常见函数的梯度、海赛矩阵

在利用最优化方法解决实际问题时，常常会用到下列函数的梯度，列举如下：

（1） 设C 为常数向量，O 为零矩阵，则有

O C =∇ （1-9）

（2） 设n R x ∈，I 为n 阶单位矩阵，则有

I x =∇ （1-10）

（3） 设n R x ∈，b 为常数向量，则有

b x b T =∇ （1-11）

（4） 设n R x ∈，Q 为常数矩阵，则有

Q Qx =∇ （1-12）

（5） 设n R x ∈，Q 为常数对称矩阵，则有

Qx Qx x T 2=∇ （1-13）

（6） 设n R b x ∈,，Q 为常数对称矩阵，c 为常数， c f ++=

x b Qx x x T T 2

1)(称为二次函数，则有 Q x b Qx x =∇+=∇)(,)(2f f （1-14）

（7） 设n R t f t ∈+=p x p x ,),()(00ϕ，则

p p x T t f t )()(0+∇='ϕ （1-15）

p p x p )()(02t f t T +∇=''ϕ （1-16）