计算方法作业参考答案(不断更新)

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第一次作业

1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，指出他们有几位有效数字，并写出绝对误差限。

9800107480.566.385031.01021.1*65*5*4*3*2*1=⨯=====x x x x x x

解： 1*

11011021.01021.1⨯==x ，有5位有效数字，绝对误差限为4-5-1105.0105.0⨯=⨯； 1-*

2

1031.0031.0⨯==x ，有2位有效数字，绝对误差限为3-2-1-105.0105.0⨯=⨯； 3*

3103856.06.385⨯==x ；有4位有效数字，绝对误差限为-14-3105.0105.0⨯=⨯；

2*

41056480.0480.56⨯==x ；有5位有效数字，绝对误差限为3-5-2105.0105.0⨯=⨯；

;

65*

5

107.0107⨯=⨯=x ；有1位有效数字，绝对误差限为51-6105.0105.0⨯=⨯； 4*

6

109800.09800⨯==x ；有4位有效数字，绝对误差限为5.0105.04-4=⨯。

2.要使20的近似值的相对误差限小于%1.0，要取几位有效数字

解：由于110447213595.047213595.420⨯⋯=⋯=，设要取n 位有效数字，则根据

定理，有()()%1.01081

1021111<⨯=⨯≤----n n r x ε，解得4≥n ，即要取4位有效数字。

3.序列{}n y 满足递推关系,,2,1,1101⋯=-=-n y y n n 若41.120≈=y ，计算到10y 时误差有多大这个计算过程数值稳定吗

解：()()()*00*222*11*101010y y y y y y y y n n n n n n n -=⋯=-=-=-----，由于*0y 有3位有效数字，且1*010141.041.1⨯==y ，所以*0y 的绝对误差限为2-105.0⨯，因此*10y 的绝对误差

限为72-10105105.010⨯=⨯⨯。很明显这个计算过程不是数值稳定的。

】

作业中出现的问题：

第一题：主要是第五个数5*

5107⨯=x ，不知道它有几位有效数字，很多同学认为有

5或者6位有效数字，这是不对的，进而算错绝对误差限。另外有个别同学分不清有效数字的概念，六个数的有效数字都弄错了。 第二题：主要是算错n ，不知道该取3还是4。

第三题：没有什么大的问题。有个别同学一个数一个数的算出来了，这是不可取的。直接迭代误差就行了。

附：地物1301班和1302班有几个同学花名册上没有名单，我添加上去了。

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第二次作业

1. 利用二分法求方程在[2,3]内根的近似值，并指出误差。

解：

，当

时，

，则

在[2,3]上有且只有一个根。

；

取，;

取

，;

取，;

取，;

故可取根的近似值为;

-

误差|≤。

2.证明方程在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于

的根需要二分区间多少次

解：令，，故，且，故在[0,1]内有唯一的根。

设需要二分区间次，则有，故需要二分区间14次。

3.为求方程在附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：

(1)，迭代公式;

！

(2)，迭代公式;

(3)，迭代公式。

试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解：设，则，，所以方程在[，]上有根。

(1)，，，当时，，所以迭代格式收敛。

(2)，，，当

时，，所以迭代格式收敛。

(3)，，，当时，

，所以迭代格式发散。

选择迭代格式(2)，.计算到，具有四位有效数字。

）

作业中出现的问题：

第一题：有的同学没有讨论根的存在唯一性，再就是没有二分足够的次数或者分的次数太多，另外不会利用误差公式来计算误差。

第二题：没有什么大问题，有部分同学算的时候没有减一，导致结果是15次。

第三题：有的同学选取的区间不对（太大），导致分析收敛性的出错，其次是有的同学利用迭代公式(1)计算，这样计算的很慢，很繁琐，推荐使用迭代公式(2)计算比较好，另外计算的时候，没有分清什么是有效数字，导致计算结果不对。

第三次作业

1. 求方程

在

附近的一个根，试分析三种迭代公式的收敛性：

(1)，迭代公式; (2)

，迭代公式

;

(3)，迭代公式

。

解：设

，则

，

，所以方程

在[，]上有根。

(1)，，，当时，，

所以迭代格式收敛。

(2)，，，当

时，

，所以迭代格式收敛。

(3)，

，，当时，

，所以迭代格式发散。

选择迭代格式(2)，.计算到，具有四位有效数字。

2. 应用牛顿法解方程03=-a x ，导出求立方根3a 的近似公式。

解：令()a x x f -=3，则3a 为方程()0=x f 的根，且()2'3x x f =，则求3a 的牛顿迭

代公式为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=--=+22312313k k k k k k x a x x a x x x 。 当3=a 时，取5.10=x ，通过计算可得44224.1,44225.1,4444.1321===x x x ，取四位有效数字所以442.133≈。

3. 利用割线法求0133=--x x 在2=x 附近的一个根，取9.1,210==x x ，保留四位有效数字。

解：令()133--=x x x f ，初值9.1,210==x x ，利用公式

()

()(

)(

)

1313131

3

1313

1---------

=---+k k k k k k k k

k k x x x x x x x x

x x 进行迭代：

()()[]()

8794

.18795.18796.18800.10389.09189.18813.17.79.1/1.07.69.19.16543332≈≈≈≈-=≈--⨯--=x x x x x

综上，0133=--x x 在2=x 附近实根精确到四位有效数字的近似值为。

作业中出现的问题：

第一题：没有什么大问题。

第二题：没有什么大问题，有个别同学迭代公式写错了，导致结果出错。 第三题：主要要是四位有效数字，有很多同学都计算错了。迭代公式基本没错。