大学物理讲稿(第12章波动学基础)第六节

§12.7 多普勒效应

一、机械波的多普勒效应

当波源和观察者都相对于介质静止时,观察者所观测到的波的频率与波源的振动频率一致.当波源和观察者之一,或两者以不同速度同时相对于介质运动时,观察者所观测到的波的频率将高于或低于波源的振动频率,这种现象称为多普勒效应.多普勒效应在我们日常生活中经常可以遇到.例如,当火车由远处开来时,我们所听到的汽笛声高而尖,当火车远去时汽笛声又变得低沉了.下面我们就来分析波源和观察者都相对于介质运动时,发生在两者连线上的多普勒效应.

观察者所观测到的波的频率,取决于观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目,或者说取决于单位时间内通过观察者的完整波的数目,即

λ=νu 式中u 是波在该介质中的传播速率,λ是波长.

现在假设波源相对于介质静止,观察者以速率V 0向着波源运动.这时观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目要比它静止时多.在单位时间内他除了观察到由于波以速率u 传播而通过他的 u/λ个波以外,还观测到由于他自身以速率V 0运动而通过他的V 0 /λ个波.所以观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目为

ν+=ν+=λ+λ=νu

V u u V u V u 000/' (12.47) 显然,当观察者以速率V 0离开静止的波源运动时,在单位时间内所观测到的完整波的数目要比它静止时少V 0 /λ.因此,他所观测到的完整波的数目为

ν-=νu

V u 0' (12.48) 总之,当波源相对于介质静止、观察者在介质中以速率V 0运动时,观察者所接收到的波的频率可表示为

ν±=νu

V u 0' (12.49) 式中正号对应于观察者向着波源运动,负号对应于

观察者离开波源运动.

现在假设观察者相对于介质静止,而波源以速

率 V S 向着观察者运动.这时在波源的运动方向上,

向着观察者一侧波长缩短了,如图12.18所示.图中

O 表示观察者,S 表示波源.在向着观察者一侧,波长比波源静止时缩短了V S /v ;在背离观察者一侧,波长比波源静止时伸长了V S /v .所以到达观察者处的波长不再是λ= u / v ,而是λ' =（u / v ）-（V S / v ）.这样,观察者所观测到的波的频率为

ν-=ν-=λ=ν)

(/)(''s s V u u V u u u (12.50) 显然,当波源以速率V S 离开观察者运动时,观察者所观测到的波的频率应为 ν+=ν)

('s V u u (12.51) 总之,当观察者相对于介质静止,而波源在介质中以速率V S 运动时,观察者所观测到的波的频率可以表示为

(12.52) 式中负号对应于波源向着观察者运动,正号对应于波源离开观察者运动.

把以上假设的两种情况综合起来,观察者以速率V 0、波源以速率 Vs 同时相对于介质运动,观察者所观察到的频率可以表示为

(12.53) 式中的符号是这样选择的：分子取正号、分母取负号对应于波源和观察者沿其连线相向运动；分子取负号、分母取正号对应于波源和观察者沿其连线相背运动.值得注意的是,无论观察者运动还是波源运动,虽然都能引起观察者所观测到的波的频率的改变,但频率改变的原因却不同：在观察者运动的情况下,频率的改变是由于观察者观测到波数增加或减少；在波源运动的情况下,频率的改变是由于波长的缩短或伸长.

以上关于弹性波多普勒效应的频率改变公式,都是在波源和观察者的运动发生在沿两者连线的方向（即纵向）上推得的.如果运动方向不沿两者的连线,则在上述公式中的波源和观察者的速度是沿两者连线方向的速度分量,这是因为弹性波不存在横向多普勒效应.

二、电磁波的多普勒效应

多普勒效应是波动过程的共同特征,不仅机械波有多普勒效应,电磁波（包括光波）也有多普勒效应.因为电磁波的传播不依赖弹性介质,所以波源和观察者之间的相对运动速度决定了接收到的频率.电磁波以光速传播,在涉及相对运动时必须考虑相对论时空变换关系.计算证明,当波源和观察者以速度V 沿两者连线互相趋近时,观测频率'ν与波源频率v 的关系,可以根据相对性原理和光速不变原理推得

V

c V c -+ν=ν' (12.54) 式中 c 是光在真空中的传播速度.在上式中,若波源和观察者以相对速度 V 彼此远离,则V 为负值.电磁波还存在横向多普勒效应,即当波源和观察者的相对速度V 垂直于它们的连线时,观测频率可以表示为

221c V /'-ν=ν

多普勒效应现已在科学研究、空间技术、医疗诊断各方面都有着广泛的应用.分子、原子或离子由于热运动而使它们发射或吸收的光谱线频率范围变宽,这称为谱线多普勒增宽.谱线多普勒增宽的测定已经成为分析恒星大气、等离子体和受控热核聚变的物理状态的重要手段.根据多普效应制成的雷达系统可以十分准确而有效地跟踪运动目标（如车辆、舰船、导弹和人造卫星等）.利用超声波的多普勒效应可以对人体心脏的跳动以及其他内脏的活动进行检查,对血液流动情况进行测定等.

光的多普勒效应在天体物理学中有许多重要应用.例如用这种效应可以确定发光天体是向着、还是背离地球而运动,运动速率有多大.通过对多普勒效应所引起的天体光波波长偏移的测定,发现所有被进行这种测定的星系的光波波长都向长波方向偏移,这就是光谱线的多普勒红移,从而确定所有星系都在背离地球运动.这一结果成为宇宙演变的所谓“宇宙大爆炸”理论的基础.“宇宙大爆炸”理论认为,现在的宇宙是从大约150亿年以前发生的一次剧烈的爆发活动演变而来的,此爆发活动就称为“宇宙大爆炸”.“大爆炸”以其巨大的力量使宇宙中的物质彼此远离,它们之间的空间在不断增大,因而原来占据的空间在膨胀,也就是整个宇宙在膨胀,并且现在还在继续膨胀着.

例题12.4静止不动的超声波探测器能够发射出频率为100kHz 的超声波.有一车辆迎面驶来,探测器所接收的从车辆反射回来的超声波频率为112kHz.如果空气中的声速为340ms -1,试求车辆的行驶速度.

解：当超声波从探测器传向车辆时,车辆是观察者,根据式（12.48）,车辆接收到的超声波的频率为

ν+=νu

V u ' 式中 u 是空气中的声速,V 是车辆的行驶速度,v 是探测器发出的超声波的频率.在超声波被车辆反射回探测器的过程中,车辆变为波源,而探测器成为观察者.这时探测器所接收到的反射频率为

1-s m 219⋅=ν

+νν-ν=⇒-+ν=-ν=ν.'''''''u V V u V u V u u 作业(P128)：12.23