常微分方程期中测试试卷(11)

常微分方程期中测试试卷(11)
班级__________姓名__________学号________得分__________
1 微分方程0)(
2
2=+-+
x
y dx
dy dx dy n
的阶数是____________
2 若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________
3 _________________________________________ 称为齐次方程.
4 如果),(y x f ___________________________________________ ,则
),(y x f dx
dy =存在
唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中
=h _______________________ .
5 对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.
6 方程
2
2
y x dx
dy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解
的存在区间是 ___________________
7 若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________
8 若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组,)(t x 为非齐次线性方程的一个特
解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________
9 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解
)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．
二 求下列方程的解 １ 3
y
x y dx
dy +=
２ 求方程2
y x dx
dy +=经过)0,0(的第三次近似解
３ 讨论方程2
y dx
dy = ，1)1(=y 的解的存在区间
4 求方程01)(2
2=-+y dx
dy 的奇解
5 0)1(
)1(cos 2
=-
++dy y
x y
dx y
x
6 x x x y y y 2
2
'
sin cos sin 2-=-+
7 0)37()32(2
32
=-+-dy xy dx y xy
三 证明题
1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解
2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程
)()(x Q y x P dx
dy += , 当
)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一
参考答案
一 填空题 1
1 2 )()1)(
(
y M
x N y
M φ=-∂∂-∂∂
3 形如
)(x
y g dx
dy =的方程
4 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),m i n (
m b a h =
5 2121),(),(y y N y x f y x f -≤- 6
4
14
1≤
≤-x
7 0)(1'
=+w t a w
8 x x c
x n
i i i
+=
∑=1
9
1
)!
1(++n n
h
n ML
10 形如
)()()(2
x r y x q y x p dx
dy ++=的方程 y z y +=
二 求下列方程的解 1 解：2
3
y y
x y
y
x dy dx +=
+=
，
则 )(12
1⎰+⎰
⎰
=-
c dy e
y e x dy
y
dy
y
所以 cy y
x +=
2
3
另外 0=y 也是方程的解 2 解：0)(0=x ϕ []
2
020
121)()(x dx x x x x =+=
⎰ϕϕ []
5
2
21
2
20121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ
ϕ []
8
11
5
20
22
3160
14400
120
12
1)()(x x
x x dx x x x x +
+
+
=
+=
⎰ϕ
ϕ
3 解：
dx y
dy =2
两边积分 c x y
+=-
1
所以 方程的通解为 c x y +-=1 故 过1)1(=y 的解为 2
1--=
x y
通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到 ２， 所以解的存在区间为 )2,(-∞ 4 解: 利用p 判别曲线得
⎩
⎨
⎧==-+020122p y p 消去p 得 12
=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解
5 解:
y
M ∂∂=2--y ,
x
N ∂∂=2--y ,
y
M ∂∂=
x
N ∂∂ , 所以方程是恰当方程.
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂2
11cos y x y y v y
x x u
得 )(sin y y x x u ϕ++= )('
2
y xy
y
u ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ
故原方程的解为 c y y
x x =++
ln sin
6 解: x x x y y y 2
2'si n
cos si n 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为
2
z dx
dz -= , c
x z +=
1
即 c
x x y +=
-1sin , 故 c
x x y ++
=1sin
7 解: 两边同除以2y 得
037322
=-+-xdy dy y
ydx xdx
0732
=--y d
xy d dx
所以 c y
xy x =--732 , 另外 0=y 也是方程的解
三 证明题
1 证明: 设黎卡提方程的一个特解为 y y =
令 y z y += , dx
y d dx
dz dx
dy += 又 )()()(2
x r y x q y x p dx
dy ++=
dx
y d x r y z x q y z x p dx
dz -
++++=)())(())((2
由假设
)()()(2
x r y x q y x p dx
y d ++= 得
[]
z x q y x p z x p dx
dz )()(2)(2
++=
此方程是一个2=n 的伯努利方程,可用初等积分法求解
2 证明: 令R : x ∈[]βα, , R y ∈
)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续, 则
)()(),(x Q y x P y x f += 显然在R 上连续 ,
因为 )(x P 为[]βα,上的连续函数 ,
故)(x P 在[]βα,上也连续且存在最大植 , 记为 L 即 )(x P L ≤ , x ∈[]βα,
1y ∀,R y ∈2 2121)()(),(),(y x P y x P y x f y x f -=-=)(x P 21y y -21y y L -≤
因此 一阶线性方程当)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一。