分式的恒等变形

第二讲 分式的恒等变形

【专题知识点概述】

分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。

分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。

一：基本知识

1.分式的运算规律

（1）加减法：

)(同分母c

b a

c b c a ±=± )(异分母bc

bd

ac c d b a ±=± （2）乘法：bd ac

d c b a =•

（3）除法：bc ad

d c b a =÷

（4）乘方：n n

n b

a b a =)(

2.分式的基本性质

（1）

)0(,≠÷÷==m m

b m a b a bm

am b a （2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3.比例的重要性质

（1）如果

e

f

b a e f

c

d c d b a ===那么,（传递性）

（2）如果bd ac c d

b a ==那么（内项积等于外项积） （3）如果)(合比性质那么

c d

c b b a

d c b a ±=±=

（4）如果)()0(,合分比性质那么d b d

b c a c a d b d c b a -+=-+≠-=

（5）如果,0,≠+++==n d b n m

d c b a 且

那么)(等比性质b a

n d b m c a =++++++

4.倒数性质

（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。

（2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。 （3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。

二、有关分式的运算求值问题

乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。

➢ 例1.若a 、b 、c 均为非零常数，且满足

a

c

b a b

c b a c c b a ++-=

+-=-+， 又abc

a c c

b b a x )

)()((+++=，且0

➢ 例2.已知的值求y

xy x y

xy x y x ---+=-2232,311

➢ 例3.已知三个正数a 、b 、c 满足abc=1, 求1

11+++

+++++c ac c

b b

c b a ab a 的值

➢ 例4.已知02

22=-+-+-c ab c

b a

c b a bc a 求2

22222)()()(c ab c

b a

c b a bc a -+-+-的值。

➢ 例5.已知,0,1=++=++z

c y

b x

a c

z b

y a

x

求22

2222c

z b y a x ++的值。

➢ 例6.已知x+y+z=3a (0≠a ,且x 、y 、z 不全相等)， 求2

22)()()()

)(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值。

➢ 例7.已知1222222222222=-++-++-+ab

c b a ca b a c bc a c b ，n 是自然数， 求1

22221222212222)2()2()2(

+++-++-++-+n n n ab

c b a ca b a c bc a c b 的值。

➢ 例8.的值求若22

1

,123+--+=x x x a x 。

➢ 例9.已知4

1

12=++x x x ，试求分式12

4

2++x x x 的值。

➢ 例10.已知三个不全为零的数x 、y 、z 满足0634=--z y x ，

072=-+z y x 。求2

222

2275632z y x z y x ++++的值。

➢ 例11.若x 、y 、z 为有理数，且

222)()()(y x x z z y -+-+-222)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+=

求)

1)(1)(1()

1)(1)(1(2

22++++++z y x xy zx yz 的值

➢ 例12.已知a 、b 、c 互不相等，且满足a+b+c=0,

求ab

c c ac b b bc a a +++++22

2222222的值。

➢ 例13.已知b a ab x b a b a b a +=≠+≠≠≠4,0,0,0,，求b

x b

x a x a x 2222-++-+的值。

➢ 例14.若a c b a b c b a c c b a ++-=

+-=-+，求abc

c b c a b a )

)()((+++的值。

➢ 例15.如果的值求都是整数，且q p q p p

q q p q p +>>--,1,11

2,12,,。

三、有关分式的化简问题

➢ 例16.化简)

)()(()

)()((a c c b b a a c c b b a a c a c c b c b b a b a +++---++-++-++-。