高三导数总复习教案

导数的应用

一、结合函数的单调性

1、求函数的单调区间

步骤：①先明确函数的定义域

②求出函数)(x f 的导数)(x f '

③求单调增区间时令0)(>'x f ,求单调减区间时令0)(<'x f

例1、求下列函数的单调区间：

⑴52)(24--=x x x f ⑵nx x x f 12)(2-= ⑶ex e x f x -=)(

例2、已知函数nx ax x f 1)(2+=，求函数)(x f 的单调区间

2、已知函数的单调性或单调区间，求字母参数的取值范围

若)(x f 在某区间I 上单调递增，则0)(≥'x f ()x I ∈恒成立

若)(x f 在某区间I 上单调递减，则0)(≤'x f ()x I ∈恒成立

注意：在利用0)(≥'x f 或0)(≤'x f 取等号时，函数)(x f 是否会为常数函数，如果是，则不能取等号，即0)(>'x f 或0)(<'x f

例1、 函数12)(23+++=x x ax x f 是R 上的增函数，求实数a 的取值范

例2、 已知函数)0(ln 22)(2>++-=a x x ax x f 在定义域上是单调增函数，求实数a 的取

值范围

例3、 已知函数()2ln b f x ax x x

=--，()10f =.)(x f 在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围；

例4、 若函数3211()(1)132

f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围。

例5、已知32()1,f x x ax x a R =+++∈

（1）讨论()f x 的单调区间

（2）讨论函数()f x 在区间21(,)33

--内是减函数，求a 的取值范围

5、和单调性的综合应用

0)()()()(>'+'x g x f x g x f 代表函数[]0)()(>'x g x f 即函数)()(x g x f 递增

)()(x g x f '>' 代表0)()(>'-'x g x f 即函数)()(x g x f -递增

0)()(>'-x f a x 代表，当a x >时，0)(>'x f ，函数)(x f 递增，

当a x <时，0)(<'x f ，函数)(x f 递减，

例1、设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()0,g x ≠，当0

0)()()()(>'-'x g x f x g x f 且(3)0,f -=则不等式0)

()(

，判断函数()()f x F x x

=在(0,)+∞上的单调性； 二、求函数的极值、在闭区间上的最值：

理解：1“极值点”即是方程0)(/=x f 的根。

2但是方程0)(/=x f 的根0x 不一定是极值点，因为可能0x 左右两边的单调性相同 3所以导数对应的方程0)(/=x f 根的个数不能代表函数)(x f 极值点的个数，还必

须考虑单调性（当然前提要考虑定义域）

4在闭区间[]b a ,上求最值或值域：先求出极值，再比较和端值)(a f 、)(b f 的大小 5极值与函数零点的关系：讨论极值点的正负

例1、 函数32()32f x x x =-+在区间[1,1]-上的最大值

例2、 求函数x e x x f -=2)(的极值

例3、求函数28)(24+-=x x x f 零点的个数

三、函数图象某处的切线

切线斜率的概念：函数图像的切线：曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率等于该处对应的导数值。

例1、 过点(3,9)与曲线x x x y 33

123-+=相切的切线方程为 例2、 曲线x y cos =在点),3

(0y P π处的切线方程为 例3、 曲线55

1x y =上一点M 处的切线与直线x y -=3垂直，求此切线方程