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张量分析——初学者必看PPT

§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
四、矢量的并乘(并矢)
a ai ei , b b j e j
并乘
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3e1 a3b2 e3e2 a3b3e3e3
ab a1b1e1e1 a1b2 e1e2 a1b3e1e3
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
x x cos y sin y x sin y cos
x x cos y sin y x sin y cos
约定
S ai xi a j x j
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
双重求和
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当于矩阵相乘
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
五、张量的双点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减 4
A : B ( Aijk ei e j ek )( Brster es et ) Aijk Brst jr ks ei et Aijk B jkt ei et S
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brst er es et ) Aijk Brst ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S

张量分析TensorAnalysisppt课件

的切线方向。矢量 r 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：
xi
gi

r xi

zj xi
ij
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基矢量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；
基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds2 ijdxidxj
克罗内克符号的一些常用性质：
ijxi xj
x j xi

j i
ijki kj
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
1
e ijk
e ijk

1
0
当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312) 当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321) 当i,j,k的任意二个指标相同
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
D) 置换符号（续）
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
a11 a1 2 a3 1 aa12 a22 a32 a11a22a33a12a23a3 1a13a1 2a32
a13 a23 a33 a11a23a32 a12a1 2a33 a13a1 2a32
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，它们由以下的变换法则相联系；
AˆiyAjxxyij
逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。
(3) 协变矢量(一阶协变张量)
一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，其变换法则相为；

张量分解学习PPT课件

.
26
CP分解
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进地得到
下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a1ob 1oc2a1ob2oc1a2ob 1oc1
纤维：x i j :
.
6
基本概念及记号
切片（slice）
水平切片：X i : :
侧面切片：X : j :
正面切片：X ::k ( X k )
.
7
基本概念及记号
内积和范数
◦ 设 X,Y¡I1× I2× L× IN
内积：
I1 I2
IN
X,Y
L x y i1i2LiN i1i2LiN
i11i21 iN1
R
X§A,B,C¨arobrocr r1
X
c1 b 1
c2 b2
L
cR b R
a1
a2
aR
三阶张量的CP分解
.
20
CP分解
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a 1 a2 LaR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X (1) A C e B T X (2) B C e A T X (3) C B e A T
◦ 对于高阶张量，有
X ┈ λ ;A (1 ),A (2 ),L ,A (N ) Rra ( r 1 )o a ( r 2 )o L o a ( r N ) r 1
其展开形式为
X ( n ) A ( n ) d i a g ( λ ) A ( N ) e L e A ( n 1 ) e A ( n 1 ) e L e A ( 1 )T

【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章张量代数

按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：
dH 0 r u(r ) (r )dV
试证明物体 Ω 对o点的动量矩为：
H0 J ω
Ω
式中称为物体 Ω 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的 I是二阶单位张量）。 u (r ) ω r 证： H (r u) dV r (ω r ) dV (r r )ω (r ω)r ) dV
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴ 3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B （Aij ii i j）（ Bmn imin）（Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
A P2 A P2
A0 P2 Φ0 P4
Φ0 P4
（3.1-11）
A : Φ0 A
0 0
的 n ; A ; A ; ; 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四阶单位张量。上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： u u V n 1． u A0 A0 ii ii ij ii i j （3.1-12） 2． I 为单位二阶张量。 ii i j 且记 A ; A 为 I 。即 I ii ii ij。并称

数学张量分析PPT课件

x y z
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度：左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为和ijk 。ijk 由此定义可知

弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用PPT课件

精选课件 31
符号ij 与erst
➢ erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
➢ 定义(笛卡尔坐标系)
1
e rst
1
0
当r, s, t为正序排列时当r, s, t为逆序排列时当r, s, t中两个指标值相同时
或
erst
1rssttr
2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到精的选(课2件,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
精选课件 29
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
3
➢ 分解式记法： uu1e1u2e2u3e3 uiei i1
➢ 分量记法： u i
精选课件
Appendix A.1
8
张量基本概念
➢ 指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
d s2 d x 1 2 d x 22 d x 32
可简写成： ds2 dxi dxi
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分： f
d f xi d xi
精选课件 24

张量分析课件

P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证：刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证：质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.

张量分析第6章精品PPT课件

du(t) Dui gi dt Dt
全导数
Dui Dt
dui dt
umvk imk
分量的指标升降
Dui gij Du j
Dt
Dt
➢ 质点的加速度
du(t) dt
dui
dt
umvk imk
gi
Dui Dt
gi
dv(t) dt
dvi
dt
vmvk imk
gi
Dvi Dt
gi
Gˆ = G
dG = d
dt dt
gˆij gˆ i gˆ j
dgˆij dt
gˆ i gˆ j
gˆij
gˆ i
dgˆ j dt
dgˆ i dt
gˆ j
2d gˆij
gˆ i
gˆ
j
vˆ
ˆ v
gˆ
i
gˆ
j
2d gˆij gˆi gˆ j vˆ ˆ v gˆij gˆi gˆ j
dgˆi
dt
gˆi
ˆ v
vˆ
gˆi
v vˆ = d +
dgˆi
dt
vˆ
gˆi d gˆi gˆi
dgˆi
dt
ˆ v
gˆ i d gˆi gˆi
➢ Euler基矢量的物质导数
gi gi x j k ,t
dgi dt
gi x j
dx j dt
ˆ jvˆi ˆ ivˆ j
配上相应的逆变基矢量后，定义应变率张量为：
dˆ
dˆij gˆ i gˆ
j
1 2
d dt
gˆij
gˆ i gˆ
j
1 2
ˆ vˆ vˆˆ

2第02章张量分析(第01讲)

一阶张量的记法：
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数标量积矢量积三重积标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方

张量分析ppt课件张量分析课件第五章5协变基底矢量导数

r2
r1
22 1
r2
22 2
3 22
r3
rr2
r2 x3
r2 z
r1
23 1
r2
23 2
3 23
r3
o
r3 x1
r3 r
r1
31 1
r2
31 2
r3
31 3
o
r3 x2
r3
r1
32 1
r2
32 2
3 32
r3
o
例11：试求球坐标：
r3 x3
r3 z
r1
33 1
r2
33 2
r3
33 3
o
x1 r sin cos
2
x3
2 2
1
[r2 cos2 cos2 r2 cos2 sin2 r2 sin2 )2 r
1
h3
x1
2
x2
2
x3
2
2
1
(r2 sin2 sin2 r2 sin2 cos2 0)2 r sin
由(5.3-154)式得，除 1h2、 1h3、 2h3 偏导数分别为 1、sin、r cos、外，其余的偏导数均为零。
jri ( jri ) r k rk
（5.3-3）
式中 ( jri ) r k 是矢量 j ri 在协变基矢量rk上的线性表示系数（或称为 rk 上的坐标）。同理， j ri 也可以在逆变基底上线性
表示为：
jri ( jri ) rk rk
（5.3-4）
定义：
k ij
k
i
3 22
h2 (h3 )2 3h2
1 33

张量分析——初学者必看87页PPT

有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
张量分析——初学者必看
51、没有哪个社会可以制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。 ——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样一种的网，触犯法律的人，小的可以穿网而过，大的可以破网而出，只有中等的才会坠入网中。 ——申斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大夏，庇护着我们大家；它的每一块砖石都垒在另一块砖石上。 ——高尔斯华绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿

第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件

• 负整数次幂
G T 0 T 1(1) T 1 T 1 T T 1
T 2 T 1 T 1
T m T 1 T 1 T 1 T 1
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量：N>0的对称二阶张量
uN u 0
➢ 非负张量：N≥0的对称二阶张量 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能用加法分解，而要用乘法分解。
• 最简单的坐标变换
y y
x cos sin x
y
sin
cos
y
x
• 椭圆曲线的坐标变换
x
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax2 bxy cy2 d 0
变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。
x a
2
y b
2
1
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q
• 正交张量的定义和性质
可证： Q e3 e3
Q e1 cos e1 sin e2 Q e2 cos e2 sin e1
e1, e2 整体绕轴向旋转一个角度
几种特殊的二阶张量
• 正交张量对应的正交变换的特性
① 保内积性质 ② 保长度性质 ③ 保角度性质
(Q u) (Q v) u v
(Q u) (Q u) u u
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )

【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章线性空间-50页精选文档

（2）∵ x y z ( x 1 y 1 ) z 1 , , ( x n y n ) z n
( x 1 y 1 z 1 , ,x n y n z n )
x ( y z ) ( x 1 ( y 1 z 1 ) , , ( x n ( y n z n ))
( x 1 y 1 z 1 , ,x n y n z n )
∴ x + (y + z )= ( x + y )+ z = x + y + z （4）∵ o(0, ,0)V0 x o (x 1 0 , x n 0 )(x1, ,xn)
∴ xox
（5）∵ ()x ()(x 1 , ,xn) (()x 1 , ,()xn)
∴
(x 1 , ,xn) (x 1 ), ,)xn)
第一章线性空间
若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、…。
则加法法则将F中的任意两个元素 a, bF ; c F
+ (a, b)c
abc
乘法法则将F中的任意两个元素 a, bF ; c F
× (a, b)c
abc
显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元
素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为：
所有以x点为起点的矢量按：
u x yu x z(y 1 x 1 , ,y n x n ) (z 1 x 1 , ,z n x n )
(y 1 ( x 1 ) (z 1 x 1 ) ,,(y n x n ) (z n x n ))
u xy (y1x1, ,ynxn) ((y1x1) ,,(ynxn)) F
a, b,xF
（6） (a b ) x a x b x
a, b,xF

第3章张量分析(清华大学张量分析你值得拥有)精品PPT课件

(T
)
T
3
J1T T
2
J
T 2
T
J
T 3
G
O
由于
T3
J1TT 2
J
T 2
T
J
T 3
G
，T
n
均可用
T 2 来表达。
也就是说，H f (T ) f (T 2 ,T ,G) k0G k1T k2T 2
ki ki
J1T
,
J
T 2
,
J3T
H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。
二阶张量的二阶张量函数
➢ 经典《解析几何》中，解析地描述一个几何图形的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思想：坐标不动，图形移动。
➢ 注意：运动学思想之重要！
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
考察一个最简单的图形，一个矢量 u 。研究两种相
对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量
通过正交变换，使 X i X i
从而使 f ( Xi ), (i 1, 2, , n)
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数例子请见《张量分析》的92 ~ 93页。
矢量的标量函数
• Cauchy基本表示定理：矢量 vi (i 1, 2, , m) 的标量函数 f (vi ) 为各向同性 f 可表示为内积 vi v j (i 1, 2, , m) 的函数。
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系

【张量分析ppt课件】张量分析课件第五章曲线坐标.ppt

一、逆变基底
对给定的曲线坐标：
xi xi (x1, x 2 , x 3) ; (i 1, 2, 3)
令：
ri
x xi
xj xi
ij
;
r1 r1 r1 r2
g r2 r1 r2 r2
r3 r1 r3 r2
(i 1, 2,3)
r1 r3 r2 r3 r3 r3
定义：
r1
1 g
x x1
x x2
x x3
xj x1
xk x2
xl x3
ij
(ik
il )
x1 x2 x3
x1 x1 x1
x j xk xl x1 x2 x3 ejkl x1 x 2 x 3 x 2 x 2 x 2
x1 x2 x3 x3 x3 x3
由于 xi xi (x1, x 2, x3) ; i 1, 2,3 是一一对应的函数。因此有：
为 x1, x 2 , x 3曲线坐标线。
设{o；i1, i2, i3}是三维 Euclid 矢量空间的标准正交坐标系；
是曲线坐标； x1(x1, x2 , x3 ) , x 2 (x1, x2 , x3) , x 3(x1, x2, x3)
r1(x1, x2 , x3 ) , r2 (x1, x2 , x3)
x1 x1 sin x 2 cos x 3 ; x2 x1 sin x 2 sin x 3 ; x3 x1 cos x 2
是一一对应的三个实函数，其反函数存在。且：
x1
( x1 )2
(x2 )2
1
(x3 )2 2
x2
arctg
(
x1
)
2
(x2 )2 x3
1
2