矩阵的概念及运算

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矩阵的基本概念

矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。

本文将介绍矩阵的基本概念，包括定义、表示、运算以及特殊类型的矩阵。

一、定义矩阵是一个二维数组，由m行n列的元素构成，示例如下： [a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ][a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ][ ... , ... , ..., ... ][aₙ₁, aₙ₂, ..., aₙₙ]其中aₙₙ表示矩阵中第k行第l列的元素。

二、表示矩阵可以用多种方式进行表示，常见的有行向量、列向量、分块矩阵和矩阵方程。

1. 行向量：将矩阵的一行元素写成一个行向量，示例如下：[a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ]2. 列向量：将矩阵的一列元素写成一个列向量，示例如下：[a₁₁][a₂₁][ ... ][aₙ₁]3. 分块矩阵：将一个大矩阵划分为多个小矩阵组成的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂; A₂₁, A₂₂]4. 矩阵方程：将矩阵和向量之间的关系表示为矩阵方程，示例如下：AX = B三、运算矩阵有多种运算，包括加法、数乘、乘法和转置等。

1. 加法：两个矩阵的对应元素相加得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂] [B₁₁, B₁₂] [A₁₁ + B₁₁, A₁₂ + B₁₂][A₂₁, A₂₂] + [B₂₁, B₂₂] = [A₂₁ + B₂₁, A₂₂ + B₂₂]2. 数乘：将矩阵中的每个元素乘以一个常数，示例如下：c * [A₁₁, A₁₂] = [cA₁₁, cA₁₂][A₂₁, A₂₂] [cA₂₁, cA₂₂]3. 乘法：两个矩阵的对应元素相乘然后相加得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂] [B₁₁, B₁₂] [A₁₁B₁₁ + A₁₂B₂₁,A₁₁B₁₂ + A₁₂B₂₂][A₂₁, A₂₂] * [B₂₁, B₂₂] = [A₂₁B₁₁ + A₂₂B₂₁,A₂₁B₁₂ + A₂₂B₂₂]4. 转置：将矩阵的行和列互换得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂, A₁₃] [A₁₁, A₂₁][A₂₁, A₂₂, A₂₃] -> [A₁₂, A₂₂][A₃₁, A₃₂, A₃₃] [A₁₃, A₂₃]四、特殊类型的矩阵矩阵还有一些特殊类型，包括零矩阵、单位矩阵、对角矩阵和方阵等。

矩阵知识点完整归纳

矩阵知识点完整归纳矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。

本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。

一、基本概念1.矩阵的定义矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。

如下所示：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。

2.矩阵的分类矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种：（1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。

（2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如$\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。

（3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。

（4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。

第2章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵（一）矩阵及相关概念1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n n n ≠≠=得不到由,.............. (2122221)11211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵，记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵 1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nn n n n n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算1.矩阵的加法CB A B A b a cC n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A k kA 111))(3(---=AB AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律 A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T A B AB =))(3(T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n A A n )2())(3(2≥=-**n A A A n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T T T T D BC AD C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O BC O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A EBA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵（一）矩阵的初等变换及相关概念1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换（1）对调矩阵的两行列（2）用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3）把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去（4）求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换）（5）不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位鞠振宁经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P )()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E k E k E E E ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A E A B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~r E PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A六、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关矩阵的概念及运算题型二、求方阵的幂n A数学归纳法思路，可用相似对角化来求个线性无关的特征向量有，当思路可用二项式定理展开则且，能分解成两个矩阵的和，若思路律就可很方便地求出个矩阵的乘积，用结合能分解为一列与一行两则，若思路,43)(,2,1)(1nn n nA n A CB A CB BC C B A A A A A r +==+== 题型三、求与已知矩阵可交换的矩阵题型四、有关初等变换的问题题型五、关于伴随矩阵的命题题型六、矩阵可逆的计算与证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B A E E A A E E A A AA EBA E AB B 111-1-1-1-1114)()();()(3121，，分块矩阵法思路，初等变换法思路，伴随矩阵法思路或使，定义法，找出思路题型七、求解矩阵方程为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A B A r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===。

《线性代数》矩阵的运算与概念

• 代价是尼奥必须进入矩阵，删除叛逃异变的强大病毒—史密斯。
负矩阵
称矩阵
零矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn
为A的负矩阵,记作 –A.
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如
反例．设 A 0 10 1 1 21 5
则 AB 0 10 1 1 21 5
， B = 1 2 3 . 2 1 0
1 2 3 无意义. 2 1 0
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23 解： AB 1 2
31
1 2 3 2 1 0
8 7 6
（1）先行后列法
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品甲乙丙丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg)
2 1 0 31
23
8 7 6
解：AB 1 2 1 2 3 3 0 3 ；
3 1 2 1 0
5 7 9
BA 1 2 3 2 1 0
23 1 2 9 4
38 31
通常采用：先行后列法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .

矩阵的计算方式

矩阵的计算方式1 矩阵的定义矩阵是线性代数的基础概念之一。

它是一个由数构成的矩形阵列（一个表格），并按照特定的规则进行排列。

就像我们平时用的Excel 表格一样，矩阵可以用于描述各种各样的数学问题，例如线性方程组的求解、变换矩阵的应用等等。

2 矩阵的基本运算矩阵的运算有加、减、数乘、矩阵乘法等。

以下将从这几个方面来介绍矩阵的基本运算。

2.1 矩阵加法两个矩阵的加法定义为将它们的对应元素相加得到一个新矩阵。

例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$矩阵加法需要满足以下条件：- 两个矩阵必须具有相同的行数和列数。

- 相加的两个矩阵对应的元素必须都是相同类型的，例如都是实数。

2.2 矩阵减法两个矩阵的减法与加法类似，不同的是将它们的对应元素相减得到一个新矩阵。

例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & -4 \\ -4 & -4\end{bmatrix}$矩阵减法需要满足与矩阵加法相同的条件（相同的行数和列数，相同类型的元素）。

2.3 矩阵数乘将矩阵的每个元素都乘以一个标量得到一个新的矩阵，这个操作称为矩阵数乘。

例如：$2 \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}$矩阵数乘需要满足以下条件：- 被乘的标量必须是一个实数或者复数。

mathematics矩阵运算

mathematics矩阵运算矩阵运算是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学和金融等。

本文将一步一步地介绍矩阵的定义、基本运算、特殊类型的矩阵以及一些常见的矩阵运算。

一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，可以用方括号表示。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\a_{3,1} & a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]其中，\[a_{i,j}\]表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵中的元素可以是实数或者复数。

二、基本运算1. 矩阵的加法和减法：两个相同大小的矩阵可以进行加法和减法运算。

对应位置上的元素相加或相减，得到的结果矩阵具有相同的大小。

例如，对于两个3行2列的矩阵\[A\]和\[B\]，它们的和\[A + B\]可以表示为：\[A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} \\a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} \\\end{bmatrix}\]2. 矩阵的标量乘法：矩阵可以与一个实数或者复数进行乘法运算，我们称之为标量乘法。

将矩阵中的每一个元素与标量相乘，得到的结果矩阵具有相同的大小。

例如，对于一个3行2列的矩阵\[A\]和一个标量\[k\]，它们的乘积\[k \cdot A\]可以表示为：\[k \cdot A =\begin{bmatrix}k \cdot a_{1,1} & k \cdot a_{1,2} \\k \cdot a_{2,1} & k \cdot a_{2,2} \\k \cdot a_{3,1} & k \cdot a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是定义在两个矩阵之间的运算，它不同于矩阵加法和减法。

矩阵运算公式大全

矩阵运算公式大全一、矩阵基本概念和性质1.矩阵的定义：一个m×n的矩阵A是由m行n列的数排成的一个矩形阵列，其中每个数称为矩阵的一个元素。

2. 矩阵元素的表示：A=[a_ij]_{m×n}，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

3. 矩阵的加法和减法：给定两个相同阶的矩阵A=[a_ij]_{m×n}和B=[b_ij]_{m×n}，则它们的和A+B=[a_ij+b_ij]_{m×n}和差A-B=[a_ij-b_ij]_{m×n}定义为对应元素相加或相减得到的结果。

4. 矩阵的数乘：给定一个矩阵A=[a_ij]_{m×n}和一个实数k，则kA=[ka_ij]_{m×n}定义为矩阵A的每个元素乘以实数k得到的结果。

5. 矩阵的乘法：给定一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积AB=[c_ij]_{m×p}定义为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。

二、矩阵的转置和逆1. 矩阵的转置：给定一个m×n的矩阵A=[a_ij]_{m×n}，它的转置记作A^T，其中A^T=[a_ji]_{n×m}，即将矩阵A的行变为列，列变为行。

2.矩阵的逆：给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^{-1}。

三、矩阵的特殊类型1.零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作0。

2.单位矩阵：对角线上的元素都为1，其余元素都为0的矩阵，记作I。

3.对角矩阵：非对角线上的元素都为0的矩阵。

4.上三角矩阵：下三角元素都为0的矩阵。

5.下三角矩阵：上三角元素都为0的矩阵。

6. 对称矩阵：对于任意元素a_ij，有a_ij=a_ji的矩阵，记作A^T=A。

7. 反对称矩阵：对于任意元素a_ij，有a_ij=-a_ji的矩阵，记作A^T=-A。

矩阵的基本概念与运算

矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数学科中的基础工具，这是因为矩阵可以用来表示线性变换和线性方程组。

对于矩阵的基本概念与运算，我们需要从以下几个方面来分析。

一、矩阵的基本概念1、定义与记法矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B、C等。

其中，阵列中的m表示矩阵的行数，n则表示矩阵的列数。

因此，一个m行n列的矩阵可以写成：$A_{m×n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}& \cdots&a_{mn}\\\end{bmatrix}$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。

2、矩阵的类型按照元素类型可以将矩阵分为实矩阵、复矩阵和布尔矩阵等。

按照矩阵的形状，矩阵可以分为方矩阵、长方矩阵和列矩阵等。

二、矩阵的基本运算1、矩阵的加法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{m×n}$，它们对应位置相加的结果记作 $C=A+B$，则：$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$2、矩阵的数乘假设有一个矩阵 $A_{m×n}$ 和一个数 $\lambda$，则它们的乘积记作 $B=\lambda A$，则：$B_{ij}=\lambda A_{ij}$3、矩阵的乘法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{n×p}$，它们的乘积记作$C=AB$，则：$C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$矩阵乘法需要满足结合律，但不满足交换律，也就是说，$AB$ 与 $BA$ 不一定相等。

2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算

a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。记为即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2

a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出，作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法

线性代数中矩阵的基本概念与运算

线性代数中矩阵的基本概念与运算线性代数是数学中的一个分支，其中矩阵的概念和运算是非常基本的。

本文将简单介绍矩阵的基本概念和运算。

矩阵的基本概念矩阵是一个方形或长方形的数表，其中的数被排列在行和列中。

一个矩阵通常用大写字母来表示，如下所示：$$A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\end{bmatrix}$$其中 $m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数，$a_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

对于一个 $m \times n$ 的矩阵，我们可以简单地把它看做是$n$ 个列向量的组合，每个列向量是一个 $m$ 维的向量。

也就是说，$A$ 可以被写成如下形式：$$A = [a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(n)}]$$其中 $a^{(i)}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 列向量。

矩阵的加法和减法两个同规格的矩阵可以进行加法和减法运算。

对于两个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和可以表示为：$$C = A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}+b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots &a_{m,n}+b_{m,n}\end{bmatrix}$$同理，它们的差可以表示为：$$D = A - B =\begin{bmatrix}a_{1,1}-b_{1,1} & a_{1,2}-b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}-b_{1,n} \\a_{2,1}-b_{2,1} & a_{2,2}-b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}-b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}-b_{m,1} & a_{m,2}-b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}-b_{m,n}\end{bmatrix}$$需要注意的是，在进行矩阵加法和减法运算时，这些矩阵必须是同规格的，也就是说它们的行数和列数都必须相等。

1-1矩阵的基本概念及运算

作业2
2.
即 AB AC× B C.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
这属于特例，称之为“可交换矩阵”。
4. 单位矩阵——如同数和乘法中的 1
单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外,其他元素全都为0, 即
一般的线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
可以非常简单地表示为矩阵方程 AX B
a11 a12
这里,
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1 b1
a2n
X
2 0
5 T 1
4 2 5
2
0
1
1 2 3 4 2
0
1
0 2
0
2 1 3 5 1
A BT = AT BT .
2、矩阵的倍数 (即数与矩阵相乘)
1) 定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2) 数乘矩阵的运算规律
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1
B2
Bm
特殊矩阵
特殊矩阵
零矩阵：所有元素全等于零的矩阵。矩阵相等：
①行数和列数分别相等； ②对应的元素都相等。

矩阵的概念和运算

矩阵的概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、经济学等各个领域中。

本文将介绍矩阵的基本概念和运算，以及其在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义和表示矩阵是由m行n列的数量排列在一个矩形阵列中的数或者符号所组成的矩形数表。

一般用大写字母表示矩阵，例如A、B、C等。

矩阵可以表示为：A = [a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法满足相同位置元素相加的规则，即相同位置的元素相加得到新矩阵的对应位置元素。

例如：A = [a_ij]，B = [b_ij]，C = [c_ij]A +B = [a_ij + b_ij] = C2. 矩阵的数乘矩阵的数乘指将一个数与矩阵中的每个元素相乘，得到新矩阵。

例如：A = [a_ij]，k为实数kA = [ka_ij]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到新矩阵的运算。

矩阵的乘法满足“行乘列”规则，即第一个矩阵的行元素与第二个矩阵的列元素相乘并求和得到新矩阵的对应位置元素。

例如：A = [a_ij]，B = [b_ij]，C = [c_ij]AB = C，其中c_ij = ∑(a_ik * b_kj)4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到新矩阵。

若A为m行n 列的矩阵，其转置矩阵记作A^T，则A^T为n行m列的矩阵，且A的第i行第j列的元素等于A^T的第j行第i列的元素。

三、矩阵的应用1. 线性方程组矩阵可以用来表示线性方程组，通过矩阵的运算可以更方便地求解线性方程组的解。

例如：Ax = b其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。

通过矩阵的运算，可以求解出未知数向量x。

2. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵在向量空间中的变换性质。

特征向量是指在矩阵变换下保持方向不变的非零向量，特征值是指对应于特征向量的标量。

矩阵及其运算

矩阵及其运算矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中得到广泛应用。

本文将介绍矩阵的定义和基本操作，包括矩阵的加法、减法、乘法以及转置运算。

1. 矩阵的定义矩阵由m行n列的数排列成的矩形数表称为m×n矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个数称为元素，用a(i,j)表示矩阵中第i行第j列的元素。

例如，一个2×3的矩阵A可以定义为：A = [a(1,1) a(1,2) a(1,3)][a(2,1) a(2,2) a(2,3)]2. 矩阵的加法和减法对于两个同型矩阵A和B（即行列数相等），它们的和记为A + B，差记为A - B。

加法和减法的运算法则是对应元素相加或相减。

例如，对于两个2×3的矩阵A和B，它们的和A + B和差A - B可以表示为：A +B = [a(1,1) + b(1,1) a(1,2) + b(1,2) a(1,3) + b(1,3)][a(2,1) + b(2,1) a(2,2) + b(2,2) a(2,3) + b(2,3)]A -B = [a(1,1) - b(1,1) a(1,2) - b(1,2) a(1,3) - b(1,3)][a(2,1) - b(2,1) a(2,2) - b(2,2) a(2,3) - b(2,3)]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是定义在矩阵上的一种运算，对于矩阵A（m×p）和矩阵B（p×n），它们的乘积记为AB，结果是一个m×n的矩阵。

具体计算过程是，矩阵AB的第i行第j列的元素是矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

用数学公式表示为：AB(i,j) = ∑(A(i,k) * B(k,j)) (k从1到p)例如，对于一个2×3的矩阵A和一个3×2的矩阵B，它们的乘积AB可以表示为：AB = [a(1,1)*b(1,1) + a(1,2)*b(2,1) + a(1,3)*b(3,1) a(1,1)*b(1,2) +a(1,2)*b(2,2) + a(1,3)*b(3,2)][a(2,1)*b(1,1) + a(2,2)*b(2,1) + a(2,3)*b(3,1) a(2,1)*b(1,2) +a(2,2)*b(2,2) + a(2,3)*b(3,2)]4. 矩阵的转置一个矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。

矩阵的概念及其线性运算

.第二章矩阵§2.1 矩阵的概念及其线性运算学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。

一．矩阵的概念矩阵是一张简化了的表格,一般地⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列，共n m ⨯个元素，其中第i 行、第j 列的元素用j i a 表示。

通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。

为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ⨯A 或()i jm na ⨯表示。

矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。

所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。

两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。

记作B A =。

如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。

n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。

n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。

在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。

主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001E n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。

行向量、列向量统称为向量。

向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。

向量中的元素又称为向量的分量。

11⨯矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。

二．矩阵的加、减运算如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。

分别称为矩阵A 、B 的和与差。

B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。

矩阵的概念及其线性运算知识讲解

第二章矩阵§2.1 矩阵的概念及其线性运算学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。

一．矩阵的概念矩阵是一张简化了的表格,一般地⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列，共n m ⨯个元素，其中第i 行、第j 列的元素用j i a 表示。

通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。

为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ⨯A 或()i jm na ⨯表示。

矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。

所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。

两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。

记作B A =。

如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。

n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。

n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。

主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛE n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。

行向量、列向量统称为向量。

向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。

向量中的元素又称为向量的分量。

11⨯矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。

二．矩阵的加、减运算如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。

分别称为矩阵A 、B 的和与差。

B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。

矩阵的基本运算与性质

矩阵的基本运算与性质矩阵是线性代数中一项重要的数学工具，常用于解决多变量的线性方程组、线性变换等问题。

本文将介绍矩阵的基本运算和性质，帮助读者更好地理解和应用矩阵。

一、基本运算1. 矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形阵列。

我们用大写字母A、B、C等表示矩阵，元素用小写字母a_ij、b_ij、c_ij等表示。

2. 矩阵的加法若A、B是同阶矩阵（即m行n列），则A + B的结果是一个与A、B同阶的矩阵，其每个元素等于A、B对应元素的和。

3. 矩阵的减法若A、B是同阶矩阵，A - B的结果是一个与A、B同阶的矩阵，其每个元素等于A、B对应元素的差。

4. 矩阵的数乘若A是一个矩阵，k是一个标量（实数或复数），kA的结果是一个与A同阶的矩阵，其每个元素等于A对应元素乘以k。

5. 矩阵的乘法若A是一个m行p列的矩阵，B是一个p行n列的矩阵，那么AB 的结果是一个m行n列的矩阵。

其中，AB的第ij个元素等于A的第i 行与B的第j列的乘积之和。

6. 矩阵的转置若A是一个m行n列的矩阵，AT表示A的转置矩阵，即A的行列互换得到的n行m列的矩阵。

二、基本性质1. 矩阵的分配律对于任意的矩阵A、B、C和标量k，满足下列性质：(A + B)C = AC + BCA(B + C) = AB + ACk(AC) = (kA)C = A(kC)2. 矩阵的结合律对于任意的矩阵A、B和C，满足下列性质：(AB)C = A(BC)3. 矩阵的逆若A是一个可逆矩阵（行列式不等于零），则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。

4. 矩阵的转置性质对于任意的矩阵A和B，以及标量k，满足下列性质：(A + B)T = AT + BT(kA)T = kAT(AB)T = BTAT5. 矩阵的幂若A是一个n阶矩阵，定义A^k为将A连乘k次，其中k是正整数。

若A的特征值都不为零，则有(A^m)(A^n) = A^(m+n)。

第二章矩阵及其运算总结

§1 矩阵及其运算一、矩阵的基本概念（必考）矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或表示一个m*n 矩阵，下标ij 表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个m*1矩阵，也称为一个 m维列向量；而一个 1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n维行向量.当一个矩阵的行数m与烈数n 相等时，该矩阵称为一个 n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为2行3列的矩阵，找规律)二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：.给定矩阵，我们定义其负矩阵为： .这样我们可以定义同型矩阵的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：； (2)结合律：；(3)存在零元：;(4)存在负元：.2 、数与矩阵的乘法的运算律：（1)；（2)；（3)；（4) .3 、矩阵的乘法（必考）设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且(即左行乘右列)矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：(1）结合律：； (2）左分配律：；(3）右分配律：；(4）数与矩阵乘法的结合律：；(5）单位矩阵的存在性：.若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：， .注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B 可逆.例：A,B,C 是同阶矩阵，A ≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者. 同理，A ≠0，B ≠0，而AB却肯能等于0.例题：（选择题5、6）（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有 .4 、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：.矩阵的转置运算满足下列运算律：（1)；（2)；（3)；（4) (重要).5、对称矩阵：n 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.运算性质：1）（2）（3）（4）（5）三、逆矩阵1.定义对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B 称为A 的逆矩阵，．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为（反证法），如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22，那么22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质：（1）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的．（2）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．（必考重点）这是因为 E A A AEA ABB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以111)(---=A B AB ．（必考重点）这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. （3）可逆矩阵A 的转置矩阵T A 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为E E A A A A T T TT===--)()(11，E E AA A A T T T T ===--)()(11所以 T TA A )()(11--=．（4）如果A 是可逆矩阵，则有11--=A A ．这是因为E AA=-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以111--==A AA ．矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r （A ）= n ）；（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n 阶单位矩阵；（3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值不为零；（5）对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B 使得AB = E （或BA = E ），则A 可逆，且A -1= B. 逆矩阵的有关结论及运算必考 ——求法方法1 定义法：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB = BA= E ，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为A -1.例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22A - 3A + 5E = 0，求A -1.【解】22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E23-A - A =E 552323A (- A - E) = - A - E = E555523A A = - A - E55∴∴∴∴可逆且方法 2 伴随矩阵法：A -1= 1|A|A*.定理n 阶矩阵A = a ij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且11211122221121n n nnnn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭其中A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式.矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，于是有A -1=1|A|A*. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （A ji ）n ×n 元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其伴随矩阵22122111*a a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求A -1.【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0 ∴A 可逆.由已知得111213212223313233A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A = - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A = 1 ， A -1= 1|A| A* = 5115212211022511272171122⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭方法3 初等变换法：注 ①对于阶数较高（n ≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当矩阵A 可逆时，可利用求解求得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A -1B 或CA -1.例3：:用初等行变换求矩阵231A 013125⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.【解】()231100125001125001A E 01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631310122111001663⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪⎝⎭⎛--→---⎝⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭1113410066313A 010********1663-⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：1111111111111111A A 000B 0C O A A A CB A O A O BD B O B B DA B B O A O B B O AO ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4：已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求A -1.【解】将A 分块如下：12005200211200110O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得 1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 从而11211120033110331200250O A A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭方法5 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知，且，试求．解由题设条件得3.伴随矩阵如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).（n 阶矩阵A 可逆的充要条件是:|A|≠0）设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*（顺序变化，重点）称为A 的伴随矩阵. 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =-，伴随矩阵例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 四、分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵. 二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB 其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C t k kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T tT s T TA A A A A 5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A =(2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。