北京四中数学必修五教案第二章 数列综合之基础篇

数列综合 编稿： 审稿：【学习目标】1．系统掌握数列的有关概念和公式；2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题；3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；4．掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、数列的通项公式数列的通项公式一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。

要点诠释：①不是每个数列都能写出它的通项公式。

如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。

如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成(1)nn a =-，也可以写成cos n a n π=；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。

通项n a 与前n 项和n S 的关系： 任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++；11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩要点诠释：由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，（2）求出当n≥2时的n a ，（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。

数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。

要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二、等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列；②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列。

要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。

等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；特别，若2m n p +=，则2m n p a a a += （3）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列。

（5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S①当n 为奇数时，12n n S n a +=⋅；12n S S a +-=奇偶；11S n S n +=-奇偶； ②当n 为偶数时，122()2n nn a a S n ++=⋅；12S S dn -=偶奇；212nn a S S a +=奇偶。

（6）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则m n m nS S S m n m n+-=-+（m 、n ∈N*，且m ≠n ）。

（7）等差数列{}n a 中，若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N*，且m≠n ，p≠q ），则p qm n S S S S m n p q--=--。

（8）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2'd k d =.等差数列前n 项和n S 的最值问题：等差数列{}n a 中① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩来确定n ；② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ，也可由前n 项和公式21()22n d dS n a n =+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三、：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：1n na q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （2）通项公式法：nn a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （3）中项公式法：212n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*n N ∈）{}n a ⇔是等比数列.等比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：n mn m a a q -=（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅.特别，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅= （4）等比数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列.（5）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列。

（6）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇。

（7）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列。

（8）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}n a为等差数列，则{}n aa （a ＞0且a≠1）为等比数列。

（9）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)21(*)n n n n V a q n N -=∈等比数列的通项公式与函数：11n n a a q -=①方程观点：知二求一； ②函数观点：111n nn a a a qq q-==⋅ 01q q >≠且时，是关于n 的指数型函数；1q = 时，是常数函数；要点诠释：当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列；当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列；当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列； 当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列。

要点四、常见的数列求和方法 公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和。

分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：a n =2n+3n .裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若1()()n a An B An C =++，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=，如a n = 1(1)n n +111n n =-+ 错位相减求和法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n c b a ⋅=, 其中 {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列，如a n =(2n-1)2n .一般步骤：n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 要点五、数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.【典型例题】类型一：数列的概念与通项 例1．写出数列：15-，103，517-，267，……的一个通项公式. 【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n-表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n -表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221+,231+,241+,251+,…可用2(1)1n ++表示；【解析】通项公式为：221(1)(1)1nn n a n -=-++. 【总结升华】①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式。

如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数n (项数)为自变量的函数()f n 的表达式；②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：【变式1】数列：1-，58，157-，924，……的一个通项公式是（ ） A.2(1)21nn n n a n +=-+ B.(3)(1)21n n n n a n +=-+C.2(1)1(1)21nn n a n +-=-- D.(2)(1)21n n n n a n +=-+ 【答案】采用验证排除法，令1n =,则A 、B 、C 皆被排除，故选D. 【变式2】给出数表：1 2 3 4 5 67 8 9 10… … … …（1）前m 行共有几个数？（2）第m 行的第一个数和最后一个数各是多少？ （3）求第m 行的各数之和； （4）数100是第几行的第几个数？ 【答案】（1）)1(21+m m ； （2）1(1)12m m -+，1(1)2m m +；（3）21(1)2m m +；（4）第14行的第9个数。