7.3 7.3.1 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课标要求素养要求通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义.通过了解复数的三角表示及复数乘、除的几何意义，体会数学抽象及数学运算素养.教材知识探究前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；二是几何表示，复数z 既可以用复平面上的点Z (a ，b )表示，也可以用复平面上的向量OZ→来表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数z 的模和辐角来表示复数. 问题 复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？提示 复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好由复数的代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.1.复数的三角形式一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos__θ＋isin__θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 2.辐角主值规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg__z . 3.复数三角形式的乘法两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. 4.复数三角形式的除法两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].教材拓展补遗[微判断]1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.(√)2.复数0的辐角是任意的.(√)3.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.(√) [微训练]1.复数1＋i 的辐角主值为( ) A.π6B.π3C.π4D.π2 解析 因为复数1＋i 对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝π4. 答案 C2.将复数i 对应的向量ON→绕原点按逆时针方向旋转π3，得到向量OM →，则OM →对应的复数是( ) A.32＋12iB.－32＋12iC.－32－12iD.32－12i解析 i ＝cos π2＋isin π2，将ON →绕原点按逆时针方向旋转π3得到OM →＝cos 5π6＋isin 5π6＝－32＋12i. 答案 B3.若z ＝cos 30°＋isin 30°，则arg z 2＝( ) A.30°B.60°C.90°D.120°解析 因为z ＝cos 30°＋isin 30°，则z 2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝(cos 30°＋isin 30°)×(cos 30°＋isin 30°)＝cos 60°＋isin 60°，故arg z 2＝60°. 答案 B [微思考]1.复数的辐角有怎样的特征？提示 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍，复数0因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.2.你能根据复数的三角形式来解释i 2＝－1的几何意义吗？提示 i 本身可以用坐标平面上y 轴的点(0，1)表示.而i 2＝i ×i 表示把y 轴上的点(0，1)绕原点逆时针转90度，就变为x 轴上的点(－1，0).题型一 复数的代数形式化为三角形式 【例1】 将下列复数代数式化成三角形式： (1)3＋i ；(2)1－i.解 (1)r ＝（3）2＋12＝2，所以cos θ＝32，对应的点在第一象限，所以arg(3＋i)＝π6，所以3＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝12＋（－1）2＝2，所以cos θ＝22，对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝7π4，所以1－i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.规律方法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.【训练1】 复数z ＝3－i 的三角形式为( ) A.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3 B.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π3－isin 5π3 C.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6－isin 7π6 D.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6 解析 因为r ＝2，所以cos θ＝32，与z ＝3－i 对应的点在第四象限，所以arg(3－i)＝11π6，所以z ＝3－i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6.答案 D题型二 复数的三角形式化为代数形式【例2】 复数z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＋icos 2π3化为代数形式为( )A.32＋32iB.－32＋32iC.－32－32iD.32－32i解析 z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＋icos 2π3＝3sin 2π3＋3icos 2π3＝3×32＋i 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝32－32i. 答案 D规律方法 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z ＝r (cos A ＋isin A )，代数形式为z ＝x ＋y i ，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝r cos A ，y ＝r sin A .【训练2】 将复数z ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4化为代数形式为________.解析 z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4＝2×cos π4－i 2×sin π4＝1－i.答案 1－i题型三 复数三角形式的乘法运算 【例3】 计算：(1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3×3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6；(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×12(cos 25°＋isin 25°).解 (1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3×3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2＝－23i.(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×12(cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)×12(cos 25°＋isin 25°)＝4(cos 60°＋isin 60°) ＝2＋23i.规律方法 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.【训练3】 计算：(3＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝________. 解析 法一 (3＋i)(cos 60°＋isin 60°) ＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°) ＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i. 法二 (3＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝()3＋i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i＝32＋32i ＋12i －32＝2i.答案 2i题型四 复数三角形式的除法运算【例4】 (1)设π<θ<5π4，则复数cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ的辐角主值为( )A.2π－3θB.3θ－2πC.3θD.3θ－π解析 cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ＝cos 2θ＋isin 2θcos （－θ）＋isin （－θ）＝cos 3θ＋isin 3θ， ∵π<θ<5π4，∴3π<3θ<15π4， ∴π<3θ－2π<7π4，故本题应选B. 答案 B(2)计算：8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6＋isin 7π6÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3. 解 8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6＋isin 7π6÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i ＝－3＋i.规律方法 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.【训练4】 计算：2i÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（cos 30°＋isin 30°）. 解 2i÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（cos 30°＋isin 30°） ＝2(cos 90°＋isin 90°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（cos 30°＋isin 30°） ＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋23i.一、素养落地1.通过了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，体会数学抽象素养.通过了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义体会数学运算素养.2.代数形式与三角形式的互化：3.复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 二、素养训练1.将复数i 对应的向量ON→绕原点按顺时针方向旋转π3，得到向量OM →，则OM →对应的复数是( )A.32＋12iB.－32＋12iC.－32－12iD.32－12i解析 i ＝cos π2＋isin π2，将OM→绕原点按顺时针方向旋转π3得到OM →＝cos π6＋isin π6＝32＋12i. 答案 A2.将复数z ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋icos π3化为代数形式为________.解析 z ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋icos π3＝8×32＋8×12i ＝43＋4i.答案 43＋4i3.arg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝________.解析 复数z ＝－12－32i 对应的点位于第三象限，且cos θ＝－12，所以arg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝4π3. 答案 4π34.计算(cos π＋isin π)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝________.解析 (cos π＋isin π)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝cos 2π3＋isin 2π3＝－12＋32i.答案 －12＋32i基础达标一、选择题1.复数z 1＝1，z 2由z 1绕原点O 逆时针方向旋转π6而得到，则arg(z 2z 1)的值为( ) A.π12B.π6C.π4D.π3解析 由题可知z 1＝1＝cos 0＋isin 0，z 2＝cos π6＋isin π6，所以z 2z 1＝cos π6＋isinπ6，所以arg(z 2z 1)＝π6. 答案 B2.复数－12＋32i 的三角形式是( ) A.cos 60°＋isin 60° B.－cos 60°＋isin 60° C.cos 120°＋isin 60°D.cos 120°＋isin 120°解析 令z ＝－12＋32i ＝a ＋b i ，则r ＝|z |＝1，a ＝－12，b ＝32， ⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝a r ＝－12，sin θ＝b r ＝32.∴可取θ＝120°.∴z ＝cos 120°＋isin 120°＝－12＋32i.答案 D3.设A ，B ，C 是△ABC 的内角，z ＝(cos A ＋isin A )÷(cos B ＋isin B )·(cos C ＋isin C )是一个实数，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形D.形状不能确定解析 arg z ＝A －B ＋C ＝π－2B ＝0，则B ＝π2. 答案 C4.复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n 的值等于( ) A.3B.12C.6k －1(k ∈Z )D.6k ＋1(k ∈Z )解析 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3n＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3(k ∈Z )，∴n ＝6k －1. 答案 C5.复数z ＝cos π15＋isin π15是方程x 5＋α＝0的一个根，那么α的值为( )A.32＋12iB.12＋32iC.－32－12iD.－12－32i解析 因为z ＝cos π15＋isin π15是方程x 5＋α＝0的一个根， 所以α＝－x 5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π15＋isin π155＝－cos π3－isin π3＝－12－32i. 答案 D 二、填空题6.设z ＝1＋i ，则复数z 2－3z ＋6z ＋1的三角形式是________.解析 将z ＝1＋i 代入z 2－3z ＋6z ＋1，得原式＝（1＋i ）2－3（1＋i ）＋61＋i ＋1＝3－i 2＋i＝1－i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.答案 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π47.3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 512π＋isin 512π·6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π＝______.解析 3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 512π＋isin 512π·6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π4＋isin 54π＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－22i＝－3－3i. 答案 －3－3i8.设(1＋i)z ＝i ，则复数z 的三角形式为________. 解析 ∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）2＝12(1＋i)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4. 答案 22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4三、解答题9.写出下列复数的三角形式：(1)a i(a ∈R )；(2)tan θ＋i ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π；(3)－3(sin θ－icos θ).解 (1)a i ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2（a ≥0）－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π（a <0）(2)tan θ＋i ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π＝－1cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ(3)－3(sin θ－icos θ) ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ 10.求证：(1)[r (cos θ＋isin θ)]2＝r 2(cos 2θ＋isin 2θ)；(2)[r (cos θ＋isin θ)]3＝r 3(cos 3θ＋isin 3θ).证明 (1)[r (cos θ＋isin θ)]2＝r 2(cos θ＋isin θ)2＝r 2(cos 2 θ－sin 2θ＋2icos θsin θ)＝r 2(cos 2θ＋isin 2θ)，所以待证式成立.(2)[r (cos θ＋isin θ)]3＝[r (cos θ＋isin θ)]2· [r (cos θ＋isin θ)]＝r 2(cos 2θ＋isin 2θ)·r (cos θ＋isin θ)＝r 3[cos(2θ＋θ)＋isin(2θ＋θ)]＝r 3(cos 3θ＋isin 3θ)，所以待证式成立.能力提升11.若复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n 为实数，则正整数n 的最小值是( ) A.1B.2C.3D.4 解析 因为1＋i 1－i ＝2i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i n ＝i n 为实数，所以n 的最小值为2. 答案 B12.设z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，z 3＝sin π12＋icos π12，求z 1·z 32i 9·z －3的值.解 ∵z 1＝3＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6， z 2＝1－i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4， ∴待求式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π43i 8·i·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12－icos π12＝42⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 21π4＋isin 21π4cos π12＋isin π12＝42⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋21π4－π12＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋21π4－π12 ＝42⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π3 ＝－22－26i.创新猜想13.(多填题)复数2＋2i 的辐角主值为________，化为三角形式为________. 解析 因为复数2＋2i 对应的点在第一象限，所以arg(2＋2i)＝π4，所以对应的三角形式为22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4. 答案 π4 22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 14.(多填题)计算：z ＝2÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝______，则|z |＝________. 解析 2÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝2(cos 0＋isin 0)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝23－2i ， 则|z |＝|23－2i|＝（23）2＋（－2）2＝16＝4. 答案 23－2i 4。