根轨迹的概念
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理第四章 根轨迹
① ∵有三个极点，根轨迹 有三条分支 ② ∵n=3, m=2 ∴有３－２＝１条根 轨迹→∞， ２条终止于开环零点。 ③在实轴上不同段上取试 验点
-4 -3 -2 -1
jω
×
o
×
o ×
σ
§４－２绘制根轨迹的基本规则
五．根轨迹的渐近线
１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
1 1
在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现 虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚 轴的交点。可以用 s j 代入特征方程求解， 或者利用劳斯判据确定。
§４－２绘制根轨迹的基本规则 续例４－２，将 s j 代入特征方程。
j ( j 1 )( j 2 ) K j ( j
§４－１根轨迹的基本概念 将开环传递函数写成下列标准的因子式
K1 G (S )H (S )
j 1 n
m
(s z
j
)
i 1
(s pi )
注意这个形式和求 稳态误差的式子不 同，需变换成这种 形式．
z j －开环零点．
p i －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成
K
1
j 1 n
s 2 .3
2 . 3 0 . 7 1 . 64 1 . 64 4 . 33
６．求根轨迹在
p3
的出射角
p 180 ( 135 90 26 . 6 ) 431 . 6
( 减去 360 ，为 71 . 6 ）
§４－３反馈控制系统的根轨迹分析 ７．求根轨迹与虚轴的交点．
K1=6
第四章课件根轨迹
经整理得： 2 s3 1s2 1 2s 0 8 0 s0.55
法则6 根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹 角，称为起始角，以 p i 表示；
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹 角，称为终止角，以 z i表示。
起始角、终止角可根据下式求出：
pi
(2k1)
m
j1 zj
法则3 根轨迹的渐近线：
当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交a 点为 的一组 a 渐近线趋向于无穷远处，且有
a
(2k1)
nm
n
m
pi zj
σa
i1
j1
nm
(k0,1,2,,nm1)
证明：根轨迹方程式可写成如下形式：
m
G(s)H(s) K*
(s zj )
设系统的开环传递函数为： G(s)H(s)K* P(s)
系统的特征方程式为：
Q(s)
D (s) 1 G (s)H (s) 1 K * P (s) Q (s) K * P (s) 0 Q (s)
对上式求导，得到： D ( s ) Q (s ) K * P ( s ) 0
由以上两式消去 K *得到
Q (s )P (s ) Q (s )P (s ) 0
点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 证明：
设s0为实轴上的某一测试点； j是各个开环零点到s0点向量的相角； i是各个开环极点到s0点向量的相角。
因为复数共轭零、极点到实轴上的任一点
的向量相角之和为2 ，因此在确定实轴上
的根轨迹时，可以不考虑它们的影响。
由图可见,s0点右边开 环实数零极点到s0点的向量 相角均为。
第四章 控制系统根轨迹分析法
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
根轨迹
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时， 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点） 征根（极点）在s平面上移动的轨迹
方法1:解 方法1:解方程法 1: 开环传递函数 ∗ K G( s) = s( s + 1)( s + 2)
1 1 1 1 = + + ∑ s− p s s+1 s+ 2 = 0 j =1 j
3
方法3:极值法 方法3:极值法 3:
dK ∗ =0 ds
K ∗ = − s 3 − 3s 2 − 2s dK ∗ = −3s 2 − 6s − 2 = 0 ds ds
m 1 1 =∑ ∑ d − p i =1 d − z j =1 j i n
重根法求解d 2 、重根法求解d
f ( s ) = A( s ) + K ∗ B( s ) = 0
A( s ) B′( s ) − A′( s ) B( s ) = 0
3、由极值点求解d 由极值点求解d dK ∗ = 0 坐标值由
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函 数为 m
G(s)H ( s) = K
*
jω
∏ (s − z )
i =1 n i j =1 j
∏ (s − p
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
K =0 −6
• K = 35, ω =1.35
线性系统的根轨迹法
法则7. 根轨迹与虚轴的交点
交点和临界根轨迹增益的求法：
解： 方法一
例8.
，试求根轨迹与虚轴的交点。
K*=0 w =0 舍去(根轨迹的起点)
与虚轴的交点:
闭环系统的特征方程为：
s=jw
劳斯表：
01
s2的辅助方程：
02
K* =30
03
当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。
04
等效的开环传递函数为：
参数根轨迹簇
二、附加开环零、极点的作用
试验点s1点
例1.设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。
解：
零极点分布如下：
p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2
实轴上根轨迹为：[-1，0]、[-3，-2]和 (- ∞ ，-4]
jw
-2
-1
1
2
-1
-2
s
.
.
.
.
.
.
.
.
三、闭环零极点与开环零极点的关系
反馈通路传函：
前向通路传函：
典型闭环系统结构图
KG*--前向通路根轨迹增益 KH*--反馈通路根轨迹增益
K*--开环系统根轨迹增益
1
闭环传递函数：
2
开环传递函数：
01
04
02
03
闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。 对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。
(5)用(s-s1)去除Q(s)，得到余数R2 ；
(6)计算s2 =s1-R1/R2 ；
(7)将s2 作为新的试探点重复步骤(4)~(6)。
例4.试用牛顿余数定理法确定例3的分离点。
根轨迹的基本概念
0.1
0.113
0.887
0.25
0.5
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
由于系统的闭环极点是连续变化的，将它们表示在s平面上就是该系统的根 轨迹，如图所示
图中箭头方向表示当开环增益K增大时闭环极点移动的方向，开环极点用
“ ”来表示，开环零点用“ ”来表示（该系统没有开环零点），粗实线即
设系统的开环传递函数为 m
K* (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj )
j 1
式中 K* ——根轨迹增益；
zi ——开环零点；
p j ——开环极点。
则系统的根轨迹方程（及闭环特征方程）为
1 G(s)H (s) 0
所以 G(s)H (s) 1 ，即根轨迹方程为
m
K* (s zi )
例如，系统的特征方程为 (0.5s 1)(Ts 1) 10(1 s) 0
即
Ts(0.5s 1) (11 9.5s) 0
方程的两边除以其中不含T的项，得
1 Ts(0.5s 1) 0 11 9.5s
该方程可进一步改写成
1 T *s(s 2) 0 s 11 9.5
其中，T *
i 1 n
1
(s pj )
j 1
显然，满足上式的复变量s为系统的闭环特征根，也就是根轨迹上的点。当 K*
从0到 变化时，n个特征根将随之变化出n条轨迹。这n条轨迹就是系统的根轨迹。
根轨迹方程可分解为相角方程和幅值方程，其中相角方程为
m
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1)180 (k 0 ，1，2 )
根轨迹的基本概念
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：kg称为根轨迹增益； zi，p j为开环零 、极点。
绘制根轨迹图的基本方法是根据系统的开环零点、极点以 及根轨迹增益kg来获得系统闭环极点的轨迹 。
闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：1 Gk (s) 0 的根。
m
(s zi )
换句话说，满足：Gk (s) 1或：kg
说明： 根据幅值条件和相角条件画出的曲线分别称为等幅值根轨迹 和等相角根轨迹。 等幅值根轨迹与等相角根轨迹是正交的。 每一个交点表示了相应的根轨迹增益对应的闭环特征根。 绘制根轨迹时，一般先用相角条件绘制出等相角根轨迹图， 然后利用幅值条件计算出根轨迹上各点对应的值，并标在该点 的旁边。
根轨迹的两种类型： 180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0) 的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的点 连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
根轨迹的幅值和相角条件:
系统的方块图如下：
R(s)
Y (s)
G(s)
-
H (s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
开环传递函数为：Gk (s) G(s)H (s)
将 Gk
(s)写成开环零、极点形式
m
得：
(s zi )
Gk (s) kg
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨迹 应满足的相应幅值和相角条件，完全可以确定s平面上的根轨 迹和根轨迹上各点对应的kg值。
4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点
利用试探法确定根轨迹上的点: 由于根轨迹上的点满足相角条件，所以可利用相角条件来判
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
根轨迹根之和法则
根轨迹根之和法则根轨迹根之和法则，是关于稳定性分析的一种常用方法。
又称为根轨迹闭合原理、罗麦特准则等。
这一方法基于控制系统中特征方程根的位置与稳定性的关系，通过计算根轨迹上的根、开环传输函数等来判断控制系统的稳定性，并进行系统设计的优化。
1. 根轨迹的基本概念控制系统的根轨迹是指在$K$的取值变化范围内，控制系统的特征方程在复平面上的轨迹。
这种轨迹可以描出控制系统的稳定性、响应速度等性能参数。
根轨迹的末端点称为闭环系统的极点。
根轨迹的形状受到开环传输函数的影响。
在计算根轨迹的过程中，最常用的方法是采用符号法和数值法。
符号法较为常见，主要用于计算特殊形式的开环传输函数，如一般的一阶、二阶系统、恒定命令输入下的比例积分控制系统等。
而数值法则可以应用于一般形式的开环传输函数。
2. 根轨迹根之和规律的定义在一般的线性控制系统中，根轨迹闭合的必要条件是当特征方程中任意一极点位于左半平面时，闭环系统才是稳定的。
根轨迹根之和规律是指，闭环系统极点的位置可以通过计算开环传输函数的根轨迹上所有极点的和的剩余值（$\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{1-KG(s_j)}$）与$-1$的关系来确定。
因为当开环传输函数的根轨迹上所有极点和的剩余值与$-1$相等时，闭环系统的一个极点会在右半平面，在这种情况下该闭环系统不再是稳定的。
在计算开环传输函数的根轨迹上所有根的和时，需要注意开环传输函数$KG(s)$的分子多项式次数不能大于分母多项式的次数，否则，开环传输函数的不稳定极点将不再出现在根轨迹上。
同时，当特征方程根的数量大于等于控制系统自由度时，根轨迹根之和规律无法计算出闭合系统的极点。
此时需要通过其他的方法进行稳定性判断。
3. 根轨迹根之和规律的应用在控制系统设计和稳定性分析中，根轨迹根之和法则是一种常用方法。
在控制器的设计中，可通过该规律确定控制器的增益，使闭环系统的稳定性更高。
此外，在控制系统的分析中，应用根轨迹根之和规律可以快速判断控制系统的稳定性。
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
根轨迹的绘制法则
第4章 根 轨 迹 法根轨迹的基本概念所谓根轨迹是指控制系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。
一般取开环增益为可变参数，但也可以用系统中的其他参数，如某个环节的时间常数等。
根轨迹的绘制法则gnj jmi iK ps z s s D s N 1)()()()(11-=++=∏∏== 在绘制根轨迹时，通常首先求出g K ＝0和g K ＝∞时的特征根，再根据绘制法则画出0＜g K ＜∞时的根轨迹草图；一. 根轨迹的起点（K g =0）上式说明，当g K ＝ 0时，系统的开环极点就是闭环极点。
绘制根轨迹时，我们通常是从g K ＝ 0时的闭环极点画起，即开环极点是闭环根轨迹曲线的起点。
起点数n 就是根轨迹曲线的条数。
二. 根轨迹的终点（K g =∞）当g K ＝∞时，闭环特征方程式为∏==+=mi i z s s N 1)()(这就是说，系统的开环零点就是g K =∞时的闭环极点，即根轨迹曲线的终点。
其个数为m ，另外的n －m 个根轨迹终点在无穷远。
三. 根轨迹的分支数和对称性根轨迹在s 平面上的分支数（条数）等于开环特征方程的阶数n ，即与开环极点个数相同。
此外，在一般控制系统的特征方程中，各项系数都是实数。
因此，特征根或是实数，或是共扼复数，则根轨迹一定是对称于实轴。
四. 实轴上的根轨迹当开环传递函数有实数极点、零点时，这意味着实轴上有根轨迹的起点和终点。
这时，必须确定实轴上哪一区间有根轨迹，哪一区间没有根轨迹。
五. 根轨迹的分离点和会和点在有根轨迹的实轴上，存在着两个开环极点时，必然有一个分离点a 。
同样，在有根轨迹的实轴上，存在两个开环零点(包括无穷远零点)时，必然有一个会合点b 。
当g K 为g K a (a 点的g K 值)或g K b (b 点的g K 值)时，特征方程都将出现重根。
这是两者的共性。
此外，分离点a 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最大g K 值；会合点b 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最小g K 值。
自动控制原理根轨迹规划知识点总结
自动控制原理根轨迹规划知识点总结自动控制原理是研究将系统的输入、输出和功能关系用数学模型表示，并利用控制理论方法分析和设计自动控制系统的学科。
而根轨迹规划是自动控制原理中的重要内容，用于描述系统的稳定性和动态性能。
本文将对自动控制原理中的根轨迹规划知识进行总结，包括根轨迹的概念、绘制方法、性质以及应用等方面。
一、根轨迹的概念根轨迹是指在特定范围内改变系统的参数，并以参数为变量绘制出的所有系统传递函数零点或极点的轨迹。
通过观察根轨迹可以直观地了解系统的稳定性和动态性能。
根轨迹通常绘制在复平面内，横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。
二、根轨迹的绘制方法1. 绘制根轨迹的步骤a) 通过给定系统的传递函数，确定系统的极点和零点。
b) 根据系统的极点和零点的数量和位置，确定根轨迹的起点和终点。
c) 确定根轨迹在实轴和虚轴上的对称性。
d) 确定根轨迹的趋近线和远离线。
e) 根据根轨迹的特性进行绘制。
2. 根轨迹的特性a) 以实负轴和虚轴上的极点、零点为轴心的圆形称为拐点圆。
b) 根轨迹在实轴上的起点和终点分别由零点和极点所决定。
c) 根轨迹不可交叉，且对称于实轴。
d) 根轨迹的趋近线和远离线的夹角决定了系统的快速响应性能。
三、根轨迹的性质1. 根轨迹的边界a) 根轨迹上的极点和零点均在左半平面时，根轨迹边界为实轴。
b) 根轨迹上存在部分极点或零点位于虚轴上时，根轨迹边界沿离心线和连接极点的径线绘制。
2. 根轨迹与系统稳定性和动态性能的关系a) 系统稳定性：若根轨迹上的极点都在左半平面，则系统是稳定的。
b) 系统动态性能：可通过根轨迹的形状和位置来评估系统的超调量、上升时间、稳态误差等指标。
四、根轨迹的应用根轨迹广泛应用于自动控制系统的分析与设计中。
在系统分析方面，可以通过根轨迹来判断系统的稳定性和动态响应特性。
在系统设计方面，可以根据根轨迹的要求和设计指标进行参数调整和优化，以满足系统的性能需求。
结语：本文对自动控制原理中的根轨迹规划知识进行了总结。
根轨迹的概念
根轨迹的概念特征方程（见传递函数）的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。
我们先看下面的例子。
设单位反馈系统的开环传递函数为：当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上怎样分布？解系统有两个开环极点系统的闭环传递函数为系统的特征方程为特征方程的根可见特征根在s平面的位置与K有关。
K=0时，,与开环极点的位置相同。
0<K<1/4时，,均为负实数，分布在0到-1之间，随K从零开始逐渐增大，和也从开环极点的位置开始逐渐接近。
K=1/4时，==-0.5，两个闭环极点重合。
K>1/4时，和都成为共轭复数。
具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也增加。
图3.28给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。
这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹，称为根轨迹。
根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。
根据图3.28的根轨迹图，我们可以知道，在K<1/4时，系统的单位阶跃响应中含有两个指数项函数。
在K=1/4时，两个指数项函数合二为一。
在K1/4时，根轨迹进入复平面，说明系统的单位阶跃响应由单调变化转变为振荡。
从图还可以看出，不论K怎样变化，系统始终是稳定的。
因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。
图3.28 特征根随K的变化情况根轨迹的基本条件控制系统的特征方程为(3.145)式中为系统前向通道传递函数，H(s)为系统反馈通道传递函数。
上式可改写为(3.146)将系统的开环传递函数写成零极点形式(3.147)式中K称为根轨迹放大系数或根轨迹增益。
称为开环零点，称为开环极点。
将（3.147）式代入（3.146）式得(3.148)式（3.148）是一个复数方程，可以用复数的幅值和幅角分别表示为(3.149), (3.150)式中是矢量与实轴正方向的夹角，是矢量与实轴正方向的夹角。
我们称式（3.149）为根轨迹的幅值条件，式（3.150）为根轨迹的幅角条件。
根轨迹分离点个数
根轨迹分离点个数一、根轨迹的概念和特点根轨迹是由系统极点随参数变化而形成的轨迹。
在控制系统中，系统的极点反映了系统的动态特性，是系统稳定性和性能的关键因素。
根轨迹可以通过将系统的特征方程中的参数进行变化，然后观察极点的运动轨迹来得到。
根轨迹具有以下几个特点：1. 根轨迹是在复平面上表示的，其中实轴表示系统的实部极点，虚轴表示系统的虚部极点。
2. 根轨迹的起点为系统开环传递函数的极点，终点为系统的零点。
3. 根轨迹是连续的曲线，不会有断裂或交叉现象。
4. 根轨迹的形状和分布可以反映系统的稳定性和性能。
根轨迹分离点个数是指根轨迹与虚轴相交的点的个数。
根轨迹分离点个数的多少与系统的稳定性和性能密切相关，具有以下几个方面的意义：1. 系统稳定性的判断：根轨迹分离点个数为0时，表示系统的极点都位于左半平面，系统是稳定的。
如果根轨迹分离点个数为1，表示系统存在一个极点位于虚轴上，系统是边稳定的。
如果根轨迹分离点个数大于1，表示系统存在多个极点位于虚轴上，系统是不稳定的。
2. 系统性能的评估：根轨迹分离点个数的多少可以反映系统的性能。
当根轨迹分离点个数为0时，系统的响应速度较快，但可能存在超调或振荡的现象。
当根轨迹分离点个数为1时，系统的响应速度较慢，但稳定性较好。
当根轨迹分离点个数大于1时，系统的响应速度较慢，且可能存在不稳定的情况。
3. 控制器设计的参考：根轨迹分离点个数可以为控制器的设计提供参考。
通过观察根轨迹分离点个数的变化，可以得到系统的稳定范围和性能要求。
根据系统的需求，可以设计合适的控制器来实现系统的稳定和性能优化。
三、根轨迹分离点个数的影响因素根轨迹分离点个数的多少受到多种因素的影响，包括系统的阶数、零点的分布、极点的位置等。
以下是几个常见的影响因素：1. 系统阶数：系统的阶数越高，根轨迹分离点个数通常也越多。
这是因为高阶系统具有更多的极点和零点，导致根轨迹与虚轴相交的点也更多。
2. 零点的分布：系统的零点分布会影响根轨迹的形状和分离点个数。
根轨迹啊 零极点对消
根轨迹啊零极点对消一、引言根轨迹和零极点对消是控制系统分析与设计中重要的概念和方法。
通过对根轨迹的分析，可以评估系统的稳定性和动态响应；而利用零极点对消的技术，可以改善系统的性能和稳定性。
本文将从根轨迹和零极点对消的基本概念、图像表示方法、应用场景等方面进行全面而深入的探讨。
二、根轨迹的概念与特征2.1 根轨迹的定义根轨迹是描述控制系统极点随参数变化而移动的路径。
它是由传递函数的特征方程的根随参数变化所形成的曲线。
2.2 根轨迹的特征1.从零极点的分布可以推断系统稳定性：若根轨迹的全部点位于左半平面，则系统是稳定的；若有点位于右半平面，则系统是不稳定的。
2.根轨迹与系统的阶数有关：系统阶数为n，则根轨迹的终点数量为n。
3.根轨迹切线的斜率反应了系统动态响应的速度：斜率越大，响应速度越快。
2.3 根轨迹的图像表示方法根轨迹可以通过以下步骤进行绘制： 1. 将传递函数的特征方程写出。
2. 找出特征方程的根。
3. 观察根的位置变化，并绘制根轨迹图。
三、零极点对消的概念与应用3.1 零极点对消的定义零极点对消是指通过对传递函数的分子和分母进行因式分解来消除或减少系统中的零点和极点的方法。
3.2 零极点对消的作用与优势1.改善系统的稳定性：通过对特定的零点和极点进行对消，可以使系统的稳定性得到提高。
2.改善系统的性能：通过合理设计零点和极点的位置，可以改善系统的动态响应特性，比如提高系统的超调量、减小系统的响应时间等。
3.3 零极点对消的方法和步骤1.将传递函数进行因式分解，分解为分子和分母的乘积形式。
2.对消特定的零点和极点，可以通过合并分子和分母的因子、引入额外的零点或极点等方式进行实现。
3.零极点对消的方法有很多种，可以根据系统性能的要求和设计的目标选择适当的方法。
四、根轨迹与零极点对消的应用实例4.1 根轨迹的应用实例1.评估系统的稳定性：通过分析根轨迹，可以判断系统是否稳定。
2.设计控制器：根据根轨迹的特征，可以设计合适的控制器参数，使系统满足性能指标。
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根轨迹的概念特征方程<见传递函数）的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。
我们先看下面的例子。
设单位反馈系统的开环传递函数为：当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上怎样分布？解系统有两个开环极点系统的闭环传递函数为系统的特征方程为特征方程的根可见特征根在s平面的位置与K有关。
K=0时，,与开环极点的位置相同。
0<K<1/4时，,均为负实数，分布在0到-1之间，随K从零开始逐渐增大，和也从开环极点的位置开始逐渐接近。
K=1/4时，==-0.5，两个闭环极点重合。
K>1/4时，和都成为共轭复数。
b5E2RGbCAP具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也增加。
图3.28给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。
这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹，称为根轨迹。
根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。
根据图3.28的根轨迹图，我们可以知道，在K<1/4时，系统的单位阶跃响应中含有两个指数项函数。
在K=1/4时，两个指数项函数合二为一。
在K1/4时，根轨迹进入复平面，说明系统的单位阶跃响应由单调变化转变为振荡。
从图还可以看出，不论K怎样变化，系统始终是稳定的。
因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。
p1EanqFDPw图3.28 特征根随K的变化情况根轨迹的基本条件控制系统的特征方程为(3.145>式中为系统前向通道传递函数，H(s>为系统反馈通道传递函数。
上式可改写为(3.146>将系统的开环传递函数写成零极点形式(3.147>式中K称为根轨迹放大系数或根轨迹增益。
称为开环零点，称为开环极点。
将<3.147）式代入<3.146）式得DXDiTa9E3d(3.148>式<3.148）是一个复数方程，可以用复数的幅值和幅角分别表示为(3.149>, (3.150>式中是矢量与实轴正方向的夹角，是矢量与实轴正方向的夹角。
我们称式<3.149）为根轨迹的幅值条件，式<3.150）为根轨迹的幅角条件。
凡在根轨迹上的点都是系统特征方程的根，都必须同时满足根轨迹的幅值条件和幅角条件。
这两个条件统称为根轨迹的基本条件。
RTCrpUDGiT根轨迹的绘制规则根轨迹法是分析控制系统的一种图解方法，正确地绘制出根轨迹图是进行根轨迹分析的基础。
根轨迹图的绘制，并不要求求解特征方程，而是根据根轨迹的基本条件，导出一些简单实用的法则，画出根轨迹图形。
绘制根轨迹的规则有：1.根轨迹的分支n阶系统的特征方程是关于s的n次代数方程，方程有n个解，所以系统的根轨迹有n条。
也就是说，根轨迹有n条分支。
2.根轨迹的起点与终点将式<3.148）写成5PCzVD7HxA(3.151>当K=0时，上式右边为无穷大，左边只有当s趋于时才会是无穷大。
根轨迹的起点是K=0时的根轨迹，所以说根轨迹起始于开环极点。
K趋于无穷大时的根轨迹，称为根轨迹的终点。
从式<3.151）可以看出，时，方程右边为零，而方程左边只有在时才会为零。
所以可以说根轨迹终止于开环零点。
控制系统中，若n>m，m条根轨迹终止于开环零点，还有<n-m>条根轨迹则终止于无穷远处。
这时因为，当时，由于n>m,同样有jLBHrnAILg3.根轨迹的渐近线终止于无穷远处的<n-m>条根轨迹，在时，沿渐近线变化。
渐近线确定了终止于无穷远处的根轨迹的变化方向。
渐近线与实轴正方向的夹角为xHAQX74J0X(3.152>渐近线与实轴的交点为(3.153>式<3.153）可以表述为<所有开环极点之和-所有开环零点之和）/n-m4.根轨迹的对称性特征方程的根不是实数就是共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。
在绘制根轨迹时，只需绘出上半平面的部分，根据对称性，下半平面的部分很容易绘制出来。
LDAYtRyKfE5.实轴上的根轨迹实轴上的开环零点和开环极点把整个实轴划分为若干线段。
这些线段是不是根轨迹的一部分，可以根据幅角条件来判断。
只有其右边开环零极点总数为奇数的线段，才能满足根轨迹的幅角条件。
所以说，实轴上的根轨迹是那些右边开环零极点个数为奇数的线段。
6.根轨迹的分离点与会合点两支根轨迹从开环极点出发后相遇又分开的点称为根轨迹的分离点。
两支根轨迹相遇后又分开各自趋向终点的点称为根轨迹的会合点。
在分离点或会合点上，特征方程必有重根。
分离点或会合点可用下面的方法求取。
系统的特征方程为Zzz6ZB2Ltk即上式可简化为式中A(s>和B(s>是不含可变参数K的表达式。
解方程(3.154>即可求出分离点或会合点。
但方程<3.154）的解不一定都是分离点或会合点。
经检验，这些点若在根轨迹上，则为分离点或会合点。
若不在根轨迹上，此时对应的K一般为负值，则不是分离点或会合点。
绝大多数分离点或会合点都分布在实轴上。
实轴以外的分离点或会合点则以共轭复数形式成对出现。
7.根轨迹的出射角与入射角系统存在复数开环零点和开环极点时，必须知道根轨迹从开环复数极点出射的方向或进入到开环零点的方向。
出射角<入射角）是根轨迹在开环复数零极点上切线的方向角，可以根据根轨迹的幅角条件求出。
根据式<3.150）可得dvzfvkwMI1(3.155>(3.156>上两式中为出射角，为入射角，和是所有开环零极点<不包括所求的零极点）指向所求开环复数极点或开环复数零点的矢量与实轴正方向的夹角。
8.根轨迹与虚轴的交点s平面的虚轴是控制系统稳定与不稳定的分界线。
根轨迹通过虚轴，系统的稳定性就会发生变化。
所以，确定根轨迹与虚轴的交点非常重要。
根轨迹在虚轴上，则s=j,将其代入特征方程rqyn14ZNXI再令特征方程的实部和虚部都为零，可以得到两个方程：实部方程和虚部方程。
求解这两个方程，可得到根轨迹与虚轴的交点和对应的K值。
利用上述8条绘制根轨迹的规则，可以较方便地做出系统的根轨迹图。
下面，通过一些实例，进一步了解根轨迹的作图规则。
例17 控制系统的开环传递函数为EmxvxOtOco试绘制K从零到无穷大变化时系统的根轨迹。
解<1）系统为三阶系统，根轨迹共有3条分支。
<2）根轨迹的起点为0，-2，-4，图3.29中用表示开环极点。
根轨迹无开环零点，三支根轨迹均终止于无穷远处。
<3）终止于无穷远处的根轨迹的三条渐近线与实轴正方向的夹角和与实轴的交点为SixE2yXPq5<4）根轨迹在实轴上的部分是，两个线段。
<5）分离点。
特征方程求得：不在根轨迹上，不是分离点。
分离点为s=-0.85。
<6）系统无复数零极点，因而无出射角、入射角问题。
<7）根轨迹与虚轴的交点6ewMyirQFL得实部方程虚部方程解得图3.29是该系统的根轨迹图。
图3.29 例17的根轨迹例18 控制系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。
解<1）系统为四阶系统，根轨迹共有4条分支。
<2）根轨迹的起点：0，-3，-1j1。
根轨迹终点：-2，有3条根轨迹终止于无穷远处。
<3）渐近线与实轴的交角和交点kavU42VRUs<4）根轨迹在实轴上的部分是0到-2，-3到负无穷大。
<5）分离点：无根轨迹分离与会合。
<6）出射角：开环极点-1j为共轭复数极点。
开环零点分布入图3.30所示。
y6v3ALoS89图3.30 开环零极点的分布将图3.30各角的值代入式<3.155），根据根轨迹的对称性，复数开环极点-1-j的出射角为。
图 3.31 例18的根轨迹<7）与虚轴交点，将S=j代入特征方程。
特征方程为代入S=j并整理后得实部方程虚部方程解此方程组，得图3.31是系统的根轨迹图。
图3.32 控制系统的根轨迹图3.33 附加零点的作用根轨迹法分析系统性能根轨迹法是一种图解方法。
运用根轨迹法能够分析系统的稳定性和动态特性、稳定特性。
根轨迹法在对高阶系统的分析中，可以根据闭环零极点的位置，较方便地确定参数变化对系统动态过程的影响，利用闭环主导极点的概念对系统进行近似分析计算。
因此是一种很实用的工程方法。
下面，我们通过一些实例说明根轨迹法在系统分析中的应用。
例设某控制系统的开环传递函数为M2ub6vSTnP分析该系统的稳定性并利用根轨迹法校正系统的稳定性。
解按照根轨迹的绘制规则，系统的根轨迹图如图3.32所示。
由图可见，系统的两支根轨迹位于s平面右半边，无论K怎样变化，系统始终是不稳定的。
若在系统中附加一个开环零点，该开环零点是位于0到-10之间的一个负实数，则系统的根轨迹就变成图3.33所示的形状。
显然，无论K怎样变化，系统始终是稳定的。
图3.32和图3.33说明，在适当位置上引入附加零点，可以使控制系统的性能得到有效改善。
图3.33还表明，在s平面原点有两个开环极点，系统是型系统，对单位阶跃和单位斜坡输入函数响应的稳态误差为零。
系统的单位阶跃响应，是衰减振荡过程。
例20 单位反馈控制系统的传递函数为0YujCfmUCw求使系统稳定的范围。
解：本例给出的传递函数是典型环节形式，将其改写为零极点形式：式中K称为开环放大系统，称为根轨迹放大系数二者相差一个比例常数，比例常数是由时间常数和零极点的数值决定的。
可以证明，二阶开环系统在其开环极点左边有一个开环零点时，其根轨迹有一部分是圆，圆心为开环零点，半径为开环零点到分离点的距离。
分离点<会合点）eUts8ZQVRd系统根轨迹如图 3.34所示。
根轨迹与虚轴的交点，通过s=j代入特征方程，可求得由可计算出系统的开环放大系数所以，当开环放大系数K的范围为系统是稳定的。
图3.34 系统根轨迹图申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。