模糊数学chapter1

特征函数与隶属函数
特征函数（经典集合） 经典集合论中，集合通过特征函数来刻画 每个集合A对应一个特征函数CA(x) 特征函数的定义
1, x A CA (x) 0, x A
特征函数与隶属函数
隶属函数 模糊集合论中，模糊集合通过隶属函数来刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0，1}推广到
设U＝{1,2,3,4,5,6}， A0.1={1,2,3,4,5,6}， A0.4={2,3,4,5,6}， A0.8={3,4,5}， A1={4}，求模糊子集A。
A的含义：靠近4的数。
扩张原理－引出
设X,Y为普通集合，f : X Y是一个 映射，A是X上的一个普通集合，则 通过映射f 可以得到Y上的一个普通集 合B=f (A)
（8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc,
注意
(A∩B)c= Ac∪Bdc. 排中律不成立！！
Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
模糊集合的运算
推广到有限个模糊集：
n
n
U ( i 1
Ai )( x)
i 1
Ai
(
x)
n
n
I ( i 1
Ai )( x)
i 1
Ai
(
x)
对任意多个模糊集：
U ( tT
At )( x)
tT
At ( x)
I ( tT
At )( x)
tT
At ( x)
模糊集合的其它运算
环和、乘积算子：
^
( A B)(x) A(x) B(x) A(x)B(x),x U ( A B)(x) A(x) B(x),x U
运算性质： 满足：交换律、结合律、还原律、0-1律、
对偶律 不满足：分配律、吸收律、幂等律、
Y
1
[1 ( x 25)2 ]1 5
x x[0,25]
x[ 25,200 ]
x
Q
0
[1 ( x 50)2 ]1 5
x x[0,50]
x[50,200]
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x
模糊集合运算性质
（1）幂等律：A∪A＝A , A∩A=A; （2）交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; （3）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B ∪C),
若λ,μ ∈[0，1]，且λ<μ，则
A A
λ截集的三个性质：
由性质3可知，λ越大， Aλ越小。 什么时候Aλ最小？
μ(x) 1 λ
x
λ截集（几个定义）
称集合KerA ={u|u∈U， A(u) =1}为A的 核，若KerA非空，则称A为正规模糊集。
模糊集A的支集 suppA={u|u∈U， A(u) >0}
集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ; U∪A=U,U∩A=A;
（7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc,
(A∩B)c= Ac∪Bdc （9）排中律： Ac∪A＝ U, A∩Ac ＝ Φ
模糊理论的数学基础
二、映射 映射 满映射 一一映射 集合的特征函数 点集映射 集合变换
模糊集的基本定理
λ－截集
[奴隶社会] = 1/夏 + 1/商 + 0.9/西周 + 0.7/春秋+ 0.5/战国+0.4/秦+0.3/西汉+0.1/东汉
如果将隶属度≥0.5 的朝代看作真正的奴隶 社会，将模糊集合[奴隶社会]转化为普通 集合[奴隶社会]0.5 ，则 [奴隶社会]0.5 = ？
A是U的一个模糊集合，λA仍然表 示U的一个模糊子集，称为λ与A的 “乘积”，其隶属函数规定为：
A (x) A (x)
分解定理--乘积运算
λAλ表示U的一个模糊子集，称为 λ与Aλ的“乘积”，其隶属函数规定 为：
A
(u
)
C
A
(u
)
,当u A
0,当u A
分解定理--乘积运算性质
若λ1<λ2,则λ1A λ2A
A B 对任何 u∈U，μA(u) ≤μB(u)
A ∪ B 对任何 u∈U，μA(u) ∨μB(u) A ∩ B 对任何 u∈U，μA(u) ∧μB(u) Ac 对任何 u∈U，1－μA(u)
模糊集合的运算
Example 1.
论域U={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} A,B是论域U的两个模糊子集， A = 0.5/x1+ 0.3/x2 + 0.4/x3 + 0.2/x4 B = 0.2/x1+ 0.6/x4 + 1/x5 请您：计算A,B的余集，A∩B，A∪B
λ－截集
定义：设给定模糊集A，对任意实数 λ∈[0，1]，称普通集合 Aλ= { u| u ∈U， μA(u) ≥ λ}
为A的λ水平截集。 普通集合Aλ的特征函数 是什么？
λ－截集
一个模糊集A的水平截集是普通集合， 其特征函数为：
C
A
(u
)
1,当A(u) 时 0,当A(u) 时
λ－截集（例）
论域U是有限集｛x1, x2, …, xn｝,U的任一模 糊子集A，其隶属函数为μi =μA(xi)
模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi
注意
“∑i=1n μi / xi”不是分式求和，只
是一 符号而已。
“分母”是论域U的元素
“分子”是相应元素的隶属度
当隶属度为0时，该项可以不写入
模糊集合的表示法1
(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A,
A∪(A∩B)=A; （5）分配律:
(A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ;
U∪A=U,U∩A=A;
（7）还原律：(Ac)c=A;
0.8A0.8 ∪ 0.4 A0.4 ∪0.1 A0.1, 写出A0.1、 A0.4、 A0.8、 A1。
分解定理：用隶属函数形式
设A是论域U的一个模糊子集，μA(u) 是A的隶属函数， 则有
A(u) ( CA (u)) [0,1]
推论
A(x) { [0,1]; x A}
分解定理－Example2
模糊理论的数学基础
三、关系 二元关系 关系的性质：自反、对称、传递 关系的矩阵表示法 等价关系 相似关系 关系的合成
第一章 模糊集的基本概念
精确数学vs模糊数学
精确数学：基础——经典集合论；一个对 象和一个集合的关系只有两种可能：属于、 不属于；
模糊数学：基础——模糊集合论；一个对 象和一个模糊集合的关系：对象隶属于该 模糊集合的程度（隶属度）。
[0，1] 特征函数记为μA(u)，u∈论域U
模糊集合的定义
设给定论域U，U到[0, 1]的任一映射μA ：U [0, 1] 都确定U的一个模糊子集A
μA叫做A的隶属函数， μA(u) （ u∈U ）表示 u隶属于模糊子集A的
程度，称之为u对A的隶属度
模糊集合的例子
设论域U＝[0,200]表示人的年龄，“年轻
模糊数学：条理分明，一丝不苟。
模糊数学概述
确定性 数学
不确定性
经典（精确）数学
随机性 模糊性
随机数学 模糊数学
本课程主要内容
模糊数学概述 基础知识 模糊集合
模糊聚类分析 模糊模型识别 模糊决策 模糊线性规划
模糊理论的数学基础
模糊理论的数学基础
一、经典集合 集合的定义 集合的关系 集合的运算 集合的直积 集合的运算性质
集合运算性质
（1）幂等律：A∪A＝A , A∩A=A; （2）交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; （3）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B ∪C),
(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A,
A∪(A∩B)=A; （5）分配律:
(A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
Y
1
[1 ( x 25)2 ]1 5
x x[0,25]
x[ 25,200 ]
x
Q
0
[1 ( x 50 )2 ]1 5
x x[0,50]
x[50,200]
x
模糊集的运算
模糊集合的运算
模糊集合的运算，就是逐点对隶属度作相应的运 算
设A、B为论域U上的模糊集 A=φ 对任何 u∈U，μA(u) = 0 A = B 对任何 u∈U，μA(u) =μB(u)
模糊集合表示方法 1——Example. 论域 = { Bill, John, Einstein, Mike, Tom } smart程度：0.85，0.75，0.98，0.30，0.60 则论域中元素对“smart”这模糊概念的符合程度
可以用模糊子集A来表示 A = 0.85/Bill + 0.75/John+ 0.98/Einstein + 0.30/Mike + 0.60/Tom
运算的含义
若U表示商品集合，A表示商品质量好， B表示商品质量坏。则，
Ac表示商品质量不好，可见Ac≠B，即， 商品质量不好，并不代表商品质量坏。模 糊集合能够很好的表现这些概念的差异。
Example2
设论域U＝[0,200]表示人的年龄，“年轻Y”与 “年老Q”两个模糊集。给出模糊集合Y∩Q， Y∪Q的隶属函数曲线.
模糊数学
关于课程
课程性质：选修，2学分，36学时。 考核：以课堂及课后作业为主。 教材：谢季坚等，《模糊数学方法及其
应用》华中理工大学出版社， 2000,￥11.5。 参考教材：李鸿吉，《模糊数学基础及 实用算法》，科学出版社。
什么是模糊数学？？
模糊数学概述
Fuzzy Mathematics 研究和处理模糊概念的数学方法。 模糊概念：难以精确表达的概念。 例：高个子长头发戴宽边 眼镜的中年男人
模糊集合的表示法2、3
序偶表示法 A＝{(x1 ,μ1),(x2 ,μ2),…,(xn ,μn)}
A = {(Bill,0.85),(John,0.75),(Einstein, 0.98),(Mike, 0.30),(Tom,0.60)}
向量表示法 A＝{μ1, μ2 , … ,μn }
A = {0.85,0.75,0.98,0.30,0.60}
若Ａ Ｂ，则 λA λB
分解定理
分解定理是把模糊集合论的问题化为 普通集合论的问题来求解。
分解定理：设A为论域U的一个模糊 集合， Aλ是A的λ截集，λ ∈[0，1]， 则如下分解式成立：
A A [0,1]
分解定理－Example1
设U＝{1,2,3,4,5,6} ， A＝{0.1,0.4,0.8,1,0.8,0.4}， 根据分解定理，A可分解为:A＝1 A1 ∪
Y”与“年老Q”两个模糊集，其隶属函数
u(x)为：
u(x)
Y（30）＝0.5 1 年轻
年老
Y（35）＝0.2
Q（55）＝0.5 Q（80）＝0.8
25 50 100 x
模糊集合与普通集合
模糊集合A由隶属函数μA刻画 普通集合由特征函数CA刻画
什么时候模糊集合退化成普通集合？
模糊集合的表示法1－zadeh表示法
排中律
模糊集合的其它运算
有界算子：
(A B)(x) 1 (A(x) B(x)),x U
(A • B)(x) 0 (A(x) B(x) 1),x U
运算性质： 满足：交换律、结合律、还原律、 0-1律、
对偶律、排中律 不满足：分配律、吸收律、幂等律、
模糊集合的其它运算
取大乘积算子 有界和、取小算子 有界和、乘积算子 Einstain算子 Hamacher算子 Yager算子
集合BdA＝｛ u|u∈U， 0< A(u)<1｝为A 的边界，即 BdA ＝suppA－ KerA.
λ截集（几个定义）
A[奴隶社会] = 1/夏 + 1/商 + 0.9/西周 + 0.7/春秋+ 0.5/战国+0.4/秦+0.3/西汉+0.1/东汉
写出SuppA、KerA及BdA.
分解定理--乘积运算
模糊集合的表示法-无限集
当论域U为无限集时，A = ∫x∈U μA(x) / x 注意 这里的积分号不表示积分，也不表示 求和，而是表示各个元素与隶属度对应关系的 一个总括。
这种表示法可以推广到有限、无限、离散、连续 等各种情况。
模糊集合的表示法-无限集
设论域U＝[0,200]表示人的年龄，“年轻Y”与 “年老Q”两个模糊集。
若A是X上的一个模糊集合，f (A)是 什么？为了解决该问题，查德1975年 引入“扩张原理”
设模糊集合A，隶属函数为 A(x)=exp{-(x-a)2/σ2} ,x∈R, 其中 a∈R,σ>0,称A为以(a,σ)为参数的正
态模糊集,对于0<λ≤1, 求Aλ.
含义:正态模糊集表示”在数a左右”
λ截集的三个性质：
A，B为模糊集 (A∪B)λ= Aλ ∪ Bλ (A∩B)λ= Aλ∩Bλ 若A B，则Aλ Bλ