Hammerstein型非线性积分方程的一种数值新 方法

假设算子 ki 满足 Lipschitz 条件如下
kiϕ1 − kiϕ ≤ M i ϕ1 − ϕ2
常量 0 < M i < 1 ，之后等式(4)在 Hilbert 空间 H [ a, b ] 有唯一解。 证明：假设
T = f ( ) + kiϕ iϕ
i
然后等式(4)被改写为
ϕ ( i ) = Tiϕ
对于 ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ H [ a, b ] ，我们有
Tiϕ1 − Tiϕ2 = kiϕ1 − kiϕ ≤ M i ϕ1 − ϕ2
ϕ ( x ) ，并且 ϕ ( x ) 满足 ϕ ( i ) = Tiϕ ， i = 1, 2, , n 。
系列积分算子的和表示，即
方程 ϕ = T0ϕ 在 H [ a, b ] 上有唯一解 这里算子 Ti ( i = 0,1, 2, , n ) 是收缩算子。基于 Banach 不动点定理，
( hξ )
dnΩ n ! dy n
n
+ Rn (θ k , h, ξ ) ,
y = xk
(8)
Rn (θ k , h, ξ ) =
因此算子 ( k0ϕ ) ( x ) 近似为
( hξ ) d n+1Ω ( n + 1)! dy n+1 y=θ
n +1
, xk ≤ θ k ≤ xk + hξ ,
k
(9)
ki ( i = 0,1, 2, , n ) 被定义为
ki : H [ a , b ] → H [ a , b ]
和
= ( kiϕ ) ( x )
DOI: 10.12677/aam.2018.74043
(i ) ∫a K x ( x, y ) Ω (ϕ ( y ) ) dy
b
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应用数学进展
张利花 等
( j) = , n 和 k 0,1, , m − 1 。 ϕ ( x ) 的近似解可以进一步给出 数值解 ϕk 其中 j = 0,1,
m−1 n h j d jΩ ϕ m ,n ( x ) = f ( x ) + h∑∑ j ( j) = k 0= j 0 j ! dy x ,ϕ
(
k
k
)
∫0 K ( x, xk + hξ ) ξ
= xk= a + kh , k = 0,1, , m , h
通过引进变量 ξ 和 = y xk + hξ ，等式(5)能进一步表达为
(b − a )
m,
(6)
k0ϕ ) ( x ) h∑ ∫0 K ( x, xk + hξ ) Ω (ϕ ( xk + hξ ) ) dξ , (=
k =0
m−1 1
文章引用: 张利花, 廖珊莉, 吴远波. Hammerstein 型非线性积分方程的一种数值新方法[J]. 应用数学进展, 2018, 7(4): 348-355. DOI: 10.12677/aam.2018.74043
张利花 等
关键词
Hammerstein式积分方程，Taylor级数展开，分段近似，收敛性与误差估计
(7)
现在假设 Ω (ϕ ( xk + hξ ) ) 能被表达为以下的 Taylor 级数展式
′ (ϕ ( xk ) ) ϕ ′ ( xk ) + + Ω (ϕ ( xk + hξ ) ) = Ω (ϕ ( xk ) ) + ( hξ ) Ωϕ
Rn (θ k , h, ξ ) 是 Lagrange 余项且
1
j
dξ ,
(14)
其中 a ≤ x ≤ b 。 采用分段逼近和 Taylor 级数的思想来展示(14)的近似解。显然，当 n 较大时，非线性系统(13)将是复 杂的，一般情况下，我们可以选择 n = 0,1 或 2 和一个较大的 m 去获得精确解的一个比较好的近似解。
3. 收敛性和误差估计
这一部分，近似解 ϕm,n ( x ) 的收敛性和误差估计是重点。首先，我们给出一个引理如下： 引理 1：如果有以下条件
之后等式(1)可以被写成算子的形式
∫a K ( x, y ) Ω (ϕ ( y ) ) dy ,
b
x ∈ [ a, b ] ,
(2)
f ( x ) , x ∈ [ a, b ] , ( I − k0 ) ϕ ( x ) =
(3)
这里 I 表示单位算子，由文献[1] [2] [3] [4] [5]可知函数 K ( x, y ) , Ω (ϕ ( y ) ) 和 f ( x ) 在不同的假设条件 下 Hammerstein 型积分方程解的存在性和唯一性引起了很多关注。文献[6]将 Petrov-Galerkin 方法推广到 求解非线性的 Hammerstein 型积分方程。文献[7]采用 Toeplitz 矩阵方法对 Hammerstein 型的非线性积分 方程进行了数值求解。 本文的目的是为 Hammerstein 式的非线性积分方程(1)提供一种新的数值方法。基于泰勒级数展开和 分段逼近的思想，给出了 Hammerstein 型非线性积分方程的离散化方案，进一步分析了逼近解的收敛性 和误差估计。数值结果表明了该方法的有效性。
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应用数学进展
张利花 等
从方程(10)和(12)可以构造 Hammerstein 型非线性积分方程的离散化格式为
ϕl(i ) − h∑∑
= k 0= j
m−1 n
h j d jΩ j 0 j ! dy
( xk ,ϕkj )
i (i ) j f ( ) ( xl ) , ∫0 K x ( xl , xk + hξ ) ξ dξ = 1
b
(1)
非线性形式 ϕ ( y ) ∈ R 的已知函数，非线性积分算子 k0 被定义为
f ( x ) 是 [ a, b ] 上的已知函数，ϕ ( x ) 是在给定内核 K ( x, y ) ∈ [ a, b; a, b ] 上需要被解的未知函数， Ω (ϕ ( y ) ) 是
= ( k0ϕ ) ( x )
为了求解(1)的数值解，选择一系列正交点 a = x0 < x1 < < xm = b 且 m ≥ 1 。积分算子 k0 能进一步被一
= ( k0ϕ ) ( x )
∑ ∫x
k =0
m−1
xk +1
k
K ( x , y ) Ω ( ϕ ( y ) ) dy ,
(5)
此外，为了方便我们采取等距正交分点，即
Keywords
Hammerstein-Type Integral Equation, Taylor-Series Expansion, Piecewise Approximation, Convergence and Error Estimate
Hammerstein型非线性积分方程的一种数值新 方法
Open Access
1. 引言
积分方程在数学物理的许多分支中出现，如弹性、湿热弹性、流体力学和断裂力学等。因此，解决 线性或非线性积分方程的数学理论和数值解是很重要的。本文考虑 Hammerstein 型的非线性积分方程
ϕ ( x ) − ∫a K ( x, y ) Ω (ϕ ( y ) ) dy = f ( x ) , x ∈ [ a, b ] ,
th th th
Abstract
This paper presents a new numerical method for a nonlinear integral equation of Hammerstein type. Based on the thought of Taylor series expansion and piecewise approximation, a discretization format for the nonlinear integral equation of Hammerstein type is made, and the convergence and error estimate of the approximation solution are given. The feasibility and validity of this method are verified by numerical simulation. It has good research and reference value.
A New Numerical Method for a Nonlinear Integral Equation of Hammerstein Type
Lihua Zhang, Shanli Liao, Yuanbo Wu
School of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning Guangxi Received: Apr. 7 , 2018; accepted: Apr. 19 , 2018; published: Apr. 26 , 2018
(4)
这里 i = 0,1, 2, , n 在给出一种新的数值方法之前，我们需要考虑(4)式中一系列的 Hammerstein 式积 分方程解的存在性和唯一性。我们有下面的定理： 定理 1：假设 H [ a, b ] 是一个 Hilbert 空间且 f ( i ) ( x ) ∈ H [ a, b ] 和 ϕ ( i ) ( x ) ∈ H [ a, b ] ， i = 0,1, 2, , n 算子
(13)
i = 0,1, , n 和 l 0,1, , ( m − 1) 。此后 =
d jΩ dy j
(
( j) xk ,ϕk
)
( j) 意味着变量 y = xk 和近似值 ϕk 替代精确值 ϕ ( j ) ( xk ) 。
一般可以用迭代法求解非线性系统(13)，一旦 m ( n + 1) 的非线性系统被解决，我们就可以获得 ϕ ( j ) ( xk ) 的
n = k0 ϕ ( x ) h∑∑ = k 0= j
(
)
m−1 n
h j d jΩ j 0 j ! dy
y = xk
∫0 K ( x, xk + hξ ) ξ
1
j
dξ ,
(10ϕ ) ( x ) h∑ ∫0 K x( ) ( x, xk + hξ ) Ω (ϕ ( xk + hξ ) ) dξ ,
张利花，廖珊莉，吴远波
广西大学数学与信息科学学院，广西 南宁
收稿日期：2018年4月7日；录用日期：2018年4月19日；发布日期：2018年4月26日
摘
要
本文提出了一种新的Hammerstein型非线性积分方程的数值方法， 主要基于泰勒级数展开和分段逼近的 思想，给出了Hammerstein型非线性积分方程的离散化方案，分析了逼近解的收敛性和误差估计，并通 过数值模拟验证了该方法的可行性和有效性，具有很好的研究与参考价值。
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2018, 7(4), 348-355 Published Online April 2018 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2018.74043
i k =0
m−1 1
(11)
i = 1, 2, , n ，等式(11)进一步近似表达为
kinϕ ( x ) h∑∑ =
k 0= j =
(
)
m−1 n
h j d jΩ j 0 j ! dy
y = xk
(i ) j ∫0 K x ( x, xk + hξ ) ξ dξ ,
1
(12)
DOI: 10.12677/aam.2018.74043
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
2. 一种新的数值方法
在假设条件 K ( x, y ) ∈ C n+1 [ a, b; a, b ] 和 f ( x ) , ϕ ( x ) ∈ C n [ a, b ] 下，在等式(1)的两边对 x 积分 n 次，得到
i (i ) ϕ (i ) ( x ) − ∫a K x f ( ) ( x ) , x ∈ [ a, b ] , ( x , y ) Ω ( ϕ ( y ) ) dy = b