三次函数的对称性中心问题
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
三次函数的对称性中心问题
三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。
在证明之前，先回忆一个结论：定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b --证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。
所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b --证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f x 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(ab f a b --对称。
三次函数的图像和性质
三次函数的图像和性质 知识回顾：定义：形如()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的函数叫做三次函数；定义域：R ；值域：R ；图像：对称性：中心对称图形，对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3；三次多项式因式分解：()()()32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++方法一：试根，待定系数因式分解；方法二：代数基本定理：d s a r i i ,，则多项式的所有有理数根一定在ii r s 中取得；典例1：三次函数单调区间和极值 1. 已知函数()1223-+-=x x x x f（1）求函数的单调区间和极值；（2）判断函数的零点个数；典例2：三次函数的零点问题1. 已知函数()λ--+-=1223x x x x f ，若函数存在三个零点，则实数λ的取值范围 ；2. 已知奇函数()x f 是R 的单调函数，若函数()()213--++=x f x f y λ至少有两个零点，求实数a 的取值范围．变式训练：设函数()a ax x x x f ++-=2331有三个零点，求实数a 的取值范围．典例3：三次函数的切线问题1. 设函数()()1,3+==x x g x x f λ（1）若曲线()x g与函数()x f 的图像相切，求实数λ的值； （2）若()()x g x f =有三个根，求实数λ的值；2. 已知函数()x x x f 323-=． （1）求()x f 的对称中心以及对称中心处的切线方程；（2）若过点()t P,1存在3条直线与曲线()x f 相切，求实数t 的取值范围； （3）讨论过点()()R n m n m ∈,,,存在几条直线与曲线()x f 相切；经验分享：一般的三次函数的切线条数有如下规律：三次函数()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像和其相应过对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3的切线l 将平面分为如下四个区域：（1）过区域①，③内的点可作3条与曲线()x f 相切的直线； （2）过曲线()x f 或直线l 上且不在O 处的点可作2条与曲线()x f 相切的直线；（3）过O 或区域②，④内的点可作1条与曲线()x f 相切的直线；•O ② ③④ O •①② ④。
高考数学考点 三阶函数的对称中心
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
很显然二阶导数为y=3x²-8x+1，我们把导函数图像和三次函数图像作在一起：
从上面图中可以看出二次函数的正负决定三次函数的增减，又因为二次函数是对称的平滑函数，所以三次函数必定也是对称函数，我们在导数中研究的是导函数的零点就是三次函数的极值点，但是我们没有研究过导函数的对称轴与三次函数是什么关系，初步猜测，导函数对称轴所在的直线与三次函数的交点处就是三次函数的对称点，如图上的B点，我们研究了三次函数的导函数，不妨再看看三次函数的二阶导函数，下面将三次函数、导函数、二阶导函数放在同一个图中：
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
上述结论如在考试中遇到，直接用就行。
看一个有意思的关于三次函数对称性的题目：。
初中数学教案三次函数的图像与性质
初中数学教案三次函数的图像与性质三次函数是中学数学中的一个重要知识点，它具有独特的图像和性质。
本教案将以图像为线索，详细介绍三次函数的特点和性质，帮助学生深入理解和掌握这一概念。
一、三次函数的基本形式三次函数的一般形式为：$y = ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a,b,c,d$为实数且$a\neq0$。
二、三次函数的图像为了研究三次函数的图像，我们将从以下几个方面进行讲解。
1. 零点与轨迹在$x$轴上，三次函数的零点对应的是方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的解。
解方程的方法是通过因式分解、配方法、求根公式等来求得。
2. 极值点与拐点三次函数的极值点和拐点可以通过求导数的方法得到。
求解导函数$y' = 3ax^2+2bx+c$，令其等于零，即可求得极值点和拐点的横坐标。
然后再代入原函数中，求得对应的纵坐标。
3. 对称性三次函数具有奇函数的对称性，即$f(-x) = -f(x)$。
这意味着如果某一点$(x_0, y_0)$在图像上，那么点$(-x_0, -y_0)$也在图像上。
三、三次函数的性质除了图像特点之外，我们还需要讲解三次函数的其他性质，包括：1. 定义域和值域三次函数的定义域为全体实数。
值域则需要通过观察图像或者进行计算得到。
2. 单调性三次函数的单调性与系数$a$的正负有关。
当$a>0$时，函数单调递增；当$a<0$时，函数单调递减。
3. 凹凸性通过分析二阶导函数$y''=6ax + 2b$的正负，可以判断三次函数的凹凸性。
当$y''>0$时，函数凹；当$y''<0$时，函数凸。
4. 渐近线对于三次函数而言，它可能有水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线等。
通过求解极限或观察图像，可以确定渐近线的方程。
四、教学实例与练习为了帮助学生更好地掌握三次函数的图像和性质，我们可以设计一些教学实例和练习题，如：1. 画出函数$y=2x^3-3x^2-12x+5$的图像，并求出其所有零点和拐点的坐标。
三次函数性质的再探索凸凹性拐点及对称中心——教师用卷
三次函数性质的再探索——凸凹性，拐点及对称中心在前面我们学习了三次函数的相关性质了解了三次函数的图像特征，从中也得到了三次函数及类三次函数的分类讨论的标准和三次函数零点问题的处理方法，如下图所示在11周的测试中我们遇到了这样一道题目：16.对于三次函数，定义：是函数的导函数的导数，若方程有实数解，则称点，为的对称中心点”有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为______ ．【答案】，我们发现函数的二阶导数对函数的图像也有很大的影响，这些影响主要体现在那些方面，我们下面一一道来。
1、曲线的凹凸性从图1（a），（b）直观上可以观察到：如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间。
2、曲线的凹凸性的定义定义1 设)(x f 在区间I 上连续，如果对于I 上任意的两点21,x x ，恒有()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在I 上的图形是凹的； 如果恒有 ()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f 在I 上的图形是凸的。
从图1还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大，即)(x f '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少，即)(x f '单调减少.而函数)(x f '的单调性又可用它的导数，即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定，故曲线)(x f y =的凹凸性与)(x f ''的符号有关。
三次函数的对称性中心问题
三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。
在证明之前，先回忆一个结论： 定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+ 定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。
cx bx ax d a bc a b d cx abc bx a x b a b ax bx x a b a b d x ab c x a b b x a b a x a b f ---+-=+--+++----=+--+--+--=--23232223322232332274323494234278)32()32()32()32( d cx bx ax x f y d ab c a b b a b a a b f +++==+-+-+-=-2323)()3()3()3()3(cx bx ax d a bc a b d cx bx ax d a b c a b b a b a y a b f ---+-=----+-+-+-=--23232323322742)3(2)3(2)3(2)3(2 所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b --证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f xdcx bx ax x f +++=23)(d cx ab a x a b a a b x a b x a b x a ++--+++=323223)3()3(3])3()3(333[ d ab a xc a b a a b x a +---+=323)3(])3(3[)3( )3]()3(3[)3()3]()3(3[)3(2323a b c a b ad a b a a b x c a b a a b x a -++-+--+= 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
高中数学函数对称性问题
高中数学函数对称性问题作者：万林毅来源：《学园》2014年第26期【摘要】新课标苏教版高中数学书在介绍函数的性质时，重点放在了函数的周期性、奇偶性以及单调性上，然而纵观近几年高考数学真题，在有关抽象函数的考题中，函数的对称性对解题有很大帮助，可见高考中函数对称性的重要。
【关键词】高中数学高考数学常见函数特殊函数对称性【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0139-02众所周知，在高中数学的学习中，函数是重难点，且高考试题中有关函数性质的试题所占比重很大。
学生在根据课本学习了函数的定义、周期性、奇偶性及单调性后，能利用函数图像解决问题，同时也能根据图像直观地对具有特殊性质的函数进行认知，然而要提高学生综合运用知识和解决难题的能力，还需对函数的对称性进行总结归纳。
本文重点介绍对称性的概念、常见函数的对称性和抽象函数的对称性这三个方面。
一函数的对称性函数的对称性分为中心对称和轴对称。
第一，中心对称。
将一个函数图像绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图像与原图像完全重合，则该函数图像具有中心对称的性质，其中该点称为该函数的对称中心。
一个函数图像可以有多个对称中心。
第二，轴对称。
将一个函数图像沿一条直线对折后，如果直线两侧的函数图像完全重合，则该函数图像具有轴对称的性质，其中该直线为该函数的对称轴。
一个函数图像可以有多条对称轴。
二常见函数的对称性第一，常数函数。
y=c（c∈R）。
既是轴对称又是中心对称，与该直线垂直的直线均为其对称轴，直线上所有点均为其对称中心。
第二，一次函数。
y=kx+b（k为一次项系数≠0，k≠0，b为常数）。
既是中心对称又是轴对称，对称中心为原点，对称轴为与该直线相垂直的直线。
第三，反比例函数。
y=k/x（k∈R且k≠0）。
既是轴对称又是中心对称，对称轴为y=x与y=-x，对称中心为原点。
第四，二次函数。
y=ax2+bx+c（a≠0）。
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
三次函数图象一定是中心对称图形吗？
ｂ ， ≠０ ｄ ） ≠０ ｃ ， ≠０．
三、 交流与合作
）中≠ （凸０ 其 ）
在以上两个小组研 究的基础上， 我组织他们 进行 了交流和答辩 等合作 活动． １第二小组的同学对第一小组的研究提出一 ． 点质疑， 他们指出， 第一小组的研究在 “ 设三次函
论， 更重要的是， 学生获得了研究问题 的一些途径
的图象 为中心对图形， 对称中心为Ｐ ｘ， （ｏ ． ｏ ， 上任意一点Ｍ（ｌ （１ （ｌ ） 厂 ） 则Ｃ （ ） ｘ， ｚ） Ｘ ∈Ｒ Ｉ ） 关于 Ｐ ｘ ，（ｏ 的对称 点 Ｍ ２０ 一 １ （ｏＩｚ） ） （ ５ ， ２ （ｏ 一． ）都在 上， Ｉｚ） 厂 １ （ ） 也就是说， 对任意
ｎ
放在一起来看， 就大有文章了． 究的兴趣和热 研 情一下子调动起来了．
一
由（ 式得 Ｘ ＝一２． ３ ） Ｏ 。 ＝ 。
将 （ 式分别代入 （ 、５， ６ ） ４ （ 经化简验证， ） ） 此 时（ 、５两式均成立， Ｏ 同时满足对 ４ （ ） ） 即Ｘ：一 称中心的条件（ 、４、５， ３ （ （ 所以， ） ） ） 三次函数 Ｉｚ ＝ａ ３ ｘ ＋ｃ ＋ｄ（ ≠０ （） ｘ ＋ｂ ａ ）
一
般地， 设三次 函数解析式为
ＩＺ ＝ａ ３ ｘ ＋ｃ ＋ｄ （ ≠０， （） ｘ ＋ｂ ａ ）
先研 究简单特殊 的情况．
Ｉｚ ＝ａ ３ ｘ ＋ｃ （ ） ｘ ＋ｂ ＋ｄ （ ≠０ ａ ）
１当ａ≠０ ｃ ， ＝ ｄ 时， ． ， ≠０ ｂ ＝０
维普资讯
由以上两点， 同学们大胆类 比、联想、猜 请 测， 有什么想法？ 同学们觉得以上这两份材料虽然简单， 可是
三次函数对称中心的多解探究
〒题探微Iwww zhongshucon com中学数学教学参考（下旬）2021年第i 期三次函数对称中心的多解探究王昌如（江苏省宿迁市青华中学)摘要：通过实例分别从定义法、平移法、导数法以及公式法的角度探究三次函数对称中心的求解与基本 应用，总结规律，提高学生对知识点的灵活运用能力。
关键词：三次函数；对称中心；定义；平移；导数；公式 文章编号：1002-2171 (2021)4-0053-03在高中数学中，研究函数的基本性质时一般都要 研究函数图像的对称性，而这又离不开对称中心与对 称轴问题。
近几年的高考试题中经常出现以三次函 数为背景，考查三次函数的单调性、极值、最值的问 题，但从学生的反馈情况看，答题效果并不理想。
笔 者通过研究发现，要解决此类问题，首先要弄清三次函数的对称性，这是解此类问题的难点。
本文结合实 例，通过四种方法探究三次函数对称中心的求法。
1定义法若函数J =/U )的图像关于点（m ，n)成中心对 称，则对于函数3> = /(x )上任一点U d )关于点（W ，Ak2 )x2 + 8^z m x + 4k2 w 2 — 4 : 8k2 m可得+x2:1+U 2’X \X 2:〇,根据根与系数关系Akzm 2—A1+4/fe2:，可得弦长综上可知，四边形A B C D 面积的取值范围为1，2为 V l +是2 I 工1 一工2 I = \/1+々2 • V (xi +X 2 )2 -*4xi x 2 =「( Sk2m \z ~ 4^2m 2 —44\/4是2 —^2 + 1。
根据楠圆的对称性，不妨设直线A 的斜率々>〇, 此时W = c=w ，可得丨A C |=i^|^;结合条件6丄结论4:设是椭圆C :$ +客一l U ：^〉〇)的两个焦点，过F ,，F 2分别作直线，/2，且&丄心，若A 与椭圆C 交于A ，C 两点，Z 2与椭圆C 交于B ，D 两点（点A ，B 在:c 轴上或其上方），则四边形A B C D 面积的取值范围为[()2，262]。
三次函数的对称性试题赏析
1 x2 + 3x － 5 + cos( x － π + 1) ，
2
12
2
则 g( 20113) + g( 20213) + g( 20313) + g( 20413) + … + g( 22001123) =
1006． 其中正确命题的序号为
( 把所有正确命题的序
号都填上) ．
解析： ①②． 对于 ①② 明显正确； 对于 ③，任意的三次函数
1，则可求得： f （ 20112） + f （ 20212） + … + f （ 42002122） + f （ 42002132） =
．
2． （ 2012 福州市高三质量检查） 已知 m，t ∈ Ｒ，函数 f （ x） = （ x － t） 3 + m．
（ Ⅰ） 当 t = 1 时，
（ i） 若 f （ 1） = 1，求函数 f （ x） 的单调区间； （ ii） 若关于 x 的不等式 f （ x） ≥ x3 － 1 在区间［1，2］上有解，
（ 3） 一般地，三次函数 f （ x） = ax3 + bx2 + cx + d（ a ≠ 0） 的
“拐点”是（
－
b 3a
，f
（
－
b 3a
）
）
，它就是 f （
x）
的对称中心． 或者： 任
何一个三次函数都有拐点； 任何一个三次函数都有对称中心；
任何一个三次函数平移后可以是奇函数 ．
点评： 该两题属于信息创新题． 要求学生对新颖的信息、情
求实数 b 的值;
( Ⅱ) 令 h( x) = f ( x) － g( x) ．
三次函数的性质
三次函数的性质2015年11月13日 意琦行 数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一 单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明 的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二 对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明 由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解 由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解 的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三 切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明 设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解 由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注 此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四 切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明 由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解 （1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）． 练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注 本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1） 根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注 本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注 本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。
感悟三次函数的中心对称性
定 理 ２ 若 函数 （ ） ａ 。 ｚ 一 ｘ ＋ｋ 。 ＋ ＋ｄ（ 口
≠Ｏ ）有极值 ，则 它 的对 称 中心 是 两个 极 值 点 的
中点 ．
２（麦一ｏ而 厂 ）Ｙ， 一 ）
一
证 明 由厂 一 ３ｘ ＋２ 十Ｃ ０ △＝ ４ｂ ａ 如 一 （ （
３ｃ ａ ）＞ Ｏ ）的 两 根 为 ｚ ， ２得 ｌｚ ，
一 一
一 一
十 ＋
十 ＋
一
一
４３ ｂ
一
一
① 当 口＞ １时 ， — ２ １ 口＜一 １ 由 ｆ （ ＞ ０ ， ） ，
２ ｃ＋ ２ ｂ
，
解 得 ｚ＞ 一 １或 ｚ ＜ １ ２ ； — ａ
② 由 口一 １ １ ａ 时， —２
２（ ｆ
一
１ 则 ／（ ） （ ， 一 ｚ
证 明：
ห้องสมุดไป่ตู้
， ２或 ＝ ４时 ， ｌ 易证 ．
，： ３或 ，≥ ５时 ， ｌ ｚ 由上 知 口 ，２… ， 成等 １ａ ， ａ
比数 列 ， ｎ ， ， ， 也 成等 比数列 ， 公 比 故 … 口 口 且
均 为 ａ． ２
所 以 ａ ＋ ａ， … ＋ ａ ｌ ２ ＋
＋ ＋ ∞一 。ｂ＋ 誓０２ 筹一 一 ￣ ＋ ｘ ｏ
＋ 凹 。一 ０，
纱 ， 用这个 性质 ， 多 问题可 以简单 求解 ． 利 很
１ 三次 函数 的中心对 称性
所 以 ２厂（ 一 ） ｙ 一 ｏ： 厂（ ２ ～ ｂ— ｚ
。
ａ
６ａ
） ，
定理 １ 函数 ， ）一 船 。 ｂ ＋Ｃ （ ＋ ｘ。 Ｘ＋ｄ ａ （
三次函数最值问题及解题技巧
三次函数最值问题及解题技巧介绍本文旨在探讨三次函数最值问题及相应的解题技巧。
三次函数在数学中具有重要的地位，而求解三次函数最值问题是其中的一个重要应用。
三次函数最值问题三次函数是一个三次多项式函数，其一般形式为：$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$其中 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 是实数常数。
三次函数在数学中具有许多重要的性质和特点。
在求解三次函数最值问题时，我们通常关心的是函数的最大值或最小值。
具体而言，我们希望找到三次函数的顶点或拐点，确定函数的最值所对应的 $x$ 值。
最大值和最小值的求解方法类似，只是注意方向的不同。
解题技巧在解决三次函数最值问题时，以下是一些常用的技巧：1. 寻找函数的顶点或拐点。
三次函数的最值通常出现在顶点或拐点处。
可以通过求导数或观察函数图像的形态来找到这些点。
2. 利用导数求解。
通过求函数的导数，可以确定函数的变化趋势和拐点。
最值通常对应于导数为零的点。
3. 利用对称性。
三次函数具有一定的对称性质，可以利用这种对称性来求解最值问题。
4. 利用边界条件。
有时候，给定的三次函数在一定区间内，最值出现在区间的端点处。
因此，可以通过考虑边界条件来确定最值。
总结三次函数最值问题是解决三次函数应用中的重要内容。
通过寻找函数的顶点或拐点、利用导数求解、利用对称性和考虑边界条件等技巧，我们可以有效地解决这类问题。
在实际应用中，解决三次函数最值问题往往需要考虑具体情况，采用合适的方法。
因此，熟练掌握解题技巧，并结合具体问题的特点进行分析和求解，是取得正确答案的关键。
希望本文对您理解三次函数最值问题及解题技巧有所帮助！。
三次函数的对称性中心问题
三次函数的对称性中心问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。
在证明之前，先回忆一个结论：定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(a b f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。
所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f x 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
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三次函数的对称性中心问题
而)3()3()3()3]()3(
3[)
3(2323
a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(a
b f -=
)
0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
证明3：设函数)
0()(23
≠+++=a d cx bx ax
x f 的对称中心为
（m ，n ）。
按向量),(a n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以
2)()(=-+-++n m x f m x f
+++++++d m x c m x b m x a )()()(23d
m x c m x b m x a ++-++-++-)()()(23-2n
=0
化简得：
上式对
恒成立，故
⎩⎨⎧=-+++=+0
032
3n d cm bm am b am 得
，。
所以，函数的对称中心是
（
）。
定理3：若三次函数
有极值，则它的对称中心
是两个极值点的中点
证明：不妨设0232
=++c bx ax 为)(x f 的导方程，判别式01242
>-=∆ac b ,设)(x f 两极值点为))(,()),(,(2
211x f x B x f x A
[][]
a
c
x x a b x x d x x c x x x x b x x x x x x a d
x x c x x b x x a d cx bx ax d cx bx ax x f x f 3,322)(2)(3)()(2)()()()()(212121212212122121212
22
13
23
122
2321213121=-=++++-++-++=++++++=+++++++=+∴ 又
d
a
b
c a b b a b a d
a b c a c b a b b a c a b a a b a x f x f 2)3(2)3(2)3(22)32(32323)32(332)()(232
3
21+-+-+-=+-+-⎪⎭⎫
⎝⎛-+--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+∴
)3(2)(21a
b f x x f -=+∴
所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(x f 的拐点。
定理4：)(x f y =是可导函数，若)(x f y =的图像关于点),(n m A 对称，则)('x f y =的图像关于直线m x =对称
证明：)(x f y =的图像关于),(n m A 对称，则n x m f x f 2)2()(=-+
由x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()()(lim 0
'
)()()(lim )()(lim )
(2)(2lim
)2()2(lim
)2('0000'x f x x f x x f x x x f x f x x f n x x f n x x m f x x m f x m f x x x x =∆--∆-=∆∆--=∆+-∆--=∆--∆+-=-→∆→∆→∆→∆
)
('x f y =∴图像关于直线m x =对称。
三次函数的对称中心是
（
）。
所以其导函数的图像关于直线
a
b
x 3-
=对称。
定理5：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条
证明：
设三次函数，一直线与三
次曲线切于点Q （d
cx bx ax
x +++02
030
,），且直线过点
（）。
直线方程可写为：d
cx bx ax x x c bx ax
y ++++-++=02
0300020
))(23(
又
d
a b c a b b a b a a b f +⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-33)3()3(2
3
=
+⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-d a b c a b b a b a 33)3(2
3d cx bx ax x a
b c bx ax ++++--
++02
030002
0)3)(23(
化简为：
a
b x a b x 30)303
0-
==+
（
这说明切点就是对称中心。
经典例题欣赏： 1. 求7
63)(23
-+-=x x x
x f 的对称中心。
2. 求2
3
3
1)(x x
x f -=的极值和对称中心。
3. （2004年重庆高考题）设函数))(1()(a x x x x f --=, )1(>a
（1）求导函数)('
x f ,并证明)(x f 有两个不同的极值
点2
1
,x x
（2）若不等式0)()(2
1
≤+x f x f 成立，求a 的取值范围。
4. 已知))()(()(c x b x a x x f ---=
（1）求证))(())(())(()('
c x b x c x a x b x a x x f --+--+--=
（2）若)(x f 是R 上的增函数，是否存在点P 使)(x f 的图像关于点P 中心对称？如存在，请求出P 点坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由。
（3）。