九年级数学上册 2 矩形的性质与判定
九年级数学上册教案矩形的性质与判定
2. 矩形的性质与判定(二)一、学生知识状况分析学生在初二平行四边形一章中，已经认识了三种特殊平行四边形矩形、菱形和正方形，同时，通过平行四边形和菱形的学习，进行了对平行四边形和菱形性质和判定的证明，学生已经有了一定的推理论证能力，掌握了独立证明特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能；在相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，从而初步具备了证明特殊平行四边形性质和判定定理的能力；同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。
二、教学任务分析课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。
对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。
能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。
同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。
为此，本节课我们要达到的具体教学目标为：1．能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；3．学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；4．通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定(第1课时)教案(新版)北师大版
九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定（第1课时）教案（新版）北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定（第1课时）教案（新版）北师大版矩形的性质及判定教学目标（1）掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;（3）初步运用矩形的定义和性质解决相关问题，进一步培养学生的分析能力和教学重点矩形性质定理的证明及应用教学难点“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的推导及性质定理应用的教学过程：一、创设情境，引入新课老师：展示教具（平行四边形）并演示将平行四边形转化为菱形的过程当我们给平行四边形其他特殊条件时，我们会得到其他形状吗？例如，如果平行四边形的内角变成90度，你会发现什么特殊形状？学生：长方形师：原来是大家非常熟悉的图形，他还有个高大上的名字――矩形.板书课题老师：根据前面学习的菱形和平行四边形的过程，你想了解矩形的哪些方面？学生：矩形的定义：矩形的本质生：矩形边、角、对角线的特征.生：矩形的判定.生：……二、目标展示师：出示学习目标.生：默读学习目标.三、自主学习1.自主探究老师：根据以下自学指导，自学课本第11至12页讨论前的内容。
1.定义：有些被称为矩形12.矩形是平行四边形吗？3、如图，四边形abcd是矩形，试从它的边，角，对角线，对称性上写出性质.（小组讨论）侧面：角度：对角线：对称性：4、先写出特有的性质，然后独立思考证明过程，再与课本上的证明相比较.矩形特有的性质是：..处理方法：学生将自学与小组合作相结合，通过自学、猜想和推理三个步骤掌握矩形的性质，在小组学习过程中提问，其他学生讨论并回答【设计意图】本环节知识较为简单，有前面菱形性质的研究经验，又有比较坚实的三角形全等的知识基础，此处自学应该没有障碍，因此，为培养学生的自主学习能力及增大课堂容量，将此处设计为自主学习.定义：直角平行四边形是一个矩形。
矩形的四个角是直角。
1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
北师版九年级数学上册第1章2矩形的性质与判定
称
性 是中心对称图形，对称中心是对角线
的交点
矩形的任意一条对角线都把矩形分成两个全等的直角三角形，
如Rt △ ADB ≌Rt△CBD，Rt△ ABC ≌Rt △ CDA.
2.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，
并且相对的两个等腰三角形全等，如S△ AOB=S △ AOD=
解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.
解题通法：根据矩形的定义判定矩形的方法
知1－练
知1－练
证明：∵ O 为AB 的中点，∴ OB=OA. 又∵ OE=OD，∴四边形AEBD 是平行四边形. ∵ AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴ AD⊥ BC. ∴∠ ADB=90°. ∴四边形AEBD 是矩形.
AB∥CD，AD∥BC AB=CD，AD=BC
角
矩形的四个 角都是直角
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ DAB= ∠ DCB= ∠ ADC=∠ ABC =90°
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对 角 线
矩形的对角 ∵四边形ABCD 是矩形，
线相等
∴ AC=BD
对
是轴对称图形，它有两条对称轴，过 每组对边中点的直线是其对称轴
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
1 课时讲解 矩形的定义
矩形的性质 直角三角形斜边上中线的性质
2 课时流程 矩形的判定
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 矩形的定义
定义
有一个角是 直角的平行 四边形叫做
矩形
图示
知1－讲
数学表达式 ∵在ABCD 中，∠ A=90°(或∠ B=90° 或∠ C=90°或∠ D=90°)，∴ ABCD 是 矩形
矩形的性质与判定第2课时课件北师大版九年级数学上册
6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，点 F 在
CD 边上， CF ＝ AE ，连接 AF ， BF .
(1)求证：四边形 BFDE 是矩形；
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DF ∥ EB ， AB ＝ CD .
又∵ CF ＝ AE ，∴ DF ＝ BE . ∴四边形 BFDE 是平行四边形.
已知：如图2，四边形ABCD是平行四边形，AC=DB.
A
求证：四边形ABCD是矩形.
B
图2
D
C
探究新知
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=DC，AB∥DC.
又∵ BC=CB，AC=DB，
A
D
∴ △ABC≌△DCB .∴∠ABC=∠DCB .
∵ AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB=180°.B
第4题图
1
2
3
4
5
6
10
.
第2课时
矩形的判定
知识梳理
课时学业质量评价
5. 如图，在▱ ABCD 中，下列条件① AC ＝ BD ；②∠1＋∠3＝90°；③
OB ＝ AC
；④∠1＝∠2，其中能判断▱ ABCD 是矩形的有 ①②③④
第5题图
1
2
3
4
5
6
.
第2课时
矩形的判定
知识梳理
课时学业质量评价
形，若 AC ＝8 cm，则 BC 的长为(
D
)cm.
第3题图
A. 4
B.
C. 2
1
2
3
D. 4
4
2_矩形的性质与判定_第1课时_教案1
第一章特别平行四边形2.矩形的性质与判断（一）一、学生知识状况剖析学生的知识技术基础：矩形的性质一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判断，菱形的性质和判断以及具备了基本的推理能力的基础上安排的，是学习正方形的基础，学完本节课后，学生应掌握矩形的性质，会应用性质进行推理解题。
学生的活动经验基础：本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年纪段的学生已经具备自主研究和合作学习的能力，他们喜爱着手，喜爱思虑一些有挑战性的问题，喜爱向他人展现自己的成就。
部分学生对学习数学有较强的兴趣，拥有必定的研究数学识题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。
但大多数学生要把解题的整个过程表述完好、清楚比较困难。
二、教课任务剖析《矩形的性质与判断》一课属于初中平面几何要点知识。
本节是在学习了平行四边形的性质与判断以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特别平行四边形的一般研究方法以后学习的，它既是平行四边形的延长，又为后边正方形的学习供给知识、方法的支持，为进一步研究其余图形确立基础。
依照新课标要求，《矩形的性质》不可以只逗留在知识教课上，而是要把经历研究图形的基天性质的过程，发展学生的基本的推理技术放在首要地点。
矩形是的平行四边形中的一种特别图形，在生活中有着宽泛的应用，所以课本好多地方以图片形式体现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促使数学学习。
所以本节课的教课目的是：1.知识与技术 :(1)掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理 ; 会用矩形的性质定理进行推导证明 ;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培育学生的剖析能力．2.过程与方法：(1)经历研究矩形的看法和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）经过灵巧运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思想方法，并浸透运动联系、从量变到质变的看法．3.感情态度与价值观：(1)在察看、丈量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满研究性和创建性，感觉证明的必需性，培育谨慎的推理能力，领会逻辑推理的思想价值。
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定优秀教学案例
4.反思与评价：在课堂的最后阶段，我组织学生进行反思，让他们回顾本节课所学的矩形的性质和判定方法，巩固知识。同时，我设计相关的练习题目，让学生进行实践操作，检验他们对矩形性质和判定方法的掌握程度。这种反思与评价的教学策略能够培养学生的自我评估和自我改进能力，提高他们的学习效果。
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容是北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定。矩形是初中数学中的重要几何图形之一，它具有独特的性质和判定方法。在本节课中，学生需要掌握矩形的性质，包括对角线相等、四个角都是直角等，同时还需要学习如何判定一个四边形是矩形。
在教学过程中，我以实际生活中的情境为导入，让学生观察教室的黑板，发现黑板是一个矩形。通过这个实例，让学生初步感知矩形的性质，并激发他们对本节课的学习兴趣。接着，我引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索矩形的性质和判定方法。在学生掌握矩形的性质后，我组织学生进行实践操作，让他们运用所学知识解决实际问题，如测量教室的长和宽等。
（四）反思与评价
1.在课堂的最后阶段，组织学生进行反思，让他们回顾本节课所学的矩形的性质和判定方法，巩固知识。
2.设计相关的练习题目，让学生进行实践操作，检验他们对矩形性质和判定方法的掌握程度。
3.教师对学生的学习情况进行评价，及时给予肯定和鼓励，提高他们的学习积极性和自信心。
作为一名特级教师，我深知教学策略的重要性。在教学过程中，我将根据学生的实际情况，灵活运用各种教学策略，以激发学生的学习兴趣，培养他们的几何思维和问题解决能力，提高他们的学习效果。同时，我还会注重学生的情感态度与价值观的培养，让他们在愉快的氛围中学习和成长。
北师大版九年级(上)数学第2讲：矩形的性质与判定(教师版)——王琪
矩形的性质与判定一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．二、矩形的性质①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．三、矩形的判定①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等四、矩形判定解题思路①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．五、矩形的面积设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．1．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=30°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°∴∠DAC=∠ACB=30°，∴AC=2AB，∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DOC=60°，DC=AB，∵△DOC是等边三角形，∴DC=OD，∴BE=BO，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣∠OBE）=75°，∵∠AOB=∠DOC=60°，∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；∵OA=OC，∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S COE，∴④正确；故选C．2．在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵∠AFC=135°，CF与AH不垂直，∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，∴①错误；∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AD=，AB=1，∴tan∠ADB==，∴∠ADB=30°，∴∠ABO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∴AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF=45°，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=BO，∴BF=BO，∴②正确；∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，∴∠CAH=15°，∵CE⊥BD，∴∠CEO=90°，∵∠EOC=60°，∴∠ECO=30°，∴∠H=∠ECO﹣∠CAH=30°﹣15°=15°=∠CAH，∴AC=CH，∴③正确；∵△AOB是等边三角形，∴AO=OB=AB，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，∴DC=OC=OD，∵CE⊥BD，∴DE=EO=DO=BD，即BE=3ED，∴④正确；即正确的有3个，故选C．3．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形；∵∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形；∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形；∵AD⊥BC且AB=AC，∴AD平分∠BAC，∴四边形AEDF是菱形；故①②③正确．故选A．4．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；正确；即可得C 错误；B、D、对角线互相垂直且相等的四边形可能是如图：所以错误；故选：A．5．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5解：连接AP，∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，由三角形面积公式得：×4×3=×5×AP，∴AP=2.4，即EF=2.4，故选C．6．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2 B．2 C．3 D．3解：连接CF，如图所示：∵DE是AC的中垂线，∴AF=CF，∠CDE=90°，∴∠ACF=∠A=30°，∴∠CFB=∠A+∠ACF=60°，∵AF=BF，∴CF=BF，∴△BCF是等边三角形，∴CF=BC=2，∠BCF=60°，∴CD=CF•cos30°=，∠BCD=60°+30°=90°，∵BE⊥DF，∴∠E=90°，∴四边形BCDE是矩形，∴四边形BCDE的面积=BC•CD=2×=2；故选：A．7．在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（）A．7°B．21° C．23° D．24°解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，∴∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，∴∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∴∠ACD=3x，∴3x+21°=90°，解得：x=23°；故选：C．8．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A．5 B．4 C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，∴OM是△ADC的中位线，∵OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC==2，∴BO=AC=，故选D．9．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．10．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．11．下列关于菱形、矩形的说法正确的是（）A．菱形的对角线相等且互相平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是矩形解：A、错误．菱形的对角线互相垂直平分．B、正确．矩形的对角线相等且互相平分．C、错误．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．D、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形．故选B．12．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线相等且互相平分D．矩形的对角线互相垂直且平分解：A、对角线相等的四边形是矩形，不正确；B、对角线互相平分的四边形是矩形，不正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，正确；D、矩形的对角线互相垂直且平分，不正确；故选：C．13．已知：如图，矩形ABCD中，DE交BC于E，且DE=AD，AF⊥DE于F．求证：AB=AF．证明：∵AF⊥DE．∴∠AFE=90°．∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°．∴∠ADF=∠DEC．∴∠AFE=∠C=90°．∵AD=DE．∴△ADF≌△DEC．∴AF=DC．∵DC=AB．∴AF=AB．14．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE=EF=FB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AE⊥BD，AF=2，AB=4，求BF的长度．（1）证明：连接AC，交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OB=OD，∵DE=FB，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵DE=EF=BF，AE⊥BD，∴AD=AF=2，∴BD===2，∴BF=BD=．15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．16．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．17．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．18．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO=OC，∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．19．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6﹣x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．20．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==10，∴OC=OE=EF=5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．22．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．23．如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？解：根据题意得：CQ=2t，AP=4t，则BP=24﹣4t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，即2t=24﹣4t，解得：t=4，答：当t=4s时，四边形QPBC是矩形．24．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD，∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．基础演练1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC解:∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AC=BD，OA=OC，不能推出AC⊥BD，∴选项A、B、D正确，选项C错误；故选C．2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等 B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．3．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：D．4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选D．5．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF 中点，则AM的最小值为（）A．B．C．D．解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=EF=AP．因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，∴AM的最小值是．故选D．6．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①矩形是轴对称图形，两组对边的中点的连线所在的直线是它的对称轴，故错误；②两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；③有两个邻角相等的平行四边形是矩形，故错误；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；正确；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故错误．故选A．7．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．5解：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3，故选A．9．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形解：A、如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定矩形；B、如果AD∥BC，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，那么四边形ABCD是矩形；C、如果AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；D、如果AD∥BC，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；故选：A．10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．11．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．矩形的对角线一定互相垂直C．对角线相等的四边形是矩形 D．四条边相等的四边形是菱形解：A、错误．应该是两直线平行，同位角相等．B、错误．应该是矩形的对角线相等且互相平分．C、错误．对角线相等的四边形不一定是平行四边形．D、正确．四条边相等的四边形是菱形．故选D．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值为（）A．4.8 B．1.2 C．3.6 D．2.4解：∵四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，OE=OF，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即OF的值最小．∵AP•BC=AB•AC，∴AP•BC=AB•AC．在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==10．∵AB=6，AC=8，∴10AP=6×8，∴AP=．∴OF=EF=故选D．巩固提高13．如图，两张宽为2（cm）的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD．（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若∠BAD=60°，求重叠部分的面积．解：（1）四边形ABCD是菱形．理由如下：如图，过点B作BE⊥AD与E，作BF⊥CD于F，∵两纸条为矩形纸条，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两纸条宽度都是2cm，∴BE=BF，∴平行四边形ABCD的面积=AD•BE=CD•BF，∴CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠BAD=60°，∴∠ABE=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°，∴AE=AB，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AB2=AE2+BE2，即AB2=（AB）2+22，解得AB=，所以，重叠部分的面积=×2=．14．如图，矩形ABCD中AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm╱s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm╱s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，说明是否与t的大小有关．解：（1）∵点P沿AB边从点A开始向点B以2cm╱s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm╱s的速度移动，∴AP=2t，AQ=AD﹣DQ=6﹣t，∵△QAP为等腰直角三角形，∴AP=AQ，∴2t=6﹣t，解得t=2，∴t=2s时，△QAP为等腰直角三角形；（2）四边形QAPC的面积=12×6﹣×12•t﹣×6•（12﹣2t）=36，所以，四边形QAPC的面积与t无关．15．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．（1）求证：AF=DC；（2）若AD=CF，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并证明你的结论．证明：（1）∵AF∥DC，∴∠AFE=∠DCE，又∵∠AEF=∠DEC（对顶角相等），AE=DE（E为AD的中点），∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=DC；（2）矩形．由（1），有AF=DC且AF∥DC，∴四边形AFDC是平行四边形，又∵AD=CF，∴AFDC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形．17．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，∴CE=6．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∴sin∠AEB=．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD．求证：EF=CD．证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，∴EF=CD．19．如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC、AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．20．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∵BE=DF，∴OE=OF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF；（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=12，在Rt△ABC中，BC==6，∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36．21．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD= 100 °时，四边形BECD是矩形．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠OEB=∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO=CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE=OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A=50°，∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD，∴OC=OD，∵BO=CO，OD=OE，∴DE=BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：100．22．如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．证明：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，∴OE=OF．∵OA=OC，∴AECF是平行四边形；∵∠AEC=90°，∴四边形AECF为矩形．23．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，∴矩形的面积为20．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC 交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=CD=1，∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，∴△OEC的面积=•EC•OF=1．1．一矩形两对角线之间的夹角有一个是60°，且这角所对的边长5cm，则对角线长为（）A．5cm B．10cm C．5cm D．无法确定解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∵AC、BD的夹角∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=5cm，∴AC=2OA=2×5=10cm．故选B．2．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选B．3．能够判定一个四边形是矩形的条件是（）A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确；B、对角线互相垂直平分的是菱形，故错误；C、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误；D、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误，故选A．4．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．矩形 C．正方形D．菱形解：∵OA=OB=OC=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故选B．5．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是（）A．4≥x＞2.4 B．4≥x≥2.4 C．4＞x＞2.4 D．4＞x≥2.4解：连接AP．∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF中点，∴AM=EF=AP，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC=×6×8=×10×AP，AP=4.8，即AP的范围是AP≥4.8，∴2AM≥4.8，∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．故选：D．6．如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（）A．2.4 B．3 C．4.8 D．5解：如图，连接BD．∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°．又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴四边形EDFB是矩形，∴EF=BD．∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，∴EF的最小值为4.8，故选：C．7．已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．证法一：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF（全等三角形对应边相等）；证法二：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即ED=BF，而ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形，∴BE=DF（平行四边形对边相等）．8．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC．证明：∵DF⊥AE于F，∴∠DFE=90°在矩形ABCD中，∠C=90°，∴∠DFE=∠C，在矩形ABCD中，AD∥BC ∴∠ADE=∠DEC，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，∴∠AED=∠DEC，∠DFE=∠C=90°，又∵DE是公共边，∴△DFE≌△DCE（AAS），∴DF=DC．9．在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．（1）证明：∵CE∥BF，∴∠CED=∠BFD，∵D是BC边的中点，∴BD=DC，在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE（AAS）；（2）四边形BFCE是矩形，证明：∵△BDF≌△CDE，∴DE=DF，∵BD=DC，∴四边形BFCE是平行四边形，∵BD=CD，DE=BC，∴BD=DC=DE，∴∠BEC=90°，∴平行四边形BFCE是矩形．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADC=90°，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，AE=BD，∴AE∥CD，AE=CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．11．如图所示，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形．证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线，∴∠ABD+∠ABE=（∠ABC+∠ABP）=90°．即∠EBD=90°．又∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴四边形AEBD是矩形．12．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．试说明：（1）AE=DC；（2）四边形ADCE为矩形．证明：（1）如图，∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；（2）∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．1．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选C．2．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣6=（10﹣x）2 B．x2﹣62=（10﹣x）2C．x2+6=（10﹣x）2 D．x2+62=（10﹣x）2解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10﹣x）2．故选D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、不能得到一个角是直角，故错误，故选D．4．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AO=BO，∴OA=OC=OB=OD，即AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2=∠ACB，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ACB，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选B．5．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）。
1.2《矩形的性质与判定》北师大版九年级数学上册教案(第2课时)
第一章特殊的平行四边形1.2 矩形的性质与判定第2课时一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：探索矩形的判定方法．难点：合理应用矩形的判定定理解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资《四边形到平行四边形再到矩形的变化》动画，《矩形的判定》微课.五、教学过程设计【复习引入】1．什么叫做矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？3．矩形有什么特有的性质呢？答：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等．4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）．5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？这节课我们就共同来探究一下．师生活动：教师出示问题，学生回答，让学生复习前面学过的内容．设计意图：通过复习，巩固旧知，铺垫新知，设置问题，引出新课．【探究新知】做一做如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？师生活动：教师出示“做一做”并操作演示，学生思考、讨论、交流，猜想出矩形的一个判定方法．答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长．（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°．得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形．思考你能证明你的猜想吗？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．答：已知：如图，在四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB．求证：□ABCD是矩形．分析：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角，从而得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=．∴□ABCD是矩形（矩形的定义）．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形．想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、交流，形成猜想并证明猜想．猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．设计意图：培养学生的归纳猜想，推理论证的能力．判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形．归纳:矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．议一议你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答．答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形．如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．设计意图：让学生运用所学知识解决实际问题．【典例精析】例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．分析：教师先带学生从已知条件入手，对平行四边形对角线的性质进行分析，再结合△ABO是等边三角形的条件，很容易推出对角线相等，从而利用刚学的矩形的判定定理“对角线相等的四边形是矩形”证得是矩形，再利用勾股定理求出边长BC，进而求出矩形的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴AC=BD=2OA=2×4=8．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴．∴S□ABCD=AB·BC=4×=．设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．【课堂练习】1．下列命题错误的是（）．A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形B．对角互补的平行四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形参考答案C2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________．参考答案12．3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵M是AD边的中点，∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是□ABCD外一点，且∠AEC=∠BED=90°．求证：□ABCD是矩形．师生活动：教师出示题目，学生思考，教师请有思路的学生讲述解题思路，然后订正，最后教师写出解题过程．证明：如图，连接OE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵∠AEC=∠BED=90°，∴OE=AC=BD．∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识，进一步加深对所学知识的理解．六、课堂小结请同学们回顾一下，我们学过的矩形的判定方法有哪些？答：我们学过的矩形的判定方法有：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计1.2 矩形的性质与判定（2）1．矩形的判定方法：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。
北师大版九年级数学上册教学设计：1.2矩形的性质与判定
2.话题：给出以下讨论话题，让学生在小组内共同探讨。
-矩形性质在实际生活中的应用
-除了教材中的判定方法，还有哪些方法可以判定矩形？
3.讨论成果展示：每个小组选派一名代表，汇报本组的讨论成果。
（四）课堂练习
课堂练习旨在巩固学生对矩形性质和判定的掌握，提高学生的实际应用能力。
3.学生解决实际问题的能力：将矩形知识应用于实际问题时，学生可能会感到困惑。教师需要设计贴近生活的问题，引导学生将理论知识与实际情境相结合，提高解决问题的能力。
4.学生的合作交流能力：在教学过程中，教师应关注学生的合作交流能力，鼓励学生积极参与小组讨论，学会倾听他人意见，提高合作解决问题的能力。
三、教学重难点和教学设想
1.设计不同难度的练习题，包括基础题、提高题和拓展题。
2.学生独立完成练习题，期间教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.练习题完成后，组织学生进行互评，相互借鉴解题方法。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将带领学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。பைடு நூலகம்
1.回顾：引导学生回顾矩形的定义、性质和判定方法。
2.归纳：总结本节课的重点和难点，强调矩形性质在实际问题中的应用。
1.学生对矩形定义的理解深度：部分学生可能对矩形定义中的“四个内角都是直角”和“对边平行且相等”这两个条件理解不够透彻，需要通过具体实例和直观演示来加深理解。
2.学生在判定矩形时的思维方法：学生在运用判定定理时，可能会出现思维定势，只关注一种判定方法而忽略其他方法。教师应引导学生灵活运用多种判定方法，提高解题能力。
5.重视反馈和评价，促进学生的自我反思和持续进步。
-教学过程中，及时给予学生反馈，指导他们改进学习方法。
北师大版九年级数学上册说课稿：1.2矩形的性质与判定
北师大版九年级数学上册说课稿：1.2 矩形的性质与判定一. 教材分析《矩形的性质与判定》是北师大版九年级数学上册第一章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了四边形的性质，平行四边形的性质和判定，以及菱形、正方形的性质和判定基础上进行学习的。
通过本节内容的学习，使学生掌握矩形的性质和判定方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对平行四边形的性质和判定，以及菱形、正方形的性质和判定有一定的了解。
但是，对于矩形的性质和判定，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将以学生为主体，引导他们通过观察、思考、讨论，自主探索矩形的性质和判定方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握矩形的性质，学会用矩形的性质解决几何问题；理解并掌握矩形的判定方法，能够运用矩形的判定方法判断一个四边形是否为矩形。
2.过程与方法：通过观察、思考、讨论，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；学会用归纳法、演绎法进行数学论证。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性；培养学生合作学习的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：矩形的性质和判定方法。
2.教学难点：矩形的判定方法的应用，以及如何运用矩形的性质解决几何问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法、探究学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的矩形物体，如矩形桌子、矩形电视等，引导学生思考矩形的特征，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生观察矩形的特点，引导学生发现矩形的性质，如矩形的对边平行且相等，矩形的对角相等等。
3.小组讨论：让学生分组讨论，归纳出矩形的性质，并学会用这些性质解决几何问题。
4.讲解判定：讲解矩形的判定方法，如对角线互相平分的四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形等。
北师大版数学九年级上册说课稿：1.2矩形的性质与判定
为了促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
1.师生互动：在讲解矩形性质时，通过提问、引导学生思考，让学生积极参与课堂讨论；在解答问题时，鼓励学生发表自己的观点，教师给予及时反馈。
2.生生互动：将学生分成小组，进行合作探究矩形判定方法；小组内讨论、交流，共同完成任务；小组间进行成果分享，互相学习、借鉴。
3.组织课堂竞赛：设计矩形性质和应用的相关题目，进行小组竞赛，激发学生的学习热情，提高课堂氛围。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.生活实例引入：向学生展示一些生活中常见的矩形物品，如黑板、窗户、书本等，引导学生观察并思考这些物品的共同特点。
2.提出问题：在此基础上，提问学生：“为什么这些物品的形状都是矩形呢？矩形具有哪些特殊的性质？”通过问题激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
1.自我评价：让学生回顾本节课所学内容，总结自己在矩形性质和判定方法方面的掌握情况。
2.同伴评价：组织学生相互评价，发现彼此的优点和不足，相互学习，共同提高。
3.教师反馈：针对学生的总结和评价，教师给予针对性的反馈和建议，强调矩形性质和判定方法的重要性，鼓励学生继续努力。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
-在课前精心设计板书内容，确保知识点全面、逻辑清晰；
-在课堂教学中，适时更新板书，突出重点，避免信息过载；
-使用不同颜色的粉笔，区分不同类型的信息，使板书更具层次感。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
1.学生对矩形性质的理解可能不够深入，导致在实际问题中难以应用；
2.部分学生对判定方法的理解可能存在误区，需要个别辅导和纠正；
北师大版九年级数学上册1.2.矩形的性质与判定(第2课时)教学设计
1.激发兴趣：以生活中的矩形为例，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣。
2.培养审美：引导学生欣赏矩形的对称美、简洁美，提高学生的审美能力。
3.严谨态度：在探究矩形性质和判定方法的过程中，培养学生严谨、细致的思考习惯。
二、学情分析
九年级的学生已经在之前的学习中掌握了平行四边形的基本性质和判定方法，具备了一定的几何图形认知基础。在此基础上，学习矩形的性质与判定，学生能够更加深入地理解几何图形的特性和应用。然而，由于矩形性质的探究涉及角度、边长等多个因素，学生在理解上可能会遇到一些困难，如对矩形的判定方法的理解不够深入，对性质的应用不够熟练等。因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，给予适当的引导和帮助，以促进学生对矩形性质与判定的理解和掌握。同时，通过生活实例的引入，激发学生的学习兴趣，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
4.小组合作任务：请各小组设计一道关于矩形性质与判定的应用题，并给出解答过程。
a.各小组需充分发挥创意，设计具有实际意义的题目。
b.鼓励学生运用多种方法解决问题，提高应用能力。
5.预习下一节课内容：了解矩形的应用，如矩形在建筑、设计等方面的应用。
a.鼓励学生提前了解课程内容，培养自主学习能力。
b.教师在下次课堂上检查预习情况，并进行讲解。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师出示一块矩形形状的木板，引导学生观察并提问：“你们知道这个图形是什么吗？它在我们的生活中有哪些应用？”
2.学生回答问题，教师总结：这个图形是矩形，它在我们的生活中随处可见，如黑板上、桌面上、门窗上等。
3.教师进一步提问：“我们已经学习了平行四边形的性质，那么矩形作为一种特殊的平行四边形，它有哪些独特的性质呢？这节课我们就来学习矩形的性质与判定。”
北师大版数学九年级上册1.2.《矩形的性质与判定》教案
-难点三：在实际问题中运用矩形性质和判定方法解决问题，如计算矩形面积和周长。
-举例：通过设计实际情境问题，如房屋建筑、园林设计等，让学生将矩形的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
-难点四：培养几何直观和空间观念，将矩形与实际图形相结合。
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的性质与判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状类似长方形或正方形的物体？”（如书本、桌面等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形的基本性质：对边平行且相等，对角线互相平分、相等，四个角都是直角，对角线把矩形分成的四个三角形面积相等。
-举例：讲解矩形性质时，通过具体的图形展示，强调矩形的对边平行且相等是矩形的基本特征，使学生深刻理解这一性质。
-矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形相关的实际问题，如矩形的制作和应用。
九年级数学上册《矩形的性质与判定》教案、教学设计
-鼓励学生提出疑问，解答他们的困惑，巩固学习成果。
6.课后拓展：
-布置与矩形相关的实际问题，让学生运用所学知识解决，提高他们的数学应用能力。
-推荐一些课外阅读材料，拓展学生的知识视野，激发他们的学习兴趣。
7.教学评价：
-采用课堂问答、课后作业、小组讨论等多种评价方式，全面了解学生的学习情况。
4.研究性学习题：
-鼓励学生利用课余时间，研究矩形的性质在生活中的应用，例如建筑、艺术、工程设计等领域。
-学生以研究报告的形式呈现研究成果，提高他们的研究能力和实践能力。
5.课后反思：
-要求学生课后总结本节课的学习收获和不足，思考矩形知识在实际生活中的应用。
-培养学生的自我反思能力，帮助他们更好地调整学习方法，提高学习效率。
2.教学目标：
-激发学生对矩形的兴趣，使他们认识到矩形在生活中的广泛应用。
-唤醒学生对已学四边形知识的回忆，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学活动设计：
-通过动态演示或实物操作，让学生观察矩形的特点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如对边平行且相等、对角线互相平分等。
-引导学生思考：矩形具有哪些性质？如何证明这些性质？
-讲解矩形的定义和性质，结合实例进行说明，让学生理解并掌握矩形的判定方法。
-设计一些与矩形相关的生活实际问题，如计算教室黑板的面积、设计矩形花园等，要求学生运用所学知识解决。
-鼓励学生在解决拓展题的过程中，发挥创新意识，将矩形知识应用于实际生活。
3.小组合作题：
-将学生分成小组，每组共同完成一道较复杂的矩形问题，如矩形的折叠、拼接等。
-通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力，共同解决难题。
专题02矩形的性质与判定(4个知识点9种题型1个易错点中考4种考法)(原卷版)-初中数学9年级上册
专题02矩形的性质与判定（4个知识点9种题型1个易错点中考4种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：矩形的定义知识点2：矩形的性质（重难点）知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质（重点）知识点4：矩形的判定（重难点）【方法二】实例探索法题型1：利用矩形的性质求角的度数题型2：利用矩形的性质求边的长度题型3：直角三角形斜边上的中线的性质应用题型4：利用矩形的性质证明题型5：矩形的判定题型6：矩形的实际应用题型7：矩形中的折叠问题题型8：计算矩形中阴影部分面积题型9：矩形中的动态问题【方法三】差异对比法易错点1判断矩形的条件不足【方法四】仿真实战法考法1矩形性质的应用考法2矩形的判定考点3直角三角形斜边上的中线考法4矩形的性质与判定【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：矩形的定义1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．知识点2：矩形的性质矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的两条对角线相等．注意：(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心)．知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．知识点4：矩形的判定矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．【方法二】实例探索法题型1：利用矩形的性质求角的度数例1.如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6题型2：利用矩形的性质求边的长度例2．已知矩形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC等于（）A．3B．5C．6D．11题型3：直角三角形斜边上的中线的性质应用例3.如图，BD、CE是△ABC不同边上的高，点G、F分别是BC、DE的中点，试证明GF⊥DE．例4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．求证：∠EBC＝∠A．题型4：利用矩形的性质证明例5.如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE AC⊥⊥于点E，CF BD 于点F，求证：BE=CF．A B CDEF O 例6.已知：若从矩形ABCD 的顶点C 作BD 的垂线交BD 于E ，交∠BAD 的平分线于F ．求证：△CAF 是等腰三角形．G例7.已知：矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE =BD ，F 为DE 中点，连接AF 、CF ．求证：AF ⊥CF ．A B CDE F题型5：矩形的判定例8.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ．求证：四边形ADCE为矩形；例9.如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．题型6：矩形的实际应用例10.如图是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝8，BC＝15，DP＝3．则小球所走的路径的长为．题型7：矩形中的折叠问题例11.如图所示，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，把矩形折叠使点C与点A重合，求折叠EF的长．例12.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点D'处，CD'交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为________．题型8：计算矩形中阴影部分面积例13.矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为．题型9：矩形中的动态问题例14如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是．例15．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．【方法三】差异对比法易错点1判断矩形的条件不足1.下列命题中真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形；C．四条边都相等的四边形是矩形；D．四个内角都相等的四边形是矩形；2.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形⊥时，四边形ABCD是矩形B．当AC BDC．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当ABD CBD∠=∠时，四边形ABCD是矩形【方法四】仿真实战法考法1矩形性质的应用1．（2022•无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对边平行B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补2．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．3．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．4．（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为cm2．5．（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求证：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．6．（2022•哈尔滨）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE．（1）如图1，求证：△BEO≌△CEO；（2）如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．考法2矩形的判定7．（2022•聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等8．（2022•恩施州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD＝PM时，t＝4sD．当CD＝PM时，t＝4s或6s9．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD10．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．11．（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC 至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．12．（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程．13．（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．考点3直角三角形斜边上的中线14．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．415．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．考法4矩形的性质与判定16．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．17．（2022•德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·河南平顶山·统考一模）下列叙述错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形A．三角形B．矩形C．菱形D．梯形3．（2023·四川泸州·统考一模）如图，菱形ABCD的对角线,AC BD相交于点O 连接OE，若菱形ABCD的面积为16，4OA=，则OE的长为（）A．3B．2.54．（2023·安徽·校联考一模）如图，菱形连接OH，点M是边AD的中点，连接A．53B．855．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在矩形A ．BECS 二、填空题7．（2023·山东临沂·统考一模）如图，在长为半径画弧交AB 于点8．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，矩形连接BF ，过F 作CE 的垂线交CD 的长是___________．9．（2023·天津·校联考一模）如图，矩形为CE 的中点，90EOF ∠=11．（2023·山东泰安·统考一模）如图，一点，且P不与B、C重合．过P12．（2023·河南周口·统考二模）如图，在部，3PC=，D是AB的中点，连接13．（2023·四川成都·统考模拟预测）三、解答题Y中，点E是AD的中点，延长BE交CD的延长14．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在ABCD线于F．(1)求证：AEB DEF△≌△；(2)连接CE，当CE BF⊥时，若3AB=，求BC的长．15．（2023·浙江温州·模拟预测）规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在106⨯的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．(1)在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形，且它的面积等于8；(2)在图乙中画出一个以AB为对角线的矩形，且它的周长为无理数．16．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，已知点E是矩形ABCD中BC边的中点，连接AE．(1)分别在CD、AE边上求作点P、点D¢，使得点D关于AP的对称点D¢恰好落在线段AE上；（请保留作图痕迹，不需要写作法）(2)在（1）的条件下，若36AB=，30BC=，求CP．17．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在ABCD⊥于点E，延长BC至点F，Y中，AE BC=，连接DF，AF与DE交于点O．使CF E(1)求证：四边形AEFD 为矩形；(2)若3AB =，2OE =，5BF =，求DF 的长．18．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF AC ⊥分别交AD ，BC 于点E ，F ．(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若6AB =，12BC =，求菱形AFCE 的面积．19．（2023·河南南阳·统考一模）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．(1)如图1，若F 为AD 边的中点，6AB BC ==，点G 与点H 重合，则ECF ∠＝(2)如图2，若F 为AD 的中点，CG 平分ECF ∠，21AB =+，2BC =，求ECF ∠的度数及秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．问：(1)求t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？(2)四边形ABQP 可能是矩形吗？如果可能，求出t 的值；如果不可能，说明理由；(3)四边形PQCD 可能是菱形吗？如果可能，求出t 的值；如果不可能，说明理由．21．（2023·全国·九年级专题练习）【问题发现】（1）如图①，在边长为5的等边ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AB 边上一点，且22BD BE ==，点P(1)直接写出B、C、D各点的坐标：B、C、D；P，10)，点E，M在四边形ABCD的边上，且E在第二象限．若(2)如图1，(3等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标，并对其中一种情况计算说明；(3)如图2，F为y轴正半轴上一动点，过F的直线FH∥x轴，BH∠=∠，F在运动中FG的长度是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出定的点，且HGF FAB值．。
1.2《矩形的性质与判定第1课时》北师大版数学九年级上册教学课件
第1课时
学习目标
矩 形
1.理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.
的
2.经历矩形性质定理和直角三角形性质定理的探索过程，进
定
一步发展合情推理能力.
义
3.能够用综合法证明矩形的性质定理和直角三角形性质定理，
及
进一步发展演绎推理能力.
性
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
矩形是特殊的平行四边形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
想一想 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性 质，你能列举出来吗？ 平 行 四 边 形
A
矩
形
O
D
B
对边相等； AB=CD； AD=BC
对角相等； ∠A=∠C； ∠B=∠D
C 对角线互相平分；OA=OC；OB=OD
分析：由矩形的性质可得，AC=BD，
AO=CO= 1 AC，BO=DO= 1 BD，
2
2
又由∠AOD=120°，所以∠AOB=60°，
从而可得△AOB是等边三角形.
再由等边三角形的性质可得AO=BO=2.5，
分析：由矩形的性质可得，AC=BD，
AO=CO=1
2
AC
，BO=DO=
1 2
BD，∠BAD=90°，
从而△AOD是等腰三角形；
又由∠AOD=120°，所以∠ADB=30°，
再由30°角所对的直角边是斜边的一半可
得BD=2AB=5.
A
2.5
D
120°30°
Oபைடு நூலகம்
5
B
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
《矩形的性质与判定》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】(第1课时)
第一章特殊的平行四边形1.2 矩形的性质与判定第1课时教学设计一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的性质定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：掌握矩形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．难点：矩形的性质的灵活应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源多张《生活中的矩形》图片，《平行四边形变矩形》动画，《矩形的性质》微课，《矩形的性质》图片.五、教学过程【情境引入】下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？师生活动：教师出示问题及图片，学生观察图片并尝试回答问题．生：这些特殊的平行四边形中都有一个角是直角．这就是我们本节课要研究的矩形．设计意图：通过实际生活中的图片引入本课，激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】矩形的定义．矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形应满足的两个条件：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角．师生活动：教师讲解，并明确矩形应满足的两个条件．师：矩形是生活中常见的图形，你还能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。
生：……设计意图：让学生感受到矩形在实际生活中的广泛应用．想一想：（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？（2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？师生活动：教师首先引导学生回忆一般平行四边形的性质，从而得出矩形的一般性质，然后再探究矩形的特殊性质．答：矩形的一般性质：具备平行四边形的所有性质．边：对边平行且相等．角：对角相等．对角线：对角线互相平分．中心对称性：是中心对称图形．矩形的特殊性质：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴．教师追问：（3）矩形还有特殊性质吗？师生活动：教师追问，引导学生继续探究矩形的性质．发现：四个内角都是直角，两条对角线长度相等．猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．试一试：你能证明一下上面猜想的正确性吗？师生活动：教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．猜想1的证明：已知：四边形ABCD是矩形，∠B=90°．求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．证明：∵四边形ABCD是矩形，∠B=90°，又∵矩形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°．∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即矩形的四个角都是直角．性质1：矩形的四个角都是直角．几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．猜想2的证明：已知：AC与BD是矩形ABCD的对角线．求证：AC=BD．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB．又BC=CB，∴△ABC≌△DCB．∴AC=BD．性质2：矩形的对角线相等．几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．议一议：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答，最后得出答案．答：BE是斜边AC上的中线，BE=12 AC．得到的结论是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．尝试完成定理的证明。