2六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十讲 最大公约数与最小公倍数(无答案)全国通用
小学六年级寻找最大公约数和最小公倍数
小学六年级寻找最大公约数和最小公倍数在小学数学的学习中，最大公约数和最小公倍数是比较重要的概念。
学好这两个概念对于解决数学题目和日常生活中的实际问题都有帮助。
本文将介绍如何寻找最大公约数和最小公倍数，并通过一些实例来加深理解。
一、最大公约数最大公约数，又称为最大公因数，简称为gcd（Greatest Common Divisor）。
最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
寻找最大公约数有几种常见的方法，包括质因数分解法、短除法和辗转相除法。
1.1 质因数分解法质因数分解法是一种通过将一个数分解成质数的乘积的形式来找到最大公约数的方法。
具体步骤如下：（1）将两个或多个数都进行质因数分解，写成乘积形式；（2）找出所有数中共有的质因数；（3）将这些质因数相乘，即得到最大公约数。
举例说明，假设我们要找出48和60的最大公约数：48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 360 = 2 * 2 * 3 * 5共有的质因数为2和3，因此最大公约数为2 * 2 * 3 = 12。
1.2 短除法短除法是一种通过反复进行除法运算，找到最大公约数的方法。
具体步骤如下：（1）将两个或多个数中较大的数除以较小的数，得到商和余数；（2）将上一步的除数除以余数，再得到商和余数；（3）重复上述步骤，直到余数为0为止。
举例说明，假设我们要找出48和60的最大公约数：60 ÷ 48 = 1 余 1248 ÷ 12 = 4 余 0余数为0时，最后一次的除数12即为最大公约数。
1.3 辗转相除法辗转相除法也称为欧几里德算法，是一种通过反复用较大数除以较小数，再将所得的余数作为除数，被除数作为除数，继续进行除法运算，直到余数为0为止，从而找到最大公约数的方法。
举例说明，假设我们要找出48和60的最大公约数：60 ÷ 48 = 1 余 1248 ÷ 12 = 4 余 0余数为0时，最后一次的除数12即为最大公约数。
小学最大公约数与最小公倍数
小学最大公约数与最小公倍数在小学数学中，最大公约数和最小公倍数是基础但重要的概念。
它们在解决数学问题、简化分数、约分等方面都起到了重要作用。
本文将深入讨论小学阶段学生需要了解和应用的最大公约数和最小公倍数的概念、求法以及实际应用。
一、最大公约数（Greatest Common Divisor）最大公约数指的是两个或多个数中能够同时整除这些数的最大的正整数。
求解最大公约数常用的方法有因式分解法、列举法和辗转相除法。
1. 因式分解法使用因式分解法求解最大公约数时，我们将每个数进行因式分解，然后找出它们各自的公因子，最后再将这些公因子相乘即可得到最大公约数。
例如，对于数26和39，我们可以进行因式分解得到：26 = 2 × 1339 = 3 × 13由此可见，26和39的最大公约数为13。
2. 列举法列举法是一种直观简单的方法，它通过列举数的所有因数，找出两个数的公因数，再从中选取最大的那个数作为最大公约数。
以12和16为例，我们列举出它们的因数如下：12的因数有：1、2、3、4、6、1216的因数有：1、2、4、8、16可以看到，12和16的公因数有1、2、4，则最大公约数为4。
3. 辗转相除法辗转相除法，也叫欧几里得算法，通过一系列的除法运算，最终将两个数的余数为零的一步的除数作为最大公约数。
以56和32为例，我们可以使用辗转相除法求解最大公约数：56 ÷ 32 = 1 (24)32 ÷ 24 = 1 (8)24 ÷ 8 = 3此时余数为零，所以最大公约数为8。
二、最小公倍数（Least Common Multiple）最小公倍数是指两个或多个数中能够同时被这些数整除的最小的正整数。
求解最小公倍数常用的方法有因式分解法、列举法和倍数相乘法。
1. 因式分解法使用因式分解法求解最小公倍数时，我们将每个数进行因式分解，然后找出它们各自的所有因子，最后再将这些因子相乘即可得到最小公倍数。
小学数学中的最大公约数与最小公倍数
小学数学中的最大公约数与最小公倍数在小学数学学习中，最大公约数和最小公倍数是重要的概念。
它们帮助我们解决了很多数学问题，同时也有着实际应用价值。
本文将详细介绍最大公约数和最小公倍数，包括定义、求解方法以及应用。
一、最大公约数最大公约数指的是两个或更多个数能够同时整除的最大正整数。
最大公约数通常用字母GCD（Greatest Common Divisor）表示，也可以用符号“（a，b）”来表示。
求解最大公约数的方法有多种，常见的有质因数分解法和辗转相除法。
质因数分解法是将各个数分解成质数的乘积，然后找出所有数中共有的质因数，并将它们相乘得到的积即为最大公约数。
例如，要求解25和35的最大公约数，首先将它们分解为质因数的乘积：25 = 5 × 5，35 = 5 × 7。
可以看出，它们的最大公约数是5。
辗转相除法是另一种常用的方法。
首先用较大的数除以较小的数，然后用余数替代较大的数，继续进行相除，直到余数为0。
此时，除数就是最大公约数。
例如，要求解12和18的最大公约数，可以按照辗转相除法进行计算：18 ÷ 12 = 1 余 6，12 ÷ 6 = 2 余 0。
因此，12和18的最大公约数是6。
最大公约数的应用非常广泛。
在分数的化简、比例的调整以及进一步求解数学问题时，常需要用到最大公约数。
二、最小公倍数最小公倍数指的是两个或更多个数的公倍数中最小的一个数。
最小公倍数通常用字母LCM（Least Common Multiple）表示，也可以用符号“[a，b]”来表示。
求解最小公倍数的方法有多种，常见的有质因数分解法和公式法。
质因数分解法是将各个数分解成质数的乘积，然后找出所有数中包含的所有质因数，并将它们的幂次取最大值，最后将所有幂次相乘得到的积即为最小公倍数。
例如，要求解8和12的最小公倍数，首先将它们分解为质因数的乘积：8 = 2 × 2 × 2，12 = 2 × 2 × 3。
数学人教版新版六年级下册 《最小公倍数与最大公约数》教案
数学人教版新版六年级下册《最小公倍
数与最大公约数》教案
教学目标
* 了解最小公倍数和最大公约数的概念和基本性质
* 能够计算一组数的最小公倍数和最大公约数
* 理解最小公倍数和最大公约数在实际生活中的应用
教学准备
* 数学教材：《数学人教版新版六年级下册》
* 教具：计算器、黑板、粉笔、练册
教学内容和步骤
1. 引入：通过一个简单的问题引起学生的兴趣，如“小明有20个苹果，小红有32个苹果，他们能否平均分苹果？”引导学生思考苹果数量的公倍数。
2. 研究最小公倍数：以两个数为例，教学最小公倍数的概念和计算方法，并通过一些例题让学生练计算最小公倍数。
3. 研究最大公约数：以两个数为例，教学最大公约数的概念和计算方法，并通过一些例题让学生练计算最大公约数。
4. 进一步练：给学生一些较为复杂的题目，让他们通过计算最
小公倍数和最大公约数解决问题。
5. 拓展应用：引导学生思考最小公倍数和最大公约数在实际生
活中的应用，如时间、长度等方面的问题。
6. 总结归纳：与学生一起总结最小公倍数和最大公约数的概念、计算方法和应用，并提醒学生巩固练。
教学评价
1. 在课堂上观察学生的活动和回答问题的情况，评价他们对最
小公倍数和最大公约数的理解和运用能力。
2. 布置练作业，检查学生对最小公倍数和最大公约数的掌握情况。
3. 反馈评价：对学生的作业进行评价，向学生反馈他们的优点
和不足，并提供指导方法和建议。
参考资料
1. 《数学人教版新版六年级下册》教材
2. 配套练习册。
掌握小学数学中的最大公约数与最小公倍数
掌握小学数学中的最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数是小学数学中的重要知识点，对于学生在学习数学的过程中起着至关重要的作用。
本文将针对小学生掌握最大公约数与最小公倍数的方法和应用进行论述。
一、什么是最大公约数与最小公倍数最大公约数，简称最大公约数，是指两个或多个数字中能够同时整除的最大正整数。
最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。
二、最大公约数的求解方法1. 因数分解法我们可以将两个数进行因数分解，找出公共的因子，然后将这些公共的因子相乘即可得到最大公约数。
例如，对于数字24和36，我们可以将它们分解为2^3 * 3 和 2^2 * 3^2，其中共同的因子是2和3，所以最大公约数为2 * 3 = 6。
2. 辗转相除法辗转相除法是一种简单且常用的求解最大公约数的方法。
具体操作步骤如下：- 用较大的数除以较小的数，将得到的余数作为新的被除数，原来的被除数作为新的除数，重复此步骤直到余数为0。
- 当余数为0时，除数就是最大公约数。
例如，对于数字24和36，我们可以进行如下计算：36 ÷ 24 = 1 (12)24 ÷ 12 = 2 0因此，最大公约数为12。
三、最小公倍数的求解方法1. 公式法最小公倍数可以通过最大公约数求得。
根据最大公约数与最小公倍数的关系，可以得到最小公倍数等于两个数的乘积除以最大公约数。
例如，对于数字24和36，最大公约数为12，那么最小公倍数等于24* 36 / 12 = 72。
2. 直接列举法当两个数较小或者列举较为简单时，可以直接列举它们的倍数，并找出它们的共同倍数中最小的一个。
例如，对于数字6和8，我们可以列举它们的倍数：6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36, ...8的倍数：8, 16, 24, 32, 40, 48, ...可以看到，它们的共同倍数中最小的是24，因此最小公倍数为24。
四、最大公约数与最小公倍数的应用最大公约数与最小公倍数在小学数学中有诸多应用，下面分别进行介绍。
最大公约数与最小公倍数的计算
最大公约数与最小公倍数的计算最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）是数学中常见的概念，用于计算两个或多个数的共同特征。
在数论和代数学中，这两个概念扮演着重要的角色。
本文将介绍最大公约数与最小公倍数的概念，以及它们的计算方法。
一、最大公约数最大公约数，英文缩写为GCD（Greatest Common Divisor），指的是一组数中最大的能够同时整除这些数的正整数。
它具有以下性质：1. 两个数的最大公约数不会超过它们中较小的数。
即GCD(a, b) ≤ min(a, b)。
2. 若一个数能够同时整除两个数，则它必然也能够整除它们的最大公约数。
即若a % c = 0 且 b % c = 0，则GCD(a, b) % c = 0。
最大公约数的计算方法有多种，常见的有欧几里得算法（Euclidean Algorithm）。
欧几里得算法的原理是不断使用取余运算，直到余数为0为止，此时除数即为最大公约数。
例如，计算 72 和 48 的最大公约数：1. 用 72 除以 48，得到商为 1，余数为 24。
2. 用 48 除以 24，得到商为 2，余数为 0。
3. 余数为 0，因此最大公约数为 24。
二、最小公倍数最小公倍数，英文缩写为LCM（Least Common Multiple），指的是一组数中能够同时被这些数整除的最小正整数。
它具有以下性质：1. 两个数的最小公倍数不会小于它们中较大的数。
即LCM(a, b) ≥ max(a, b)。
2. 若一个数能够被两个数同时整除，则它必然也是它们的最小公倍数的因子。
即若c % a = 0 且 c % b = 0，则c % LCM(a, b) = 0。
最小公倍数的计算方法也有多种，其中一种简便方法是利用最大公约数的性质：1. 先计算最大公约数GCD(a, b)。
2. 使用公式 LCM(a, b) = (a* b) / GCD(a, b)，计算最小公倍数。
例如，计算 72 和 48 的最小公倍数：1. 首先计算最大公约数 GCD(72, 48) = 24。
小学奥林匹克数学竞赛辅导——最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数实际生活中，我们经常会碰到这样一些问题，把一张大长方形纸片平均裁成若干张小的长方形或正方形纸片而没有剩余，怎么办？这一类问题其实是最大公约数和最小公倍数在实际中的运用。
最大公约数和最小公倍数的知识在解决生活实际问题中经常用到，在数学竞赛中也占有一定的比重。
这一讲我们就来研究这个问题。
【例1】一块长96厘米，宽84厘米的铁皮，根据需要且不能浪费边角料，要剪出面积相等的最大的正方形铁皮，问：最多可以剪出这样的正方形铁皮多少块？［分析］根据题意，要求不浪费材料，并要剪成最大的正方形，可知剪出的正方形铁皮片的边长一定既是长方形铁皮片长的约数，又是这个长方形铁皮片宽的约数，也就是长方形铁皮片长和宽的公约数，因为要求最大的正方形块数，正方形的边长一定是长方形铁皮长和宽的最大公约数，进而就可求所剪正方形的块数了。
［解］解法一：（96、84）＝12所剪最大正方形面积是：12×12＝144（平方厘米）长方形铁皮的面积是：96×84＝8064（平方厘米）能剪出面积相等的最大正方形的块数是：8064÷144＝56（块）解法二：（96、84）＝12长里面有几个最大正方形的边长：96÷12＝8（个）宽里面有几个最大正方形的边长：84÷12＝7（个）8×7＝56（块）答：可剪出大小相等面积最大的正方形56块。
【例2】在一次庆祝活动中，某公司买来336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？［分析］苹果总数＝每份中苹果数×份数，因此，份数应是苹果总数的约数，同样份数也应该是桔子总数和梨总数的约数，所分礼物的份数一定是苹果、桔子、梨的总数的公约数。
即一定要是336、252、210的公约数。
题目求最多可以分多少份，就是求336、252、210的最大公约数。
［解］（336、252、210）＝42，所以这样的水果最多可以分成42份相同的礼品，并且在每份礼品中，苹果有：336÷42＝8（个）桔子有：252÷42＝6（个）梨有：210÷42＝5（个）［评析］这道题中，因为分成的是同样的礼物，所以份数是三个数量的最大公约数。
六年级数学下册 最大公约数和最小公倍数教案 北师大版 教案
最大公约数和最小公倍数教学目标：使学生进一步理解、掌握最大公约数和最小公倍数的意义，能正确地求几个数的最大公约数和最小公倍数。
教学过程：一、有关概念复习1、反应：〔1〕说说什么叫公约数、公倍数、最大公约数、最小公倍数和互质数？〔2〕说说倍数、公倍数和最小公倍数有什么区别，约数、公约数和最大公约数有什么区别？2、按要求写出两个互质的数。
（1）两个数都是质数；（2）两个数都是合数；（3）一个数是质数，一个数是合数。
二、有关技能的复习1、求18、24的最大公约数和最小公倍数，并比拟它们在计算时有什么区别和联系。
联系：都用短除法分解质因数来求得；区别：求最大公约数只要把所有的除数〔公有的质因数〕连乘；求最小公倍数要把所有的除数与最后的两个商〔各自独有的质因数〕连乘。
2、求18、24和30的最大公约数和最小公倍数，并说说用短除法求三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意什么？三、综合练习1、填空〔P102，1；并补充下面2题〕〔1〕甲乙两数的最大公约数是3，最小公倍数是90，如果甲数是18，那么乙数是〔〕；如果乙数是30，那么甲数是〔〕。
〔2〕三个不同质数的最小公倍数是273，这三个质数分别是〔〕、〔〕、〔〕。
2、补充选择：a，b都是自然数，且a÷b=6，那么a和b的最小公倍数是〔〕。
A、aB、bC、abD、a b3、求以下各组数的最大公约数和最小公倍数。
〔1〕48和72 〔2〕11和9 〔3〕14和4251和170 25和24 78和13 〔4〕42、63和105 〔5〕3、5和7 〔6〕14、7和42四、布置作业：《作业本》。
六年级下册数学教案-总复习———最大公约数和最小公倍数｜北师大版
六年级下册数学教案－总复习——最大公约数和最小公倍数 | 北师大版教学目标1. 知识与技能：使学生理解和掌握求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法。
2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等过程，培养学生解决问题的能力。
教学内容1. 最大公约数的概念：理解最大公约数的定义，掌握求两个数的最大公约数的方法。
2. 最小公倍数的概念：理解最小公倍数的定义，掌握求两个数的最小公倍数的方法。
3. 应用拓展：能将最大公约数和最小公倍数的知识应用到实际问题中。
教学重点与难点1. 重点：最大公约数和最小公倍数的求法。
2. 难点：理解最大公约数和最小公倍数的概念，并能将其应用到实际问题中。
教具与学具准备1. 教具：PPT、教学视频、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、计算器。
教学过程1. 导入：通过PPT展示生活中的实例，引入最大公约数和最小公倍数的概念。
2. 新授：讲解最大公约数和最小公倍数的定义，展示求法。
3. 练习：通过课堂练习，让学生独立完成求最大公约数和最小公倍数的题目。
板书设计1. 最大公约数和最小公倍数2. 内容：包括定义、求法、应用等。
作业设计1. 必做题：完成练习册上的相关题目。
2. 选做题：研究最大公约数和最小公倍数在实际生活中的应用。
课后反思本节课通过生动的实例导入，激发了学生的学习兴趣。
通过讲解、练习、讨论等环节，使学生掌握了最大公约数和最小公倍数的求法。
但在教学过程中，也发现部分学生对概念的理解还不够深入，需要在今后的教学中加强辅导。
总体来说，本节课达到了预期的教学效果。
本教案共2000字，符合您的要求。
如有需要，可以进一步丰富和调整。
重点细节：教学过程教学过程详细补充和说明1. 导入情境创设：利用PPT展示一些生活中的实例，如分配物品、安排时间等，让学生初步感受到最大公约数和最小公倍数的实际应用。
问题引导：提出一些与最大公约数和最小公倍数相关的问题，引导学生思考，如“如何将12个苹果和18个橘子平均分配给同学们？”。
小学数学知识归纳最大公约数和最小公倍数
小学数学知识归纳最大公约数和最小公倍数小学数学知识归纳：最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是小学数学中非常重要的概念。
它们在解决各种数学问题时都起着至关重要的作用。
本文将对最大公约数和最小公倍数进行详细的介绍与归纳。
一、最大公约数最大公约数是指两个或多个整数中共有的、最大的约数。
在小学数学中，我们通常使用因数分解的方法求最大公约数。
下面通过几个例子来说明。
例1：求24和36的最大公约数。
首先，我们分别对24和36进行因数分解：24 = 2^3 × 336 = 2^2 × 3^2然后，我们找出两个数的公共因子，并将其相乘：公共因子：2^2 × 3 = 12因此，24和36的最大公约数为12。
例2：求16和48的最大公约数。
同样地，我们先对16和48进行因数分解：16 = 2^448 = 2^4 × 3然后，我们找出两个数的公共因子，并将其相乘：公共因子：2^4 = 16所以，16和48的最大公约数为16。
通过以上的例子，我们可以得出求最大公约数的一般方法：将两个数进行因数分解，然后找出它们的公共因子，最后将这些公共因子相乘。
这样我们就能够得到最大公约数。
二、最小公倍数最小公倍数是指两个或多个数之间能够整除的、最小的数。
同样地，我们也可以使用因数分解的方法来求最小公倍数。
下面我们来看几个例子。
例3：求5和8的最小公倍数。
首先，我们分别对5和8进行因数分解：5 = 58 = 2^3然后，我们将两个数的各个因子相乘，并重复出现的因子只取最大次数：因子：2^3 × 5 = 40因此，5和8的最小公倍数为40。
例4：求9和12的最小公倍数。
同样地，我们先对9和12进行因数分解：9 = 3^212 = 2^2 × 3然后，我们将两个数的各个因子相乘，并重复出现的因子只取最大次数：因子：2^2 × 3^2 = 36所以，9和12的最小公倍数为36。
最大公约数和最小公倍数讲解
最大公约数和最小公倍数讲解嘿，朋友们！今天咱们来聊聊两个数学里的小伙伴儿——最大公约数和最小公倍数。
这两个家伙虽然听上去有点复杂，但其实跟我们生活中的许多事儿息息相关呢。
咱们一步步来解开它们的神秘面纱！1. 最大公约数（GCD）1.1 什么是最大公约数？大家可以把最大公约数想象成是一个超强的“分母”大侠。
它是能把两个或更多的数字“平分”的最大数字。
比如说，你有两个数字，15和25，最大公约数就是它们能被同时整除的最大数字。
举个例子，15和25的最大公约数是5，因为5是它们俩都能整除的最大数字。
1.2 如何求最大公约数？有两种方法可以找到最大公约数。
第一种方法是“列举法”：把两个数字的所有公因数列出来，然后找出最大的那个。
第二种方法就是“辗转相除法”，这招有点高级，但特别实用。
你把大数除以小数，得到的余数再用大数去除，以此类推，直到余数为0时，除数就是最大公约数了。
2. 最小公倍数（LCM）2.1 什么是最小公倍数？最小公倍数就像是一个超级万能的“倍数工厂”。
它是能同时被两个或更多的数字整除的最小数字。
简单来说，就是那些数字的共同倍数中最小的一个。
例如，6和8的最小公倍数是24，因为24是既能被6整除，也能被8整除的最小数字。
2.2 如何求最小公倍数？找最小公倍数的方法有点儿像“打擂台”。
第一招是“倍数列举法”：列出两个数字的倍数，然后找出第一个相同的那个，就是最小公倍数。
第二招是利用最大公约数来计算：最小公倍数等于两个数的乘积除以它们的最大公约数。
用这招的话，计算会简单很多！3. 实际应用3.1 生活中的应用说到这里，你可能会问，这些概念跟咱们的生活有什么关系呢？其实大有关系呢！比如，你要和朋友们一起安排一个聚会，大家的时间不一样，这时候找一个共同的日期就用得上最小公倍数。
如果你们要分享一些东西，找一个最公平的分法，那就要用到最大公约数了。
3.2 学习中的应用在学校，最大公约数和最小公倍数也是经常用到的知识点。
最大公约数和最小公倍数讲解
最大公约数和最小公倍数讲解最大公约数和最小公倍数，这是两个让人头疼的概念。
但是，别担心，我来帮你解决这个问题！我们来说说最大公约数。
最大公约数是什么呢？简单来说，就是两个数中最大的那个能被这两个数整除的数。
比如说，12和16的最大公约数就是4,因为4是12和16都能整除的最大数。
那么，最小公倍数又是什么呢？最小公倍数就是两个数中最小的那个能被这两个数整除的数。
还是上面的例子，12和16的最小公倍数就是48,因为48是12和16都能整除的最小数。
现在，你可能会问：“为什么要学最大公约数和最小公倍数呢？”这是因为这两个概念在生活中有很多应用。
比如说，你和你的朋友想一起做一个项目，但是你们的时间安排不一样。
这时候，你就需要找到一个能同时被你们两个人的时间整除的项目时间，这样才能保证大家都能参加。
这个时候，最大公约数就派上用场了。
最大公约数不仅仅局限于生活中的小问题。
在数学、物理、化学等领域，它也有着广泛的应用。
比如说，在研究原子结构的时候，科学家们就会用到最大公约数来计算原子之间的距离。
在研究基因组的时候，科学家们也会用到最大公约数来计算基因之间的相似度。
接下来，我们来说说最小公倍数。
最小公倍数虽然看起来有点复杂，但是其实也很好理解。
它就是两个数中最小的那个能被这两个数整除的数。
比如说，12和16的最小公倍数就是48,因为48是12和16都能整除的最小数。
那么，为什么要学最小公倍数呢？这是因为最小公倍数也有很多应用。
比如说，在生活中，我们经常会遇到这样的问题：我和我的朋友们想要一起去旅游，但是我们的预算不一样。
这时候，我们就需要找到一个既能让我们所有人都能接受的价格，又能让我们所有人都能玩得开心的项目。
这个时候，最小公倍数就派上用场了。
最小公倍数不仅仅局限于生活中的小问题。
在数学、物理、化学等领域，它也有着广泛的应用。
比如说，在研究化学反应的时候，科学家们就会用到最小公倍数来确定反应物的比例。
在研究几何图形的时候，科学家们也会用到最小公倍数来计算图形的周长和面积。
小学数学理解最大公约数和最小公倍数
小学数学理解最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是小学数学中非常重要的概念，它们在分数化简、约分、公式化简等应用中扮演着重要的角色。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、性质以及常见的求解方法，帮助小学生更好地理解和应用这两个概念。
一、最大公约数的定义和性质最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个数共有的约数中最大的一个数。
用符号“（a，b）”表示a和b的最大公约数。
(一) 最大公约数的定义和性质：1. 若a能整除b，则（a，b）= a；2. 若a不能整除b，则（a，b）=（b，a mod b）（这里mod表示取模运算）；3. 任意数a和0的最大公约数为a，即（a，0）= a；4. 两个数的最大公约数与它们的顺序无关，即（a，b）=（b，a）。
二、最小公倍数的定义和性质最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指在两个或多个数的公倍数中最小的一个数。
用符号“[a，b]”表示a和b的最小公倍数。
(二) 最小公倍数的定义和性质：1. 若a能整除b，则\[a,b]=b；2. 若a不能整除b，则\[a,b]=[a,b/a]×a；3. 两个数的最小公倍数与它们的顺序无关，即\[a,b]=[b,a]。
三、最大公约数和最小公倍数的求解方法（一）最大公约数的求解方法1. 因式分解法：将两个数分别进行因式分解，然后找出它们共有的因子，这些因子的乘积即为最大公约数。
例如：求（12，16）的最大公约数。
12 = 2×2×3；16 = 2×2×2×2；两个数的最大公约数为2×2=4。
2. 辗转相除法（欧几里得算法）：利用最大公约数的性质，将两个数依次相除取余，直到余数为0时的除数即为最大公约数。
例如：求（12，16）的最大公约数。
16 ÷ 12 = 1 余 4；12 ÷ 4 = 3 余 0；所以，最大公约数为4。
奥数最大公因数最小公倍数讲义及答案
奥数最⼤公因数最⼩公倍数讲义及答案数的整除（3）最⼤公因数、最⼩公倍数教室姓名学号【知识要点】1、⼏个数公有的因数，叫做这⼏个数的公因数；其中最⼤的⼀个叫做这⼏个数的最⼤公因数。
⾃然数a、b的最⼤公因数记作（a，b）。
2、⼏个数公有的倍数，叫做这⼏个数的公倍数；其中最⼩的⼀个叫做这⼏个数的最⼩公倍数。
⾃然数a、b的最⼩公倍数记作［a，b］。
3、两个⾃然数的最⼤公因数和最⼩公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最⼤公因数就等于a与b的最⼤公因数。
（3）a+b与b的最⼤公因数，等于a与b的最⼤公因数。
【典型例题】例1.甲数是24，甲、⼄两数的最⼩公倍数是168，最⼤公因数是4，求⼄数。
解：由性质（1）得到⼄数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘⽶，宽为42厘⽶的长⽅形铁⽪剪成边长是整厘⽶数，⾯积相等的正⽅形铁⽪，恰⽆剩余，问⾄少剪成多少块？解：把长⽅形铁⽪剪成边长是整厘⽶数，⾯积相等的正⽅形，则正⽅形的边长应是长⽅形的长和宽的公因数，⼜要求所剪正⽅形铁⽚块数最少，因此正⽅形边长是长⽅形长与宽的最⼤公因数。
（90，42）=6.⾄少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、⼄两个⾃然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的⼗位数字看错了，得乘积407，那么甲、⼄两数的乘积应是多少？解：473与407的最⼤公因数是11，⽽11是质数，所以⼄数是11，⼜473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲⼄两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有⼀种⾃然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种⾃然数中除1以外，最⼩数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最⼩是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最⼩公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最⼩数是：420+1=421。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十讲 最大公约数与最小公倍数
第十讲最大公约数与最小公倍数如果一个数同时是几个数的约数，那么我们就称它为这几个数的公约数.几个数的公约数中最大的一个，称为这几个数的最大公约数.如果一个数同时是几个数的倍数，那么我们就称它是这几个数的公倍数.几个数的公倍数中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数.求最大公约数和最小公倍数一般有以下几种方法.1．短除法：例 1 求 8，12，18 的最大公约数和最小公倍数.解：求最大公约数和最小公倍数的最常用的办法就是短除法.具体作法如下：8、12、18 的最大公约数为 2.8、12、18 的最小公倍数为2×2×3×2×3＝72我们习惯上用（8，12，18）表示，8，12，18 的最大公约数，即：（8，12，18）＝2 用［8，12，18］表示 8，12，18 的最小公倍数，即［8，12，18］＝72短除法的长处在于它可同时求出最大公约数和最小公倍数.在求三个以上数的最大公约数和最小公倍数时，尤其简便.2．分解质因数法：分解质因数是求最大公约数的最直接的方法.但往往被忽视.解：化简分数实际上就是求分子分母的最大公约数.如果用短除法，就会发现很难找出其公有的质因数.但很容易看出 6933 是3 的倍数，25421 是11 的倍数.实际上，只要将分子分母分解质因数，就很容易看到结果.6933＝3×231125421＝11×2311无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难.这时就需要用新的方法.3．辗转相除法：例 3 从一张长 2002 毫米、宽 847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸毫米.解：剪的过程如图所示第一、二次剪下 847×847 平方毫米的正方形.第三、四次剪下边长 308 毫米的正方形.第五次剪下边长 231 毫米的正方形.第六、七，八次剪下边长 77 毫米的正方形.以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法——辗转相除法. 以上过程可用算式表示如下：2002＝847×2＋308 847＝308×2＋231308＝231×1＋77231＝77×3由以上算式可以看出；这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直至余数为零.最后一个除数就是两数的最大公约数. 这是因为；两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数.拿这道题来说，2002 和847 的公约数，也就是847 与308 的公约数，也就是308 与231 的公约数，也就是 231 与77 的公约数.由于 231 是77 的倍数，所以它们的最大公约数就是 77，即2002 与847 的最大公约数.辗转相除法的竖式格式如下：最大公约数与最小公倍数的一个重要性质是：两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积.例4 求36953 与59570 的最大公约数.解法1：用辗转相除法（36963，59570）＝37解法 2：上面的方法计算量很大.能否简化运算呢？通过观察容易发现，3 6 9 6 3有36963＝3×3×410759570＝2×5×5957（36963、59570）＝37由此可见，求最大公约数的几种方法并非是截然分开的.还可把他们结合起来使用.例 5 下面两个算式中，得数较大的是哪一个？分析：如要算出得数，计算量很大.比较一下两个式子.括号内都是两个分子为1 的分数相加.如果能使括号外部分相同.那么括号内部分就比较好比较了.解：［30，40］＝120最大公约数与最小公倍数的性质，在解题中会经常遇到.解：光明区获奖人数占参赛学生总数的：中心区获奖人数占参赛学生总数的：朝阳区获奖人数占参赛学生总数的：所以参赛学生总数，应是 72，56，90 的倍数.［72，56，90］＝2520所以参赛学生总数是 2520 的倍数.由已知参赛学生共有 2000 多人，可知参赛人数就是 2520 人.设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了米.“最小公倍数”.但两数都是分数，它们的“最小公倍数”是什么意思？如何求呢？求两分数分子的最小公倍数.［36，99］＝396两分数的“最小公倍数”规定为化为同分母后，以分子的最小公倍数作为分子，相同分母作分母的分数.所以狐狸跳 11 次掉进陷井.再来看看黄鼠狼.［99，22］＝198所以黄鼠狼比狐狸先掉进陷井.它掉进陷井时，狐狸跳了例8 一条公路由 A 经B 到C.已知 A、B 相距280 米，B、C 相距315 米.现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等.并在B 点及AB、BC 的中点上都要植一棵.那么两树间距离最多有多少米？由上面两个例题可以看出，最大公约数与最小公倍数的概念，如果必要也可以扩展到分数的范围.习题十1．求 35，98，112 的最大公约数与最小公倍数.2．求 403，527，713 的最小公倍数.3．求 83613 与 121824 的最大公约数.4．老师将301 个笔记本，215 支铅笔和86 块橡皮分给班里同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量相同.那么，每个同学各拿到多少？5．两个合数的积是 5766，它们的最大公约数是 31.那么，这两个数是多少？6．两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 504.如果其中一个数是 42，那么另一个数是多少？7．某校全体学生列队.不论他们人数相等地分成 2 队、3 队、4 队、5 队、6 队、7 队、8 队、9 队，都会多出 1 人.那么该校至少有多少名学生？。
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第十讲最大公约数与最小公倍数
如果一个数同时是几个数的约数，那么我们就称它为这几个数的公约数。
几个数的公约数中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。
如果一个数同时是几个数的倍数，那么我们就称它是这几个数的公倍数。
几个数的公倍数中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数。
求最大公约数和最小公倍数一般有以下几种方法。
1．短除法：
例 1 求 8，12，18 的最大公约数和最小公倍数。
解：求最大公约数和最小公倍数的最常用的办法就是短除法。
具体作法如下：
8、12、18 的最大公约数为 2。
8、12、18 的最小公倍数为2×2×3×2×3＝72
我们习惯上用（8，12，18）表示，8，12，18 的最大公约数，即：
（8，12，18）＝2 用［8，12，18］表示 8，12，18 的最小公倍数，即
［8，12，18］＝72
短除法的长处在于它可同时求出最大公约数和最小公倍数。
在求三个以上数的最大公约数和最小公倍数时，尤其简便。
2．分解质因数法：
分解质因数是求最大公约数的最直接的方法。
但往往被忽视。
解：化简分数实际上就是求分子分母的最大公约数。
如果用短除法，就会发现很难找出其公有的质因数。
但很容易看出 6933 是3 的倍数，25421 是11 的倍数。
实际上，只要将分子分母分解质因数，就很容易看到结果。
6933
＝3×2311
25421＝11×2311
无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难。
这时就需要用新的方法。
3．辗转相除法：
例 3 从一张长 2002 毫米、宽 847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形
，
如果剩
下
的部分
不是
正
方形
，那么
在剩下的纸
毫米。
解：剪的过程如图所示
第一、二次剪下 847×847 平方毫米的正方形。
第三、四次剪下边长 308 毫米的正方形。
第五次剪下边长 231 毫米的正方形。
第六、七，八次剪下边长 77 毫米的正方形。
以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法——辗转相除法。
以上过程可用算式表示如下：
2002＝847×2＋308 847＝308×2＋231
308＝231×1＋77
231＝77×3
由以上算式可以看出；这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直至余数为零。
最后一个除数就是两数的最大公约数。
这是因为；两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数。
拿这道题来说，2002 和847 的公约数，也就是847 与308 的公约数，也就是308 与
231 的公约数，也就是 231 与77 的公约数。
由于 231 是77 的倍数，所以它们的
最大公约数就是 77，即2002 与847 的最大公约数。
辗转
相除法的竖式格式如下：
最大公约数与最小公倍数的一个重要性质是：两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积。
例4 求36953 与59570 的最大公约数。
解法
1：用辗转相除法
（36963，59570）＝37
解法 2：上面的方法计算量很大。
能否简化运算呢？
通
过
观察容易发现，3 6 9 6 3
有36963＝3×3×4107
59570＝2×5×5957
（36963、59570）＝37
由此可见，求最大公约数的几种方法并非是截然分开的。
还可把他们结合起来
使用。
例 5 下面两个算式中，得数较大的是哪一个？
分析：如要算出得数，计算量很大。
比较一下两个式子。
括号内都是两个分子为1 的分数相加。
如果能使括号外部分相同。
那么括号内部分就比较好比较了。
解：［30，40］＝120
最大公约数与最小公倍数的性质，在解题中会经常遇到。
解：光明区获奖人数占参赛学生总数的：
中心区获奖人数占参赛学生总数的：
朝阳区获奖人数占参赛学生总数的：
所以参赛学生总数，应是 72，56，90 的倍数。
［72，56，90］＝2520
所以参赛学生总数是 2520 的倍数。
由已知参赛学生共有 2000 多人，可知参赛人数就是 2520 人。
设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，
另一个跳了米。
“最小公倍数”。
但两数都是分数，它们的“最小公倍数”是什么意思？如何求呢？
求两分数分子的最小公倍数。
［36，99］＝396
两分数的“最小公倍数”规定为化为同分母后，以分子的最小公倍数作为分子，相同分母作分母的分数。
所以狐狸跳 11 次掉进陷井。
再
来看看黄鼠狼。
［99，22］＝198
所以黄鼠狼比狐狸先掉进陷井。
它掉进陷井时，狐狸跳了
例8 一条公路由 A 经B 到C。
已知 A、B 相距280 米，B、C 相距315 米。
现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等。
并在B 点及AB、BC 的中点上都要植一棵。
那么两树间距离最多有多少米？
由上面两个例题可以看出，最大公约数与最小公倍数的概念，如果必要也可以
扩展到分数的范围。
习题十
1．求 35，98，112 的最大公约数与最小公倍数。
2．求 403，527，713 的最小公倍数。
3．求 83613 与 121824 的最大公约数。
4．老师将301 个笔记本，215 支铅笔和86 块橡皮分给班里同学，每个同学得到
的笔记本、铅笔和橡皮的数量相同。
那么，每个同学各拿到多少？
5．两个合数的积是 5766，它们的最大公约数是 31。
那么，这两个数是多少？
6．两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 504。
如果其中一个数是 42，那么另一个数是多少？
7．某校全体学生列队。
不论他们人数相等地分成 2 队、3 队、4 队、5 队、6 队、7 队、8 队、9 队，都会多出1 人。
那么该校至少有多少名学生？。