13.4(1)复数的乘法与共轭复数

(4)z __z__a___b_i__
(5) z z _a_2___b_2 __|_z_|_2 _|_z_|_2____
特别的：当| z |1 时，z z 1, 即 z= 1 z
应用举例
例1、已知 z 3 5i, 求 z z z z
解：z z a2 b2 34 z z 2a 6
中仍适1用 5i
（2）(a bi)2 a2 2abi b2i2
a2 2abi b2
a2 b2 2abi
例2、已知z C,满足(3 i) z 10 求z
解：令z a bi (a,b R)
(3 i)(a bi) 10
3a b (a 3b)i 10
z1 2 3i, z2 1 2i
思考？
1、 已 知z1, z2 C, z1 z2 , A z1 z2 z2 z1, B z1 z1 z2 z2 , 问 A 与 B 可 否 比 较 大 小 ？
2、设复数z1, z2 满足 z1 z2 2i z1 2i z2 1 0 z2 z1 2i, 求 z1 和 z2
解： x2 2 y

2 x
x
3x y 1


x y

0 1
或

x y

1 0
z i 或1
练习： 已知复数 z a bi, 及其共轭复数 z a bi (a,b R)
(1)z z ____2_a_____ (2)z z _____2b_i____ (3) | z || z | ___a_2__b_2___
复数和差积的共轭运算
已知z1, z2 C, 则
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
推广：
(1) z1 z2 zn z1 z2 zn
(2) z1 z2 z3 zn z1 z2 z3 zn
2
共轭复数
讲解新课
1、共轭复数：实部相等，虚部互为相反数 的两个复数称为共轭复数。
(1) 复数 z 的共轭复数用 z 来表示
（2）互为共轭复数的两个复数分别在复平面内 对应的点关于实轴对称
应用举例
例1、已知x, y R, x2 2x (2y x)i 和 3x ( y 1)i 是共轭复数，求复数z x yi
规定：i0 1
课堂练习：
已知 z1 1 i , z2 2 i
求 z16 , (z1 z2 )2
应用举例
例3、计算 in (n 1,2,3, ，8) 的值，观
察运算结果并找出规律
解：i1 i i2 1 i3 i i4 1
i5 i i6 1 i7 i i8 1
i4n2 i2 (i4 )n i2 1
i4n3 i3 (i4 )n i3 i
课堂练习：
1、当n N时，计算in (i)n 所有可能的取值
2、计算i i2 i3 i4 i2010
3、求值：i 2n3 wenku.baidu.comi 2n1 i 2n1 i 2n3 4、计算(1 i )2010
复数的乘法与除法（1） -----乘法运算
知识回顾
1.复数加减法的运算：
z1 z2 (a c) (b d)i
2.复数加减法运算的几何意义： 复数对应向量满足平行四边形法则，三 角形法则
3.两个复数相减的模|z1-z2|的应用：
求复数模的取值范围或最值；
讲解新课
1.复数的乘法：
z1 z2 z2 z1 , (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ), z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3.
应用举例
例1、计算 （1）（1 i）(3 2注 式i)：，实平3数方中差3的公i完式全，2平立i 方方公差2i2
公式，立方和公式在复数
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
（ac bd) (bc ad)i
说明:(1▲) 与两两个个复数多的项积式仍相然乘是类一个似复数；
(2▲) 结把果i 2要换化成简－成1，a然+b后i形实、式虚部分别合并.
(3) 对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
由复数相等的充要条件
3a b 10

a

3b

0

a3 b 1
z 3i
课堂练习：计算 （1）－2i(4 7i)(1 1 i)
24
(2)(a bi)(a bi)
讲解新课
2、复数的乘方 在复数集C中z,z1,z2∈C及m,n∈N*有:
zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.
规律：当n N
(1) in 是周期为 4 的数列；
i4n (i4 )n 1
(2) i4n i4n1 i4n2 i4n3 0
i4n1 i(i4 )n i
(3) i2n i2n2 =0, i2n1 i2n1 0 即相邻的奇数项(或偶数项)的和为零.
课堂小结
一. 数学知识：(1)复数乘法运算 (2)复数乘方运算 (3) 复数和差积的共轭运算
二. 数学方法： 虚数单位i的周期性应用
z z z z 40
已知复数 z 满足(z z) 2 3z zi 4 6i ，求 z
2、下列命题中正确的是
（1）如果z1

z 2是实数，则z1 ,
z
互为共轭复数
2
（2）纯虚数z的共轭复数是 z
（3）如果z1 z2是纯虚数，则z1, z2互为共轭复数 （4）若z z 0，则z为实数
特别地，zn
n
z
应用举例
例4、已知z1 z2 3 5i, z1 z2 1 i, 求 z1, z2 解：利用共轭复数性质 z1 z2 z1 z2 1 i
z1 z2 1 i 1 i (1)
z1 z2 3 5i (2)
(1) (2) 2z1 4 6i, (2) (1) 2z2 2 4i