5.1二次曲线的几何性质

0 0
1 1 1 2 2 2
设M1，M2在方程中对应的参数是t1，t2，则： t1 + t2 = 0. 再结合考虑（5.4），有：
X F1 x 0 , y 0 YF2 x 0 , y 0
0
利用
v
的任意性，得：
F1 x 0 , y 0 0 , F2 x 0 , y 0 0 .
第五章 二次曲线的一般理论教学纲要 1．主要内容 1）二次曲面与直线的相关位置。 2）二次曲面渐近方向与中心。 3）二次曲面的切线与切平面。 4）二次曲面的径面与奇向。 5）二次曲面的主径面与主方向，特征方程 与特征根。 6）二次曲面方程的化简与分类。
2．基本要求 1）理解二次曲面的渐近方向、中心、切线、切 点、切平面、奇异点、径面、共轭方向、奇异 方向。 2）理解二次曲面的主径面、主方向、不变量、 半不变量。 3）熟练掌握直线与曲面相切的条件、求切平面、 求径平面、主径面与主方向。作直角坐标变换，化简 二次曲面的方程。 4）了解求二次曲面的不变量与半不变量，二次曲面 五种类型的判别，应用不变量化简二次曲面的方程。
定义5.1.9 的特征方程， 为特征值. 由（5.11）可知，求二次曲线（5.1）的主方 向，就是求矩阵A的特征向量. 必须注意，当特征值 0 时，求出的主方向是 非渐近方向，以其为共轭方向的主直径的方程 就是（5.8）；当 0 时，求出的主方向是渐近 方向，以其为共轭方向的主直径不存在. 因此， 结合二次曲线的渐近方向情况可以证明：中心 二次曲线至少有两条主直径，而非中心二次曲 线只有一条主直径.
（5.3）
把式（5.3）代入（5.1）得：
2
X , Y t 2 X F1 x 0 , y 0 YF2 x 0 , y 0 t F x 0 , y 0 0（5.4）
由（5.4）知：
当 X , Y 0 时，直线（5.3）与二次曲线 （5.1）或者只有一个实交点，或者没有交点， 或者直线（5.3）在二次曲线（5.1）上，而成 为二次曲线的组成部分. 当 X , Y 0 时 ，直线（5. 3）与二次曲 线（5.1）交于二个实点，或两个重合的点或两 个虚点.
5.1 二次曲线的几何性质
一.渐近方向与中心
在平面上，二次曲线的一般方程可以表示为：
a11 x 2 a12 xy a 22 y 2 a13 x 2 a 23 y a 33 0
2 2
（5.1）
其中a11，a12，a22不全为0.
为方便起见，我们引进下面的记号： 2 2 F x , y a11 x 2 a12 xy a 22 y 2 a13， 2 a 23 y a 33 x
0 1 0 0 0 2 0 0
1
0
0
2
0
0
定义5.1.7二次曲线(5.1)上满足 叫正常点. 推论 如果
( x0 , y 0 )
F1 x 0 , y 0 F 2 x 0 , y 0 0
的点叫二次曲线的奇异点. 二次曲线的非奇异点
是二次曲线（5.1）的正常点，
那么以
( x0 , y 0 )
2
I A I 1 I 2 0 称为二次曲线
例：求二次曲线 解 因为 I1 = 1 + 1 = 2，I2 =
2 2
x 2 xy y 4 x 0
1 1
的主方向与主直径. 1 0 . 所以， 曲线
1
为非中心曲线，它的特征方程为 2 2 0 ，特 征值为 1 2, 2 0 . 分别求出相应的特征向量 1 , 2 即得主方向： 非渐近主方向为 X1 : Y1 = – 1 : 1， 渐近主方向为 X2 : Y2 = 1 : 1. 又F1 ( x, y ) = x – y – 2，F2 ( x, y ) = – x + y， 所 以曲线的唯一主直径为x – y – 1 = 0.
（5.6）
证明 我们给出必要性的证明. 充分性的证明留给读者.
设 C ( x , y ) 是二次曲线（5.1）的中心. 取该二次曲线的任 v ( X , Y ) ，过点C且以 v 为方向的直线与二 一非渐近方向 次曲线（5.1）交于 M ( x , y ), M ( x , y ) 两点. 由二次曲线中 心的定义可知道C是M1M2的中点. M1M2的参数方程是 （5.3）式.
为切点的切线方程是
a11 x 0 x a12 x 0 y xy 0 a 22 y 0 y a13 x x 0 a 23 y y 0 a 33 0
.
三. 直径
二次曲线上两点间的直线段称为二次曲线的弦.
定理5.1.3 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹 是一条直线. 证明 设M1M2为二次曲线（5.1）任意一条弦， 它平行于非渐近方向 v ( X , Y ). 又设 ( x , y ) 是 M1M2的中点， 则M1M2所在直线的方程为 （5.3），且对应于M1，M2的参数t1，t2满足： t1 + t2 = 0.
2Leabharlann (5.7)因为点( x
0
, y 0 ) 在曲线上， ( x 0 , y 0 ) 0 F
，所以
X F1 x 0 , y 0 YF 2 x 0 , y 0
0
如果 F
1
x0 ,
y 0 , F2 x 0 , y 0
不全为0，由（5.7）得.

X : Y F 2 x 0 , y 0 : F1 x 0 , y 0
定义5.1.1
使
X ,Y
0
（5.5）
的方向
v (X ,Y )
称为二次曲线（5.1）的渐近方
向，否则称为非渐近方向.
通过对 X , Y 0 的解的讨论，可以按渐近
方向对二次曲线分类：
定义5.1.3 的中心。
如果二次曲线上任一点M1关于点C的
对称点M2也在该曲线上，就把C称为二次曲线
与 是非渐近方向矛盾. 所以（5.8）是一条直 线方程。
V
定义5.1.7 二次曲线的平行弦中点轨迹称为共轭 于平行弦方向的直径. 由定理5.4.1的证明可知，共轭于平行弦方向的 直径的方程是（5.8）. 可以证明，中心二次曲线的直径必过中心， 无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线 心二次曲线的直径只有一条，就是曲线的中心直 线.
二. 切线
定义5.1.6 如果直线与二次曲线相交于两个
重合的点，则称此直线为二次曲线的切线，对 应的交点称为切点. 如果直线在二次曲线上， 也把这直线称为二次曲线的切线，直线上每个 点都看成切点.
现在求以二次曲线
a1 1 x 2 a1 2 xy a 2 2 y 2 a1 3 x 2 a 2 3 y a 3 3 0
a1 1 A a1 2 a1 2 , a 22 a1 3 B a 23 , x X . y
2
I 1 T r A a1 1 a 2 2 , I 2 d et A a1 1 a 2 2 a1 2 ,
X : Y a1 1 X a1 2 Y : a1 2 X a 2 2 Y
v (X ,Y )

所以
即
a1 1 X a1 2 Y X , a1 2 X a 2 2 Y Y .
X I A 0. Y
（5.11）
2 2
上的点
( x0 , y 0 )
0
为切点的切线方程.
0
设过点( x , y ) 的直线方程为（5.3），要使 此直线成为二次曲线的切线，必须使（5.4）的 判别式
X F1 x 0 , y 0 YF 2 x 0 , y 0 X , Y F x 0 , y 0 0
定理5.1.1 点C（x0，y0）是二次曲线（5.1）的 中心的充分必要条件是：
F1 x 0 , y 0 a1 1 x 0 a 1 2 y 0 a 1 3 0, F 2 x 0 , y 0 a1 2 x 0 a 2 2 y 0 a 2 3 0 .
1 0 0 2 0 0
这里a
X ,Y
11 X
a12 Y , a12 X a 22 Y
a1 1 X a 1 2 Y a 1 2 X a 2 2 Y 0
不能全为零. 因为当 时有
2

a1 1 X
2
2 a1 2 X Y a 2 2 Y
a1 1 X a1 2 Y X a1 2 X a 2 2 Y Y 0
令
I3
A B
T
B a33
, K1
a1 1 a1 3
a1 3 a33

a 22 a 23
a 23 a33
,
F1 x , y a1 1 x a1 2 y a1 3 , F 2 x , y a1 2 x a 2 2 y a 2 3 , x , y a1 1 x 2 a1 2 xy a 2 2 y .
根据定理5.1.1，按二次曲线的中心可以把二次 曲线分类：
定义5.1.5 通过二次曲线的中心，以渐近方 向为方向的直线称为此二次曲线的渐近线。 显然，中心曲线有两条渐近线（实的或虚 的），无心曲线无渐近线，线心曲线有一条 渐近线，就是它的中心直线。
定理5.1.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线 或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线 上，称为二次曲线的组成部分。
四. 主方向、主直径
定义5.1.8 二次曲线中，与其共轭的平行弦方 向垂直的直径叫二次曲线的主直径. 主直 径方向与其共轭的平行弦的方向都叫二次