二次函数和最值问题总结

二次函数的最值问题

二次函数y ax2bx c ( a 0) 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基

础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情

况(当 a

时，

函数在 x b处取得最小值4ac b2，无最大值；当 a 0时，函数在

x b处取得

2a 4a 2a

4ac b2，无最小

值．

最大值

4a

本节我们将在这个基础上继续学习当自变

量x 在某个范围内取值时，函数的最值问

题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应

用．

二次函数求最值（一般范围类）

例

1．当 2 x 2 时，求函数 y x22x 3 的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草

图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变

量x 的值．

解：作出函数的图象．当x 1时， y min 4 ，当 x 2 时， y max

5．

例 2．当 1 x 2 时，求函数yx2x 1的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当 x 1 时，

y min1，当 x 2 时， y max5 ．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

例 3．当 x 0 时，求函数y x(2 x) 的取值范围．

资料

解： 作出函数

y

x(2 x )

x 2

2x 在 x 0 内的图

象．

可以看出：

当

x 1 时， y min 1，无最大值．

所以，当 x 0 时，函数的取值范围

是

y 1 ．

例 4． 当 t x t 1 时，求函数 y 1 x 2 x 5 的最小值 (其中 t 为常

数 )．

2 2

分析： 由于 x 所给的范围随着

t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相

对位 置．

解： 函数 y 1 x 2

x 5 的对称轴为 x 1 ．画出其草图．

2 2 1 5 (1

) 当对称轴在所给范围左侧．即 t 1 时： 当 x t 时， y min t 2

t ；

t 1 t 1 0 t 1 2 2 (2

) 当对称轴在所给范围之间．即 时：

当 x 1时， y min 1 12

1 5

3；

2 2

(3

) 当对称轴在所给范围右侧．即 t 1 1 t 0 时：

当 x t 1 时， y min 1

(t 1)2

(t 1)

5 1 t 2 3．

2

2 2

1 t

2 3,

t

0 2

综上所述： y3,0

t

1

1 t

2 t 5

, t

1

2

2

在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：

二次函数求最值 ( 经济类问题 )

例 1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定

对购买彩电的农户实行政府补贴． 规定每购买一台彩电， 政府补贴若干元， 经调查某商场销售彩电台数 y （台）与补贴款额 x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补

贴款额 x 的不断增大， 销售量也不断增加， 但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且 Z 与 x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

资料

（ 1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

（ 2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益 Z

与

政府补贴款额x 之间的函数关系

式；

（ 3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款

额x 定为多少？

并求出总收益 w 的最大值．

分析：（ 1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台

数为800 台，每台彩电的收益为

200 元；（ 2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（ 3）商场销售彩电的总收

益

＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二

次

函数的最大值 .

解：（ 1）该商场销售家电的总收益

为800 200 160000（元）；

（ 2 ）依题意可设

y k1x 800 ， Z k2 x 200 ，有 400k18001200 ，

200 k2 200 160 ，解得 k

11， k21

．所以

y x 800 ， Z 1 x200 ．5 5

（ 3） W yZ (x 800) 1 x200 1 ( x 100)2162000，政府应将每台补

5 5

贴款额 x 定为 100 元，总收益有最大值，其最大值为162000

元．

说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.

例 2．凯里市某大型酒店有包房100 间，在每天晚餐营业时

间，

每间包房收包房费

100

元时，包房便可全部租出；若每间包房收费

提高20 元，则减少10 间包房租出，若每间包

房

收费再提高

20 元，则再减少 10 间包房租出，以每次提高20 元的这种方法变化下

去 .

（1）设每间包房收费提高 x（元），则每间包房的收入为 y1（元），但会减少 y2 间包房租出，请分别写出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式 .

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总

收入为 y（元），请写出 y 与 x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少

元可获得最大包房费收入，并说明理由 .

分析：（ 1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房

费+每间包房收包房提高费，包房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一

半；（ 2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后

再求y 取得最大值时 x 的值 .

解：（ 1） y 100 x ， y

21 x；

1

2 （ 2

）

y (100 x) (100 1) 1

50)

2

11250 ，因为提价前包房费总收入2

x y (x

2

为 100× 100=10000，当 x=50 时，可获最大包房

收入11250 元，因为 11250>10000 又因为每次提价为 20 元，所以每间包房晚餐应提高40 元或 60 元 .