根轨迹的概念

根轨迹的概念特征方程<见传递函数）的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。我们先看下面的例子。设单位反馈系统的开环传递函数为：

当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上

怎样分布？

解系统有两个开环极点

系统的闭环传递函数为

系统的特征方程为

特征方程的根

可见特征根在s平面的位置与K有关。

K=0时，,与开环极点的位置相同。

0

渐增大，和也从开环极点的位置开始逐渐接近。K=1/4时，==-0.5，两个闭环极点重合。K>1/4时，和都成为共轭复数。b5E2RGbCAP

具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也

增加。图3.28给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹，称为根轨迹。根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。根据图3.28的根轨迹图，我们可以知道，在K<1/4时，系统的单位阶跃响应中含有两个指数项函数。在K=1/4时，两个指数项函数合二为一。在K1/4时，根轨迹进入复平面，说明系统的单位阶跃响应由单调变化转变为振荡。从图还可以看出，不论K怎样变化，系统始终是稳定的。因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。p1EanqFDPw

图3.28 特征根随K的变化情况

根轨迹的基本条件控制系统的特征方程为

(3.145>

式中为系统前向通道传递函数，H(s>为系统反馈通道传递函数。上式可改写为

(3.146>

将系统的开环传递函数写成零极点形式

(3.147>

式中K称为根轨迹放大系数或根轨迹增益。称为开环零点，

称为开环极点。将<3.147）式代入<3.146）式得DXDiTa9E3d

(3.148>

式<3.148）是一个复数方程，可以用复数的幅值和幅角分别表示为

(3.149>

, (3.150>

式中是矢量与实轴正方向的夹角，是矢量与实轴正方向的夹角。我们称式<3.149）为根轨迹的幅值条件，式<3.150）为根轨迹的幅角条件。凡在根轨迹上的点都是系统特征方程的根，都必须同时满足根轨迹的幅值条件和幅角条件。这两个条件统称为根轨迹的基本条件。RTCrpUDGiT

根轨迹的绘制规则根轨迹法是分析控制系统的一种图解方法，正确地绘制出根轨迹图是进行根轨迹分析的基础。根轨迹图的绘制，并不要求求解特征方

程，而是根据根轨迹的基本条件，导出一些简单实用的法则，画出根轨迹图形。绘制根轨迹的规则有：1.根轨迹的分支n阶系统的特征方程是关于s的n次代数方程，方程有n个解，所以系统的根轨迹有n条。也就是说，根轨迹有n条分支。

2.根轨迹的起点与终点将式<

3.148）写成5PCzVD7HxA

(3.151>

当K=0时，上式右边为无穷大，左边只有当s趋于时才会是无穷大。根轨迹的起点是K=0时的根轨迹，所以说根轨迹起始于开环极点。K趋于无穷大时的根轨迹，称为根轨迹的终点。从式<3.151）可以看出，时，方程右边为零，而方程左边只有在时才会为零。所以可以说根轨迹终止于开环零点。控制系统中，若n>m，m条根轨迹终止于开环零点，还有条根轨迹则终止于无穷远处。这时因为，当时，由于n>m,同样有jLBHrnAILg

3.根轨迹的渐近线终止于无穷远处的条根轨迹，在时，沿渐近线变化。渐近线确定了终止于无穷远处的根轨迹的变化方向。渐近线与实轴正方向的夹角为xHAQX74J0X

(3.152>

渐近线与实轴的交点为

(3.153>

式<3.153）可以表述为

<所有开环极点之和-所有开环零点之和）/n-m

4.根轨迹的对称性特征方程的根不是实数就是共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。在绘制根轨迹时，只需绘出上半平面的部分，根据对称性，下半平面的部分很容易绘制出来。LDAYtRyKfE

5.实轴上的根轨迹实轴上的开环零点和开环极点把整个实轴划分为若干线段。这些线段是不是根轨迹的一部分，可以根据幅角条件来判断。只有其右边开环零极点总数为奇数的线段，才能满足根轨迹的幅角条件。所以说，实轴上的根轨迹是那些右边开环零极点个数为奇数的线段。

6.根轨迹的分离点与会合点两支根轨迹从开环极点出发后相遇又分开的点称为根轨迹的分离点。两支根轨迹相遇后又分开各自趋向终点的点称为根轨迹的会合点。在分离点或会合点上，特征方程必有重根。分离点或会合点可用下面的方法求取。系统的特征方程为Zzz6ZB2Ltk

即

上式可简化为

式中A(s>和B(s>是不含可变参数K的表达式。解方程

(3.154>

即可求出分离点或会合点。但方程<3.154）的解不一定都是分离点或会合点。经检验，这些点若在根轨迹上，则为分离点或会合点。若不在根轨迹上，此时对应的K一般为负值，则不是分离点或会合点。绝大多数分离点或会合点都分布在实轴上。实轴以外的分离点或会合点则以共轭复数形式成对出现。

7.根轨迹的出射角与入射角系统存在复数开环零点和开环极点时，必须知道根轨迹从开环复数极点出射的方向或进入到开环零点的方向。出射角<入射角）是根轨迹在开环复数零极点上切线的方向角，可以根据根轨迹的幅角条件求出。根据式<3.150）可得dvzfvkwMI1

(3.155>

(3.156>

上两式中为出射角，为入射角，和是所有开环零极点<不包

括所求的零极点）指向所求开环复数极点或开环复数零点的矢量与实轴正方向的夹角。

8.根轨迹与虚轴的交点s平面的虚轴是控制系统稳定与不稳定的分界线。根轨迹通过虚