随机过程历史

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

课程设计（论文）

课程名称：应用随机过程

设计题目：随机过程历史

院系：计算机科学与技术学院

班级：计算机4班

设计者：徐立秋

学号：11S003124

指导教师：田波平

设计时间：2011-11至2011-12

哈尔滨工业大学

随机过程的历史

一随机过程概述

随机过程有一族无限多个随机变量组成的序列，是用来描绘一连串随机事件动态关系的序列。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。随机过程的概念很广泛，其研究几乎包括概率论的全部。

在客观世界中有些随机现象表示的是是事物随机变化的过程，不能用随机变量和速记矢量来描绘，需要用一族无限多个随机变量/矢量来描绘，这就是随机过程。

定义：设（Ω，F，P）是一个概率空间，T是一个实数集。{X(t ,w)，t∈T, w ∈Ω}（是对应于t和w的函数）即为定义在T和Ω上的二元函数，若此函数对任意固定的t∈T，X(w, t)是任意（Ω，F，P）上的随机变量，则称{X(t ,w)，t∈T, w∈Ω} 是随机过程(Stochastic Process)。

在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。

二随机过程发展简史

概率论的起源与博弈问题有关，而随机过程这一学科最早是起源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微的等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的，要经过多久其混合才会变得均匀？又如，在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。

1900年，Bachelier首次将布朗运动用于股票价格的描述。

随后公式化概率论首先使得随机过程的研究获得了新的起点，他是作为随机变化的偶然量的数学模型，是现代概率论研究的主要论题。1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）。这是一种无后效性随机过程，即在已知当前状态下，过程未来状态与其过去状态无关。

1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。维纳还在时间序列的预测和滤波理论的建立做出了贡献。

1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。

稍后，P. Levy从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法，1948年出版了《随机过程与布朗运动》，提出了独立增量的一般理论，并以其为基础极大地促进了对作为一类特殊的Markov过程的布朗运动的研究。

自然界里面许多随机现象变现出来某种平稳性，即其统计特性不随时间的推移而变化，这种过程叫做平稳过程。1934年辛钦提出了平稳过程的相关理论。

从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分和随机微分方程。1951年，伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。

另一类有重要意义的随机过程是“鞅”，布朗运动也是其特例。Levy在1935年已有其思想，1939年J. Ville“鞅”（martingale）这个名称。但是鞅论的奠基人是美国概率论学派的代表人物Doob，从1950年开始对鞅概念进行了系统研究从而使鞅论成为一门独立分支，他使随机过程的研究进一步抽象，不仅丰富了概率论的内容，而且为其他数学分支调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力工具。近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。

1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。

60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相

当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等。

随机过程的发展历史当中，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。在随机过程里面的贡献者主要有许宝禄、江泽培、王梓坤、侯振庭，陈木法、严加安、马志明、杨向群等人。国外中国人在随机过程方面的主要贡献者有钟开莱、李文博等人。

研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。

三随机过程的应用

随机过程的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。

随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。

在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产生级联（或倍增）现象，在研究电了-光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程（见点过程）的概念。当核子穿到吸收体的某一深度时，则可用扩散方程来计算核子的概率分布。物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。