教材第2节收敛数列的性质培训课件

取 N m N 1 , N 2 } 当 a n , N , x a n { .
(2)令ba,则
2
N 1 ,当 n N 1 时 ,|a n a | , 即 a n a a 2 b . N 2 ,当 n N 2 时 ,|b n b | ,即 b n b a 2 b .
(3) 先证 lim11
b n n
b
对 |b 2 | 0 ,于 N 1 ,s .t当 n N 1 时 ,
|b| | bn b| 2 ,
|bn||b||bnb|
且此 |bn时 ||b 2|0.
所n 以 N 1 时 当 ,有
| 11||bnb| bn b |bnb|
2 b2
|
bn
b|
.
由 l n i b n 于 m b ,对 0 N 2 ,,s .t当
解 li(1 m q q 2 .. .q n 1) n lim1 qn n 1 q lim1 limqn n1q n1q
1 1 lim qn 1 . 1q 1qn 1 q
三、 夹逼定理
定理2.5 若数 {an}列 {,bn}{,cn}满足： a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m ln i a m nln i b m nln i c m n .
则对一切 n,皆 自有 xn然 M 数 , 故 xn有.界
注：有界未必一定收敛。（有界性是收敛的必要条件）
比如 数x ： 列 n(1)n1是发 . 散的
推论 无界数列必定发散.
定理2.3 (数列极限的保序性）
1o设ln i m ana, 且a,则N当 , nN时,有an;
2o 设 ln i m ana,ln i m bnb,且 ab,则 N 当 nN时 ,有anbn;
nN 2时 ,有 | bnb|b 22.
因n 此 mN 1 当 a ,N 2 } x 时 ,便 { 有
| b 1 n1 b|b 2 2|bnb|.
即证, 得 lim1 1.
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
说明 数学分析巩固与指导
1 有+无=无， 无+无=不定；
有 无 不 , 无 定 无 不 ; 定
取 N m N 1 ,a N 2 ,x 则n 当 N时有
a b ( x n b ) ( x n a ) x n b x n a 2.
上式a仅 b时 当才能 . 故成 极限立 唯一.
教材P7 反证法
,
定义2.1 (数列有界的定义) 对数{a列 n}，
若存在一个实数M，对数列所有的项都满足 a n M ,n 1 ,2 ,3 ,
当nN时 , 恒有
a a n b n c n a ,
即 bna成,立lnimbn a.
例3-1 求 li(m 1 1 1)
取 N m N 1 ,N a 2 } 当 x n , N { ,由 a n 上 b n . 得 (3)用反证(法 2)可 由得 .
注 (3 )中即 a n b n ,使 也a 有 可 b . 有
二、 极限的四则运算
定理2.4 设 ln ia m n a ,ln ib m n b ,则 (1 )l n i[a m n b n ] a b ;
由 a n ， b n 收 敛 ， 可 得 b n 有 界 , 即 |b n | M
0 , N 1 ,n N 1 ,|a n a | 2 (M 1 ),
N 2,nN 2,|bnb|2(a1),
取 N m N 1 , N 2 } 当 a n , N , 得 x | a n b n a { | .b
2 推广到有限项 .
lni mn12 n22
nn2
例1: 求ln i m 25n n22 34n n 14.
解
原式
lim
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 5
3
n 4
n
4
n2 1
n2
lim2
n
lim5
n
lim3 n n
4 lim n n
lnim n42 1
lnim n2
2 5
例2 设 |q | 1 ,计算 li( 1 m q 极 q 2 . .q 限 .n 1 ) n
3 o设 ln i a m na ,ln i b m nb ,若 N 当 n ,N 时 , 有 a nb n,则 a 有 b .
见教材P8图形
证明
( 1 ) 取 a 2, N 1 ,当 n N 1 ,|a n a |
即 anaa 2;
同理 2 a , ， N 2 ,当 n 取 N 2 ,a n ,
则M 称 是 {an}的上 . 界
相应的, 可以给出有下界的定义
定理2.2 收敛的数列必定有界. 证 设 ln i m xna, 由定义,
取1, 则 N ,使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有 即 a 1 有 x n a 1 . 记 M m x 1 , , x N a , a 1 , a x 1 }{ ,
证 设 ln i a m nln i c m na ,则
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 n N 1 时a 恒 n a 有 , 当 n N 2 时c 恒 n a 有 ,
取 N mN a 1 ,N x 2 }{ , 上两式同时成立,
即 a a n a , a c n a ,
(2 ) ln i[a m n b n ] a b ;
(3) lim ana, 其b中 0.
b n n
b
证 由 绝 对 值 的 三 角 不 等 式 可 得 ;
|a n b n a b | |a n b n a b n a b n a b |
|a n a |b n || |a |b n | b |.
§1.2 收敛数列的性质
一、 收敛数列的基本性质
定理2.1 (唯一性) 若数列收敛, 则其极限唯一.
证
设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b ,
由定义, 0,N 1,N 2.使得
当 n N 1 时x 恒 n a 有 ; 当 n N 2 时x 恒 n b 有 ;