概率统计试卷4

备用数据：22

0.950.950.05(3) 2.3534,(3) 6.815,(3)0.352

t χχ===

8413.0)1(=Φ ，7881.0)8.0(,9993.0)2.3(=Φ=Φ.

一、填空题(18分)

1、(4分)已知5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,6.0)|(=B A P ，则)(AB P = ，

)(B A A P ⋃= .

2、(4分)设随机变量ξ服从二项分布),4(p B ，01p <<，已知)3()1(===ξξP P ，则

=p ，)2(=ξP = .

3、(6分)设随机变量X 服从参数为1的指数分布，随机变量Y 服从二项分布(2,0.5)B ，且

(,)0.5cov X Y =，则(3)E X Y -= ，(3)D X Y -= ，利用切比雪夫不等

式可得()

≥≤+-223Y X P .

4、(4分)设126,,X X X 相互独立且服从相同的分布，且1X 服从正态分布)9,0(N ，记

()()22

2

123456

T a X X b X X X cX

=+++++，其中,,a b c 为常数，且0≠abc ，当

a = ,

b = ,

c = 时，T 服从自由度为 的2χ分布.

二、(12分)甲、乙两人各自独立作同种试验，已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6，0.8. (1) 求两人中只有一人试验成功的概率；

(2) 在已知甲乙两人中至少有一人试验成功的情况下，求甲成功但乙未成功的概率。

三、(12分)设随机变量)4,1(~N ξ,)9,0(~N η,且ξ与η的相关系数2

1-=ξηρ. 记3

2

η

ξ

+

=Z .求(1))(Z E ，)(Z D ；(2)),(Cov Z ξ.

四、(12分)假设二维随机变量(,)X Y 服从矩形 }10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀

分布. 记01X Y U X Y ≤⎧=⎨

>⎩若若, 0212X Y

V X Y

≤⎧=⎨>⎩若若,

(1)求),(V U 的联合概率函数； (2)求概率)1(22≤+V U P .

五、(12分)设随机变量21ξξ与相互独立, 它们均服从标准正态分布.记

211ξξη+=,212ξξη-=.可以证明：(1η，2η)服从二维正态分布.

(1) 分别求1η和2η的密度函数； (2) 求),(21ηη的联合密度函数； (3) 求概率()

22,2221≤≤-≤≤-ηηP .

六、(10分)某生产线上组装一件产品的所需时间X 服从指数分布，10)(=X E (单位：分钟)，假设组装各件产品所需时间相互独立.用中心极限定理求组装100件产品所需时间在18小时至22小时之间的概率的近似值

七、(10分)设某种新型塑料的抗压力X 服从正态分布2

(,)N μσ，现对4个试验件做压力试

验，得到试验数据(单位：10MPa)，并由此算出

4

4

21

1

32,268i

i i i x

x ====∑∑，分别求μ和σ的置

信水平0.90的双侧置信区间.

八、(14分)设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本，X 服从区间]8,8[θ+上的均匀分布，其中0>θ. θ未知.

(1)求θ的极大似然估计θˆ；(2)求θ的极大似然估计θˆ的密度函数；

(3)问：θ的极大似然估计θˆ是否为θ的无偏估计？如果是的话，给出证明；如果不是的话，将其修正为θ的一个无偏估计.