9.等差数列与等比数列前项和

第9讲 等差数列与等比数列前n 项和

一、

知识要点 1.

等差数列的前n 项和 2.

等比数列的前n 项和 二、 经典例题

1. 等差数列的前n 项和

例1. 已知等差数列{}n a 中，20200200,20S S ==，求220S

例2. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为'n S

（1） 若310152027100a a a a a ++++=，求29S

（2） 若{}n a 的前10项和为125，后10项和为775，求n S

（3） 若

'1310n n S n S n +=+，求1212

a b

例3. 设数列{}n a 前n 项和为,0n n S a >

，且1()n a n Z =+∈，求{}n a 的通项

公式

例4. 数列{}n a 中，148,2a a ==，且2120()n n n a a a n N ++-+=∈

1234...n n S a a a a a =+++++，求n S

2. 等比数列的前n 项和

例5. （1）若数列{}n a 为等比数列，且0n a >，280,6560,54n n n S S a ===，

求100S （2）求和：231...n a a a a +++++

例6. 设n S 是各项为正数的等比数列的前n 项和，若103010,70S S ==，求40S

例7. 设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且当n N *∈时有

1312n n S S +=+，求n a 及n S

3. 数列最值问题

例8. 已知数列{}n a 中，10a >，前15项之和等于前20项之和，试求出它的前n 项

和的最大值，并求出此时的n 值

例9. 已知数列{}n a 为等比数列，11a >，公比0q >，设数列2log n n b a =且

1261356,0b b b bb b ++==

（1） 求{}n a 的通项公式

（2） 设{}n b k +的前n 项和为n S ，若仅当8n =时，

312...123n S S S S n

++++取最大值，求实数k 的取值范围

例10. 已知数列{}n a 满足：111,21

n n n a a a a +==+，数列{}n b 的前n 项和为

21212()3

n n S =- （1） 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式

（2） 设n n n

a c

b =

，试求数列{}n c 的最大项

例11. 已知函数3()log ()f x ax b =+图像经过点(2,1),(5,2)A B

（1） 求函数()f x 的解析式

（2） 记()3f n n a =，是否存在正数k 使得

12111(1)(1)...(1)n

a a a +++≥n N *∈均成立，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明理由

4. 数列求和的方法

例12. 求下列数列的前n 项和

（1

（2）222221,2,3,4....(1)...n n ---

例13. 求和：

135721 (248162)

n n -+++++

例14. 已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,32,3n n n n n

a a a a a +->⎧=⎨≤⎩ （1） 若1a =，求100S

（2） 若3()21m a m N *=∈-，试求数列{}n a 的前4m 项的和4m S