二次函数和最值问题总结
二次函数复习二次函数解决最值问题的思路与策略
二次函数复习二次函数解决最值问题的思路与策略二次函数复习：解决最值问题的思路与策略二次函数在高中数学中是一个重要的内容，涉及到了最值问题的求解。
本文将从复习二次函数的基本形式开始，逐步介绍解决最值问题的思路与策略。
一、二次函数的基本形式二次函数一般具有如下基本形式：f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0)其中，a、b、c为实数，且a不等于0。
通过调整a、b、c的值，可以使二次函数的图像发生上下平移、左右平移和翻转等变化。
二、最值问题的定义在二次函数中，最值问题通常指的是求解函数的最大值或最小值。
最大值对应函数的顶点，最小值对应函数的谷点。
三、解决最值问题的思路解决最值问题的思路可以总结为以下几个步骤：1. 了解函数的基本形式：首先确定二次函数的基本形式，即f(x) = ax^2 + bx + c。
根据实际问题的给定条件，确定a、b、c的值。
2. 求解顶点坐标：通过平移变换，将二次函数的图像平移到合适的位置，使其顶点的坐标易于计算。
顶点的横坐标可通过 x = -b/(2a) 得到，而纵坐标可通过代入横坐标得到。
3. 判断最值类型：根据二次函数的开口方向（即a的正负）来判断最值类型。
当a>0时，函数开口向上，为最小值问题；当a<0时，函数开口向下，为最大值问题。
4. 求解最值：根据最值类型和顶点的坐标，可以直接得到函数的最值。
四、解决最值问题的策略解决最值问题的策略根据具体情况有所不同，下面列举了几种常见的策略：1. 利用函数的图像分析：通过观察二次函数的图像，分析函数在定义域上的变化趋势，找到最值所处的位置。
2. 利用对称性求解：当二次函数关于y轴对称时，可以利用对称性直接得到函数的最值。
3. 应用配方法：对于一些复杂的二次函数，可以通过配方法将其化简为标准的二次函数形式，然后再求解最值。
4. 利用一元二次不等式求解：通过将二次函数转化为一元二次不等式，可以得到函数的最值所在的区间，进而求解最值。
二次函数的最值与极值总结
二次函数的最值与极值总结二次函数是高中数学中常见的一类函数，具有形如y=ax^2+bx+c的一般式。
在研究二次函数的性质时，最值与极值是非常重要的概念。
本文将对二次函数的最值与极值进行总结和讨论。
一、最值的概念在数学中，最值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，最值的存在与二次项的系数a的正负有关。
1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的最小值存在。
这个最小值即为函数的最小值。
2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的最大值存在。
这个最大值即为函数的最大值。
二、最值的求解方法1. 最值的求解方法一：利用函数的对称性二次函数关于x轴对称，对称轴方程为x = -b/(2a)。
所以，函数的最值点的横坐标一定在对称轴上。
当对称轴上有x值时，带入函数表达式即可求得对应的y值，确定最值点。
2. 最值的求解方法二：利用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式为x = -b/(2a)，y = f(x)。
通过求得的顶点坐标，就可以确定最值点的坐标。
根据二次函数的性质，当a>0时，对应的顶点为最小值点；当a<0时，对应的顶点为最大值点。
三、极值的概念在数学中，极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，极值的存在与一阶导数的符号有关。
1. 当一阶导数大于0时，函数递增，没有极小值。
2. 当一阶导数小于0时，函数递减，没有极大值。
3. 当一阶导数等于0时，函数可能存在极值或拐点。
此时，需要通过二阶导数或其他方法来进一步判断。
四、极值的求解方法1. 极值的求解方法一：利用导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)。
将一阶导数f'(x)等于0解方程，求得x的值。
然后，将求得的x值代入原函数f(x)中，求得对应的y值，确定极值点。
2. 极值的求解方法二：利用二阶导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
二次函数的最值问题与问题解决技巧
二次函数的最值问题与问题解决技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。
解决这类问题需要一定的技巧和方法。
本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。
一、二次函数的最值问题最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。
对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。
1. 二次函数的开口方向对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。
通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。
当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。
2. 顶点的横坐标和纵坐标二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。
对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。
3. 最值问题的解答根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。
当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。
二、解决二次函数最值问题的技巧解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。
1. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。
根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。
2. 配方法当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。
例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。
3. 导数法通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。
导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。
二次函数求最值的六种考法(含答案)
二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。
二次函数的最值与极值问题
二次函数的最值与极值问题二次函数是数学中常见的一种函数类型，在很多实际问题中都可以用二次函数来描述。
在解决二次函数的最值与极值问题时，可以运用一些方法和技巧来求解。
本文将介绍一些常见的解题思路和方法。
一、二次函数的最值问题二次函数的最值指的是函数在定义域内的最大值或最小值。
当求解二次函数的最值时，可以利用二次函数的顶点和开口方向进行判断。
1. 定理1：对于开口向上的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，顶点的 y 值是函数的最小值。
使用该定理时，可以先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最小值。
2. 定理2：对于开口向下的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a < 0，顶点的 y 值是函数的最大值。
同样地，使用该定理时，先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最大值。
需要注意的是，二次函数的最大值或最小值可能在定义域内的某个点上出现，因此除了顶点外还需要考虑其他可能的极值点。
二、二次函数的极值问题二次函数的极值指的是函数在定义域内的局部最大值或最小值。
当求解二次函数的极值时，可以利用二次函数的导数和零点来寻找。
1. 求解极值的一般步骤如下：a) 求二次函数的导函数；b) 解二次函数的导函数为零的方程，得到零点；c) 将零点带入原函数，求得对应的函数值，得到极值。
2. 一个特殊情况是在二次函数的定义域 [a, b] 上求极值时，可以先求出导数，然后导数大于零的部分即是函数的递增区间，导数小于零的部分即是函数的递减区间。
接着，再对边界点和零点进行比较，得到极值。
三、综合练习与例题为了更好地理解二次函数的最值与极值问题，我们来进行一些练习和解题。
【练习题一】已知二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，1. 求二次函数的顶点及对应的最值；2. 求二次函数的极值。
【解答】1. 对于二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，a = -2 < 0，可以判断开口向下，顶点的 y 值是最大值。
初中数学最值问题总结
初中数学最值问题总结初中数学中的最值问题主要涉及到以下知识点：1. 一次函数的最值：一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）在闭区间 [a, b] 上的最大值和最小值。
当 k > 0 时，函数在区间 [a, b] 上单调递增，最小值为 f(a)，最大值为 f(b)；当 k < 0 时，函数在区间 [a, b] 上单调递减，最小值为 f(b)，最大值为 f(a)。
2. 二次函数的最值：二次函数 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的最值主要出现在顶点处。
对于开口向上的抛物线（a > 0），最小值出现在顶点处；对于开口向下的抛物线（a < 0），最大值出现在顶点处。
3. 反比例函数的最值：反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）在 x > 0 的范围内单调递减，所以最大值为 k/x = k/x₁，最小值为 k/x = k/x₂。
在 x < 0 的范围内单调递增，所以最小值为 k/x = k/x₁，最大值为 k/x = k/x₂。
4. 对数函数和指数函数的最值：对数函数和指数函数都有其定义域和值域，因此在定义域内求解最值需要考虑函数的性质和定义域的限制。
5. 利用基本不等式求最值：基本不等式如算术平均数大于等于几何平均数等，可用于求解一些特定形式的最值问题。
解决最值问题的一般步骤包括：1. 分析问题：明确最值是在什么条件下取得，以及这个最值是最大值还是最小值。
2. 选择合适的方法：根据问题的性质选择合适的方法来求解最值，如一次函数、二次函数、反比例函数等。
3. 建立数学模型：根据问题的要求建立相应的数学模型，利用适当的公式和不等式来求解最值。
4. 解方程或不等式：解方程或不等式得到最值的取值范围或具体数值。
5. 检验答案：对答案进行检验，确保其符合问题的实际情况。
通过以上知识点和解题步骤的总结，学生可以更好地理解和掌握初中数学中的最值问题，提高解决这类问题的能力。
二次函数的最值问题总结
二次函数的最值问题二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．二次函数求最值（一般范围类）例1．当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．例4．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：二次函数求最值(经济类问题)例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值．分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000⨯=（元）；（2）依题意可设1800y k x =+，2200Z k x =+，∴有14008001200k +=，2200200160k +=，解得12115k k ==-，．所以800y x =+，12005Z x =-+． （3）1(800)2005W yZ x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭21(100)1620005x =--+，政府应将每台补贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.分析：（1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时x 的值.解：（1）x y +=1001，x y 212=； （2）)21100()100(x x y -•+=y 11250)50(212+--=x ，因为提价前包房费总收入为100×100=10000，当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元. 说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好.例3．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式1y ＝36x 83+-，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 分析：（1）将点（3，25），（4，24）代入求b 、c 的值；（2）y ＝1y -2y ；（3）将（2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五·一”之前的前提下求最大值.解：（1）由题意：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩，解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）12y y y =-23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++； （3）21316822y x x =-++ 2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+. ∵108a =-<，∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．最大利润211(46)111082=--+=（元）． 说明：本题在x ＝6，即6月份时取得最大值，但题目要求在“五·一”之前，所以要将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的增减性来求解.例4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．y 22 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元． 二次函数求最值(面积最值问题)例1.在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=例2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-= 4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x ∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．例3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H则有△AFB ∽△BHP∴PHBH BF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．例4.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10]=xx)-102+242.0.0(-=x)4.0102+3.2()1.0<x0(<当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。
二次函数的最值与最值问题的应用
二次函数的最值与最值问题的应用二次函数是数学中常见的一类函数，具有很多重要的性质和应用。
其中最值与最值问题是二次函数的重要内容之一。
本文将详细介绍二次函数的最值性质，以及如何利用最值问题解决实际应用中的相关问题。
一、二次函数的基本性质二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负性。
在讨论二次函数的最值之前，我们先了解一些与最值相关的基本性质。
1. 首先，二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值出现在顶点上。
2. 其次，二次函数的顶点即为函数的最值点。
顶点坐标为（h, k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为函数的最值（最小值或最大值）。
3. 再次，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相同。
对称轴的方程为x = h。
二、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是指求解函数的最小值或最大值的问题。
在实际应用中，最值问题经常出现，例如求解投掷问题中的飞行距离最大值或者盈利问题中的最大利润等。
1. 求解二次函数的最值为了求解二次函数的最值，我们可以利用二次函数图像的特点，即找出抛物线的顶点坐标。
通过完成平方项的平方，将二次函数转换为顶点形式，可以轻松地求解最值问题。
例如，对于函数y = x² - 4x + 3，我们可以完成平方项的平方，将其转换为顶点形式：y = (x - 2)² - 1从中可以看出，顶点坐标为（2, -1），函数的最小值为-1。
因此，原二次函数的最小值为-1。
2. 应用最值问题最值问题在实际应用中非常常见，下面以一个具体的应用为例进行解析。
例题：某商品的价格为p（元），销量为x（件），已知该商品的价格和销量满足二次函数关系p = 0.5x² - 2x + 8，求该商品的最佳销量以及最佳价格。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。
一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。
分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。
c - b^2/4a)。
因此，对称轴为x = -b/2a。
当a。
0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。
结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。
2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。
当a < 0时，情况类似。
二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。
t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。
二次函数求最值方法总结
二次函数求最值方法总结二次函数是高中数学中一个非常重要的内容，它的研究主要是通过函数的图像和性质来分析。
求二次函数的最值是我们在解决实际问题时经常需要用到的一个重要问题，下面我将对二次函数求最值的几种常用方法进行总结。
一、求二次函数的最值的基本思路：求解二次函数的最大值或最小值，就是要找出二次函数图像上的顶点。
根据二次函数的解析式f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，顶点的横坐标为 x = -b/2a，纵坐标为 f(-b/2a)。
二、二次函数的变形：通过对二次函数的变形，将其转化为标准的完全平方形式，可以更方便地求解最值。
1.完全平方形式：f(x)=a(x-h)^2+k2.平移变形：f(x)=a(x-h)^2+k+c三、利用函数图像特征求解最值：1.如果a>0，则二次函数的图像开口向上，顶点为最小值；如果a<0，则二次函数的图像开口向下，顶点为最大值。
2.如果函数的常数项c>0，则函数的最小值为c；如果函数的常数项c<0，则函数的最大值为c。
四、利用导数的方法求解最值：1. 求二次函数的一阶导数 f'(x) = 2ax + b，并令其为零，求出顶点的横坐标 x = -b/2a。
2.将顶点的横坐标代入二次函数的解析式，求出纵坐标f(-b/2a)即可得到顶点的坐标。
五、利用求根公式求解最值：求根公式是指二次函数求根的公式，即二次函数的解为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
1. 如果二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac < 0，则二次函数没有实数解，从而也没有最值。
2. 如果二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac > 0，则二次函数有两个实数解 x1 和 x2，取其中更接近顶点的一侧的解作为最值。
3. 如果二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac = 0，则二次函数有且只有一个实数解 x = -b/2a，此时该解即为最值。
高中数学中的二次函数与最值问题
高中数学中的二次函数与最值问题二次函数是高中数学中的重要内容之一，其与最值问题的关系更是难以忽视。
本文将系统地介绍二次函数的定义、性质以及如何利用二次函数求解最值问题。
一、二次函数的定义与性质二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是实数且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的形态。
以下是二次函数的一些重要性质：1. 零点：二次函数的零点是其对应的抛物线与x轴相交的点，即使得函数值为0的x值。
零点的求解可以通过因式分解、配方法或求根公式来实现。
2. 頂点坐标：二次函数的顶点是抛物线的最高点（当a小于0时）或最低点（当a大于0时）。
顶点的x坐标可以通过公式x=-b/2a来计算，y坐标则可将x值代入二次函数中得到。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过抛物线的顶点并平行于y轴的线。
对称轴的方程形式为x=-b/2a。
4. 单调性：当a大于0时，抛物线开口向上，函数值随x的增大而增大；当a小于0时，抛物线开口向下，函数值随x的增大而减小。
二、二次函数求解最值问题的方法在实际问题中，我们常常需要求解二次函数的最大值或最小值。
这些问题可能涉及到经济、物理、几何等领域。
以下是求解二次函数最值问题的常用方法：1. 完成平方：通过将二次函数表示成平方项的和来求解最值问题。
对于一般形式的二次函数，可以通过配方法来实现。
例如，对于函数y=ax^2+bx+c，可以通过将x^2+bx视为一个完全平方进行变形，从而得到最小值或最大值。
2. 求导数：利用导数的性质，求解二次函数的导数，并找到导数为0的点。
这些点即为原函数的最值点。
求导数的方法可以通过一阶导数、二阶导数等进行，具体视题目要求而定。
3. 利用顶点坐标：如果已知二次函数的顶点坐标，则直接取顶点的y值即为函数的最值。
4. 利用最值问题的性质：根据二次函数的几何特性，当a大于0时，函数有最小值；当a小于0时，函数有最大值。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题之阳早格格创做1、仄止于x轴的线段最值问题1）最先表示出线段二个端面的坐标2）用左侧端面的横坐标减去左侧端面的横坐标3）得到一个线段少闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、仄止于y轴的线段最值问题1）最先表示出线段二个端面的坐标2）用上头端面的纵坐标减去底下端面的纵坐标3）得到一个线段少闭于自变量的二次函数剖析式4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值3、既没有服止于x轴，又没有服止于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构制一个曲角三角形，并使此曲角三角形的二条曲角边分别仄止于x轴、y轴2）根据线段二个端面的坐标表示出曲角顶面坐标3）根据“上减下，左减左”分别表示出二曲角边少4）根据勾股定理表示出斜边的仄圆（即二曲角边的仄圆战）5）得到一个斜边的仄圆闭于自变量的二次函数6）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值7）根据所供得的斜边仄圆的最值供出斜边的最值即可二、二次函数周少最值问题1、矩形周少最值问题1）普遍会给出一面降正在扔物线上，从那面背二坐标轴引垂线形成一个矩形，供其周少最值2）可先设此面坐标，面p到x轴、y轴的距离战再乘以2，即为周少3）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、利用二面之间线段最短供三角形周少最值1）最先推断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对于称性及二面之间线段最短找到二条变更的边，并供其战的最小值3）周少最小值即为二条变更的边的战最小值加上没有变的边少三、二次函数里积最值问题1、准则图形里积最值问题（那里准则图形指三角形必有一边仄止于坐标轴，四边形必有一组对于边仄止于坐标轴）1）最先表示出所需的边少及下2）利用供里积公式表示出头积3）得到一个里积闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、没有准则图形里积最值问题1）分隔.将已有的没有准则图形通太过隔后得到几个准则图形2）再分别表示出分隔后的几个准则图形里积，供战3）得到一个里积闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值或者1）利用大减小，没有准则图形的里积可由准则的图形里积减去一个或者几个准则小图形的里积去得到2）得到一个里积闭于自变量的二次函数3）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值。
二次函数最值问题类型题总结
二次函数得最大值或最小值问题知识点：1、配方法:将二次函数得一般式化为顶点式（1）若,有最小值、当时，取得最小值（2）若，有最大值、当时,取得最大值2、公式法:直接利用二次函数图像得顶点坐标求解、（1）若,有最小值，没有最大值,当时,、（2）若,有最大值,没有最小值,当时，、考察方向:一、１、已知二次函数得图像确定二次函数得最值例1、二次函数得部分图象如图１、3-3所示，则该函数有最值,最值为、2、已知二次函数表达式求函数最值①在函数整个定义域内求函数最值例2、二次函数有( )A.最大值Ｂ、最小值C、最大值D、最小值②在给定定义域区间范围内求函数最值二次函数在自变量得给定范围内，对应得图象就是抛物线上得一段.那么最高点得纵坐标即为函数得最大值,最低点得纵坐标即为函数得最小值.根据二次函数对称轴得位置，函数在所给自变量得范围得图象形状各异.下面给出一些常见情况:例３、当时,求函数得最大值与最小值例4、二次函数,当且时，y 散文最小值为2m,最大值为2n ，则得值为多少？3、由二次函数得最大值或最小值求二次函数表达式中得待定系数(解答最值问题忽略二次项系数得符号)例5、已知二次函数有最小值1,则得大小关系就是什么？例6、已知二次函数有最小值0，则m 得值就是多少?二、4、二次函数最值在实际应用题间得应用(①生活中得应用②几何图形面积最值问题)例７、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品得养殖与销售,对历年市场行情与水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品得每千克售价(元)与销售月份(月)满足关系式＝，而其每千克成本(元)与销售月份(月)满足得函数关系如图所示.(1）试确定得值; (2)求出这种水产品每千克得利润（元)与销售月份(月)之间得函数关系式; “五·一”之(3)前,几月份出售这种水产品每千克得利润最大?最大利润就是多少？例8、已知边长为4得正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,ＢＦ＝1．试在ＡＢ上求一点P,使矩形ＰND Ｍ有最大面积. 25 24 y 2(元)x (月) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O。
二次函数的最值点与最值问题
二次函数的最值点与最值问题二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学建模、物理问题以及经济学中的应用广泛。
在研究二次函数的性质时，我们常常关注它的最值点和最值问题。
本文将重点讨论二次函数的最值点与最值问题，并探究如何求解。
一、二次函数的最值点二次函数的最值点是指在函数曲线上局部最高或局部最低的点。
这些点被称为顶点或拐点。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，顶点坐标可以通过以下公式求得：Vertex_x = -b / 2aVertex_y = f(Vertex_x)在求解最值点时，我们首先需要判断二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
知道开口方向后，我们可以通过计算顶点坐标来确定最值点的位置。
举个例子，考虑二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1。
首先，根据a的值为1，我们得知此函数开口向上。
然后，根据公式求解顶点坐标：Vertex_x = -2 / (2*1) = -1Vertex_y = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0因此，二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最值点为(-1, 0)，即顶点位于坐标系中点(-1, 0)的位置。
二、二次函数的最值问题除了求解最值点的坐标，我们还经常遇到二次函数的最值问题。
最值问题包括求解二次函数的最大值和最小值。
在数学建模和实际问题中，这些最值点往往代表了问题的极端点，具有重要的意义。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，最值问题可以通过以下步骤求解：1. 判断二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
2. 找到最值点的横坐标。
根据二次函数的最值点公式，我们可以计算顶点的横坐标，即Vertex_x = -b / 2a。
3. 根据二次函数的开口方向，确定最大值或最小值。
二次函数最值问题类型题总结
二次函数最值问题类型题总结(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大值或最小值问题知识点：1、配方法：将二次函数的一般式),,,0(2都是常数c b a a c bx ax y ≠++=化为顶点式()k m x a y ++=2（1）若0>a ，y 有最小值.当m x -=时，y 取得最小值k（2）若0<a ，y 有最大值.当m x -=时，y 取得最大值k2、公式法：直接利用二次函数图像的顶点坐标⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22求解. （1）若0>a ，y 有最小值，没有最大值，当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最小值. （2）若0<a ，y 有最大值，没有最小值，当a b x 2-=时，a b ac y 442-=最大值. 考察方向：一、1、已知二次函数的图像确定二次函数的最值例1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的部分图象如图所示，则该函数有最 值，最值为 .2、已知二次函数表达式求函数最值⎩⎨⎧数最值定义域区间范围内求函在给定函数最值在函数整个定义域内求 ②① ①在函数整个定义域内求函数最值例2、二次函数522-+=x x y 有（ ）A.最大值5-B.最小值5-C.最大值6-D.最小值6-②在给定 定义域区间范围内求函数最值二次函数在自变量n x m ≤≤的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例3、当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值例4、二次函数()512+--=x y ，当n x m ≤≤且0<mn 时，y 散文最小值为2m ，最大值为2n ，则n m +的值为多少？3、由二次函数的最大值或最小值求二次函数表达式中的待定系数（解答最值问题忽略二次项系数的符号）例5、已知二次函数()()012≠-+=a b x a y 有最小值1，则b a ,的大小关系是什么？例6、已知二次函数()()0112≠-+-+=m m x m mx y 有最小值0，则m 的值是多少？二、4、二次函数最值在实际应用题间的应用（①生活中的应用②几何图形面积最值问题）例7、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式1y ＝36x 83+-，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．y 2（1）试确定b c、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大最大利润是多少例8、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．。
中考数学最值问题总结
中考数学最值问题总结中考数学中最值问题是一个重要的考点，通常涉及到二次函数、一次函数、不等式等问题。
以下是一些常见的最值问题及解决方法：1. 二次函数最值问题二次函数的最值问题是最常见的最值问题之一。
解决这类问题的一般步骤是：首先确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的顶点式或开口方向来求最值。
如果二次函数的开口向上，那么在顶点处取得最小值（当x<0时），在x轴上取得最大值（当x>0时）。
如果二次函数的开口向下，那么在顶点处取得最大值（当x<0时），在x轴上取得最小值（当x>0时）。
2. 一次函数最值问题一次函数的最值问题通常涉及到一次函数的单调性和自变量的取值范围。
如果一次函数是递增的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最大值时的函数值，最小值是当x取最小值时的函数值。
如果一次函数是递减的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最小值时的函数值，最小值是当x取最大值时的函数值。
3. 不等式最值问题不等式的最值问题通常涉及到不等式的性质和不等式的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是：首先确定不等式的取值范围，然后利用不等式的性质来求最值。
如果是不等式左边是一个定值，右边是一个变量的形式，那么当变量取最大或最小值时，不等式取得最值。
如果是不等式两边都是变量，那么需要利用不等式的性质来求解。
4. 代数式的最值问题代数式的最值问题通常涉及到代数式的化简和代数式中字母的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是：首先将代数式进行化简，然后根据代数式中字母的取值范围来确定最值。
如果代数式中包含有二次项，那么可以利用配方法将其化简为顶点式或开口方向式来求解最值。
如果代数式中包含有绝对值，那么需要先去掉绝对值符号再化简求解最值。
解决中考数学最值问题需要掌握各种知识点和方法，包括二次函数、一次函数、不等式、代数式等，同时需要注意自变量的取值范围和函数的单调性等问题。
二次函数的最值与极值问题
二次函数的最值与极值问题二次函数是一种具有一次项和二次项的多项式函数，通常用以下的一般形式表示：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数，且a ≠ 0。
在本文中，我们将讨论二次函数的最值与极值问题。
一、最值问题二次函数的最值表示函数的取值范围的极值点。
要确定二次函数的最值，首先需要弄清楚二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上，此时函数的最小值为最值；当a < 0时，二次函数开口向下，此时函数的最大值为最值。
我们以一个具体的例子来说明。
考虑二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，根据题目要求，我们需要找到它的最值。
1. 确定二次函数的开口方向：由于a = 2 > 0，所以二次函数的开口向上。
2. 求出二次函数的顶点：二次函数的顶点是一个非常重要的概念，它是确定函数的最值的关键。
顶点的横坐标可以通过以下公式计算得到：x = -b/2a在这个例子中，我们可以计算得出：x = -( -3 ) / ( 2 × 2 ) = 3/4顶点的纵坐标可以通过将横坐标代入函数中计算得到：y = f(3/4) = 2 × (3/4)^2 - 3 × (3/4) + 1 = 11/8所以该二次函数的顶点为(3/4, 11/8)。
3. 确定最值：由于二次函数开口向上，所以顶点代表了函数的最小值。
所以函数f(x)的最小值是11/8，此时x取3/4。
二、极值问题极值点是指函数在某一点上的局部最值点。
对于二次函数来说，极值点就对应着函数的顶点。
回顾刚才的例子，我们已经计算出了二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点为(3/4, 11/8)。
这个顶点就是该函数的极小值点。
在极值问题中，有两种情况需要注意：1. 当二次函数开口向上时，顶点为极小值点；2. 当二次函数开口向下时，顶点为极大值点。
所以，在求二次函数的极值问题时，需要先找到顶点，再根据开口方向确定极值类型。
二次函数求最值专题总结
二次函数求最值专题总结二次函数求最值是数学中的一个重要内容，涉及到了二次函数的解析式以及二次函数图像的性质。
本文将就二次函数求最值的方法和技巧进行总结，并提供相关实例加深理解。
一、二次函数求最值的基本思路二次函数的解析式为f(x)=ax^2+bx+c。
在求最大值或最小值时，可以先通过求导数的方法找到函数的驻点（即导数等于0的点），然后通过驻点的求解和函数图像的性质来确定最值的位置。
二、二次函数求最值的步骤1.求导数：将二次函数f(x)=ax^2+bx+c对x求导，得到f'(x)=2ax+b。
2.求解驻点：令f'(x)=0，即求解方程2ax+b=0，解得x= -b/(2a)。
3.确定最值位置：根据二次函数的图像性质，当a>0时，x=-b /(2a)为二次函数的最小值点；当a<0时，x=-b/(2a)为二次函数的最大值点。
4.求最值：将得到的x值代入原函数f(x)中，即可得到最值。
三、实例分析以二次函数f(x)=x^2+2x+1为例，来演示二次函数求最值的过程。
1.求导数：f'(x)=2x+2。
2.求解驻点：令2x+2=0，解得x=-1。
3.确定最值位置：由于a=1>0，所以x=-1为二次函数的最小值点。
4.求最值：将x=-1代入原函数f(x)中，得到f(-1)=(-1)^2 +2*(-1)+1=0。
经过计算可知，二次函数f(x)=x^2+2x+1的最值为0，即当x=-1时，函数取得最小值。
通过本文的分析和实例演示，我们了解了二次函数求最值的基本思路和步骤。
其中关键的一步是求解驻点，需要通过导数的方法进行求导和方程的解，进而确定最值的位置。
在实际应用中，掌握二次函数求最值的方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
希望本文的总结能够对二次函数求最值的学习有所帮助，同时也希望读者能通过更多的实例练习和思考，进一步提升对二次函数求最值的理解和运用能力。
二次函数的最值问题总结
例3.当x_0时，求函数y =「x(2-x)的取值范围. 解：作出函数y =-x(2 -x) = x 2 -2x 在x_0内的图象.二次函数的最值问题二次函数 y =ax ? +bx + c ( a HO)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础•在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当a ■ 0时,2函数在x=-—处取得最小值4a 仝旦，无最大值；当acO 时，函数在x=-—处取得2a4a2a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.二次函数求最值(一般范围类)例1 •当-2玉x 玄2时，求函数y = x 2 - 2x - 3的最大值和最小值. 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图， 观察图象的最高点和最低点， 由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值._ -4，当X _ -2 时，y max 二 5 •例2.当1乞X 乞2时，求函数y = -X 2 - XT 的最大值和最小值.解：作出函数的图象•当x=1时，y min - -1，当x =2时，y max 一 -5 .由上述两例可以看到， 二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一 段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置， 函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异. 下面给出- 些常见情况：最大值4ac -b 2 4a无最小值.解:ymin1 25 解：函数y x -x的对称轴为x = 1 .画出其草图.221 5 （1）当对称轴在所给范围左侧•即t .1时： 当x =t 时，y mint 2-t- 22⑵ 当对称轴在所给范围之间•即t _ 1 _ t • 1二0 _ t _ 1时：1 2 5当 x = 1 时，y min=2 1一1—㊁二一3 ； ⑶ 当对称轴在所给范围右侧•即 t 1 .^= t ：. 0时：1 25 1 2 当 X =t 1 时，y min (t 1)2 - (t 1) t 2 -3 .1 2—t — 3,t < 0 2y - -3,0 zt ^132 —t —5,t>1 .2 2在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：二次函数求最值（经济类问题）例1•为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定 对购买彩电的农户实行政府补贴. 规定每购买一台彩电， 政府补贴若干元，经调查某商场销 售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系•随着补 贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.置.可以看出：当X =1时，y min 二-1，无最大值. 所以，当x _ 0时，函数的取值范围是 y _ -1 •例4.当t 乞X 乞t • 1时，求函数- x -号的最小值（其中t 为常数）.分析：由于X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位综上所述:政府补贴款额x 之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益 w （元）最大，政府应将每台补贴款额 x 定为多少？并求出总收益 w 的最大值.分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为 800台，每台彩电的收益为200元；（2）禾U 用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式； （3）商场销售彩电的总收益=商场销售彩电台数X 每台家电的收益，将（ 2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为800 200=160000 （元）;（2 ）依题意可设 y =k ,x 800 , Z =k 2x 200 ,.有 400k , 800 =1200 ,1 1 200k2 200 =160，解得 k =1, k 2•所以 y =x 800 , Z x 200.55r 1、 1（3） W = yZ = （x 800） x 200（x-100）2 162000，政府应将每台补 I 5丿5贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元.说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼例2•凯里市某大型酒店有包房 100间，在每天晚餐营业时间， 每间包房收包房费100 元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高 20元的这种方法变化下去.（1） 设每间包房收费提高 x （元），则每间包房的收入为 y 1 （元），但会减少y 2间包房 租出，请分别写出 y 1、y 2与x 之间的函数关系式.（2） 为了投资少而利润大，每间包房提高 x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收 入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获 得最大包房费收入，并说明理由•分析：（1）提价后每间包房的收入=原每间包房收包房费 +每间包房收包房提高费，包房减少数=每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入=提价后每间包房的收入X 每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时x 的值.1解：（1） y 1 =100 x , y 2x ； 21 12（2） y =（100 • x ） "100 x ）y （x -50）11250 ,因为提价前包房费总收入2 2(1)(2)为100X 100=10000,当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好•例3•某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x （月）3满足关系式y1 = x 36，而其每千克成本y（元）与销售月份x （月）满足的函数关8系如图所示.y 2 (兀)（1） 试确定b 、c 的值；（2） 求出这种水产品每千克的利润 y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式;（3） “五•一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？分析：（1）将点（3, 25）, （4, 24）代入求 b 、c 的值；（2） y = y 1- y 2 ； （3）将（2） 中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五•一”之前的前提下求x 5 ,所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大.最大利润1 2 1 （4 -6）2 11 =10—（元）. 8 2说明：本题在x = 6,即6月份时取得最大值，但题目要求在“五•一”之前，所以要 将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的增减性来求解例4.某商场以每件 30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润（2）若商场要想每天获得最大销售利润, y 与每件销售价x 之间的函数关系式； 每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少?解：（1）由已知得每件商品的销售利润为（x-30）元,那么m 件的销售利润为y 二m （x - 30），又m =162 -3x .m （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数 m =162 —3x,30 空 x ^54 .解：（1 ）由题意:25V 32 24三 423b c 4b c—7 ，解得 81c = 29 —I 2(2) y 十 -丫2=一3 x 36 _ 1X 2 _15 X 291 二-1 x 28 8 8 2 83- 2十2X一x 61 — 】(x 2 -12x 36) 4」6」一】(x-6)2 11. 2 8 2 2 8•- --0,•••抛物线开口向下.8在对称轴x = 6左侧y 随x 的增大而增大.由题意\17.y =(x-30)(162 -3x) =—3x 2 252x -4860,30 乞 x 乞 54(2)由⑴ 知对称轴为x = 42，位于x 的范围内，另抛物线开口向下2.当 x = 42时，y max - -3 42 252 42 -4860 =432.当每件商品的售价定为 42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元.二次函数求最值(面积最值问题)例1.在矩形ABCD 中, AB=6cm BC=12cm 点P 从点A 出发，沿 AB 边向点B 以1cm/s 的速 度移动，同时点 Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果 P 、Q 两点同时出 发，分别到达B 、C 两点后就停止移动.(1) 运动第t 秒时，△ PBQ 的面积y(cm2 )是多少？(2) 此时五边形 APQCD 勺面积是S(cm2 )，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围.(3) t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案：1 2(1) y = -(6 -t ) 2t 一t 6t2(2) S =6 12 一( 一t 2 6t )t 2 -6t • 72(0 ：：t ：：：6) (3) S (t -3)2 63.当t =3时；S 有最小值等于63例2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1米宽的门(木质).花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米贝U 长为：32 -4x • 2 =34 -4x (米) 则:S=x(34-4x)--4x 2 34x••• 0 ： 34—4x ^106*卫二 ％-乎)2 4289而当6乞x 内，S 随x 的增大而减小，2 17 289•••当 X=6 时，S max 一 4(6 -二)2 = 60(平方米)4 4答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大.例3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形 ABCD (如图)，其中AF=2, BF=1.试在AB 上求一点P ,使矩形PNDM 有最大面积.1 2S = xy x 5x (2 _ x _ 4),此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5,•••当x W5时，函数值y 随x 的增大而增大，1 2对于2^x^4来说，当x=4时，S 最大4—5 4=12 .【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起, 能很好考查学生的综合应用能力•同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.例4.某人定制了一批地砖， 每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形 ABCD 点 E F 分别在边BC 和CD 上, △ CFE △ ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成， 制成△ CFE △ ABE 和四边形AEFD 勺三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH(1) 判断图 ⑵ 中四边形EFGH1何形状，并说明理由；(2) E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：⑴四边形EFG!是正方形.图⑵ 可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故 CE=CF =CG• △CEF 等腰直角三角形 因此四边形EFGH 是正方形.(2)设CE=x ,则BE =0.4 — x ,每块地砖的费用为 y 元那么：y = X 」X30+ X 0.4 X (0.4 -x ) X 20+[0.16 - x - X 0.4 X (0.4 -x ) X 10]匚17 67 6，S 与x 的二次函数的顶点不在自变量 x 的范围内,解:设矩形PNDM 勺边DN=x NP=y, 则矩形PNDM 勺面积S=xy (2W x < 4) 易知 CN=4-x , EM=4-y .D 8HC2 2 2 2=10(x2 _0.2x 0.24)= 10(x -0.1)2 2.3 (0 :：: x :: 0.4)当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1 .答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省.。
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二次函数的最值问题二次函数y ax2bx c ( a 0) 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当 a时，函数在 x b处取得最小值4ac b2，无最大值；当 a 0时，函数在x b处取得2a 4a 2a4ac b2，无最小值．最大值4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．二次函数求最值（一般范围类）例1．当 2 x 2 时，求函数 y x22x 3 的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当x 1时， y min 4 ，当 x 2 时， y max5．例 2．当 1 x 2 时，求函数yx2x 1的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当 x 1 时，y min1，当 x 2 时， y max5 ．由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例 3．当 x 0 时，求函数y x(2 x) 的取值范围．资料解： 作出函数yx(2 x )x 22x 在 x 0 内的图象．可以看出：当x 1 时， y min 1，无最大值．所以，当 x 0 时，函数的取值范围是y 1 ．例 4． 当 t x t 1 时，求函数 y 1 x 2 x 5 的最小值 (其中 t 为常数 )．2 2分析： 由于 x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位 置．解： 函数 y 1 x 2x 5 的对称轴为 x 1 ．画出其草图．2 2 1 5 (1) 当对称轴在所给范围左侧．即 t 1 时： 当 x t 时， y min t 2t ；t 1 t 1 0 t 1 2 2 (2) 当对称轴在所给范围之间．即 时：当 x 1时， y min 1 121 53；2 2(3) 当对称轴在所给范围右侧．即 t 1 1 t 0 时：当 x t 1 时， y min 1(t 1)2(t 1)5 1 t 2 3．22 21 t2 3,t0 2综上所述： y3,0t11 t2 t 5, t122在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：二次函数求最值 ( 经济类问题 )例 1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴． 规定每购买一台彩电， 政府补贴若干元， 经调查某商场销售彩电台数 y （台）与补贴款额 x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额 x 的不断增大， 销售量也不断增加， 但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且 Z 与 x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．资料（ 1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（ 2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益 Z与政府补贴款额x 之间的函数关系式；（ 3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益 w 的最大值．分析：（ 1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800 台，每台彩电的收益为200 元；（ 2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（ 3）商场销售彩电的总收益＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值 .解：（ 1）该商场销售家电的总收益为800 200 160000（元）；（ 2 ）依题意可设y k1x 800 ， Z k2 x 200 ，有 400k18001200 ，200 k2 200 160 ，解得 k11， k21．所以y x 800 ， Z 1 x200 ．5 5（ 3） W yZ (x 800) 1 x200 1 ( x 100)2162000，政府应将每台补5 5贴款额 x 定为 100 元，总收益有最大值，其最大值为162000元．说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.例 2．凯里市某大型酒店有包房100 间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20 元，则减少10 间包房租出，若每间包房收费再提高20 元，则再减少 10 间包房租出，以每次提高20 元的这种方法变化下去 .（1）设每间包房收费提高 x（元），则每间包房的收入为 y1（元），但会减少 y2 间包房租出，请分别写出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式 .（2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y（元），请写出 y 与 x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由 .分析：（ 1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一半；（ 2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时 x 的值 .解：（ 1） y 100 x ， y21 x；12 （ 2）y (100 x) (100 1) 150)211250 ，因为提价前包房费总收入2x y (x2为 100× 100=10000，当 x=50 时，可获最大包房收入11250 元，因为 11250>10000 又因为每次提价为 20 元，所以每间包房晚餐应提高40 元或 60 元 .说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60 元应该更好 .例 3．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份 x （月）资料满足关系式 y1＝ 3 x 36 ，而其每千克成本 y2（元）与销售月份 x （月）满足的函数关8系如图所示．y2（元）y21 x2bx c 82524O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x（月）（ 1）试确定 b、c 的值；y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；（ 2）求出这种水产品每千克的利润（ 3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？分析：（ 1）将点（ 3， 25），（ 4， 24）代入求b、 c 的值；（2） y＝ y1 - y2；（ 3）将（ 2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五·一”之前的前提下求最大值 .25 1 323b c b 17解：（1）由题意：8 ，解得8 ；24 1 424b c c 29 18 2（ 2） y y1y23 x 36 1 x2 15 x 29 1 1 x23 x 6 1；8 8 8 2 8 2 2（ 3）y 1 x2 3 x 6 1 1 ( x212x 36) 4 1 6 11 (x 6)2 11.8 2 2 8 2 2 8∵ a 1 6 左侧 y 随 x 的增大而增大．由题意0 ，∴抛物线开口向下．在对称轴x8x 5 ，所以在 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大．最大利润1 (4 6)211 10 1（元）．8 2说明：本题在x＝ 6，即 6 月份时取得最大值，但题目要求在“五·一”之前，所以要将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的增减性来求解.例 4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 m (件 )与每件的销售价 x (元 )满足一次函数m 162 3x,30 x 54 ．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？资料解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x30) 元，那么 m 件的销售利润为y m( x 30) ，又 m 162 3x ．y (x 30)(162 3x) 3x2252x 4860,30 x 54(2)由 (1)知对称轴为 x 42 ，位于 x 的范围内，另抛物线开口向下当 x 42 时，ymax 3 422252 42 4860 432当每件商品的售价定为42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．二次函数求最值 ( 面积最值问题 )例1.在矩形 ABCD 中， AB=6cm ，BC=12cm ，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cm／ s的速度移动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm／ s 的速度移动，如果 P、Q 两点同时出发，分别到达 B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第 t 秒时，△ PBQ 的面积 y(cm2)是多少？（2）此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm2)，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3） t 为何值时 s 最小，最小值时多少？答案：(1) y 1 t）2t （62（2） S 6 12 （（3） S （ t23）t 26tt2 6t）t2 （）6t 72 0 t 663当 t 3时； S有最小值等于63例 2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？x解：设花圃的宽为x 米，面积为 S 平方米则长为： 32 4x 2 34 4x (米 )则： S x(34 4x)4x 2 3 4x4( x 17 )22894 4 资料∵0 34 4x 10∴6 x 172∵17 6 ，∴ S 与 x 的二次函数的顶点不在自变量x的范围内，4而当∴当617x内， S 随 x 的增大而减小，217 289x 6 时， S max4(6 )260(平方米 )4 4答：可设计成宽 6 米，长10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．例 3.已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中 AF=2 ，BF=1 ．试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积．解：设矩形 PNDM 的边 DN=x ，NP=y ，则矩形 PNDM 的面积 S=xy（ 2≤x≤4）易知 CN=4-x ，EM=4-y ．过点 B 作 BH ⊥ PN 于点H则有△ AFB ∽△ BHP∴ AF BH ，即 2 4 x ，BF PH 1 y 3∴ y 1 x 5，2S xy 1 x 25x (2 x 4) ，2x=5，此二次函数的图象开口向下，对称轴为∴当 x≤5时，函数值 y 随 x 的增大而增大，对于 2 x 4 来说，当 x=4 时，最大 1 42 5 4 12 ．S2【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．例 4.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图 (1)所示）是边长为0.4 米的正方形ABCD ，点 E、F 分别在边BC 和 CD 上，△ CFE 、△ ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△ CFE 、△ ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30 元、 20 元、 10 元，若将此种地砖按图 (2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图 (2) 中四边形 EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解： (1) 四边形 EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图 (1) 所示地砖绕 C点按顺 (逆 )时针方向旋转 90°后得到的，故CE=CF =CG．∴△ CEF 是等腰直角三角形因此四边形 EFGH 是正方形．资料(2)设 CE=x, 则 BE=0.4－ x，每块地砖的费用为y元那么： y= x ×30+ ×0.4 ×(0.4-x) ×20+[0.16- x - ×0.4 ×(0.4-x) ×10] 10( x20.2x 0.24)10( x 0.1) 22.3 (0 x0.4)当 x=0.1 时， y 有最小值，即费用为最省，此时 CE=CF =0.1．答：当 CE=CF =0.1 米时，总费用最省．资料。