常微分方程期中测试试卷(11)

常微分方程期中测试试卷(11)

班级__________姓名__________学号________得分__________

1 微分方程0)(

2

2=+-+

x

y dx

dy dx dy n

的阶数是____________

2 若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________

3 _________________________________________ 称为齐次方程.

4 如果),(y x f ___________________________________________ ,则

),(y x f dx

dy =存在

唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中

=h _______________________ .

5 对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.

6 方程

2

2

y x dx

dy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解

的存在区间是 ___________________

7 若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________

8 若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组,)(t x 为非齐次线性方程的一个特

解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________

9 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解

)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．

二 求下列方程的解 １ 3

y

x y dx

dy +=

２ 求方程2

y x dx

dy +=经过)0,0(的第三次近似解

３ 讨论方程2

y dx

dy = ，1)1(=y 的解的存在区间

4 求方程01)(2

2=-+y dx

dy 的奇解

5 0)1(

)1(cos 2

=-

++dy y

x y

dx y

x

6 x x x y y y 2

2

'

sin cos sin 2-=-+

7 0)37()32(2

32

=-+-dy xy dx y xy

三 证明题

1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解

2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程

)()(x Q y x P dx

dy += , 当

)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一

参考答案

一 填空题 1

1 2 )()1)(

(

y M

x N y

M φ=-∂∂-∂∂

3 形如

)(x

y g dx

dy =的方程

4 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),m i n (

m b a h =

5 2121),(),(y y N y x f y x f -≤- 6

4

14

1≤

≤-x

7 0)(1'

=+w t a w

8 x x c

x n

i i i

+=

∑=1

9

1

)!

1(++n n

h

n ML

10 形如

)()()(2

x r y x q y x p dx

dy ++=的方程 y z y +=

二 求下列方程的解 1 解：2

3

y y

x y

y

x dy dx +=

+=

，

则 )(12

1⎰+⎰

⎰

=-

c dy e

y e x dy

y

dy

y

所以 cy y

x +=

2

3

另外 0=y 也是方程的解 2 解：0)(0=x ϕ []

2

020

121)()(x dx x x x x =+=

⎰ϕϕ []

5

2

21

2

20121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ

ϕ []

8

11

5

20

22

3160

14400

120

12

1)()(x x

x x dx x x x x +

+

+

=

+=

⎰ϕ

ϕ

3 解：

dx y

dy =2

两边积分 c x y

+=-

1

所以 方程的通解为 c x y +-=1 故 过1)1(=y 的解为 2

1--=

x y

通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到 ２， 所以解的存在区间为 )2,(-∞ 4 解: 利用p 判别曲线得

⎩

⎨

⎧==-+020122p y p 消去p 得 12

=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解