9.等差数列与等比数列前项和

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等差和等比数列前n项和公式

等差和等比数列前n项和公式
等差数列和等比数列是初中数学中较为基础的概念，求解前 n 项和是其重要的应用。

下面将介绍等差数列和等比数列前 n 项和的公式。

等差数列前 n 项和公式：Sn = n(a1 + an)/2，其中 Sn 表示前n 项和，a1 表示首项，an 表示末项。

由此可得，等差数列的公差 d = (an - a1)/(n - 1)。

等比数列前 n 项和公式：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)，其中 Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，q 表示公比。

由此可得，等比数列通项公式为 an = a1q^(n-1)。

以上公式是求解等差数列和等比数列前 n 项和的基本公式，掌握了这些公式可以方便地求解各类应用问题。

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等差数列与等比数列例题和知识点梳理

等差数列及其前n 项和等比数列及其前n 项和等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____时，{a n }的前n 项和最大．7．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n3．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (2020·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．131．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．62．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－33．在等差数列{a n }中，已知a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 020 B ．2 021 C ．4 040 D ．4 0424．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．1846．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．147．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 20＝08．(多选)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( ) A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 0509．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．(2020·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( )A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.321016．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三易错自纠4．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．log 2a 2nC ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}5．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．22．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．23．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列．例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1 B ．3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根．例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916 D ．3785．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．(多选)在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( ) A ．8 B ．12 C ．－8 D ．－128．(多选)在等比数列{a n }中，公比为q ，其前n 项积为T n ，并且满足a 1＞1，a 99·a 100－1＞0，a 99－1a 100－1＜0，下列选项中，结论正确的是( ) A ．0＜q ＜1 B ．a 99·a 101－1＜0C ．T 100的值是T n 中最大的D ．使T n ＞1成立的最大自然数n 等于1989．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是____．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝2n a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．。

例谈求数列前n项和的三种思路

思路探寻求数列的前n 项和问题比较常见，通常需先根据已有的递推关系式求得数列的通项公式，再观察数列的特点和规律，寻找适合的求和方法，比如：公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法等来求得数列的前n 项和.若选用的方法恰当，就能起到事半功倍的效果.下面结合实例谈一谈求数列前n 项和的三种常用思路.一、借助公式公式法是求数列前n 项和的重要方法.运用公式法求数列的前n 项和，主要是根据等差数列的前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n +1)2d 、等比数列的前n 项和公式S n =ìíîïïna 1，q =1,a 1(1-q n)1-q，q ≠1.在解题时，需仔细观察数列的特征，根据等差、等比数列的定义判断数列的类型，再选用相应的求和公式进行求和.例1.在等差数列{a n }中，S 10=100,S 100=10,求S 110.解：∵该数列为{a n }为等差数列，∴S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,⋯，S 110-S 100也为等差数列，设其公差为d ，∴S 10+(S 20-S 10)+(S 30-S 20)+⋯+(S 100-S 90)=S 100,由等差数列的前n 项和公式S n =na 1+n (n +1)2d可得S 100=10S 10+10×92×d =10，又S 10=100,将其代入上式得d =-22，∴S 110-S 100=S 10+(11-1)d =100+10×(-22)=-120，∴S 110=S 100+(-120)=-110.由题意可知这个数列是等差数列，利用等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式S n =na 1+n (n +1)2d 求解，即可求出此数列的前n 项和.例2.已知log 3x =-1log 2x,求x +x 2+x 3+⋯+x n 的前n项和.解：由log 3x =-1log 2x 可得x =12，由等比数列的前n 项和公式S n =a 1(1-q n )1-q可得，x +x 2+x 3+⋯+x n=x (1-x n )1-x =12(1-12n )1-12=1-12n.观察该数列，可发现数列的后一项与前一项之比为x ，由等比数列的定义可知该数列为等比数列，利用等比数列的前n 项和公式S n =a 1(1-q n )1-q，即可求出此数列前n 项和.二、分组求和有些数列可被拆开或重组成几个等差、等比或者常见数列，此时可采用分组求和法，将各项重新组合，再分别运用等差、等比数列的前n 项和公式进行求和，最后综合所得结果，即可得出原数列的前n 项和.例3.求数列{}n (n +1)(2n +1)的前n 项和.解：设a k =k (k +1)(2k +1)=2k 3+3k 2+k ，可得S n =∑k =1nk (k +1)(2k +1)=∑k =1n(2k 3+3k 2+k )=2∑k =1nk 3+3∑k =1nk 2+∑k =1nk=2(13+23+⋯+n 3)+3(12+22+⋯+n 2)+(1+2+⋯+n )=n 2(n +1)22+n (n +1)(2n +1)2+n (n +1)2=n (n +1)2(n +2)2.仔细研究这个数列可发现，它由三个数列{}2n 3、{}3n 2、{}n 的和构成，于是将数列的每一项拆开，再重新组合S n =2∑k =1nk 3+3∑k =1nk 2+∑k =1nk ，最后分组求和，即可得n 黄增勇胡国生46思路探寻出数列前n 项和.对于一些常见的数列，同学们要熟记其和，如∑k =1nk =1+2+3+⋯+n =12n (n +1),∑k =1nk 2=12+22+32+⋯+n 2=13n (n +12)(n +1),∑k =1nk 3=13+23+33+⋯+n 3=éëêùûúæèçöø÷n (n +1)22，∑k =1n (2k -1)=1+2+3+⋯+(2n +1)=n 2.例4.求数列113,216,319，⋯，(n +13n )的前n 项和.解：S n =113+216+319+⋯+(n +13n )=(1+2+3+⋯+n )+(13+132+133+⋯+13n )=12n (n +1)+1-13n .该数列由两个数列{}n 、{}13n 构成，于是将其重新组合成等差数列{}n 和等比数列{}13n ，再分别运用等差、等比数列的前n 项和公式，求得每个数列的和，即可得到数列的前n 项和.三、裂项相消运用裂项相消法求和，关键有两步：第一步，裂项.即将数列的通项公式裂为两项之差的形式；第二步，消项.通过正负相消，消除绝对值相等，符号相反的项.在裂项的过程中，有的时候需要调整通项公式前面的系数，使拆得的两项的结构保持一致.常见的裂项方式有sin 1cos n cos(n +1)=tan(n +1)-tan n ，1n (n +1)=1n -1n +1，1(2n +1)(2n -1)=12(12n -1-12n +1)等.例5.在数列{}a n 中.a n =1n +1+1n +2+⋯+nn +1，若b n =2a n ∙a n +1，求数列{}b n 的前n 项和.解：因为a n =1n +1+1n +2+⋯+n n +1=n2，则b n =2a n ∙a n +1=2n 2∙n +12=8(1n -1n +1)所以S n =8éëêæèöø1-12+æèöø12-13+æèöø13-14+⋯+ùûúæèöø1n -1n +1=æèöø1-1n +1=8n n +1.根据题目中的已知条件可得数列{}b n 的通项公式为b n =8n ()n +1，于是将其裂项为8(1n -1n +1)，即可采用裂项相消法求得数列{}b n 的前n 项的和.例6.求和：S n =15+135+163+199.解：S n =15+145+1117+1221=11×5+15×9+19×13+113×17=14(1-15)+14(15-19)+14(19-113)+14(113-117)=14[(1-15)+(15-19)+(19-113)+(113-117)]=14(1-117)=417.仔细观察可发现，数列的通项公式为a n =1()4n -3(4n +1)=14æèöø14n -3-14n +1，通过裂项，便可将数列中的前后项转化为绝对值相等，符号相反的式子，这样采用裂项相消法，通过正负相消即可求得数列的和.通过对上述例题的分析，可以看出，上述三种思路各有特色，且其适用范围各不相同.同学们在求和时，只要善于发现数列中各项的规律，改变原数列的形式、结构，进行合理的裂项、分组，灵活运用等差、等比数列的前n 项和公式，那么求数列前n 项和问题就可以迎刃而解.本文系淮安市教育科学“十四五”规划课题《新高考背景下高中数学试题编制的研究》（课题编号2021GHKT215）研究成果.（作者单位：黄增勇，江苏省淮安市洪泽湖高级中学；胡国生，江苏省淮安市洪泽区教育体育局）47。

等比数列的前n项和公式的几种推导方法

赏析等比数列的前n 项和公式的几种推导方法山东张吉林（山东省莱州五中邮编261423）等比数列的前n 项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n 项和公式的方法---错位相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。

本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。

一般地，设等比数列123,,,n a a a a L L 它的前n 项和是=n S n a a a a Λ+++321公式的推导方法一：当1≠q 时，由⎩⎨⎧=+++=-11321n n nn qa a a a a a S Λ 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---nn n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111ΛΛn n q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时常用公式①；当已知1a , q, n a 时，常用公式②.拓展延伸：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，对形如{}n n a b g 的数列，可以用错位相减法求和。

例题数列{}n a 的前n 项和221(1)2(2)2222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯++⨯+L ，则n S 的表达式为（）．A ．1222n nn S n +=+-- B ．122n n S n +=-+ C ．22nn S n =--D ．122n n S n +=--解析：由221(1)2(2)2222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯++⨯+L ，①可得23122(1)2(2)2222n nn S n n n -=+-⨯+-⨯++⨯+L ，②②－①，得2112(12)22222212n n nn n S n n n -+-=++++-=-=---L ，故选（D ）．点评：这个脱胎于课本中等比数列前n 项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予以高度的重视。

《等比数列的前n项和》

《等比数列的前n项和》一、教材分析1、地位和作用《等比数列的前n项和》是一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

《等比数列前n项和公式》是高中数学二年级第二学期第十三章第五节内容。

教学对象为高二学生，教学课时为2课时。

本节课为第一课时。

在此之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。

本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。

从高中数学的整体内容来看，《数列与数学归纳法》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着关键性的作用。

首先：数列有着广泛的实际应用。

例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。

其次：数列有着承前启后的作用。

数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。

再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材。

学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。

2、学情分析学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前Ｎ项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．二、教学目标的确定作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。

求数列前n项和的七种方法

求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο ①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k====++∑∑∑（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++ （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

等比数列前n项和公式课件PPT

等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加，可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公式。
04
等比数列前n项和公式的练习与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公式的推导过程
等比数列前n项和公式的适用范围和限制条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公式的推导过程

求前n项和的几种方法

求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。

等比数列前n项和公式教案

等比数列的前n项和公式一、教材分析《等比数列的前n项和》，是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n项和公式的基础上进行的。

是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。

它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．数列内容的新课程设计与时俱进，注重数学过程，渗透数学思想和拓展思维空间。

与旧教材相比新教材让学生体验和理解公式形成的过程。

二、学情分析认识上：从学生的思维特点看，易与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，但本节公式的推导与等差数列前n项和的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，还应强调q=1的特殊情况。

能力上：教学对象是高一学生，在课堂教学过程中，应注重过程、激发兴趣、发展学生的个性思维品质和实践能力，还应注意学生缺乏冷静、深刻，易片面、不严谨。

情感态度：注意引导学生自主探究意识、培养学生处理问题时创新和实践能力及思维的严谨性三、教学目标知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．能力与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．情感与态度价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，让学生体验数学学习带来的自信和成功感，提到对数学的兴趣，树立学好数学的信心。

通过分类讨论的思想培养学生思维的严谨性。

通过发散思维的教学，培养学生思维灵活性。

四、教学重点、难点教学重点：等比数列前n项和公式的推导与应用。

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点．五、学法与教法学法：合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨解决问题的途径。

等比数列的前n项和公式经典教案

等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。

S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。

问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝，即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。

等差、等比数列的前n项和知识梳理

等差、等比数列的前n 项和【考纲要求】1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 3．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式。

【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：数列的求和问题 388559 知识要点】知识点一：数列的前n 项和n S 的相关公式 1.等差数列的前n 项和n S 公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数）当0d ≠时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 2.等比数列的前n 项和n S 公式：当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=，当1≠q 时，11(1)11n n n a a qa q S q q--==--3.任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【典型例题】类型一：等差数列的前n 项和公式及其性质例1.等差数列{}n a 的前30项之和为50，前50项之和为30，求80S 。

【思路分析】根据等差数列前n 项公式1(1)2n n n S na d -=+，整体代入，或者应用公式2n S An Bn =+。

【解析】法一: ∵{}n a 为等差数列， ∴1(1)2n n n S na d -=+, 等差、等比数列的前n 项和等比数列的求和公式等差数列的求和公式∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-+=)2......(302505050)1......(50230303021502130d a S d a S(2)-(1)有22150303050202022a d d --++=-，即 27911da +=- ∴ 80)279(802)180(80801180-=+=-+=da d a S 。

数列求通项公式及求和9种方法

数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。

求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。

一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。

例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。

1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。

二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。

例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。

2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。

例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。

3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。

4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。

已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。

等比数列通项公式和前n项和公式

等比数列通项公式和前n项和公式等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，则其通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中n 为项数。

在等比数列中，前n项和的公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。

英文：Geometric progression is a sequence in which the ratio of any two consecutive terms is the same. Let the first term of the geometric sequence be a, and the common ratio be r, then its general term formula is: an = a * r^(n-1), where n is the number of terms. In a geometric sequence, the formula for the sum of the first n terms is: Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r).等比数列通项公式an= a1 * q^(n-1)，其中q为公比。

英文：The general term formula of a geometric sequence is an=a1 * q^(n-1), where q is the common ratio.在等比数列中，首项为a1，通项公式为：an= a1*q^(n-1)。

其中an表示第n项，q为公比。

英文：In a geometric sequence, the first term is a1 and the general term formula is: an= a1*q^(n-1). Where an represents the nth term, and q is the common ratio.当公比小于1时，等比数列是一个收敛的数列。

[精品]等差比积数列的前n项和公式

等差比积数列的前n项和公式大罕等差数列{a n}：a1 ,a2, a3,…, a n，公差为d，等比数列{b n}：b1,b2,b3,…, b n，公比为q(q≠1)，把两个数列相乘，得到： {a n b n}：a1b1 ,a2b2, a3b3,…, a n b n，我们称数列{a n b n }为等差比积数列（笔者的命名）.等差比积数列的求和，一般用错位相减求和法.由于诸多字母的参入，几经计算后答案是否正确，教师也心中无底. 这里我们给出一个公式，可供教师检验用，不提倡介绍给学生.以下推导差比积数列的前n项和公式：S n=a1b1+a2b2+ a3b3+…+ a n b n①两边同乘以q，得qS n=a1b2+a2b3+ a3b4+…+ a n b n+1②①-②得(1-q)S n=a1b1+b2(a2 -a1)+b3(a3-a2)+b4(a4-a3)+…+b n(a n-a n-1)-a n b n+1=a1b1+d(b2+b3+b4+…+b n)-a n b n+1=a1b1+d(b2+b3+b4+…+b n)-a n b n q=a1b1+db2(1-q n-1)/(1-q)-a n b n q于是有公式如下：以上公式，形式上蛮和谐的哟，第一项与等比数列前n项公式好相像的呢.例1 求和：S n=1+2x+3x3+…+nx n-1（x≠0,x≠1）解：{a n}：1, 2, 3, …, n, d=1,{b n}：1, x, x2,…, x n-1，q=x，a1b1=1，a n b n q=nx n，b2=x,所以例2 求和：S n=1/a+2/a2 +3/a3+…+n/a n，（a≠1）解：{a n}：1,2,3,…,n, d=1,{b n}：1/a,1/a2,1/a3,…,1/a n，q=1/a，a1b1=1/a，a n b n q=n/a n+1，b2=1/a2,所以.练习：求和：答案：。

数列的前n项和与通项公式

数列的前n项和与通项公式数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照某种规律排列的数所组成的序列。

而数列的前n项和以及通项公式则是数列研究中的关键概念，对于数学的发展和应用都具有重要意义。

一、数列的前n项和数列的前n项和是指数列中前n项数的和。

对于某些特定的数列，我们可以通过一定的方法来求解其前n项和。

例如，对于等差数列，其前n项和可以通过求和公式来计算。

假设等差数列的首项为a，公差为d，则前n项和Sn可以表示为Sn= (n/2)(2a + (n-1)d)。

同样地，对于等比数列，其前n项和也可以通过求和公式来计算。

假设等比数列的首项为a，公比为r，则前n项和Sn可以表示为Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)。

二、数列的通项公式数列的通项公式是指数列中的每一项的一般表示形式。

通过通项公式，我们可以根据数列的位置来计算其对应的数值。

通项公式的推导需要根据数列本身的特点和规律进行分析和推理。

以等差数列为例，其通项公式可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。

通过这个公式，我们可以根据数列的位置来计算出对应的数值。

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，其首项a为1，公差d为2，那么第n项可以表示为an = 1 + (n-1)2。

同样地，对于等比数列，其通项公式可以表示为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比，n为项数。

通过这个公式，我们可以根据数列的位置来计算出对应的数值。

例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，其首项a为2，公比r为2，那么第n项可以表示为an = 2 * 2^(n-1)。

三、数列的应用数列的前n项和和通项公式在数学的各个领域都有广泛的应用。

在数学分析中，数列的前n项和可以用于求解极限问题。

通过计算数列的前n项和，我们可以逼近数列的极限值，从而求解一些复杂的极限问题。

在数学建模中，数列的前n项和可以用于描述和分析一些实际问题。

《等比数列前n项和》说课稿3篇

《等比数列前n项和》说课稿3篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中数学《等比数列前n项和公式》知识点讲解及重点练习

4.3.2 等比数列的前n 项和公式第1课时等比数列前n 项和公式学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前n 项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)知识点二等比数列前n 项和的性质1．数列{a n }为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n 不是偶数)，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列．2．若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N *)．3．若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q (q ≠－1)．1．等比数列前n 项和S n 不可能为0.( × )2．若首项为a 的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n 项和等于na .( √ ) 3．若a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a.( × )4．若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)，则此数列一定是等比数列．( √ )一、等比数列前n 项和公式的基本运算例1 在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求公比q .解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n 11.(2)方法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.方法二由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6，得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两个根．从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q ＝2或12.反思感悟等比数列前n 项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如q n ，a 11－q都可看作一个整体．(3)在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．跟踪训练1 在等比数列{a n }中．(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .解 (1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得，112＝2－162q1－q ，∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得，162＝2(－2)n －1， ∴n ＝5.(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不符合题意， ∴q ≠1，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4， ∴q ＝2或q ＝－2， ∴a 1＝115或a 1＝－15，∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.二、利用错位相减法求数列的前n 项和例2 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和．解设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *)．反思感悟错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和． (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况．跟踪训练2 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18，即得4q 2－8q ＋3＝0，解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0,1)，所以q ＝12，所以a n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n .(2)根据题意得S n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12S n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1，两式相减得12S n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以S n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n ，n ∈N *.三、等比数列前n 项和的性质例3 (1)在等比数列{a n }中，若S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________.(2)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝________.(3)若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和为S n ＝3n ＋1－2k ，则实数k ＝________. 答案 (1)28 (2)2 (3)32解析 (1)∵数列{a n }是等比数列，且易知公比q ≠－1，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也构成等比数列，即7，S 4－7,91－S 4构成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.又S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)>0，∴S 4＝28. (2)由题意知S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝2.(3)∵S n ＝3n ＋1－2k ＝3·3n －2k ，且{a n }为等比数列， ∴3－2k ＝0，即k ＝32.延伸探究本例(3)中，若将条件改为“若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和为S n ＝a ·⎝⎛⎭⎫13n －1＋5”，再求实数a 的值．解由S n ＝a ·⎝⎛⎭⎫13n －1＋5，可得S n＝3a ·⎝⎛⎭⎫13n ＋5，依题意有3a ＋5＝0，故a ＝－53. 反思感悟处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．跟踪训练3 (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝3，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2 答案 C解析 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．即1,2，a 9＋a 10＋a 11＋a 12成等比数列． ∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝4.(2)一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．解设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，所有奇数项、偶数项之和分别记作S 奇，S 偶，由题意可知，S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶．因为数列{a n }的项数为偶数，所以有q ＝S 偶S 奇＝13.又因为a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，所以a 31·q 3＝64，即a 1＝12，故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1，n ∈N *.1．在数列{a n }中，已知a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，则数列{a n }的前5项的和等于( ) A ．－25 B ．25 C ．－31 D ．31 答案 D解析因为a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{a n }的前5项的和为25－12－1＝31.2．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1答案 C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1且x ≠0时，S n ＝1－x n 1－x.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3答案 A解析在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.4．已知在等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.答案 32或6解析方法一当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，满足S 3＝92.当q ≠1时，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝92.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，q ＝－12.综上可得a 1＝32或a 1＝6.方法二 ⎩⎨⎧S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，a 3＝32.所以a 1＋a 2＝3，所以a 1＋a 2a 3＝1＋qq 2＝2，所以q ＝1或q ＝－12.所以a 1＝32或a 1＝6.5．若等比数列{a n }的公比为13，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，则{a n }的前100项和为________．答案 80解析令X ＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝60， Y ＝a 2＋a 4＋…＋a 100，则S 100＝X ＋Y ，由等比数列前n 项和性质知Y X ＝q ＝13，所以Y ＝20，即S 100＝X ＋Y ＝80.1．知识清单：(1)等比数列前n 项和公式．(2)利用错位相减法求数列的前n 项和． (3)等比数列前n 项和的性质．2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论． 3．常见误区：(1)忽略q ＝1的情况而致错． (2)错位相减法中粗心出错． (3)忽略对参数的讨论．1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于( ) A ．4－2100 B ．4＋2100 C ．4－2－98D ．4－2－100答案 C 解析 q ＝a 2a 1＝12.S 100＝a 1(1－q 100)1－q＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫121001－12＝4(1－2－100)＝4－2－98.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.558 答案 A解析易知q ≠－1，因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ，则a 3a 5等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 C解析等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ， n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1＋a －(2n －2＋a )，化简得a n ＝2n －2. 则a 3a 5＝2×23＝16.4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若27a 4＋a 7＝0，则S 4S 2等于( )A ．10B ．9C ．－8D ．－5 答案 A解析设数列{a n }的公比为q ，由27a 4＋a 7＝0，得a 4(27＋q 3)＝0，因为a 4≠0，所以27＋q 3＝0，则q ＝－3，故S 4S 2＝1－q 41－q 2＝10. 5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158答案 C解析设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，前5项和为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 6．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2·3n ＋r ，则r ＝________. 答案－2解析 S n ＝2·3n ＋r ，由等比数列前n 项和的性质得r ＝－2.7．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，则项数n ＝________，a 1＝________.答案 5 3解析由S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(2n －1)＝93，a 1·2n －1＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，n ＝5. 8．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．答案－2解析由题意知2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，式子显然不成立，若q ≠1，则有2a 1(1－q n )1－q＝ a 1(1－q n ＋1)1－q ＋a 1(1－q n ＋2)1－q，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .解 (1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由已知可得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3，故a 1＝4.从而S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n . 10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1nb n ＝b n ＋1－b n . 整理得b n ＋1n ＋1＝b n n，又b 22＝b 11，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．11．在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5，则使S n >107的最小正整数n 的值是( )A ．11B ．10C ．12D ．9 答案 A解析由题意可知在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5，∴S n ＝4·(1－5n )1－5＝5n －1. ∵S n >107，∴5n －1>107，∴n >10.01，∵n 为正整数，∴n ≥11，故n 的最小值为11.12．等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，这个等比数列前n 项的积为T n (n ≥2)，则T n 的最大值为( )A.14B.12C ．1D ．2 答案 D解析设数列{a n }共有(2m ＋1)项，由题意得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2m ＋1＝8532， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2m ＝2116，因为项数为奇数时，S 奇－a 1S 偶＝q ，即2＋2116q ＝8532，所以q ＝12. 所以T n ＝a 1·a 2·…·a n＝a n 1q 1＋2＋…＋n －1＝23222,n n -故当n ＝1或2时，T n 取最大值，为2.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，称T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n n 为数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的理想数为2 014，则数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为( )A ．1 673B ．1 675 C.5 0353 D.5 0413答案 D解析因为数列a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2 014，所以S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 55＝2 014，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5＝5×2 014，所以数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2＋(2＋S 1)＋(2＋S 2)＋…＋(2＋S 5)6＝6×2＋5×2 0146＝5 0413. 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1，则S n ＝________.答案 3n －12解析当n ＝1时，则有2S 1＝a 2－1，∴a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3；当n ≥2时，由2S n ＝a n ＋1－1得出2S n －1＝a n －1，上述两式相减得2a n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1＝3a n ，得a n ＋1a n ＝3且a 2a 1＝3， ∴数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝123,n a +则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.答案 9n ＋1－98解析依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则1223,3n n n a b +=＝由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9，可知{b n }为公比为9的等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98. 16．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n －12n －1＋a n 2n .② 所以，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n 2n －1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1，n ∈N *.。

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。

求数列前n项和的几种方法

n 2
n≤6 . n≥7
如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．
七、奇偶分析法求和【例 8】已知{an}是由非负整数组成的数列，满足 a1＝0，a2＝3，an＋1· an＝(an－1＋2)(an －2＋2)， n＝3,4,5… . (1)求 a3； (2)若 an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…，求{an}的通项公式及其前 n 项和 Sn.
综上可知，T ＝ n －11n＋60 4
n 2
n11－n 4
n≤6 . n≥7
1 n 6－n 法二：bn＝3＋log4( )n＝3－＝ . 2 2 2 当 n≤6 时，bn≥0，|bn|＝bn， n11－n ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ . 4 当 n≥7 时，bn＜0，|bn|＝－bn， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋b6－b7－b8－…－bn ＝2(b1＋b2＋…＋b6)－(b1＋b2＋…＋bn) n2－11n＋60 ＝2T6－Sn′＝，(其中 Sn′表示{bn}的前 n 项和) 4 n11－n 4 综上可知：T ＝ n －11n＋60 4
(2)当 n＝2k(k∈N*)时，－ S2k＝1－3＋5－7＋9－11＋…＋(－1)2k 1(4k－1) ＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋[(4k－3)－(4k－1)] ＝－2k；当 n＝2k－1(k∈N*)时， S2k－1＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋[(4k－7)－(4k－5)]＋(4k－3) ＝(－2)＋(－2)＋…＋(－2 －个＋4k－3
1 n 6－n (2)法一：bn＝3＋log4( )n＝3－＝ . 2 2 2 当 n≤6 时，bn≥0，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ n11－n ； 4

等差数列等比数列前n项和

复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am 、第n项an和公差d, 则有: an-am= (n-m) d, (2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=l+k (m,n,l,k∈N),那么: an+am=al+ak
（1）a3= -2，a8=12，求S10
（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn
解：（1）a1+a10 = a3+a8 = 10
(a1 a10 ) 10 10 10 S10 50 2 2
（2）由等差数列的通项公式，得 14.5+(n1)0.7=32 n=26
)
1 y2
…… ( x n
1 yn
) ( x 0, x 1, y 1)
1 yn
解:当 x 0, x 1, y 1 时
(x ) (x
) …… ( x
n
1 y2
)
1 yn
( x x 2 …… + x n ) ( 1 y
1 1 (1 n ) n y x(1 x ) y 1 1 x 1 y
n(n 1) 10 n 4 54 2
n 2 6n 27 0
n19，n23 (舍去)
等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。
3.一个项数为36的数列的前四项和是21，后四
项和是67，求这个数列的和。
21 67 解： a1 an 22 4
S 26 (14.5 32) 26 6 0 45 . 2
例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和? 分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式