实数根的是( )A ．01x 2x 2=-+B ．02x 22x 2=++C ．01x 2x 2=++D ．02x 4x 32=-+12、一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的选项是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C.231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; 13、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，那么a 值为〔 〕A 、1B 、1-C 、1或1-D 、1214、三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 那么这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.1915、一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，那么这个直角三角形的斜边长是〔 〕A 、3B 、3C 、6D 、916、使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( )A.6B.-1或617、假设关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,那么k 的取值范围是( )A.k>-74≥-74 且k ≠≥-74 D.k>74 且k ≠018、方程22=+x x ，那么以下说中，正确的选项是〔 〕〔A 〕方程两根和是1 〔B 〕方程两根积是2〔C 〕方程两根和是1- 〔D 〕方程两根积比两根和大2三、用适当方法解以下方程1、．2、3、．4、y 2+2y-3=05、4x 2+x-5=06、7、4x 2-3x=0 8、3〔x +1〕2=3.63 9、10、3x 2＋8 x －3＝0 11、2x 2－9x ＋8＝0 12、2(x －3) 2＝x 2－913、(x －2) 2＝(2x ＋3)2 14、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 15、－3x 2＋22x －24＝016、(x ＋2) 2＝8x 17、(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0四、解答题1. 关于x 的方程x k x k 2110--++=()的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值。
一元二次方程的解法练习题
一元二次方程的解法练习题一元二次方程是高中数学课程中重要的内容之一。
掌握一元二次方程的解法对于解决实际问题和理解数学概念非常有帮助。
本文将通过一些练习题来帮助读者加深对一元二次方程解法的理解和应用。
练习题1：求解方程 $x^2-5x+6=0$。
解：我们可以使用因式分解法来求解这个方程。
首先观察方程中的系数，发现方程的形式是 $x^2 - (x+\\alpha)(x+\\beta)=0$，其中 $\\alpha$ 和 $\\beta$ 是两个数。
根据这个形式，我们可以猜测 $\\alpha = 2$，$\\beta = 3$。
使用这个猜测，我们可以将方程进行因式分解：$x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) = 0$。
所以方程的解为 $x=2$ 或 $x=3$。
练习题2：求解方程 $2x^2+5x-3=0$。
解：这个方程的形式并不容易进行因式分解。
我们可以使用求根公式来求解这个方程。
求根公式为：$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将方程的系数代入公式，我们可以得到方程的解为：$x=\\frac{-5\\pm\\sqrt{5^2-4\\cdot2\\cdot-3}}{2\\cdot2}$。
计算得，$x=\\frac{-5\\pm\\sqrt{49}}{4}$。
所以方程的解为 $x=\\frac{-5+7}{4}$ 或 $x=\\frac{-5-7}{4}$，即$x=1$ 或 $x=-\\frac{3}{2}$。
练习题3：求解方程 $3x^2-7x+2=0$。
解：这个方程的形式还是不容易进行因式分解。
我们同样可以使用求根公式来求解。
将方程的系数代入公式，我们可以得到方程的解为：$x=\\frac{-(-7)\\pm\\sqrt{(-7)^2-4\\cdot3\\cdot2}}{2\\cdot3}$。
计算得，$x=\\frac{7\\pm\\sqrt{49-24}}{6}$。
专题训练一：一元二次方程
解：等式变形为 a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋ c－5＝0， 即(a－3)2＋(b－4)2＋ c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0， c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即 a2＋b2＝c2， ∴△ABC 为直角三角形
解：(1)不符合．设小路宽度均为x m，根据题意得(16－2x)(12－2x) 1 ＝ ×16×12，解得x1＝2，x2＝12，但x2＝12不符合题意，应舍 2 去，∴x＝2，故小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m
(2)答案不唯一，略
三、几何图形问题
6．如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一蚂蚁 由A以2 cm/s的速度向B爬行，同时另一蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿 OC方向爬行，问几秒钟后两蚂蚁与 O点组成的三角形面积等于 450 cm2?
三、几何图形问题 解：分两种情况讨论：(1)当由A 点出发的蚂蚁到达 O点之前，设 离开A点t s后，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2，根据 题意得 (50 － 2t)·3t ＝ 450 ， 整理得 t2 － 25t ＋ 150 ＝ 0 ， 解得 t1 ＝ 15 ， t2 ＝ 10 ； (2) 当由 A 点出发的蚂蚁爬完 OA 这段距离用了＝ 25(s) 后 ， 开 始由O向B爬行，设从O点开始x秒钟后，两蚂蚁与O点组成的三角形 面积等于450 cm2，根据题意得·2x·3(25＋x)＝450，整理得x2＋25x －150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(不合题意，舍去)，当x＝5时，x＋ 25＝30，这只蚂蚁已由A点爬行了30 s．综上可知，分别在10 s，15 s，30 s时，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2
一元二次方程解法专项训练以及题型分类
一元二次方程题型分类讲解一元二次方程解法《基础训练篇》（1）直接开平方1.方程 (3x －1)2=－5的解是 。
2.用直接开平方解下列方程：(1)4x 2－1＝0 ； (2)(x+4)2= 9； (3)81(x-2)2=16 ； (4)4(2x+1)2-36=0 ； (5)22)32()2(+=-x x（4）因式分解法1、填写解方程2-2-3=0x x 的过程解： x -3 x 1-3x+x=-2x所以2-2-3=x x （x- ）（x+ ）即（x- ）（x+ ）=0 即x- =0或x+ =0 ∴x 1=__________,x 2=__________2、用十字相乘法解方程6x 2－x -1=0解： 2x 12x- x=-x所以6x 2－x -1=（2x ）（ ） 即（2x ）（ ）=0 即2x =0或 =0 ∴x 1=__________,x 2=__________例题1、26=x x 2、4(3+)7(3+)x x x 3、244-y+=039y4、22-1=9x x （2） 5、20322--x x =0；练习：解方程1、22-3=0x x 2、(3)3(3)x x x 3、24-12x-9=0x 4、22-3=25+4x x （）（）5、22-3=-9x x （） 6.3x 2＋7x －6=0 ； 7.2216-3(4)x x 8.22(-3)+436x x9.(-3)2(2)x x （x+2） 10.2(4-3)+44-3+4=0x x （）11. 2x 2＋5x ＋2=0； 12.27196=0x x（2）配方法1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2； 2、用配方法解下列方程：(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； (3)x 2+23x-4=0； (4)x 2-32x-32=0.（3）公式法1.用公式法解下列方程：(1) 3 y 2-y-2 = 0 (2) 2 x 2+1 =3x (3)4x 2-3x-1=x-2 (4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1)一元二次方程考点以及典型例题《提高篇》(考点一：一元二次方程的定义)题型（一）判断一元二次方程１、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） Ａ．()()12132+=+x x Ｂ．02112=-+x xＣ．02=++c bx ax Ｄ． 1222-=+x x x ２、关于x 的方程2320ax x -+=是一元二次方程,则（ ）A 、0a >；B 、0a ≠；C 、1a =； D 、a ≥0． 题型（二）考查一般形式３、方程20x x -=的一次项系数是 ，常数项是 ． ４、方程２x x 232=-化成一般形式是 ，其中二次项系数式是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
一元二次方程的解法配方法—巩固练习
一元二次方程的解法配方法—巩固练习1.解方程3x²+7x+2=0。
首先，我们观察到这个方程的形式为ax²+bx+c=0，其中a=3，b=7，c=2、配方法的第一步是计算出a的倒数，即1/a=1/3然后，我们将方程重写为3x²+7x+2=0，移项得3x²+7x=-2接下来，我们将上式两边同时乘以1/3，得到x²+(7/3)x=-2/3为了配方，我们需要在方程两边加上一个项，使其变成一个完全平方。
可以通过如下方法完成：-将方程左侧的系数b/(2a)的平方加到两边。
在这个例子中，就是将(7/3)²加到两边。
这样，得到了x²+(7/3)x+(49/36)=(-2/3)+(49/36)。
那么，左侧就是(x+(7/6))²，右侧的分数可以通过化简得到-25/36现在，将方程写成完全平方的形式，得到(x+(7/6))²=-25/36最后，我们对方程两边取平方根，得到x+(7/6)=±√(-25/36)。
根据平方根的性质，√(-25/36)可以化简为(√25)/(√36)=±5/6因此，原方程的解为x=-(7/6)±(5/6)。
所以，方程3x²+7x+2=0的解是x=-(7/6)+5/6=-2/6=-1/3和x=-(7/6)-5/6=-12/6=-22.解方程2x²-3x-2=0。
同样地，首先观察方程的形式，得到a=2，b=-3，c=-2、然后，计算出a的倒数，即1/a=1/2将方程重写为2x²-3x-2=0，移项得2x²-3x=2然后，乘以1/2，得到x²-(3/2)x=1为了配方，我们需要在方程两边加上一个项，使其变成一个完全平方。
可以通过如下方法完成：-将方程左侧的系数b/(2a)的平方加到两边。
在这个例子中，就是将(-3/2)²加到两边。
专题训练一元二次方程的解法归纳(共15张PPT)
专题训练(三) 一元二次方程的解法归纳
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专题训练(三) 一元二次方程的解法归纳
方法一 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程可用直接开平方法
1. 方程 4x2－25＝0 的解为( C )
A. x＝25
B. x＝52 C. x＝±52 D. x＝±25
[解析] 移项,得 4x2＝25. 二次项系数化为 1,得 x2＝245. 两边直接开平方,得 x＝±25.
方法四 如果一个一元二次方程易化为它的一般形式且系数的绝对值较小,
那么可用公式法来求它的解
9. 解下列方程： (1)x2－x－1＝0； (2)x2－7x＝－5； (3)y(y－3)＝1.
证明：(1)∵a＝1,b＝－1,c＝－1,b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0,
∴x＝12±×15＝1±2
设 x－1＝y,则原方程可化为 y2－5y＋4＝0,解得 y1＝1,y2＝4. 当 y
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专题训练(三) 一元二次方程的解法归纳
8. (2017·湘潭）多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab,将该式 从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b). 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3). ( 1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋______)(x＋______)； (2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
1)＝13>0,∴y＝32±×113＝3±2 13,∴y1＝3＋2
13,y2＝3－2
13 .
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专题训练(三) 一元二次方程的解法归纳
专题训练 一元二次方程的解法
专题训练 一元二次方程的解法类型一 一元二次方程的解法分类练习1．用直接开方法解下列方程：(1)13(x －2)2＝8； (2)2(x ＋1)2－6＝0.2．用配方法解下列方程：(1)4x －x 2＋2＝0； (2)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.3．用公式法解一元二次方程：(1)x 2＝2x ＋1； (2)2x 2－2＝3x ； (3)3x 2－6x ＝5.4．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－32x ＝0； (2)x 2－1＝3x ＋3； (3)x(x －2)＝8.类型二 一元二次方程解法的灵活运用5．若x ＝－1是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx －2＝0(a ≠0)的一个根，则2 017－2a ＋2b 的值等于( )A ．2 019B ．2 015C ．2 013D ．2 0116．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a ＞2B ．a ＜2C ．a ＜2且a ≠1D ．a ＜－27．已知等腰三角形的边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两个根，则n 的值为( )A ．9B ．10C ．9或10D ．8或108．若a 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-,221,112a a 则关于x 的方程(a －2)x 2－(2a －1)x ＋a ＋12＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上三种情况都有可能9．无论x 取任何实数，代数式x 2－6x ＋m 都有意义，则m 的取值范围是________．10．若关于x 的方程(a －6)x 2－8x ＋6＝0有实数根，则整数a 的最大值是________．11．对于实数a ，b ，我们定义一种运算“﹡”为：a ﹡b ＝a 2－ab ，例如：1﹡3＝12－1×3，若x ﹡4＝0，则x ＝________．12．用恰当的方法解下列方程：(1)(2x －1)2＝9； (2)x 2－2x －288＝0； (3)8y 2＋10y ＝3；(4)x 2＋3x －4＝0； (5)x 2－6x ＋9＝(5－2x)2.13．(2015·梅州)已知关于x 的方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0(m ≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．。
一元二次方程练习题及答案
一元二次方程练习题及答案一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高中数学中的基础知识。
掌握一元二次方程的解法对于学生来说至关重要。
本文将介绍一些一元二次方程的练习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、基础练习题1. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：首先，我们可以尝试因式分解来解这个方程。
将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，得到两个解：x = 2和x = 3。
2. 解方程：2x^2 + 3x - 2 = 0解答：这个方程无法直接因式分解，我们可以使用求根公式来解。
根据求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，代入a = 2，b = 3，c = -2，得到两个解：x = 0.5和x = -2。
3. 解方程：3x^2 + 7x + 2 = 0解答：这个方程也无法直接因式分解，我们继续使用求根公式。
代入a = 3，b = 7，c = 2，得到两个解：x = -0.333和x = -2。
二、进阶练习题1. 解方程：4x^2 - 12x + 9 = 0解答：这个方程看起来可以因式分解，但是我们发现无法找到两个数相乘为9且相加为-12的情况。
因此，我们需要使用求根公式。
代入a = 4，b = -12，c = 9，得到两个解：x = 1.5和x = 1.5。
2. 解方程：x^2 + 4 = 4x解答：将方程移项得到x^2 - 4x + 4 = 0。
这个方程可以因式分解为(x - 2)^2 =0，得到一个解x = 2。
3. 解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0解答：这个方程无法直接因式分解，我们使用求根公式。
代入a = 2，b = -5，c = 2，得到两个解：x = 0.5和x = 2。
三、挑战练习题1. 解方程：x^2 + 2x + 1 = 0解答：这个方程可以因式分解为(x + 1)^2 = 0，得到一个解x = -1。
2. 解方程：3x^2 + 2x + 1 = 0解答：这个方程无法直接因式分解，我们使用求根公式。
解一元二次方程练习题(四种解法)
一 直接开方法
类型
I： ax2
=
b
x2
=
b a
b a
0
x
=
b (结果要分母有理化)
a
类型 II： a2 = b2 a = b或a = −b
（1） x2 = 9
（2） 4x2 = 25
（3） ( x +1)2 = 16
（4） 4(2x −1)2 = 81
一元二次方程的解法专题训练
三 公式法
x = −b b2 − 4ac 2a
步骤： 第一步：写成一般式； 第二步：找出 a，b，c；
第三步：计算 = b2 − 4ac ；
第四步：若△≥0，则代入公式；若△≥0，则原方程无实数解；
（1） x2 + 2x −1 = 0
（2） 2x2 + 4x = 1
（7） 300x2 − 40x +1 = 0
（8） ( x − 3)( x + 2) = 6
一元二次方程的解法专题训练
综合练习
（1） x2 − 6x + 8 = 0
（2） x2 − 4x = 1
（3） x2 −12x + 20 = 0
（4） x2 − 40x + 300 = 0
（5） x2 −100x + 2400 = 0
（5） (2x +1)2 = ( x − 3)2
（6） 250( x +1)2 = 360
（7）100(1− x)2 = 81
（8） 440( x +1)2 = 633.6
（9） −2( x − 4)2 + 9 = 5
完整版)解一元二次方程练习题(配方法)
完整版)解一元二次方程练习题(配方法) 一元二次方程解法练题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、4x-1=2、(x-3)^2=2、2、(x-1)^2=5、81(x-2)=16二、用配方法解下列一元二次方程。
1、y^2-6y-6=0、3x^2-4x+2=02、x^2-4x-5=0、2x^2+3x-1=03、x^2-4x=9、3x^2+2x-7=04、x^2-4x-5=0、-4x^2-8x=165、2x^2+3x-1=0、(2-3x)^2=46、-4x^2+12x=0三、用公式解法解下列方程。
1、x^2-2x-8=0、4y^2-2y-1=02、2x^2-5x+1=0、-4x^2-8x=16、2x^2-3x-2=0四、用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x^2=2x、(x+1)^2-(2x-3)^2=3、x^2-6x+8=02、4(x-3)^2=25(x-2)、(1+2)x^2-(1-2)x=6、(2-3x)^2+(3x-2)^2=1五、用适当的方法解下列一元二次方程。
1、3x/(x-1)=x/(x+5)、2x-3=5x、x-2y+6=22、x^2-7x+10=0、(x-3)(x+2)=6、4(x-3)+x(x-3)=23、(5x-1)^-2=8、3y^2-4y-9=0、x^2-7x-30=24、(y+2)(y-1)=4、x^2-4ax=b^2-4a^2、x^2+(531/36)x=05、4x(x-1)=3、3x^2-9x+2=0一元二次方程解法练题六、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.4x-1=2解：移项得4x=3，两边平方得16x^2=9，即x=±3/4.2.(x-3)^2=2解：展开得x^2-6x+7=0，两边平方得x-3=±√2，即x=3±√2.3.(x-1)^2=5解：展开得x^2-2x-4=0，两边平方得x-1=±√5，即x=1±√5.4.81(x-2)=162解：移项得(x-2)^2=2，两边开平方得x-2=±√2，即x=2±√2.七、用配方法解下列一元二次方程。
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一元二次方程的解法训练
班级：姓名：
一．选择题（共10小题，每小题3分）
1．（2015•兰州）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17B．（x+4）2=15C．（x﹣4）2=17D．（x﹣4）2=15
2．（2015•随州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）
A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36
C（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9 3．（2015•广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且
这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）
A．10B．14C．10或14D．8或10 4．（2015•泸州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等
的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．5．（2015•成都）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数
根，则k的取值范围是（）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0 6．（2015•张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（）
A．1B．0，1C．1，2D．1，2，3 7．（2015•安顺）若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．
A．四B．三C．二D．一8．（2015•烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一
元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）
A．9B．10C．9或10D．8或10 9．（2015•淄博）若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）
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（ （ A ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 B ．有两个相等的实数根 D ．以上三种情况都有可能 10． 2015•凉山州）关于 x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+2x+1=0 有实数根， 则 m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3 B ．m ＜3 C ．m ＜3 且 m ≠2 D ．m ≤3 且 m ≠2
二．填空题（共 8 小题，每小题 3 分）
11．
（2015•盘锦）方程（x+2）（x ﹣3）=x +2 的解是 ． 12．（2015•天水）一元二次方程 x 2+3﹣2 x=0 的解是
． 13． 2015•青海）已知关于 x 的一元二次方程 2x 2﹣3mx ﹣5=0 的一个根是 ﹣1，则 m= ．
14．
（2015•丽水）解一元二次方程 x 2+2x ﹣3=0 时，可转化为解两个一元 一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ．
15．
（2015•绥化）若关于 x 的一元二次方程 ax 2+2x ﹣1=0 无解，则 a 的取 值范围是 ．
16．
（2015•包头）已知关于 x 的一元二次方程 x 2+ x ﹣1=0 有两个不
相等的实数根，则 k 的取值范围是 ．
17．
（2015•台州）关于 x 的方程 mx 2+x ﹣m+1=0，有以下三个结论：①当 m=0 时，方程只有一个实数解；②当 m ≠0 时，方程有两个不等的实数解；
③无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是
（填 序号）．
18．
（2015•日照）如果 m ，n 是两个不相等的实数，且满足 m 2﹣m=3，n 2 ﹣n=3，那么代数式 2n 2﹣mn+2m+2015= ．
三．解答题（第 19 题 16 分，第 20～24 题每题 10 分，共 66 分）
19．解下列方程（共 4 小题，每小题 4 分）
（1）（2015•大连）x 2﹣6x ﹣4=0． （2）（2x ﹣3）2=x 2．
（3）4（x+3）2=25（x ﹣2）2．（4）配方法解方程 2x 2﹣4x ﹣3=0．
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（ 20．
（2015•滦平县二模）小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；此题的正确结果 是 ．
（2）用因式分解法解方程：x （2x ﹣1）=3（2x ﹣1）
21．
（2015•泰州）已知：关于 x 的方程 x 2+2mx+m 2﹣1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为 3，求 m 的值．
22． 2015•庆阳）已知关于 x 的一元二次方程 mx 2+mx+m ﹣1=0 有两个相
等的实数根．
（1）求 m 的值；
（2）解原方程．
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23．（2015•河南）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．24．（2015•常德模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
第4页（共4页）。