复变函数的学习与中学数学教学解读

复变函数的学习与中学数学教学

现在不少大学生不能充分利用大学四年的宝贵时间和有利的学习条件，并且说学这些有用吗？下面我们就数学教育开设的复变函数与中学数学教学谈一些粗浅的看法，希望能对在校学生的学习有所启发。

复数一直是高中数学的教学内容，尤其对理科学生。学生在学习复数之前，一直是在实数域中考虑问题。虽说实数是从自然数、整数、有理数演变、扩展而来，但还是容易理解和直观化的。学生在学习复数时，首先得接受虚数“i ”，然后才是复数“bi a +”。再接下来才是对应于实数系中的运算。当然应包括相应的直观化，即几何表示。我们都知道，学生接受专门知识的过程如同他们接受批评教育的过程，也如同我们吸收营养的过程，对于不同的方法和途径所产生的效果是不一样的。我们的学生一学期学完复变函数，有些学生认为这些东西没什么用，事实上仅从实数系发展到复数系，就已能反映出数学发展的规律及数学发展的动力。如果一个教师自己都对这些不清楚，又怎么要求中学生们清楚呢？又怎么能让他们接受复数并产生兴趣呢？在复数引入后，利用其几何表示，会使不少几何问题的解决变得简单，利用复数的三角表示又会使许多代数问题的求解变得简单，利用复数运算的几何意义又会使许多问题的解决变得容易，由此让学生们明白：新工具的引入会使原来不能解决的问题得到解决，会使原来复杂的解决过程变得简单，这些思想是学生产生发散性思维的动力，是学生创新的内在动力。

众所周知，学生要有一滴水，教师应有一桶水，这是说明教师只有具备较大的知识储备，才能备课自如，释疑解惑自如，从而轻松驾驭教室，虽说“居高未必能够临下”，但没有居高就不会能临下，我们知道，高中数学中有相当一部分内容是研究几个基本初等函数的特殊情形。如果我们熟练掌握了复变函数中的这些内容，就能对初等数学中的相关内容游刃有余，才能给学生解惑。例如，有人证明

,04=π其证明如下： 因),11(21112i x i x i x +--=+有,2110002⎰⎰⎰+--=+t t i t i x dx i x dx x dx 于是，,ln 2

1i t i t arctgt i +-=令,1=t 则.01ln 81)11ln(8111ln 21144==+-=+-==i i i i i i i arctg π毛病出在哪里呢？出在01ln =，事实上，在复数域中，对数函数是多值的，πk i 21ln =（k 为整数）仅当0=k 时，01ln =，假如在上式中取1=k ，就不会有04=π

了。

学过复变函数，还会让你对基本初等函数有一些本质性的了解。在中学范围内，看不

出多项式函数（即有理整式函数）与超越函数（指数函数，对数函数，正余弦函数等）有什么关系。多项式函数属代数函数，似乎与超越函数彼此不塔架。但按照复变函数的观点，多项式函数与超越函数都在复平面上解析，都叫整函数，它们都以∞=z 为极点，而超越函数以∞=z 为本性奇点。多项式在复平面上任何一点的泰勒展开式是有限项，超越函数在复平面的任一点的泰勒展开式为无穷项。所以，当一个教师对这些理解得越深刻，由此培养出的能力，在备课时对教材挖掘的就越深，理解得就越透彻，从而教学效果就越好。

仔细分析复变函数的内容，其他课程相比有一种重要的处理问题的方法――转化。显得比较突出。例如：把复数列转化为实数列处理，把复函数转化为实函数处理，把一般幂函数和一般指数函数转化为以e 为底的指数函数，把复积分转化为实积分，把多连通转化为单连通，把积分计算转化为留数计算，把复杂的实积分转化为容易的复积分，把无穷远点的问题转化为原点的问题，把复杂的有限点问题转化为无穷点问题，以及保形变换中变换的思想方法，这些方法只有通过教师对学生不断引导，才能真正提高学生的分析问题和解决问题的能力。

通过复变函数课程的学习，可提高联想，类比的思维能力。例如，复变函数中复函数与实函数在极限、连续、可导、积分等概念上的类比、泰勒级数与罗朗级数的类比，零点与极点的类比，共轭调和函数与解析函数的类比，在教材中处处可见。从特殊联想到一般，从一般考虑到特殊也是复分析的一种重要的思想方法。例如柯西积分公式表明：解析函数在区域内部的值可由其边界上的值惟一确定，从而发现了惟一性定理。

可见，通过复变函数的学习，不仅仅可提高我们学生的业务水平，尤其可提高发现问题，分析问题，解决问题的能力，尤其是对数学能力的培养，起着一种潜移默化的作用。望数学系的学生学好这门课程，为将来的教学奠定良好的基础。