《绝对值》分享资料
绝对值基础知识讲解学习资料
绝对值（基础）知识讲解绝对值(基础)【学习目标】1掌握一个数的绝对值的求法和性质；2 •进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3. 会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1. 定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离, 离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.(3 )一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的. 2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0.要点二、有理数的大小比较1. _________________________________________________________________________ 数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右 ____________________________________________■上ab边的数小.女口： a 与b 在数轴上的位置如图所示，则 avb .2. 法则比较法:两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:要点诠释:(1)绝对值的代数意义：一个一个负数的绝对值是它的相反|a|正数的绝对值是它本身;(a 0)(a 0) a (a 0)数；0的绝对值是0.即对利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：(1)分别计算两数的绝对值; (2)比较绝对值的大小；(3)判定两数的大小.3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b >0,贝U a >b ;若a- b = 0,则a = b ;若a- bv0, avb ；反之成立.4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若—1，则a b ；若-1，则a b ；若bba 1,则a b ;反之也成立.若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反.b5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】 类型一、绝对值的概念1.求下列各数的绝对值.111 -，-0. 3，0，3~2211【思路点拨】1丄，-0.3，0，3丄在数轴上位置距原点有多少个单位长 22度，这个数字就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解. 【答案与解析】因为-0.3到原点距离是0. 3个单位长度，所以卜0.3|= 0.3.因为0到原点距离为0个单位长度，所以| 0| = 0.1 1因为3-到原点的距离是32个单位长度，所以解法1 1因为右到原点距离是1-个单位长度，所以3-2 2因为-0.3V0,所以 |- 0. 3| = -(- 0.3) = 0.3. 因为0的绝对值是它本身，所以I 0| = 0.解法二：因为112 10,所以1211212.【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解（如方法1），一种是利用绝对值的代数意义求解（如方法2），后种方法的具体 做法为：首先判断这个数是正数、负数还是 0•再根据绝对值的意义，确定去 掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是 0•从而求出该数的绝对值.C>2.已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是 ____________________________ .【答案】2009或-2009【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是 2009的点有两个，从原点向左侧 移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位 长度，得到表示数2009的点. 【总结升华】已知绝对值求原数的方法：（1）利用概念；（2）利用数形结合法在 数轴上表示出来.无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有 两个，且互为相反数. 举一反三：【变式1】求绝对值不大于3的所有整数.【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3. 【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题3】【变式2】如果丨x | = 2，那么x = _______________ ;如果丨一x |= 2，那么x= ___________________ . 如果| x — 2 | = 1，那么x = __________________________ ; 如果| x | > 3，那么x 的范围 是 ______________ .【答案】2或-2 ; 2或-2 ; 1或3; x>3或x<- 3【变式3】数轴上的点A 到原点的距离是6,则点A 表示的数为 _______________________因为132°，所以32 -⑵先化简卜3|= 3,负数小于正数，所以-2V3,即-2v|-3| ;在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出 正确的判断. 举一反三:【高清课堂：绝对值比大小 356845典型例题2】【变式1】比大小：5 63》 _______ 3—；-卜3.2| _______ -(+3.2)； 0.0001 ________ — 1000;671.38 ________ — 1.384 ; —n __________ — 3.14 . 【答案】>;=;>;>;<【答案】 6或-6比较大小比较下列有理数大小：(1)- 1和0;(2)- 2和卜3| ; (3)(4) 0.1【答案】 (1)0大于负数，即-1v0;(3)先化简1 1 111 1 -，即卩222 332(4)先化简0.10.1，而 1 0.1 ,因为所以0.1，即0.1【解析】 ⑵、 (3)、( 4)先化简，再运用有理数大小比较法则.【点评】 类型二、 3. 1 20.10.1,这是两个负数比较大小:1 1 33【变式2】(山东临沂)下列各数中，比一1小的数是( )A. 0B. 1C.—2D. 2【答案】C【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a, -a, -1的大小关系是().■■ _ 11 I 1 .日7 0A. - a v av -1B. -1 v - a v aC. av -1 v - aD. a v - av -1【答案】C类型三、绝对值非负性的应用4.已知| 2- m| +| n-3| = 0,试求m-2n 的值.【思路点拨】由| a |> 0即绝对值的非负性可知，| 2-m |>0,| n-3 | >0, 而它们的和为0.所以| 2-m |= 0, |n-3| = 0.因此，2-m= 0, n-3 = 0,所以m =2, n= 3. 【答案与解析】因为| 2-m| +| n-3| = 0且| 2-m| >0, | n-3| >0所以|2-m| = 0, | n-3| = 0即2-m = 0, n-3 = 0所以m = 2, n = 3故m-2n = 2-2X3= -4.【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+| m| = 0时，贝U a= b=・・・=m = 0.类型四、绝对值的实际应用e>5.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数•检测结果（单位：克）：-25，+10,-20, +30,+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢？请说明理由.【答案】因为丨+10 | <| +15 | <| -20 | <| -25 | <| +30 | <| -40 丨，所以检测结果为+10的足球的质量好一些•所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好•这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大.【点评】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.002L的误差•现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数•检查结果如下表：请用绝对值知识说明：（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】（1）绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018,-0. 0015，+0. 0012, +0. 0010 的这四瓶.（2）第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量.【变式2】一只可爱的小虫从点0出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：cm）依次记为：+5,-3, +10,-8, -6，+12, -10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻？【答案】小虫爬行的总路程为：| +5| +|- 3| +| +10| +|- 8| +|- 6| +| +12| +|- 10| = 5+3+10+8+6+12+10=54（ cm）.小虫得到的芝麻数为54X2= 108（粒）.。
第二讲-绝对值
第二讲 绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题。
一．基础知识回顾：1．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。
4绝对值的求法：绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 。
5．数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b -6．零点：使某个绝对值等于0的x 的值叫做式子（方程、不等式）的零点。
7、绝对值的基本性质：⑴非负性：0a ≥；⑵a a =- ⑶ab a b = （4）b b a a=（0a ≠）（5）222n n n a a a ==（n 为正整数）；8、与绝对值有关的最值问题：（1）x 的最小值为_____（其中x 为任意实数）；（2）代数式x a x b -+-，当a x b ≤≤时取得最小值为a b -（其中a b <）；（3）代数式x a x b x c -+-+-，当x b =时取得最小值为a c -（其中a b c <<）；思考： 若1a <2a <3a <…<n a ①当n 为偶数时，当x 满足什么条件时，代数式n a x a x a x -++-+- 21取最小值；②当n 为奇数时，x 满足什么条件代数式n a x a x a x -++-+- 21取最小值.（4）代数式 x a x b ---（其中a b <），当x a ≤时，有最小值a b --，当x b ≥时有最大值a b -9、绝对值方程：（1）x a = ① 当 0a >时，方程有两个解x a =±；② 当 0a =时，方程有一解0x = ③当0a <时，方程无解；（2）x a x b m -+-=（a b <）①当 m b a >-时，方程有两解：2a b m x ++=或 2a b m x +-= ② 当m b a =-时，方程有无数个解，即满足a x b ≤≤的所有值 ③当m b a <-时，方程无解（3）x a x b m ---=（a b <）①当 a b m a b --<<-时，方程有一解 ② 当 m a b =-或 m a b =--时，方程有无数个解 ③当m a b >-或m a b <--时，方程无解二、【典型例题分析】（一）绝对值的化简：含有绝对值符号的化简的关键是先确定绝对值符号内部分的正负，再利用绝对值的代数意义化去绝对值符号（就是非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数）。
《绝对值》知识简要与举例
《绝对值》知识简要与举例1.绝对值的概念是代数的重要概念之一，它是学习代数后续内容的基础.同时，利用绝对值的概念，能使我们进一步认识已学过的概念.例如，我们可以把任何一个有理数看成是由符号与绝对值两部分组成；又如，互为相反数的两个数，其实质是绝对值相等而符号相反的两个数.像－6和6，它们的符号相反，而其绝对值|－6|=|6|=6.2.理解绝对值的意义，应注意以下三点：(1)绝对值的非负性即任何一个数a的绝对值，总是非负的.即|a|≥0.当a≠0时，|a|＞0；当a=0时，|a|=0.(2)绝对值相等的两个数或相等，或互为相反数.如|2|=|+2|=2，|+2|=|－2|=2.一般地，若|x|=|y|，则有x=y或x=－y.3.用正负数可以表示具有相反意义的量.但在实际生产和生活中，有时不考虑方向性.如：计算汽车的耗油量时，知道行驶单位路程的耗油量，只需求出汽车行驶的总路程，便可求出耗油量，与行驶的方向无关而汽车所走的路程就只需用正数表示，因此，引出绝对值的概念.4.绝对值的三种表达方法.（1）文字语言表达法（绝对值的概念）：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.（2）用数学式子法：设a为任意有理数，则(3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.［例1］判断题(2)|－0.01|＜0.( )(3)－（－4）＜|－4|.( )(4)|a|=a.( )(5)当a≤0时，|a|+a=0.( )答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)×；(5)√.说明：在有理数的大小比较中，如果含有绝对值或相反数时，可先化简，然后再进行比较.［例2］填空题（5）______________与它的绝对值互为相反数；（6）如果|a|=|－7|，那么a=________.说明：如果两个数相等或互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；反之，如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.［例3］a为何值时，下列各式成立?(1)|a|=a；（2）|a|=－a；（3）|a|≥a；（4）|a|＜a；（5）|a|=5；（6）|a|=－5.解：（1）a≥0；（2）a≤0；（3）a为任意有理数时，都使|a|≥a成立；（4）a为任意有理数时，|a|＜a都不成立；（5）a=±5；（6）a为任意有理数时，|a|=－5都不成立.说明：本题解决的关键是牢固掌握绝对值的非负性，即|a|≥0.另外，（3）、（4）小题还要准确理解有理数大小的比较法则.［例4］比较大小：［例5］把下列各数按照从大到小的顺序用“＞”连接起来：说明：学了绝对值的概念之后，比较两有理数大小的基本方法，我们便有了两种：(1)数轴法；(2)绝对值法.在这小节的后一部分，介绍了利用绝对值比较两个负数的大小的办法.这既可巩固绝对值的概念，又把比较有理数大小的方法提高了一步.利用绝对值来比较两有理数大小的方法是我们常用的方法之一.前面提到绝对值的概念是代数中重要的概念之一，我们应该很好地掌握它.［例6］（1）若a＞3,则|a－3|=________;（2）若a=3,则|a－3|=________;（3）若a＜3,则|a－3|=________.分析：要想正确地化简|a－3|的结果.关键是确定a－3的符号.当a＞3时，a －3＞0,即a－3为正，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3;当a=3时，a －3=0,所以|a－3|=|0|=0;当a＜3时，a－3＜0,即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|=－(a－3).解：（1）a＞3时，|a－3|=a－3;（2）a=3时，|a－3|=0;（3）a＜3时，|a－3|=－(a－3)说明：由本题的解法说明，化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性.否则会出现错误，如|a－3|=a－3(×).。
《绝对值》考点专题讲解(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑聚焦《绝对值》【图解考点】【技法透析】1．绝对值的基本性质在含有绝对值式子的运算及变形中，绝对值的性质有很重要的作用，其主要性质有：若a、b为有理数，则：(1)非负性：①a≥0；②若a＋b＝0，则a＝b＝0；(2)若a＝b，则a＝±b；222==a a a(3)ab a b =•；a a b b =（b ≠0）； ④a b a b a b -≤±≤+．特别关注：若干个非负数之和为0，则这几个非负数必须同时为0，即：a ＋b ＋…＋n ＝0，则a ＝b ＝…＝n ＝0．2．去绝对值符号的方法去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数（或式）的正负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有：(1)由已知条件去绝对值．(2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值．(3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值，特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可．3．绝对值方程(1)最简单的绝对值方程为x ＝a ，它的解法情况如下： ①当a>0时，方程有两解：x ＝a 或x ＝－a ，②当a ＝0时，方程有一解：x ＝0，③当a<0时，方程无解．(2)解绝对值方程的一般步骤①求出各个零界点．②根据未知数的取值范围分类讨论．③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程中，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法．在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程．特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法．4．绝对值的几何意义在生活中的应用在实际生活中经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时又使实际问题数学化，从而运用绝对倌的几何定义求解．一般地，设a 1，a 2，a 3，…a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数，对于12n x a x a x a -+-+-L ，则：(1)当n 为奇数时，此式在x ＝12n a +时取最小值；(2)当n 为偶数时，此式在2n a ≤x ≤12n a +时取最小值． 【名题精讲】赛点1 绝对值的化简例 1 1111111111201720162016201520152014322-+-+-++-+-L ＝_______．【切题技巧】 脱去绝对值符号是绝对值化简的切入点，而对绝对值符号中的正负性的判断是化简的关键，本例若直接化简会很繁锁，应从a 的性质入手，由题中条件可知，每一绝对值符号内均为负数，于是有当a<0时a ＝－a ．【规范解答】 原式=1111111-----12017201620162015201520142----L （）（）（）（）=12016-+120172017= 【借题发挥】 绝对值化简关键是要去掉绝对值符号，而要去掉绝对值符号，先要对绝对值符号中的数（或式）的正负性进行判断．去掉绝对值符号有三种方法，本例可以由已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数，于是可以利用1a 1的性质顺利达到去掉绝对值符号的目的．【同类拓展】1．有理数a ，b 的大小关系如图，则1212a b a b a b a b -++-+-++的值是( D )。
七年级数学上册《绝对值》知识点整理
七年级数学上册《绝对值》知识点整理绝对值绝对值是数学中的一个重要概念，用来表示一个数与零的距离。
在七年级数学上册中，我们学习了关于绝对值的基本性质和应用。
本文将对这些知识点进行整理和总结。
一、绝对值的定义与表示方法绝对值的定义：对于任意实数a，假设a≥0，那么a的绝对值就是a；假设a＜0，那么a的绝对值就是-a。
绝对值的表示方法：用两个竖线将数值括起来，例如|3|，表示数3的绝对值。
二、绝对值的基本性质1. 非负性：对于任意实数a，|a|≥0，即绝对值大于等于零。
2. 自身性：对于任意实数a，如果a≥0，则|a|=a；如果a＜0，则|a|=-a。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
4. 相反数性：对于任意实数a，有|a|=|-a|。
5. 乘法性：对于任意实数a和b，有|a·b|=|a|·|b|。
三、绝对值的应用1. 求绝对值问题：通过绝对值的定义和基本性质，可以求解带有绝对值的方程和不等式，例如：(1) |2x-1|=5，可以拆分为2x-1=5或2x-1=-5，进而解得x=3或x=-2。
(2) |3x+4|＜7，可以拆分为-7＜3x+4＜7，再解出不等式，得到-11/3＜x＜1。
2. 表示范围问题：绝对值也常用来表示数的范围。
(1) 对于所有实数x，当|x-5|＜3时，x的取值范围是(2, 8)。
(2) 对于所有实数x和y，当|y|≤2时，表示平面上所有与原点距离不超过2的点的集合。
3. 复数的模问题：在复数的表示中，绝对值被称为复数的模。
复数的模定义为复数与原点之间的距离，例如，对于复数z=a+bi，其模表示为|z|=√(a²+b²)。
通过绝对值的性质，可以进行复数的模运算，例如：(1) |(2+3i)·(4-5i)| = |2+3i|·|4-5i| = √(2²+3²)·√(4²+(-5)²) = √4(2²+3²+4²+(-5)²) = 9。
小学六年级数学下册：绝对值知识点
小学六年级数学下册：绝对值知识点
1. 什么是绝对值？
绝对值是一个数与零点的距离。
表示一个数离零有多远，不考虑数的正负。
2. 绝对值的符号
- 如果一个数是正数或零，那么它的绝对值就是它本身。
- 如果一个数是负数，那么它的绝对值就是去掉负号取正。
3. 绝对值运算的性质
绝对值运算有一些重要的性质：
- 非负性质：绝对值永远不会是负数。
即对任意实数 a，绝对值 |a| 总是大于等于零。
- 同值性质：如果 a 和 b 是相等的实数，那么它们的绝对值也是相等的，即 |a| = |b|。
- 三角形不等式：对于任意实数 a 和 b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
4. 绝对值与计算
- 求一个数的绝对值，可以直接将负号去掉。
- 求两个数之间的距离，可以计算它们的差的绝对值。
5. 绝对值在数轴上的表示
绝对值可以用数轴来表示。
在数轴上，正数和零的绝对值就是它们本身的位置，而负数的绝对值则是其对应正数的位置。
6. 绝对值的应用
绝对值在解决实际问题时有很多应用，比如：
- 温度的表示：温度可以是负数，但是绝对值表示的温度一定是非负数。
- 距离的计算：计算两个地点之间的距离时可以使用绝对值方法。
以上是小学六年级数学下册关于绝对值的重要知识点简介。
参考资料：。
《绝对值》初中课件PPT
a，b也可能互为相反数，
×即aa=也-b可能是0
(8)互为相反数的两个数的绝对值相等. √
巩固练习
求下列各数的绝对值：
-18，
0， 1 ， 7.2，
4 +.
2
9
解： -18 18， 0 =0， - 1 = 1，
22
7.2 7.2， 4 = 4 .
99
探究新知
巩固练习
若|x|=5，则x的值是( C )
A. 5
B. -5
C. ±5
1
D.
5
解析：|x|=5，即数x到原点的距离是5,而到原点 的距离是5的数有5和-5，所以x的值是5和-5.
探究新知
素养考点 3 利用绝对值求字母的值
例3 已知|x–4|+|y–3|=0,求x+y的值.
分析：一个数的绝对值总是大于或等于0，即为非负数， 如果两个非负数的和为0，那么这两个数同时为0.
素养考点 2 已知绝对值求原数
例2 填一填： (1)绝对值等于0的数是_0__, (2)绝对值等于5.25的正数是_5_._2_5_, (3)绝对值等于5.25的负数是_-_5_._2_5_, (4)绝对值等于2的数是__2_或__-_2_.
探究新知
易错提醒：注意绝对值等于某个正数的数有两个，它们互为 相反数，解题时不要遗漏负值.
探究新知 素养考点 3 利用绝对值求字母的值
例3 已知|x–4|+|y–3|=0,求x+y的值.
解：根据题意可知 x - 4＝0，y - 3＝0，
所以x＝4，y＝3，故x＋y＝7. 归纳总结： 几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
巩固练习
《绝对值》点津与归纳拓展
《绝对值》点津与归纳拓展【学法点津】用数形结合法，在数轴上探索绝对值概念产生的过程。
由特殊数的绝对值推导出任意有理数a的绝对值。
利用分类讨论法概括出绝对值a的三种可能。
用熟悉的温度计类比数轴，观察到数轴上有理数的大小排列规律，并结合绝对值探索出负数与负数比较大小的简便方法。
解题当中应该把数轴、相反数、绝对值的知识点有机地结合起来，使各个知识点相互接应。
【学点归纳总结】一、知识要点总结1、一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0 。
（1）当a是正数时，︱a︱= a ；（2）当a是负数时，︱a︱= -a ；（3）当a=0时，︱a︱= 0 ；求解一个数的绝对值时应先判断这个数是正数、0、还是负数，然后相应地根据上面的结论来推导。
2、由在数轴上左边的数小于右边的数，推导出（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。
两数比较大小，应先化简，再判断化简后的两数是正数、0、还是负数，然后相应地根据上面的结论推导。
特别地，当两个负数比较大小时应先求出它们的绝对值。
二、规律方法总结1、绝对值概念，可以利用数形结合的方法在数轴上探索得出。
2、求解任意有理数a的绝对值，利用分类讨论法，归纳、总结出三种可能。
3、推导两数的大小规律，把数轴和温度计进行对比，可以利用类比法。
三、易错问题误区点拨【典例1】绝对值等于4的数是______．【错解分析】4,。
误以为题目是求4的绝对值。
【正解分析】4和-4。
从“形”上理解，就是求到原点距离是4的点，应该在原点两边各有一点，分别是4和-4表示的点；从“数”上理解，4和-4的绝对值都是4。
【典例2】写出绝对值不大于2的整数【错解分析】0，1，2。
没意识到负整数取绝对值就是正整数了。
【正解分析】-1，-2，0，1，2。
绝对值问题要分类来考虑，注意负数的绝对值是它的相反数。
初中数学绝对值归纳总结
初中数学绝对值归纳总结绝对值是数学中的一种基本概念，它代表一个数与零的距离，无论这个数是正数、负数还是零。
在初中数学中，绝对值是一个重要的知识点，掌握绝对值的性质和运算规律对于解决数学问题至关重要。
本文将对初中数学中绝对值的相关知识进行归纳总结，分为以下几个方面进行阐述。
一、绝对值的定义及性质绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值表示为|x|，|x|的值等于x 与0之间的距离，即|x|=x（x≥0），|x|=-x（x<0）。
绝对值的性质：1. 非负性：对于任意实数x，|x|≥0。
2. 同号性：如果实数a和b同号，则|a|=|b|。
3. 零性：只有当实数a等于0时，|a|=0。
4. 正负性：对于任意非零实数a，有|-a|=|a|。
二、绝对值的运算1. 绝对值的加减法：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|和|a-b|≥||a|-|b||。
2. 绝对值的乘法：对于任意实数a和b，有|ab|=|a|·|b|。
三、绝对值的应用1. 解绝对值不等式：对于绝对值不等式|ax+b|<c（a≠0，b、c为已知实数），可分解为一个以x为中心的两个线性不等式，并通过解这两个线性不等式得到解集。
2. 求绝对值平均：对于给定的一组数x₁、x₂、⋯、xₙ，求它们的绝对值平均等于求这组数的绝对值之和除以数的个数。
3. 应用于坐标系：在二维坐标系中，点(x, y)到原点的距离等于√(x²+y²)，可以看作是x和y的绝对值之和。
四、绝对值的常见错误1. 错误地交换了绝对值与幂运算的顺序，导致运算结果错误。
2. 误认为|x+y|=|x|+|y|，在绝对值的加法运算中，需要注意其结果不一定等于各绝对值之和。
3. 忽略了绝对值的非负性，得出错误的结论。
绝对值作为数学中常见的概念之一，在初中阶段的数学学习中扮演着重要的角色。
通过深入理解绝对值的定义、性质和运算规律，掌握解决绝对值相关问题的方法和技巧，能够帮助学生在数学学习和解题过程中更加灵活和高效。
绝对值ppt课件
contents
目录
• 绝对值的概念 • 绝对值的运算 • 绝对值的应用 • 绝对值的拓展知识 • 总结与回顾
01
绝对值的概念
绝对值的定义
01
绝对值是一个数到原点的距离， 用数学符号表示为：a的绝对值（ a ≧ 0）和│a│（a < 0）。
02
一个正数的绝对值是它本身；一 个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0。
绝对值在数学中的应用
在数学中，绝对值是一个非常重 要的概念，它可以用来表示实数
的距离。
绝对值的性质包括：非负性、传 递性、三角不等式等。
绝对值的应用还包括比较大小、 解方程等。
绝对值在物理中的应用
在物理学中，绝对值的概念可 以用来描述粒子的位置、速度 等物理量。
绝对值的性质可以用来计算物 理量的大小和方向。
绝对值的除法
|a| / |b| = |a/b|，即绝对值的 除法等于两数绝对值的商。
应用案例分享
案例一
在数轴上，点A和点B分别表示-5 和2，求A和B之间的距离。利用 绝对值的加法，可以计算出AB之 间的距离为7。
案例二
在数轴上，点C表示-3，点D表示 5，求C和D之间的距离。利用绝 对值的减法，可以计算出CD之间 的距离为8。
绝对值与不等式的关系
通过绝对值，我们可以将不等式转化为等式，从而可以更容易地解 决不等式问题。
应用
在数学中，绝对值被广泛应用于解不等式和方程的问题。
05
总结与回顾
主要概念总结
绝对值的定义
绝对值是一个数到原点的 距离，用符号“|”表示。
绝对值的性质
正数的绝对值是它本身， 负数的绝对值是它的相反 数，0的绝对值是0。
高中数学绝对值不等式的解法学习资料
答案：
(, 2)U[2,) 3
三、例题讲解
例2、解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解1 ： 法 3|32x|5 3|2x3|5
||
2x 2x
3| 3|
3 5
2x532x3， 3或 25x33
-(x+1)-(x-1)≥3,解得 x 3 . 2
当-1＜x＜1时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.
当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.所以 x 3 . 2
综上,可知原不等式的解集为 {x|x3或x3}. 22
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法四：利用函数图象观察 这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，
②
①
-m
-n 0 n
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0)不等式
| ax b | n 等 价n 于 不a 等x ① 式b 组 m ,|或 ax m b a |②x mb n
题型4: ① |f(x)|<g(x)型不等式 |f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ② |f(x)|>g(x)型不等式 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
(完整版)绝对值知识点
绝对值（一）【预习引领】两辆汽车从同一处O 出发 ,分别向东、西方行驶10km,抵达 A 、B 两处．（ 1）它们的行驶路线同样吗？（ 2）它们行驶行程的远近同样吗？答 : （ 1）不同样； (2) 同样 .【重点梳理】知识点一 :绝对值的意义1. 绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 a ，读作： a 的绝对值 .例 1利用数轴求以下各数的绝对值.（ 1） 2， 1， 3.5；5（ 2）0； （3）5 ， 3.2， 21.3答:(1)2 =2; 1 = 1; 3.5 =3.5；5 5(2)0 =0;(3)5 =5;3.2 =3.2;21 =21. 3 32. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它自己；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0.例 2直接写出以下各数的绝对值 .6， 8， 3.9， 5，10，0，26 ， 8， 3.9， 5 10，2答 :6 =6,8 =8,3.9 =3.9,5 =5; 10 =10; 0 =0;226 =6, 8 =8, 3.9 =3.9,5 = 5 ; 10 =10; 0 =0;2 2小结： （ 1）对任一个有理数，绝对值只好为正数或 0，不行能为负数，即a0 .（ 2）两个互为相反数的绝对值，绝对值相等的两个数.（ 3）绝对值为正数的有理数有类，它们 ；绝对值为 0 的有理数是.答 :(2) 相等 , 相等或互为相反数 .(3) 两，正数与负数； 0；例 3判断以下说法哪些是正确的：（ 1）符号相反的数互为相反数；（ 2）符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数； （ 3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右； （ 4）不相等的两个数，其绝对值也不相等；（ 5）绝对值最小的有理数是 0． 答案：（ 2）（ 5）知识点二：绝对值的求法a,a 0a0, a 0 a,a 0例 4 求以下各数的绝对值：6 1， 1 3 ，3，2．2 2 5答案： 611； 13 3 1 ；3 3； 2 =2;= 6 2 2 25 52例5 填空：（ 1）绝对值小于 4 的正整数有 .（ 2）绝对值大于 2 而小于 5 的全部整数是（ 3）假如一个数的绝对值是13，那么这个数是.．（ 4）若xx ，则x 为数 .答案：（ 1） 3，2， 1；（ 2）± 3，± 4；（ 3）± 13；（ 4）负数与 0； 例 6 计算以下各式：⑴ 52⑵ 0.77 234答：（ 1）原式 =5－ 2=3；（ 2）原式 =0.77 ÷ 2 3=0.28 ；4☆例 8 ⑴若 a b 0 ，则 a，b .⑵若 x 73 y 12 0，则 x， y.答案：（ 1） 0，0；（ 2） 7，4；【讲堂演练】1.5 1的绝对值是 ， 0 的绝对值是，绝对值为 2 的数是.2 1.5 1， 0，± 2；2.2, 10 = ,1.5 =2 =,2.5=.， 10， 2，－ 2.5；3. ⑴一个数的绝对值和相反数都是它自己，这个数是；⑵绝对值小于 3.2 的整数有；⑶ 21的相反数是，绝对值是；3⑷ 使 x 5 建立的 x 的值是. 3.（ 1） 0；（ 2） 3， 2， 1， 0，－ 1，－ 2，－ 3；（ 3） 4. 在数轴上到数 3 所表示的点距离为 5 的点所表示的数是. 4.8 或－ 2；5. 绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点之间的距离为 6，则这两个数为.5．3 与－ 3；6. 若 m0 ，则 m m = ； 若 m 0 ，则 m m =；若 m0 ，则 m m =.6． 2m ， 0， 0；37. （ 2011 北京市， 1， 4 的绝对值是 ( )分）4A ．4 B ．4C ．3 D ．333 447.D8．（ 2011 浙江丽水， 4，3 分）有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450 克 )为基数，超出的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，此中表示实质克数 最靠近标准克数的是（）A ．＋ 2B ．－ 3C ．＋ 3D ．＋48.Aa 1 ，则 a （）9. 若aA ．是正数或负数；B ．是正数；C ．是有理数；D ．是正整数 .9． B10. 计算以下各题 :⑴21 6;⑵2008 2008 .10．（ 1）原式 =21+6=27；（ 2）原式 =2008－2008=0；☆11．若x7 3 y 120 ，求x、 y 的值.11．由题意可知， x－ 7=0，3y－ 12=0，解得： x=7； y=4；12. 某摩托车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取 6 件进行比较，比标准直径长的毫米记作正数，比标准直径短的毫米记作负数，检查记录以下表：123456+0.4－+0.10－－0.20.20.3（1）找出哪个些部件的质量相对好一些，用绝对值的知识加以解说.（2）若规定与标准直径相差不超出0.2mm 为合格品，则 6 件产品中有几件是不合格品？12．（ 1）第 4 个；绝对值越小，说明此配件与标准配件越靠近；（2）第 1 个与第 5 个不合格，所以共有 2 件是不合格的产品；1.（2011浙江省舟山，1，3分）－【课后清点】6 的绝对值是（）A .－ 6B . 6 C.1D.－1 661． B2.一个有理数的相反数与自己的绝对值的和（）A ．可能是负数；C．必为非负数；B．必是正数；D．必为 0.2． C3．式子 3 等于（）A ．3B． 3 C.3 D ．33． C4. 某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步状况记录以下：（向东为正，单位：米）1000，－ 1200， 1100，－ 800， 1400，则该运动员跑步的总行程为（）A ．1500 米B． 5500 米C ． 4500 米D ． 3700 米4． B5．绝对值等于自己的数是（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数5． C6．以下结论中，正确的选项是 （）A ． a 必定是正数B ．a 和 a 必定不相等 C ． a 和 a 互为相反数D ．a 和 a 必定相等 6． C7．代数式 x3 3的最小值是（）A ． 0B ． 2C.3D ． 57． C8．以下结论中，正确的选项是（）A ． a 0B ．若 ab ，则 a bC. aa D ．若 a 、b 互为相反数，则1b8． B9. 若 a a ，则 a 为 数； 若 a a ，则 a 为 数 .9．非负数；非正数；10. 当 a4 时， a4 =.10． 4－ a ；11. （ 2011 湖南常德， 1， 3 分） 2 ______. 11． 212. 若 x5 3 ，则 x = ； 若m4 ，则 m =；12． 8 或 2；4 或－ 4；13．若 a 1 ，则 a 1 =， 2a 1 = ；若 a1 ，则 a 1 = ，a 1 = .13． a － 1， 2a － 1； 1－ a ， a － 1； 14. 若 a1b 10 ，则 a b = .14． 0； 15. 计算：⑴2293⑵3 174815．（ 1）原式 = 229=24；（ 2）原式 =3 17= 2 ；34 8 516. 已知 x 30 ， y4 ，求 x 3 y .16． x 3 y =30－ 3× 4=18；17. 已知 a2 b3 c4 0 ，求 a2b 3c 的值 .17．由题意可得， a=2， b=3， c=4，则 a 2b 3c =2+2× 3+3× 4=20；18. 正式的足球竞赛， 对所用足球的质量有严格规定，下边是 6 个足球的检测结果 . （用正数 记超出规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）－25， +10，－ 20， +30， +15，－ 40请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识说明原由 .18．第二个。
绝对值专题 讲义
【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥绝对值专题讲义【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
人教版七年级数学上《绝对值》知识全解
《绝对值》知识全解
课标要求
理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值，理解绝对值的几何定义和代数定义。
知识结构
1．绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，它是一个数的几何特征，利用一个数的绝对值的几何意义可以直观地将数和点联系起来．更有利于研究它的性质．
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
3．任给一个有理数，求它的绝对值．
内容解析
教材首先通过实例提出决定一个数不仅是符号，还有它到原点的距离---绝对值，然后利用数轴提出绝对值的几何意义——数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，在数轴上研究不同类别的数的绝对值，归纳总结出绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．从而使学生学会求一个数的绝对值，了解有理数的绝对值的特征．
重点难点
本节的重点是正确理解绝对值的定义，能求一个数的绝对值．难点是正确理解一个数的绝对值的几何定义和代数定义．
教法导引
利用数轴引导学生观察绝对值的几何意义，总结绝对值的代数意义，通过数形结合，启发、诱导、讨论的方法学会找一个数的绝对值．
学法建议
联系生活实际，利用类推，归纳，相互讨论的方式来学习绝对值．。
绝对值专题讲义
绝对值专题讲义(总8页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4绝对值专题讲义【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
《绝对值》 讲义
《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
绝对值指的是一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“｜｜”来表示。
例如，数字 5 的绝对值是 5，记作|5| ＝ 5；数字－5 的绝对值也是5，记作|－5| ＝ 5。
从几何意义上来说，绝对值就是一个数到原点 0 的距离。
距离是没有方向的，所以绝对值一定是非负的。
二、绝对值的性质1、非负性绝对值的结果总是非负的，即对于任意实数 a，有|a| ≥ 0。
2、互为相反数的两个数的绝对值相等如果 a 和 a 互为相反数，那么|a| ＝｜a|。
3、若|a| ＝ a，则a ≥ 0；若|a| ＝ a，则a ≤ 0这意味着当绝对值符号内的数为非负数时，去掉绝对值符号后，数不变；当绝对值符号内的数为负数时，去掉绝对值符号后，要在数前加上负号。
三、绝对值的计算1、正数的绝对值是它本身例如，｜7| ＝ 72、负数的绝对值是它的相反数例如，｜－8| ＝ 83、 0 的绝对值是 0即|0| ＝ 04、多个数的运算当计算包含绝对值的式子时，需要先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行运算。
例如，计算|3 5|，先计算 3 5 ＝－2，因为－2 是负数，所以|3 5| ＝｜－2| ＝ 2。
四、绝对值方程1、形如｜x| ＝ a （a ≥ 0）的方程当a ≥ 0 时，方程|x| ＝ a 的解为 x ＝ ±a。
例如，｜x| ＝ 5，那么 x ＝ 5 或 x ＝－5。
2、形如｜ax ＋ b| ＝ c （c ≥ 0）的方程先将方程变形为 ax ＋ b ＝ ±c，然后分别解这两个方程。
例如，｜2x 1| ＝ 3，可变形为 2x 1 ＝ 3 或 2x 1 ＝－3，分别解得x ＝ 2 或 x ＝－1。
五、绝对值不等式1、形如｜x| ＜ a （a ＞ 0）的不等式其解集为 a ＜ x ＜ a。
例如，｜x| ＜ 3，解集为－3 ＜ x ＜ 3。
2、形如｜x| ＞ a （a ＞ 0）的不等式其解集为 x ＜ a 或 x ＞ a。
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( 2 ) 求出（1）中各数的绝对值， 并比较它们的大小
（ 3 ）你发现了什么？
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解：（1）
- 5 ＜ - 3 ＜- 1.5 ＜ - 1 （2）| -1.5 | = 1.5 ； | - 3 | =3；
| -1 | = 1 ； | - 5 | = 5．
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定义
绝对值的几何定义：
绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点 的距离叫做这个数的绝对值。
∵ －5到原点的距离是5， ∴ －5的绝对值是5，记|－5|=5；
又：5的绝对值是5，记做|5|=5。
注意：①与原点的关系 ②是一个距离的概念
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应用深化知识
例1：求下列各数的绝对值：
（－９，７，０， 0.2）
3．指出－2.4， ，－1.7，1各是什么数的相反数？
（ 2.4，1.7，－１）
4． a 的相反数是什么？
-a
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a 的相反数是-a ， a可表示任意数——正数、 负数、0，求任意一个数的相反数就可以在 这个数前加一个“－”号．
提出问题：若把 a分别换成＋5，－7，0时，这些 数的相反数怎样表示？
你可以得到什么结论？
互为相反数的两个数的绝对值相等。
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小结：
1.绝对值的几何定义： 2.绝对值的代数定义：
3.互为相反数的两个数的绝对值的关系
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小结：
1.相反数的定义： 2.a的相反数是： 3.互为相反数的两个点有什么特点？
4.绝对值的几何定义：
5.绝对值的代数定义：
6.互为相反数的两个数的绝对值的关系
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（1）一个数的绝对值一定是正数。 （ ） （2）一个数的绝对值不可能是负数。 （ ）
（3）互为相反数的两个数，它们的绝对值
一定相等。
（）
（4）绝对值是同一个正数的数有两个，且
它们是互为相反数。
（）
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做一做
( 1 )在数轴上表示下列各数，并 比较它们的大小：
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招聘会
正数公司和负数公司招聘职员，要求是：经 过绝对值符号“︱︱”这扇大门后，结果为正 就是正数公司职员，结果为负就是负数公司职 员。
负数公司能招到职员吗？ 0能找到工作吗？
总结：任何一个数的绝对值一定是非负数。
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想一想： 2和-2是什么关系，绝对值有什么关系？ 3和-3呢？1.5和-1.5呢？
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3
具备什么样特点的两个数才互为相 反数具呢备什？么（样小特组点的讨两论个）数才互为
相反数呢？
像+2与-2，+5与-5这样只有符号不同两 个数叫做互为相反数
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4
？？？
0的相反数是？？
0的相反数是0。
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5
2．分别说出9，－7，0，－0.2的相反数．
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创设问题情境
B
A
1、两只小狗从同一点Ｏ出发，在一条笔直的街上跑，一 只向右跑3米到达Ａ点，另一只向左跑3米到达Ｂ点。若规 定向右为正，则Ａ处记做_______，Ｂ处记做_______。 ２、这两只小狗在跑的过程中，有没有共同的地方？在数 轴上的Ａ、Ｂ两点又有什么特征？
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在数轴上找到－5，5，-
3 4
3 ,4
,0
M
GH
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
P
56
-5在数轴上对应的点到原点的距离为（ ）
5在数轴上对应的点到原点的距离为 （ ）
33 -4 和 4 呢？ （ ）
0到原点的距离是（ ）
小 结：
在实际生活中，有时存在这样的情况，无需考虑数的正负性质，比 如：在计算小狗所跑的路程中，与小狗跑的方向无关，这时所走的 路程只需用正数，这样就引进了一个新的概念———绝对值。
1000
2.05
绝对值
2.05
1000
7 9
0
7 9
1000
2.05
思考：通过刚才的练习，你有什么发现？
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绝对值的代数定义：
1、一个正数的绝对值是 它本身 2、一个负数的绝对值是 它的相反数 3、零的绝对值是 零
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正数的绝对值是它本身；（涛声依旧） 负数的绝对值是它的相反数；（物是人非） 0的绝对值是0。
a = +5， -a = -（+5）=-5
a = -7， - a = -（-7）=7
a = 0， -a = 0
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7
7 2x 1 4x
典型例题
４ －４ 例题1 －４是____的相反数， 4____．______
．
－１００
(2) 100是_____的相反数，100_１__０_０__．___
-
5 6
|
=
5 6
，|- 2.7| =2.7，
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1
请两位同学背靠背，一人向前走5步，一 人向后走5步。 如果向前为正，向前走5步，向后走5步， 分别记作什么？
向前5步记作+5，向后5步记作-5。 +5与-5就叫做互为相反数。
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2
你能在数轴上找两个点，使它们所代表的 数互为相反数吗？
哈哈！ 我来了。
我的相反 数在哪？
1.6, 8, 0, 1,01.0
5
解： |1.6|1.6
| 8 | 8
55
| 0| 0
| 10|10
| 10|10
若一个数是a，则它的绝对值记作： | a |
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小小测试：
正数 0
负数
2.05
1000
7 9
0
7 -9
-1000
-2.05
相反数
－2.05
－1000
－
7 ＜5
（3）由以上知：两个负数比较大 小，绝对值大的反而小
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例2. 比较下列每组数的大小
（1）
-1和
–
5；
（2）-
5 6
和- 2.7
解法一（利用绝对值比较两个负数的大小）
解: (1)| -1| = 1，| -5 | = 5 ，1﹤5，
所以 - 1＞ - 5
（2）因为|
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想一想
数轴上表示相反数的两个点和原点 有什么关系？
在数轴上表示相反数的两 个点位于原点的 两侧 ,且与原 点的距离 相等.
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练习．数轴上到原点距离相等的点表示的数的关
B 系（
）
A、互为倒数 C、相等
B、互为相反数 D、没有关系
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小结：
1.相反数的定义： 2.a的相反数是： 3.互为相反数的两个点有什么特点？