2.2.1《条件概率第二课时》
高中数学 第二章 2.2.1 条件概率课件 新人教A版选修23
(2)对公式的理解
①如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么
P(B)≠P(B|A)；
②已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求
P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的
n AB
概率，即
PB
|
A
n AB nA
n nA
P AB PA
2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条 件 概 率
一、条件概率
条件 设A,B为两个事件,且P(A)>0
含义 在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率
记作 P(B|A)
读作
计算 公式
_A_发生的条件下_B_发生的概率 n AB
①缩小样本空间法：P(B|A)=__n(_A_)_ P AB
2.求条件概率常用的方法
(1)利用定义计算：分别求出P(A)和P(AB)，解得
P
B
|
A
P AB PA
.
(2)利用缩小样本空间计算：借助古典概型公式，先求事件A
包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件A包
含的基本事件数n(AB)，得
P
B
|
A
n AB nA
到的两个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. 1B. 1C. 2D. 1
8
4
5
2
2.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一 颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形 EFGH内”， B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”， 则P(B|A)＝______.
2 , PAB
2.2.1条件概率公开课2
解 {(男, 男), (男, 女), (女, 男), (女, 女)}
A={已知一个是女孩}＝{(男, 女), (女, 男), (女, 女)}
B {另一个也是女孩} {(女, 女)}
1 所以所求概率为 . 3
课堂练习
掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点条件下， 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
P( AB) P( B) P( B A) 0.8 P( A) P( A)
B
5
0.56
0.7
A
2.条件概率计算公式:
P(B |A)=
P AB P A
注 : ⑴ 0 ≤ P ( B | A) ≤ 1 ; ⑵ 几何解释 : ⑶ 可加性： 如果 B和 C 互斥， 那么 P ( B C ) | A P ( B | A) P (C | A)
B
A
问题 一个家庭中有两个孩子，已知其中有一个是女孩， 问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？
例 4 某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到
25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25 岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) 0.7, P( B) 0.56
由于B A故A B B，
所求概率为
学中奖的概率吗？ 缩小了样本空间，基本事件总数减少了
探究三
A 1 (1)事件A：甲站在排头的概率； p( A) A 4 3 A3 1 (2)事件B：乙站在排尾的概率； p( B ) 4 A4 4 2 A2 1 (3)事件A、B同时发生的概率；p( A B) 4 A4 12
数学：2.2.1《条件概率》教案(新人教B版选修2-3)
2．2．1条件概率教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则 B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 ()3 P B=.思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) .思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此(|)P B A =12=()()n AB n A .其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，()()(),()()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，(|)P B A =()()()()()()()()n A B n A B P A B n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A =.由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅. 并称上式微概率的乘法公式.2.P （·|B ）的性质：（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|B ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+ .更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞= 1|i i B A =)|(1B A P i i ∑∞=.例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n （Ω）=35A =20.根据分步乘法计数原理，n (A ）=1134A A ⨯=12 ．于是 ()123()()205n A P A n ===Ω.(2）因为 n (AB)＝23A =6 ，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω.(3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概3()110(|)3()25P AB P B A P A ===. 解法2 因为 n (AB ）=6 , n (A ）=12 ，所以()61(|)()122P AB P B A P A ===.例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则112()A A A A = 表示不超过2次就按对密码．(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯.(2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+14125545⨯=+=⨯.课堂练习.1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。
2.2.1条件概率公开课 2
1 1 P( B) 4 解：∵ P ( AB ) ， , P ( A) 9 9 3 1 P ( AB ) 9 1 P( A | B) 4 4 P ( B) 9 1 P ( AB ) 9 1 P ( B | A) 1 3 P ( A) 3
收获
一、基本知识
P ( AB ) 1. 条件概率的定义. P B A P( A) 0 P ( A) 2. 条件概率的性质. (1)有界性（2）可加性
3 P( AB) 10 1 (3)法1 P( B | A) . 法2 3 P( A) 2 5
n(AB) 6 3 . n() 20 10
n( AB) 6 1 P( B | A) n( A) 12 2
例题2：
独自阅读，小组合作交流完成，并归纳出 求解条件概率的一般步骤吗？
B X1 X 2Y , X 2 X1Y
探究:
X1YX 2 , X 2YX1 , X1 X 2Y , X 2 X1Y 可设”第一名同学没有中奖”为事件A
记 为 P( B A) 表示在事件A发生情况下 事件B发生的概率。
会影响最后一名同学中 奖的概率吗？
B
A
思考： 计算 P(B A) ,涉及事件A和AB，那么用事件A 和
（古典概型）
（一般概型）
注 : ⑴ 0 ≤ P ( B | A) ≤ 1 ; ⑵ 几何解释 : ⑶ 可加性： 如果 B和 C 互斥， 那么 P ( B C ) | A P ( B | A) P (C | A)
B
A
条件概率公式：
n( AB) P B A n( A)
（古典概型）
“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B 第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名同学抽到 中奖奖券的概率记为P(B|A）
高中数学新人教版A版精品教案《2.2.1 条件概率》
2.2.1 条件概率甘肃省白银市景泰县景泰二中 胡钰敏一、教学目标知识与技能：初步理解条件概率的概念与表示，理解条件概率的一般计算公式，会正确使用公式分析和解决一些条件概率的具体问题.过程与方法：借助具体情景，尝试解决简单的条件概率问题，归纳出古典概型背景下条件概率的计算公式；经历非古典概型背景下条件概率问题的探究，初步理解条件概率的一般计算公式，会正确使用公式分析和解决一些条件概率的具体问题.情感态度与价值观：通过合作交流和问题探究，感受概率问题的生活化特点，体验在解决数学应用问题的过程中“数学”地思考所带来的创造和快乐.二、学情分析学生在必修三已经学习过古典概型和几何概型的概念，能够准确理解随机试验、随机事件的含义，并且能够灵活运用分类或分步原理求解事件包含的基本事件的个数，这为学习条件概率做好了知识准备.但条件概率对于学生是一个全新并且抽象的概念，学生理解较为困难，对此在教学过程中应创设适当的问题情境，使学生参与到解决数学问题和发现数学规律的活动中去，经历条件概率公式产生的过程.另外应多设置一些小组讨论合作以及组内纠错的活动，通过互相帮助来解决问题，同时也能提高学生解决数学问题的积极性.三、教学重难点重点：条件概率的概念、计算公式的推导及条件概率的计算.难点: 条件概率的判断与计算.四、教学过程【新课导入】师：在前面必修三中我们学习了古典概型和几何概型，我们知道概率是计算一个随机事件发生的可能性大小.就像天气预报，现在我们很多人都会关注空气质量，关注空气质量是否优良.现在大家一起来看这样一个问题. 引例1.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，如果已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率是否仍然是0.75？如果不是，那么比0.75大还是小？生：不是，感觉比0.75小，连续两天为优良的概率是0.6.师：这只是我们的一个直观感觉，究竟随后一天的空气质量为优良的概率仍然是0.75还是比0.75大或是比0.75小，学习了这节课后，我们就会有一个准确的判断.引例2.箱子里有红、黄、蓝三个小球，现由甲、乙2名同学依次无放回地摸球，问乙同学摸到红球的概率是多少？生：独立思考作答.（指定具体同学回答.）师：总结完善学生的回答.所有可能发生的结果记为Ω={红蓝、红黄、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄}，共有6个基本事件，记事件B 为“乙同学摸到红球”，则包含的基本事件有两个：黄红、蓝红，因为基本事件数是有限个，而且每个基本事件发生的可能性都是相同的，所以可以判断是古典概型，由古典概型的概率计算公式可得知3162)()()(==Ω=n B n B P . 思考：如果已知甲没有摸到红球，那么乙摸到红球的概率是变大还是变小了？又是多少？ 生：变大了，21. 师：记事件A 为“甲没有摸到红球”，则样本空间缩减为A={黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄}，共4个，即n (A)=4，而事件B “乙摸到红球”包含的基本事件依然是只有黄红、蓝红两个，在事件A 发生的条件下事件B 发生，相当于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生.所以n (AB)=2.因为基本事件出现的可能性也是一样的，所以依然满足古典概型，因此由古典概型概率计算公式可知，在甲没有摸到红球的条件下乙摸得红球的概率2142)()(===A n AB n P ，确实比之前乙摸到红球的概率变大了. 通过刚才的分析计算，我们可以看出在A 发生的条件下事件B 发生的概率和B 发生的概率是不相等的，理由是样本空间不一样，总的基本事件数是不同的.【新知讲授】师：我们把这种在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率叫做条件概率.1.条件概率的概念 一般地，设A 、B 为两个事件，且P （A ）>0，称)|(A B P 为事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.)|(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率.思考：)|(A B P 与)(AB P 有什么联系和区别？你能借助Venn 图说明吗？我们把事件A 记做集合A ，把事件B 记做集合B ，A 与B 公共的部分记做AB ，所有基本事件的总体记做Ω. 因为已经知道事件A 发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的样本空间缩小为A ，在事件A 发生的条件下事件B 发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生.2.条件概率的计算公式所以在前面摸球的例子中，2142)()()|(===A n AB n A B P ，我们给分子分母同除以原来样本空间的总个数，即：)()()()()()()()()|(A P AB P n A n n AB n A n AB n A B P =ΩΩ==，这样我们就得到了条件概率更为一般的与计数无关的公式，这也是条件概率的定义公式.联系：都是求AB 同时发生的概率，且)()()|(A P AB P A B P = 区别：样本空间不同.强调：两公式分别适用的范围.现在我们再回头去看看前面提出的空气质量优良的那道题.由条件概率的计算公式可知，8.075.06.0)()()|(===A P AB P A B P ，变大了. 【例题讲解】例.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：（1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．师生共同完成，教师板书，规范做法．分析：“不放回依次”说明是有顺序的抽取，题目满足古典概型.解：设“从5道题中不放回地依次抽取2道题”的结果全体为Ω，“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则：.103206)()()(623)()2(.532012)()()(,1243)(,2045)()1(==Ω=∴=⨯===Ω=∴=⨯==⨯=Ωn AB n AB P AB n n A n A P A n n ，.2142)|(.3.21126)()()|(.2.2153103)()()|(.13========A B P A n AB n A B P A P AB P A B P 法法）法（ 及时小结：条件概率计算中需注意的问题：1、条件概率的判断：（1）当题目中出现“在……前提（条件）下”等字眼，一般为条件概率．（2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率．2、相应事件的判断：首先用相应的字母A 、B 表示出相应的事件，然后分析清楚在是哪个事件发生的条件下求哪一个事件的概率．然后用条件概率的计算公式求解.对于古典概型，可以采用缩减样本空间的方法来计算，即)()()|(A n AB n A B P =，或者也可以直接利用定义来计算. 【巩固练习】1.设()21=A B P ，()31=A P ，则()=AB P 61 . 2.100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1次抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率. 9995)|(=A B P 3.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔在该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则：（1）P(B)= 41 ; （2）)|(A B P =41 .【课堂总结】师：这节课你有什么收获？学到了哪些知识和方法？提问个别学生回答1、数学知识：（1）条件概率的定义（2）条件概率的计算公式（3）求解条件概率的一般步骤2、数学思想方法：数形结合、由特殊到一般【课后作业】1、某种动物出生之后活到2021概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，求现年为2021这种动物活到25岁的概率.2、口袋中装有外形质地都相同的2只白球和3只黑球，每次取1球，取后不放回，共取3次.(1)求第3次才将白球全部取出的概率是多少？(2)在前两次取球颜色不同的条件下，求第3次才将白球全部取出的概率是多少？。
数学2.2.1《条件概率》教案(新人教B版选修2-3)
2．2．1条件概率教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 ()3 P B=.思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) .思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此(|)P B A =12=()()n AB n A .其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，()()(),()()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ 其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，(|)P B A =()()()()()()()()n AB n AB P AB n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A =. 由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅.并称上式微概率的乘法公式.2.P （·|B ）的性质：（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|B ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+U .更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞=Y 1|i i B A =)|(1B A P i i ∑∞=.例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n （Ω）=35A =20.根据分步乘法计数原理，n (A ）=1134A A ⨯=12 ．于是 ()123()()205n A P A n ===Ω. (2）因为 n (AB)＝23A =6 ，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω. (3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概3()110(|)3()25P AB P B A P A ===. 解法2 因为 n (AB ）=6 , n (A ）=12 ，所以()61(|)()122P AB P B A P A ===. 例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则112()A A A A =U 表示不超过2次就按对密码．(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+14125545⨯=+=⨯.课堂练习.1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。
2023年春《条件概率课时2》教学设计
《条件概率》教学设计课时2全概率公式一、本节内容分析本节主要在必修课程概率的基础上,通过研究简单事件求复杂事件的概率,主要内容为条件概率和概率的乘法公式.条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位,教科书只是简单介绍条件概率的初等定义.为了便于学生理解,教材以简单事例为载体,逐步通过探究,引导学生体会条件概率的思想.全概率公式是概率论中一个基本而重要的公式,其基本思想是利用一组两两互斥的事件,将一个复杂事件表示为两两互斥事件的和事件,再由概率的加法公式和乘法公式求这个复杂事件的概率,它为计算某些事件的概率提供了有力的工具.在本节,教材创设不同的情境,让学生先直观认识条件概率的意义,通过列举试验的样本空间,发现条件概率的本质是在缩小的样本空间上的概率,然后从特殊到一般,抽象出条件概率的定义.同样地,通过具体实例,提炼出求复杂事件概率的基本思路,将其一般化得到全概率公式.利用全概率公式计算概率,体现了分解与综合、化难为易的转化思想.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析学生具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,并且对概率有了一些基础的认识,对一些简单的概率模型(古典概型、条件概率)已经有所了解.但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,但缺乏冷静、深刻.在学习中,学生可能对条件概率的判断和计算,会有些困难,但相比较,计算上困难会更大一些.全概率公式的思想是用简单事件的运算表示复杂事件,利用概率的性质及概率公式简化概率的计算,这种思想方法具有一般性,贝叶斯公式虽然本质上是求条件概率,但隐含着深刻的数学思想,它反映了试验之后对各种“原因”发生可能性大小的新认识.学生还可能存在混淆两个事件相互独立与两个事件互斥的概念,并由此引发概率公式运用错误.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】 1.条件概率 2.全概率公式 【教学目标设计】1.结合古典概型,了解条件概率与概率的乘法公式,了解条件概率与独立性的关系,熟悉条件概率的性质,能计算简单随机事件的条件概率.2.结合古典概型,理解全概率公式的概念,达到数学抽象素养.会利用全概率公式计算概率. 3.了解贝叶斯公式. 【教学策略设计】由于学生自我归纳能力较差,又习惯于就题论题,因此适合提问引导启发式授课方式和归类对比的学习方法.讲解的时候,应做到适当启发、设问,引发学生对问题的思考,引导学生找到解题思路,并且点拨学生进行对比归类,提高学生对问题的分析、归纳、总结的能力.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________ 【教学重点难点】重点 1.条件概率的概念及计算,概率的乘法公式及应用.2.理解全概率公式的概念,认识全概率公式是用简单事件的运算表示复杂事件,会转化和化归、化繁为简的思想.3.会用全概率公式解决一些实际问题.4.了解贝叶斯公式及其应用.难点 1.对条件概率中“条件”的正确理解,条件概率与无条件概率的比较.2.由具体实例抽象推导全概率公式的过程.3.运用全概率公式求概率.4.贝叶斯公式的理解和应用.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:在计算较复杂事件概率时,我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件的运算结果,然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.我们还想知道,在这样的计算概率的过程中,还有什么规律和方法我们尚未发现,我们能总结出多少计算概率的好方法呢?让我们先从求一个复杂随机事件的概率开始吧！教学精讲探究1 全概率公式【情景设置】探究全概率公式从有a个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为aa b.那么第2次摸到红球的概率是多少?如何计算这个概率呢?【以学论教】对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处和不足之处.【先由学生独立思考,侧重直观感知概率的值,并通过师生互动进行交流】 师:因为抽签具有公平性,所以第2次摸到红球的概率也应该是aa b+.对于这个结果,学生可能会产生疑惑,因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.【教师指出数学上有许多问题与直觉相悖,不能仅凭感觉来作判断,而要进行严格的数学证明】师:你能证明第2次摸到红球的概率是aa b+吗?你是怎样证明的? 【先由学生自主论证,交流学习结果.教师进行点评,再给出严格的证明】师:用i R 表示事件“第i 次摸到红球”,i B 表示事件“第i 次摸到蓝球”(1,2)i =.我们就可以用图形来表示事件之间的关系,如图所示,事件2R 可按第1次可能摸球的结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即21212R R R B R =.利用概率的加法公式和乘法公式,得()()()()()()()21212121121||P R P R R P B R P R P R R P B P R B =+=+=111a a b a aa b a b a b a b a b-⨯+⨯=++-++-+.【设活动 深探究】教师先给出具体的问题情境,在学生根据实际情况并充分讨论的基础上展示结果,教师再总结引导.【教师总结以上证明过程采用的方法,即按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和概率的乘法公式求得这个复杂事件的概率】师:以上的证明蕴含着怎样的思想?将以上的问题一般化,你能得到什么结果呢? 【要点知识】全概率公式一般地,设12,,,n A A A 是一组两两互斥的事件,12n A A A =Ω,且()0,1,2,3,,i P A i n >=,则对任意的事件B ⊆Ω,有()P B =()()1|niii P A P B A =∑.【概括理解能力】由具体实例,通过数学抽象得出一般性的数学结论,是培养学生数学抽象素养的重要途径.按照对于特殊情形的全概率公式的证明,我们能证明这个公式,虽然我们没有证明全概率公式,这并不妨碍我们用全概率公式求概率.通过这个过程,提升学生概括理解能力.师:以上这个公式称为全概率公式,它是计算概率的最基本的公式之一.如何利用全概率公式解决问题呢?请看下面的例题.【典型例题】利用全概率公式求概率例1 某学校有,A B 两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A 餐厅,那么第2天去A 餐厅的概率为0.6;如果第1天去B 餐厅,那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.【教师提示学生运用全概率公式计算概率.可视学生的反应,对问题作如下分析】 师:第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A 餐厅用餐”和“第1天去B 餐厅用餐”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解.【学生完整地写出解题过程,师生进行交流.然后教师进行点评,给出规范的解题步骤】 师解:借助树状图（如图所示）第一步,用符号表示随机事件:设1A =“第1天去A 餐厅用餐”,1B =“第1天去B 餐厅用餐”,2A =“第2天去A 餐厅用餐”.第二步,划分样本空间:11A B Ω=,且1A 与1B 互斥.第三步,分别计算概率:()()()()1121210.5,|0.6,|0.8P A P B P A A P A B ====. 第四步,由全概率公式求出概率:()()()()()2121121||0.7P A P A P A A P B P A B =+=. 即王同学第2天去A 餐厅的概率为0.7. 【深度学 重推理】由具体实例,通过数学抽象得出一般性的数学结论.在学习了全概率公式的基础上,通过层层引导设问,深化对全概率公式的理解,为引出贝叶斯公式做准备. 探究2 贝叶斯公式师:下面我们一起探究这样的例题. 【典型例题】探究贝叶斯公式例2 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.若第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率,(2)如果取到的零件是次品,计算它是第(1,2,3)i i =台车床加工的概率.【教师首先要求学生用集合语言表示例2中的事件.用简单事件的运算结果表示所要求概率的事件.接着让学生自主解决问题,同学之间可以进行讨论制订解决问题的方案】【深度学习】通过例题进一步强化应用全概率公式计算概率的方法与步骤,通过问题（2）中的条件概率的计算,为引出贝叶斯公式作准备.师分析:取到的零件来自3台车床都有可能,如果设B =“任取一个零件为次品”,i A =“零件为第i 台车床加工”(1,2,3)i =,那么可将事件B 表示为3个两两互斥的事件的并(如图),利用全概率公式可以计算出事件B 的概率.师解:第一步,用符号表示随机事件:设B =“任取一个零件为次品”,i A =“零件为第i 台车床加工”(1,2,3)i =.第二步,划分样本空间:123A A A Ω=,且123,,A A A 两两互斥.第三步,分别计算概率:()()()()12310.25,0.3,0.45,|P A P A P A P B A ====()()230.06,|0.05,|0.05P B A P B A ==.第四步,由全概率公式求出概率:()()()()()()112233()|||0.250.060.3P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+0.050.450.050.0525⨯+⨯=.师:对于问题(2),“如果取到的零件是次品,计算它是第(1,2,3)i i =台车床加工的概率”,就是计算在B 发生的条件下,事件i A 发生的概率,即求()|i P A B .因此根据条件概率,得()()()()1111|0.250.062|()()0.05257P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====.类似地,可得()()2323|,|77P A B P A B ==.【以学定教】贝叶斯公式为选学内容,由师生共同结合实例进行学习.通过以学定教来达到学习的目的. 师:在上面的例题解答中,概率()(),|i i P A P A B 的实际意义是什么?你能梳理出解决问题(2)过程中的关键等式吗?【由于贝叶斯公式属于选学内容,学生在理解上会存在一定的困难.教师可以在学生先行思考的基础上,进行讲解】【概括理解能力】深入理解全概率公式的适用题型和解题步骤,结合条件概率,概括理解贝叶斯公式. 师:()i P A 是试验之前就已知的概率,它是第i 台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B 发生),()|i P A B 是这件次品来自第i 台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率.如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,那么223,,777就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的份额.【教师引导学生梳理出解决问题(2)过程中的关键性等式】 生:()()()()||,1,2,3()()i i i i P A B P A P B A P A B i P B P B ===.①追问:仿照全概率公式的一般化,你能写出①式的一般形式吗?请你尝试做一做.【由学生先仿照全概率公式的一般化过程,尝试用符号化表示问题,然后教师指导学生根据例2,写出贝叶斯公式的一般形式】【要点知识】贝叶斯公式设12,,,n A A A 是一组两两互斥的事件,12n A A A =Ω,且()0,i P A i >=1,2,,n ,则对任意的事件,()0B P B ⊆Ω>,有()()()()()1||,1,2,,.|i i i nkkk P A P B A P A B i n P A P B A ===∑【分析计算能力】主要考查学生对全概率公式和贝叶斯公式的理解和应用,能根据题目情境正确分析应用哪个公式,注意计算准确.师:这个公式是由英国数学家贝叶斯首先发现的,称为贝叶斯公式,它用来描述两个条件概率之间的关系.贝叶斯公式在统计学中有着广泛的应用.下面请看例题.【典型例题】贝叶斯公式的应用例3 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率;(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.【教师首先要求学生用集合语言表示例3中的事件,用简单事件的运算结果表示所要求概率的事件,并根据题意将样本空间表示成两两互斥的事件的并集.在此基础上,要求学生灵活选用条件概率、概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式来解决问题】【简单问题解决能力】通过具体实例,让学生明白贝叶斯公式的含义,并总结出用贝叶斯公式解决相关概率问题的方法,提升简单问题解决能力.师分析:设A =“发送信号为0”,B =“接收信号为0”,则A =“发送信号为1”,B =“接收信号为1”.我们可以用图形表示事件之间的关系,如图所示.问题(1)就是求()P B 和()P B .生解:设A =“发送的信号为0”,B =“接收到的信号为0”,则A =“发送的信号为1”,B =“接收到的信号为1”,由题意得()()0.5,(|)0.9,(|)0.1,(|)0.05,P A P A P B A P B A P B A =====(|)0.95P B A =.(1)()()(|)()(|)0.50.90.50.050.475P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=,()1()10.4750.525P B P B =-=-=.(2)()()(|)0.50.051(|)()()0.47519P AB P A P B A P A B P B P B ⨯====. 师:下面我们对全概率公式的应用进行一下巩固训练.【巩固练习】全概率公式的应用设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设第一、二车间生产的成品比例为2:3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为______.【以学定教】借助具体实例,让学生经历贝叶斯公式的一般化过程,在此过程中提升学生的数学抽象核心素养,使学生认识到事物之间都存在广泛的联系.【学生积极思考,独立完成,教师巡视指导】生解:设B =“从仓库中随机提出的一台是合格品”,i A =“提出的一台是第i 车间生产的”,1,2i =.由题意()()()()121223,,|0.85,|0.8855P A P A P B A P B A ====,由全概率公式()()()()112223()||0.850.880.86855P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.【设计意图】通过具体实例,巩固全概率公式和贝叶斯公式,加强对它们的应用. 师:这节课,我们就上到这里,我们一起归纳总结一下. 【课堂小结】全概率公式条件概率()(|)()P AB P B A P A =概率的乘法公式()()(|)P AB P A P B A =全概率公式()()()()()()1122()|||n n P B P A P B A P A P B A P A P B A =+++=()()1|niii P A P B A =∑贝叶斯公式()()()()()1||,1,2,,|i i i nkkk P A P B A P A B i n P A P B A ===∑.教学评价学完本节课,我们应该理解条件概率、全概率的概念,会求简单的条件概率、全概率问题,理解条件概率、全概率的性质,并能够利用性质解决较为综合性的实际问题.【设计意图】能够在熟悉的数学问题情境中直接应用数学知识进行列式、计算解决问题,锻练分析计算能力.通过问题组梳理全概率公式的基本思想和解题的步骤,有助于学生把握数学思想方法,提升他们的数学核心素养. 应用所学知识,完成下面各题:1.一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不放回地每次任取1只,连取2次,第2次取到白球的概率为( )A.25B.35C.12D.13 解析:设A =“第1次取到白球”,B =“第2次取到白球”.因为B ABAB =且AB 与AB 互斥,所以()()()()(|)()(|)P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+=654631091095⨯+⨯=. 答案:B2.根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以A 表示事件“试验反应为阳性”,以C 表示事件“被诊断者患有癌症”,则有(|)0.95,(|)P A C P A C ==0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即()P C =0.005,试求(|)P C A .解析:因为(|)0.95P A C =,所以(|)1(|)0.05P A C P A C =-=.因为()0.005P C =,所以()0.995P C =.所以(|)()0.950.00519(|)(|)()(|)()0.950.0050.050.995218P A C P C P C A P A C P C P A C P C ⨯===+⨯+⨯. 【简单问题解决能力】教学评价中的两个习题分别应用到全概率公式和贝叶斯公式,可以让学生对本节课的掌握情况进行及时的自我评价,通过练习提升学生的简单问题解决能力.教学反思条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位,为了便于学生理解,教材以简单事例为载体,通过逐步探究,引导学生体会条件概率的思想.通过本节课的学习,我们掌握了两种解决条件概率的方法,分别是定义法和缩小样本空间的方法,能不能运用好可能是学生在学习中主要困难.全概率公式是概率论中一个基本而重要的公式,在本节课中,通过创设不同的情境,通过列举试验的样本点,从特殊到一般,提炼出求复杂事件概率的基本思路,将其一般化得到全概率公式.贝叶斯公式本质上还是条件概率,通过本节课的学习,可以增强学生思维的严谨性和思考问题的多角度性.另外,就全概率公式和贝叶斯公式的应用这一部分知识来说,题目涉及的试验过程一般较为繁琐,所以对两个公式的深刻理解,以及理清题意,灵活利用公式求解也是一个需要克服的难关.【以学论教】对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出通过引导和启发学生体会条件概率的思想、创设不同情境从特殊到一般归纳总结全概率公式,并了解贝叶斯公式的实质.由于学生对相互独立事件与互斥事件的概念易发生混淆,教师在教学过程当中应帮助学生理解.。
人教B版选修2-3高中数学2.2.1《条件概率》ppt课件2
1. 条件概率的定义. 2. 条件概率的计算.
公式: P( A B) P( AB)
P(B)
乘法公式： P(AB)=P(B) P(A|B)
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有 P(B A) P( AB) . P( A)
0.4 0.8
BA
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4,
P( AB) P(B),
所以
P(B
A)
P( AB) P( A)
0.4 0.8
1 2
.
例:一个盒子中有4只白球、2只黑球，从中不 放回地每次任取１只，连取２次，求
2019/8/10
最新中小学教学课件
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练习1.掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
2.考虑恰有两个小孩的家庭，已知这个家庭有 一个是男孩，问这时另一个小孩是女孩的概率 是多少？（假定生男生女为等可能）
例题.如图所示的正方形被平均分成9个部分,向 大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中) 设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投 中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区 域的事件记为B,则P(AB)=___,P(A|B)=_____
若P(B) ﹥0，则事件B已发生的条 件下事件A发生的概率是
P( A B) P( AB) P(B)
AB
A
B
例题.抛掷一颗质地均匀的骰子所得样本空间为 S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}， B={1，2，4，5，6}，则P(A|B)=_______, P(B|A)=______
数学课件：2.2.1 条件概率
,考虑到大量重
������
复试验时,条件频率������������������������������的稳定值即为条件概率 P(B|A),又因为事件
AB
发生的频率������������������、事件
������
A
发生的频率������������的稳定值分别为
������
P(A∩B),P(A),于是有 P(B|A)=������(������������(⋂������)������).
条件概率公式 P(B|A)=������(������������(⋂������)������),P(A)>0.
12
知识拓展 (1)计算条件概率的公式为 P(B|A)=������(������������(⋂������)������),P(A)>0,它
可以用频率的稳定值来解释:设进行 n 次试验,事件 A 发生了 nA 次,
令A=“2次都取得白球”,包括2个基本事件, 因此 P(A)=A252 = 110.
题型一 题型二
解法二用概率乘法公式.
令Ai=“第i次取得白球”(i=1,2), 则A=A1∩A2, 由乘法公式,得
P(A)=P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=25
×
1 4
=
110.
反思 公式 P(B|A)=������(������������(⋂������)������) 既是条件概率的定义,同时又是求条
知道第一名同学没有抽到奖券的条件下,即事件A发生的前提
下,P(B|A)=
1 2
,显然知道了事件A的发生,影响了事件B的发生的概率.
事实上,在已知事件A没有中奖的前提下,奖券情况已经发生了变化,
课件2：2.2.1 条件概率
【解】 设 A＝{从第一个盒子中取得标有字母 A 的球}， B＝{从第一个盒子中取得标有字母 B 的球}， R＝{第二次取出的球是红球}， W＝{第二次取出的球是白球}，
则容易求得 P(A)＝170，P(B)＝130，
P(R|A)＝12，P(W|A)＝12，P(R|B)＝45，P(W|B)＝15. 事件“试验成功”表示为 RA∪RB，又事件 RA 与事件 RB 互斥，故由概率的加法公式，得 P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B) ＝12×170＋45×130＝0.59.
变式训练： 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对 其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某 考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求 他获得优秀成绩的概率．
解：设事件A为“该考生6道题全答对”， 事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”， 事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道答错”， 事件D为“该考生在这次考试中通过”， 事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”， 则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，
课堂互动讲练
题型一、利用定义求P(B|A) 求P(B|A)时，可把A看作新的基本事件空间来计算B发生的概率．
例1.一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任 取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑 球的概率．
解:法一：记“第一次取到白球”为事件 A，“第二次取到黑球”为事件
【思路点拨】利用正方形的个数，求其概率．
解:如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B) ＝4， ∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19，
P(A|B)＝
n( AB) n(B)
课件3 ：2.2.1 条件概率
事件A=“蓝色骰子的 y（蓝） 找出事件A,事件B,事件AB
点数为 3 或 6 ” 事件B= “两颗骰子的 6
•• • • • •
AB
A 点数之和大于 8 ” n(A) 12
5
4
n(A B) 55 3
P(B | A)
12
事件A发生条件下，事
2
件B的概率，就是A发 1
• • • • •B •
•• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • •
本节内容结束
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① 交事件AB 含义是“ 从 3 个黑球和 2 个白球的 5 个小球中无放回地接连取出两个，取到的都是黑 球”
因此 P (AB ) = C32×C20 / C52 = 0.3 ；
② P (A ) 有两种不同的解法，依赖于如何构造Ω 。 解法一：以两次抽样的结果来构造样本空间，需要 考虑顺序，因此样本空间的样本点总数是 P52 = 20 。 根据乘法原理，“第一次取出的是黑球”包含的样本 点个数有 3×4 = 12 ，因此 P (A ) = 12/20 = 0.6 ；
（2）P（B|A）=
P
(A B) P( A)
=
0.Байду номын сангаас2 0.2
0.60
答：乙地为雨天甲地也为雨天的概率为2/3， 甲地为雨天乙地也为雨天的概率为3/5。
一定要明确谁是条件？求谁的概率？
练习2： 抛掷一枚质地均匀的硬币两次。 （1）两次都是正面的概率是多少？ （2）在已知第一次出现正面向上的条件下，两次都 是正面向上的概率是多少？
答：另一个是男孩的概率是 2
求P(B|A)条件概率的步骤：
Step1:根据条件设事件 A,B；
课件1 ：2.2.1条件概率
3
______ .
5
3.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁
的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁
的概率?
4.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的
点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
设A={第一名同学没有抽到中奖券}
设B={最后一名同学抽到中奖奖券}
为什么是1/2?
P(B|A)=1/2
缩小了样本空间，基本事件总数减少了
探究三：
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与P(A)P(AB)有什么关系呢？
n( AB )
P ( B A)
n( A)
n
(
AB
)
P( AB)
n ( )
3.条件概率的求法：
缩减样本空间：
n( AB)
P( B A)
n( A)
定义法：
P( AB)
P( B A)
P( A)
( B、C互斥）
2
5
根据分步乘法计数原理，n( A) A A 12
1
3
n( A)
12
3
P ( A)
n( )
20
5
1
4
（2） ∵ () =
23
= 6, ∴ () =
()
( )
=
6
20
=
3
10
（3）解法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题的条件下，第二次
抽到理科题的概率为(|) =
第二章 概率
§2.2.1条件概率
高中数学选修2-3·同步课件
条件概率第二课时
4. 求解条件概率的一般步骤
用字母表示有关事件 求相关量 代入公式求P(B|A)
二、思想方法
1.由特殊到一般 2.数形结合
作业: 1.课本59页A组2
99
巩固与应用:
练习2：甲乙两城市都位于长江下游，根据一百多年的气象记
录，知道一年中雨天的比例甲城市占20%，乙城市占18%，两 地同时下雨占12%.
求（1）已知甲城市下雨，求乙城市下雨的概率；
（2）已知乙城市下雨，求甲城市下雨的概率；
解：设事件A为甲城市出现雨天，事件B为乙城市 出现雨天，则事件AB为两地同时出现雨天. 已知P(A)=0.20，P(B)=0.18，P(AB)=0.12， 因此，P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.12/0.20=0.60， P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.12/0.18≈0.67.
P(AB) P(B|A) 联 系 事件A和B都发生 A先B后 区 事件发生的顺序 A,B同时发生 别 Ω A 样本空间 概率大小
3.P(BIA)P(AIB)的区别
P(AB) ≤P(B|A)
4.条件概率的性质：
（1）有界性： 0
P B A 1
特别地当B= 时， P
回顾
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A). 读作：A发生的条件下B发生的概率
2、公式
n( AB) P( AB) P( B | A) P( A) n( A)
n( A) P( A) n ( )
巩固与应用:
1、100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽 1件.已知第1次抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率.
【公开课课件】2.2.1条件概率
思考一: 一个袋中装有 2 个黑球和 3 个白球，如果不放 回地抽取两个黑球， 记事件 “第一次抽到黑球” 为 A； 事件“第二次抽到黑球”为 B. ⑴分别求事件 A、B、AB 发生的概率； ⑵求 P ( B | A) 练习1. 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷 出点数之和不小于10”的概率是多少?
6 5 （2）P ( AB ) P( A) P( B A) 0.33 10 9 4 6 （3）P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.27 10 9
思考二.一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品 占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的 概率． 解:设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出 的产品是合格品， 则
P BA 1 1 P BA P A P A | B 4 P ( B) 3
1 4
B1 ={(男, 男) , (男 , 女) }
P B1 A 1 P A | B1 P( B1 ) 2
P B1 A P A
学习小结:
1.条件概率 P ( B A) P ( AB ) P ( A)
2.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P( AB) 表示在样本空间 中, 计算 AB发生
的概率, 而 P(B A ) 表示在缩小的样本空间 A 中, 计算 B 发生的概率.用古典概率公式, 则 AB 中样本点数 P( B A ) , A 中样本点数 AB 中样本点数 P( AB) 中样本点数 一般来说, P(B A ) 比 P( AB) 大.
j 号产品, 则试验的样本空间为 {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1),(2,3),(2,4) , ,(4,1),(4,2),(4,3)},
高中数学 第2章 概率 2.2.1 条件概率课件 b选修23b高二选修23数学课件
第十六页，共三十八页。
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1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二
利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
2．计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间 ΩA 中计算事件 B 发生的概率，即 P(B|A)． (2)在原样本空间 Ω 中，先计算 P(A∩B)，P(A)，再利用公式 P(B|A)
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【例 3】 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
12/10/2021
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(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是 ________；
(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是 ________．
【精彩点拨】 先求的基本函数的概率，再依据条件概率的计算公式 计算．
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3．已知男人中有 5%患色盲，女人中有 0.25%患色盲，从 100 个男人 和 100 个女人中任选一人．
(1)求此人患色盲的概率； (2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．
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【解】 设“任选一人是男人”为事件 A，“任选一人是女人”为事
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【解析】 (1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的 概率是1 82100＝42070.
(2)法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概 率是52050＝210.
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应用举例
例1：一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字 都可以从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机 上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的 概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超 过2次就按对的概率.
例2： 在某次考试中，从20道题中随机抽取6 道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过； 若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生 能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已 经通过，求他获得优秀成绩的概率．
1．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于( )
5
9
A.6
B.10
2
1
C.15
D.15
解析： 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘
法公式，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝13×25＝125，故答案为C.
答案： C
2．某学校一年级共有学生 100 人，其中男生 60 人，女生 40
答案：
1 2
4：在5道题中有3道理科题和2道文科. 如果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽 到理科题的概率.
新课：概率性质公式的应用
P(B C | A) P(B | A) P(C | A)
2．2.1 条件概率
1．条件概率的概念
PAB
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝ PA
事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率．
为在
P(B|A)读作 A 发生的条件下， B 发生的概率．
2．条件概率的性质 (1)P(B|A)∈ [0,1] ．
(2)如果B与C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ．
解:设Bi={取到元件为i等品}(i=1,2,3), A={取到的元件能工作5000小时以上}, 则P(A)=P(AB1∪AB2∪AB3) =P(AB1)+P(AB2)+P(AB3) =P(B1)·P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3) =95%·90%+4%·80%+1%·70%=0.894.
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝CC120066＋C1C052·C06101＋C1C042·C06102＝12C210860.
∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，
P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，
∴P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
C106 C105·C101
人；来自北京的有 20 人，其中男生 12 人，若任选一人是女生，
该女生来自北京的概率为( )
1
1
A.8
B.5
1
1
C.3
D.2
解析： 设“任选一人是女生”为事件A，“任选一人来自 北京”为事件B，依题意知来自北京的学生中有女生8名，这是 一个条件概率，即计算P(B|A)．
由于P(A)＝14000＝25，P(AB)＝1800＝225， 2
1 (2)4
则P(B|A)＝PPAAB＝225＝15. 5
故该女生来自北京的概率为15.
答案： B
3．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点， 设事件A＝“三个人去的景点不相同”，B＝“甲独自去一个景 点”，则概率P(A|B)等于________．
解析： 由题意知，n(B)＝C31·22＝12，n(AB)＝A33＝6. ∴P(A|B)＝nnABB＝162＝12.
1 得P(B|A)＝PPA∩AB＝140＝14.
10
答案： B
2．(2011·湖南高考)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的 圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件 “ 豆 子 落 在 正 方 形 EFGH 内 ” ， B 表 示 事 件 “ 豆 子 落 在 扇 形 OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝______；(2)P(B|A)＝______.
1．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事
件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个
数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
1
1
A.8
B.4
2
1
C.5
D.2
解析： P(A)＝C32C＋52C22＝140＝25， P(A∩B)＝CC2522＝110. 由条件概率计算公式，
解析： 设事件A为“该考生6道题全答对”， 事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”， 事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道答错”， 事件D为“该考生在这次考试中通过”， 事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”， 则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C， 由古典概型的概率公式及加法公式可知
解析： (1)P(A)表示事件“豆子落在正方形EFGH内”
的概率，为几何概型，P(A)＝S正方S形圆EOFGH＝2π. (2)P(B|A)表示在A条件发生的前提下，事件B发生的概
率，即“豆子落在正方形内的前提下，落在阴影部分的概
1 率”，P(B|A)＝PPA∩AB＝22π＝14.
π
答案：
2 (1)π
＝PPDA＋PPDB＝12C210860＋
C206 12 180
＝1538.
C206
C206
所以他获得优秀成绩的概率是1538.
变式训练1: 一批晶体管元件,其中一等品占95%,二等品占4%, 三等品占1%,它们能工作5000小时的概率分别为90%,80%,70%, 求任取一个元件能工作5000小时以上的概率.