张量分析第二章
02张量分析
1.矢量场的旋度 令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数，于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地，二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi
ai i ai xi
18
显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下， divT divT ，现证明如下：
divT
diva d iva
因此，今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别，统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义：
dTij dT dT 的分量 给出。 由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上，因为 Tij e i T e j ，又因 i 0 ，故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成
f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i
【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章 矢量代数与矢量分析
（2.1-3）
在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：
o 0 i1 0 i2 0 i3
同时长度为1的矢量称为单位矢量。 应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。
例2 ： 图 2－4 所示具有坐标系的矢空间 V 中 矢量a、 b。试求 2a +1.5b在{o；i1， i2 }中的表示。 a (3 1) i 1 (1 0) i 2 2 i 1 i 2 解：
a b ( ai i i ) (b j i j ) ai b j ij ai bi b a ; a , b V
（2.1-4） （2.1-5）
1 ; i j i i i j ij 0 ; i j
其中δij称为Kronecker符号。 定义矢量积
例6 ：
证明e—δ恒等式： eijk eimn jm kn jn km 证： 由（2.1-12）式有：i j ik e jkiii eijkii
im in emne ie eemn ie
eijkeemn ii ie (i j ik ) (im in ) (eijkii ) (eemnie ) (i j ik ) (im in ) eijkeemn ie (i j ik ) (im in )
X2
x2
x r2 o r1 x1 (a ) X1
x2 i2 x i1 x1 X1
X2
(b )
图2－3
设V的坐标系为{o；i1，i2，i3}，V中矢量的加法和矢量与 数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，y ∈ V；α，β ∈F有 x y xi yi
i i i i
( xi yi ) ii
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
习题答案—第二章
第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。
解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。
第2章 张量分析(6.8)
第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。
如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。
R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。
设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。
3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。
基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。
于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。
设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。
② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。
张量分析第二章
x2 x i2 i1 i2 r x1 o i1 图2－11
1
n
1
n
x = x1 (t1 , L , tn )i1 + x2 (t1 , L , tn )i2 + x3 (t1 , L , tn )i3 = xi (t1 , L , tn )ii
（2.3-4）
称为多参数变量矢量函数的矢量方程。 x (t , L , t ), x (t , L , t ), x (t , L , t ) 称为多参数变量矢量函数的参数方 程。参数方程在 {o；i1，i2，i3} 中描绘的曲线称为矢端曲 线（面）。 具有一个参数的矢量函数矢端曲线（二维映射分析）： 设x = x (t) , b≤t≤a。在平面坐标系{o；i1，i2}中，矢量x 随t的变化，且： x = x (t )i + x (t )i x完全由x1(t), x2(t)的变化确定。 对t的每一个给定值t = t * (b≤ t*≤a)，由 x1(t), x2(t)在i1，i2 坐 标轴上确定两个点。其坐标值为 x (t ), x (t )（如图2－12所示）。 同时在坐标系{o；i1，i2 }中 uur x (t ), x (t ) 坐标确定一点A*。位置矢量 oA* = x (t ) 显然随t在[a ，b]区间的不同取值x (t)位置矢量平面描绘一条曲线。
1 1 n 2 1 n 3 1 n
的坐标 x (t , L , t ) , x (t , L , t ) , x (t , L , t ) 当 t → t 存在，且极限值为 x , x , x ，则当 t → t 的极限存在。且 x (t , L , t ) 的极限为：
0
01
, L , t n → t0 n
教材张量分析及场论
张量分析与场论 第一章 张量代数任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志为转移。
但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。
无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。
由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然与坐标系的选取有关。
在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。
张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本质，并突出现象的几何和物理特点。
张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。
第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。
1.1点积、矢量分量及记号ij δ我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，如位移u ρ，力F ρ等。
这些量满足平行四边形运算的矢量加法法则，即设u ρ，v ρ为矢量，则v u w ρρρ+=的运算如右图所示。
在理论力学中我们还知道，如u ρ表示某一点的位移，F ρ表示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为 其中F ρ、|u ρ|分别表示矢量F ρ、u ρ的大小，θ表示矢量F ρ与矢量u ρ之间的夹角，这就定义了一种称为点积的运算。
点积的定义：设u ρ，v ρ为两个任意矢量，设|u ρ|，|v ρ|分别为其大小（也称为模）。
θ为这两个矢量之间的夹角，则u ρ与v ρ的点积为由点积定义可知，点积具有交换律，即u ρ•v ρ=v ρ•u ρ。
可以用几何的方法证明点积也具有分配率，即如w ρ=u ρ+v ρ，则或可写为如果0v u =⋅ρρ则称u ρ垂直于v ρ，记为u ρ⊥v ρ。
由点积的定义可知，2u u u ρρρ=⋅。
2第02章张量分析(第01讲)
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
第二章张量分析
rT
ij
k
r i
g
j
g
k
rT rj k g j k
若 T a ai )
gr [(rai )gi ai pri g p ]
r
ai
r i
ai
p r ri p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
每项偏导只对其后带点的符号求导
2.10.1协变导数
i p
gr[(rT ij k )gi
gj
gk
T ij k
(
g p ri p
gj
gk
g p rj i
gp
gk
g k rp i
gj
g p )]
j p
k p
g r [(rT ij k ) gi
gj
gk
T ijk (
g i
rp i
gj
gk
g j
rp i
iak
ak ;i
iak
ap
k ip
2.10.2 逆变导数
协变导数的指标是张量指标，故可通过逆 变度量张量升高协变导数的指标来定义逆变 导数如下：
sT ij k g srrT ij k
2.10 不变性微分算子
––– 梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子
以三阶混合张量
T T ij k gi g j gk T ij k gij k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
gr r ai gi gr gir ai srir ai gs
2.10.4拉普拉斯算子 设 T T ij k gi g j gk 2T T rrT ij k gij k
张量基础知识分解
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率 张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定 律可表示为
J E
11 12 13 21 22 23 31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分
量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量
的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换
时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3, 在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
p p1e1 p 2e2 p 3e3 p * 1e * 1 p * 2e * 2 p * 3e * 3
点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描 述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
或表示成分量形式
Ji ijEj （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
矩阵形式
J 1 11 12 13 J 2 21 22 23 J 3 31 32 33
第二章 张量分析
P P x1' , x 2' , x 3' P x i'
这种坐标系记为 xi。' 这两组变量
x1 , 和x 2 , x 3 表示x同1' 一, x空2' , x 3'
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi'
aigi a jg j aia j gi g j
aiaj 0
令
gij gi g j
g ij g i g j
gi j gi g j g j gi
它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量
考虑到矢量a的任意性 g ji gi g j i j
可知：基矢量 g与i 是g i 正交的，它们称为互逆基矢量 互逆基矢量间具有下列关系：
gig j g k gi g j g k gig j g k eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk
由此定义可知
123 g1g 2g3
123 g1g 2g3
对于矢量 a 0 ，则有
a 2 a a a i g i a j g j a i a j g i g j ai gi a j g j ai a j gi g j
(ii) x 2' (常 数 C)为2 通过z轴的平面； (iii) x3' (常z 数 C)3为垂直于z轴的平面；
和坐标曲线：
(i) x1' 和r C1 x的2' 交线 (zC线2 )是直线； (ii) x 2' 和 C2 的x3'交线z (r线C3)是直线；
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论
第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论上一章讨论了张量的代数运算，而连续介质力学要求研究连续介质微元体之间的关系，这就要求把微积分引入张量的运算中，从而形成了张量分析与场论。
本章我们将重点介绍正交曲线坐标系中的张量分析及一些有关场论的知识，关于一般曲线坐标系中张量分析的知识不在我们课程讲授的范围之内，我们在第三章中给出有关内容的简单介绍，供有兴趣者参考。
相对于一般曲线坐标系，有些文献和教科书上也把正交曲线坐标系称为非完整系物理标架。
2.1、矢量函数、及其导数与微分1）.如果一个矢量A 随着某一参数q 在变化，则称这个矢量()q A为矢量函数，在直角坐标，也称笛卡尔坐标中()q A可表示为()()()()k q A j q A i q A q A z y x++=如果把矢量A 的起点放在原点，随着q 的变化，A的端点将在空间描述出一条曲线，这条曲线称为A的矢端曲线，矢端曲线是以参数形式给出的。
矢端曲线上一点M ，矢量叫做点M 的矢径，用r表示。
矢端曲线的参数方程为A r=，即其分量满足的方程为()q A x x =； ()q A y y =； ()q A z z = 例：圆柱螺旋线。
参数方程为：()k a j a i a rθθθθ++=sin cos其中θ为参数。
2）.矢量函数的导数矢量函数的导数的定义为：如()()qq A q q A q A q q ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 00lim lim存在，则称为()q A 在q 点的导数或导矢，记为qA ∆∆或A '。
在直角坐标中，由于i e是常矢量，因此导数的表达式为()()()()i i i i i q i i i i q q e qA e q q A q q A q e q A e q q A q Adq A d∂∂=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆000lim lim lim即k dqdA j dq dA i dq dA dq A d z y x++=s导矢()q A '的几何意义：如果导矢A ' 存在，且0≠'A ，则A '的方向表示矢端曲线的切线方向，并指向q 增加的方向。
北航张量分析课件02
②各项中哑标必须成对出现（不能有两 个以上相同的哑标符号），符号可任换， 各项的展开项数由哑标数决定。
③在指标符号不变的情况下指标式的代 数运算规则与常规代数式运算规则 相同 (这是由代数运算的交换律、结合律、分 配律等代数运算规则所保证的。).
3
指标一致性法则
k x j x j i xi xk x j x j xi xk i
Sij Sij
ij Cijkl kl
1.2 将分量式写为指标式
a11 a21 a 31 a12 a22 a32 a13 x1 b1 a23 x2 b2 x b a33 3 3
1.3 叉积与轴向量 10
置换符号 ijk
1 ijk 1 0
对于右手系
ijk 的偶排列 123 ,231, 312 正循环排列 ijk 的奇排列 132 ,321, 213 逆循环排列 ijk 的重复排列 等价于
1
i, j,k
e j ek ijk ei
由矩阵乘法的行列式性质
ijk e , e , e i j k
eir er eir emr e jr er e jr emr
ek1 ek2 ek3 e em3 en3 eir enr ei e ei em ei en e jr enr e j e e j em e j en ek e ek em ek en
22
1.6利用向量基本特性（见公理化定义） 及叉积基本运算特性:
a b b a
证明：
a b a b
a b c a c b c
a b a b a b a b
张量分析2
第二章 张量代数 §2.1 张量的加法（减法）两个同阶、同变异（结构）的张量可以相加（或相减），张量相加（或相减）是相加（或相减）其同名的分量。
设i jk .A 、i jk .B 是张量，则i jk .i jk .i jk .B A C += (2.1-1)也是张量。
可以证明，i jk .A 、i jk .B 相加（相减）的结果是一个同阶同变异的张量。
今证明如下。
设坐标系由i x 作容许变换为另一新坐标系i x ,则张量i jk .A 、i jk.B 按以下法则变换：)x (A xx x x x x )x (A pqr .k j p r q i ijk .∂∂∂∂∂∂=)x (B xx x x x x )x (B pqr .k j p r q i i jk .∂∂∂∂∂∂=将上两式相加得)]x (B )x (A [xx x x x x )x (B )x (A p qr .p qr .k j p rq i i jk .i jk .+∂∂∂∂∂∂=+上式表明))x (B )x (A (p qr .p qr .+是张量，它与i jk .A 、i jk .B 服从同样的变换法则，因此，它与i jk .A 、i jk .B 是同阶同变异的张量，记为i jk .C ,即p qr .kjp r q iijk.C xx x x x x C ∂∂∂∂∂∂=由此证明，两个同阶、同变异的张量相加（或相减），其结果是一个同阶同变异的新张量（（201-1）式）。
§2.2 对称张量、反对称张量一、对称张量一般来说，ji ij C C ≠。
但在以前和以后的讨论中都可看到，对于许多张量来说，滿足如下的关系式：jiijC C = (2.2-1)这样的张量，称为二阶对称张量。
同样，ij C 也是二阶对称张量，若它们滿足以下的关系式：ji ij C C = (2.2-2)例如，基本度量张量mk g 和相伴度量张量mk g 都是对称张量，见（1.5-4）式和（1.6-3a ）式对称张量的对称性质在坐标变换时是不变的。
张量分析答案完整版
T i j k = βri βs j βt k T rst T
' ' i 'j k ' ' '
' ' '
'
'
'
= β ir β js β kt Trst
' ' ' ' ' ' '
T..ik j = βri βs j β kt T..trs T. ij k = βri β s βt T r j k .st
∴T 与S具有相同的主不变量。
2.4 求证： （1） [T ⋅ u v w ] + [u v T ⋅ w ] + [u v T ⋅ w ] = φ1T [u v w ]
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x1
r t
(er3
)
面力:
t*e(1)S1
t*e(2)S2
t*
S e(3) 3
动平衡有(合外力为零):
t * ( n r ) S t * ( e r 1 ) S 1 t * ( e r 2 ) S 2 t * ( e r 3 ) S 3 b V a V 0(3)
体积
2.2 基本概念
2.2.1 均匀性与各向同性 均匀性，是指在所有的质点上都具有同样性质。具有
这样性质的物质称做均匀物质。 各向同性，是指在一个质点上在其所有的方向上物质
均具有同样的性质。这样的物质称为各向同性物质。 各向异性，是指在一点上在不同方向具有不同性质。
这样的物质称做各向异性物质。
2.2.2 质量密度
面力:作用在连续介质面元上的力, 面元可以是介质的 外表面，也可以是介质内部面，面力的大小方向都与 作用面的方向有关。压力和摩擦力都属于面力.
f
x3
bV
图中
r f
面力,
r b
为体力.
o
x2
x1
2.2.4 柯西应力法则和应力矢量
应力矢量:作用在物体内部单位截面上的力。特点:矢量,有方向
柯西应力法则：当 S 在 P点趋于零时，fr / S 趋于一定的
x1
正应力:垂直于坐标平面的应力分量 (两下标相同) 11,22,33
剪应力或切应力:与坐标平面相切的应力分量(两下标相异)
1 2, 2 1, 1 3, 3 1, 2 3, 3 2
i j 表示作用在其外法线平行于第i坐标轴的平面上,并
指向第j坐标轴向的分量.
2.3.2 应力张量与应力矢量间的关系
V1 6x1x2x31 3Sh
有:
t* (n r) t* (e r 1 )n 1 t* (e r2 )n 2 t* (e r3 )n 3 (b a ) 3 h 0
(4)
Hale Waihona Puke 当体元收缩到P点时,即 h 0 、 t * ( n r ) t ( n r ) 、 t * ( e r i) t ( e r i)
小体元 V , 质量用 m 表示,小体元中包含点P.
则在 V 中介质的平均密度为 m
V
x3 V
V P
o
x2
x1
V 内某一点P的密度定义为
lim mdm V0 V dV
(1)
2.2.3 体力和面力 体力: 作用在连续介质体各个部分，即各个质点上的有 距离力。如重力、磁力等，体力也称作质量力。
极限
r df
/
ds
. 取极限的过程中绕 P点的力矩 M
同时趋于零。
rr
数学表达:
limf
S0 S
df dS
f
limM0
S0
r 应力矢量: df dS
lim t(n )(ti(n ))S 0 S f d dfS
M
x3
bV
o
x1
(2)
f
nr
P S R
x2
2.3 应力张量 2.3.1 应力张量
一的点单的位应法力线状nr 态一由起P确点定所.有的应力矢量 t(n) 同其相应
P点任一面上的应力矢量与三个坐标平面上的应力矢量
的关系式：
t (n ) t (e 1 )n 1 t (e 2 )n 2 t (e 3 )n 3
(5)
应力矢量与应力张量的关系
用指标形式表示:
t(nr ) j
niij
或
tr(nr) nrg
(6)
矩阵表示形式: 11 12 13
[t1(nr),t2(nr),t3(nr)][n1,n2,n3]21 22 23
设四面体底面ABC的面积 为 S ，则其他三个面的面
积为 S 的投影，即：
CPB APC APB
S
1
1 2
x2 x3
Sn1
S
2
1 2
x1 x3
Sn2
S
3
1 2
x1 x2
Sn3
惯性力: aV
体力: bV
r t
(er2
)
A
x1
x3
r t
(er1)
C
nr
x3
r t
(
nr
)
b x2
P
B
31 32 33
分量表示形 式:
t(nr )
1
n111
n221
n331
tr(er3) t1(er3)er1t2(er3)er2 t3(er3)er3 ti(er3)eri
x2
t (ei )
j
ij
x3
33
应力张量
ij
11 12 13
或表达成: [ij ] 21
22
23
31 32 33
13
31
32 23
12 21 11
22
x2
Volume of element
Density
※强调几点： （1）引进连续介质假设后，不再考虑介质的分子结构，将 介质近似看成由介质质点连续无空隙的组成。
（2）在连续介质力学中所说的质点位移，不是指个别分子 的位移，而是指含有大量分子的质团位移。
（3）当我们在连续介质内某一点A处取极限时，不管离A多 么近的地方均有质点存在，并有确定的物理量。
第二章 应力分析
重点内容: 1.应力张量, 应力张量与应力矢量之间的关系; 2. 应力张量对称性及其变换规律; 3.主方向,主应力和应力不变量;
2.1 连续介质假设 介质的质点连续地充满介质所占据的空间，没有一点
空隙，即把介质看作由连续不断的质点所构成的体系，质 点的存在以其所占据的空间位置来体现。
x3
r t
( er1
)
x3
r t
( er 2
)
r t
( er 3
)
x3
r
e3
P r
P
r e2
x2
P
x2
x1e 1
x2
x1
x1
x3
r t
( er 3
)
er 3
上面三图合
在一起
r e1
r t
( er 2
)
er 2
r t
(
er1
)
x1
tr(er1) tr(er2)
t1(er1)er1t2(er1)er2 t3(er1)er3 ti(er1)eri t1(er2)er1t2(er2)er2 t3(er2)er3 ti(er2)eri
质点: ”宏观小微观大”
宏观小 分子团的尺度与所研究问题的特征尺度相比足够小, 平均物理量可以看作均匀不变.
微观大 质团的特征尺度远远大于分子运动的尺度,该质团 中包含有大量分子, 对这些分子集团进行平均统计 后能得到稳定数值.
※连续介质假设在一般情况下是完全合理的，是连续介质 力学第一个且带有根本性质的假设。但是在某些特殊条件 下这种假设亦可能有 问题。例如，导弹在高空飞行时，周 围空气很稀薄，分子间的距离 很大，它能和物体的特征尺 寸相比拟，不能把分子团作为一个质点. ※上述数学上的 连续介质定义，在现实世界中是不存在的。 用气体介质作为例子，当取定很小体积时，密度变化很大， 甚至到极端，可能只有一个分子的情况。